Перегляд вихідного коду сторінки Кривина (математика)

{{unibox}}

У [[диференціальна геометрія|диференціальній геометрії]], '''кривина́'''&nbsp;— збірна назва ряду кількісних характеристик ([[Число|чисельних]], [[вектор]]них, [[тензор]]них), що описують відхилення того або іншого геометричного «об'єкта» (кривої, поверхні, [[Ріманова геометрія|ріманового простору]] тощо) від відповідних «пласких» об'єктів ([[пряма]], [[площина]], [[евклідів простір]] тощо).

Зазвичай кривина визначається для кожної точки на «об'єкті» і виражається як значення деякого диференціального виразу 2-го порядку. Іноді кривина визначається в інтегральному смислі, наприклад як міра, такі визначення використовують для «об'єктів» зниженої гладкості. Як правило, тотожне перетворення на нуль кривини в усіх точках означає збіг (локальний, але не глобальний) «об'єкта», що вивчається, з «пласким» об'єктом.

У цій статті наводяться тільки декілька простих прикладів визначень поняття кривини.

== Кривина кривої ==
Нехай '''γ(s)'''&nbsp;— регулярна крива в d-вимірному евклідовому просторі, що [[Параметризація (геометрія)|параметризується]] довжиною. Тоді
: <math>\kappa=|\ddot\gamma(s)|</math>
називається кривиною кривої '''γ''' у точці '''p = γ(s)''', тут <math>\ddot\gamma(s)</math> позначає другу похідну по '''s'''. Вектор
: <math>k=\ddot\gamma(t)</math>
називається вектором кривини '''γ''' в точці '''p = γ(t0)'''.

Нижче подані більш інтуїтивні визначення, що пояснюють геометричний зміст кривини.

Величина, обернена до кривини кривої (<math>r=1/\kappa</math>), називається '''радіусом кривини'''; він збігається з радіусом стичного кола в даній точці кривої. Центр цього кола називається '''центром кривини'''.

=== Кривина плоскої кривої ===
Нехай <math>\gamma(t) : [a, b] \to \R^2 </math>&nbsp;— [[плоска крива]]. Її кривина в деякій точці <math>p = \gamma(t), \; t \in [a,b] </math> умовно кажучи, визначає наскільки крива в деякому малому околі цієї точки відхиляється від прямої. Для змістовності цієї числової характеристики кривина прямої мала б бути рівною нулю, а кривина в точках кола меншого радіуса мала б бути більшою, ніж у точках кола більшого радіуса. Тому кривину прямої можна визначити рівною нулю, а кривину кола радіуса ''r,'' як 1/''r.''[[Файл:Osculating circle.svg|float|right|250px]]Тому якщо в деякому околі точки ''p'' крива досить добре наближається деяким колом (це коло називається [[Стичне коло|стичним колом]]) радіуса ''r,'' то її кривину в точці ''p'' теж можна прийняти рівною 1/''r.'' Стичне коло в точці <math>p = \gamma (t)</math> визначається як границя кіл, що проходять через точки <math>p = \gamma(t),\; p_1 = \gamma(t_1), \; p_2 = \gamma(t_2)</math> при <math>t_1, t_2 \to t.</math>

Нехай тепер для простоти крива <math>\gamma(s) </math> [[Параметризація (геометрія)|параметризується]] довжиною і її перша та друга похідні по цьому параметру <math>\dot\gamma(s), \ddot\gamma(s)</math> визначені й неперервні. Окрім того, <math>\dot\gamma(s)</math> є [[Одиничний вектор|одиничним вектором]] тобто <math>|\dot\gamma(s)| = 1, \forall s </math> і <math>\langle\dot\gamma(s), \ddot\gamma(s)\rangle = 0,</math> де тут і надалі <math>\langle\cdot, \cdot\rangle</math> позначає [[скалярний добуток]].

Якщо точки <math>\gamma(s),\;\gamma(s_1), \; \gamma(s_2)</math> не лежать на одній прямій позначимо через <math>C(s,s_1, s_2)</math>&nbsp;— центр кола, що проходить через ці точки.

Тоді <math>|\gamma(s) - C(s,s_1, s_2)| = |\gamma(s_1) - C(s,s_1, s_2)| = |\gamma(s_2) - C(s,s_1, s_2)|</math>

З правил диференціювання скалярного добутку і [[Теорема Ролля|теореми Ролля]] випливає існування таких чисел <math>\xi_1, \xi_2, </math> перше з яких знаходиться на проміжку між двома найменшими з чисел <math>s, s_1, s_2</math>⁣, а друге між двома найбільшими, що:

<math>\langle\dot \gamma(\xi_i),  \gamma(\xi_i) - C(s, s_1,s_2)\rangle = 0, \;  i = 1,2. </math>

Повторно продиференціювавши й використавши теорему Ролля отримуємо існування числа <math>\eta \in (\xi_1, \xi_2) </math> для якого

<math>\langle\ddot \gamma(\eta),  \gamma(\eta) - C(s, s_1,s_2)\rangle = - \langle\dot \gamma(\eta), \dot \gamma(\eta)\rangle = -1. </math>

Якщо тепер <math>s_1, s_2 \to s </math>, то також <math>\xi_1, \eta \to s </math> і тому, якщо <math>C(s,s_1, s_2)</math> теж прямує до деякого <math>C</math>, то попередні рівняння в граничному випадку мають вигляд:

<math>\langle\dot \gamma(s),  \gamma(s) - C\rangle = 0,  </math>

<math>\langle \ddot \gamma(s),  \gamma(s) - C \rangle = -1. </math>

Звідси очевидно, що така границя не може існувати, якщо <math>\ddot\gamma(s) = 0.</math> Якщо ж <math>\ddot\gamma(s) \neq 0</math>, то можна довести, що жодні три точки в деякому околі точки <math>p = \gamma(s) </math> не лежать на одній прямій і попередні побудови мають зміст. Також в цьому випадку з фінальних рівнянь однозначно визначається <math>C</math> і з неперервності скалярного добутку випливає, що <math>C = \lim_{s_1,s_2 \to s} C(s,s_1, s_2).</math>

Також з рівнянь випливає, що вектор <math>\gamma(s) - C </math> який є радіус-вектором стичного кола є колінеарним до вектора <math>\ddot\gamma(s).</math> Звідси маємо, що для радіуса ''r'' стичного кола виконується рівність <math>r |\ddot\gamma(s)| = 1</math>, яку можна переписати як <math>|\ddot\gamma(s)| = \frac{1}{r}.</math> Тому саме <math>|\ddot\gamma(s)|</math> можна визначати як кривину кривої в даній точці. У випадку <math>|\ddot\gamma(s)| = 0</math> кривина теж вважається нульовою.

=== Визначення плоскої кривої функцією кривини ===
Якщо <math>\kappa : [0, L] \to \R^+</math>&nbsp;— деяка [[неперервна функція]], із невід'ємними значеннями то існує крива <math>\gamma : [0, L] \to \R^2</math> для якої кривина в точці <math>p = \gamma(s), s \in [0, L] </math> є рівною <math>\kappa(s).</math>

Окрім того, дві такі криві можуть бути отримані одна з іншої за допомогою перенесення та повороту площини.

=== Кривина у просторах вищої розмірності ===
Для кривих в Евклідових просторах розмірності > 2 попередня побудова теж має зміст при <math>\ddot\gamma(s) \neq 0.</math> В цьому випадку довільні три точки в околі деякої точки <math>\gamma(s)</math> теж не належать одній прямій. При прямуванні цих точок до <math>\gamma(s)</math> в граничному випадку отримується площина визначена перпендикулярними векторами <math>\dot\gamma(s)</math> і <math>\ddot\gamma(s).</math> В ній і буде лежати граничне коло побудоване як і раніше.

В цьому випадку, проте довільна неперервна функція <math>\kappa : [0, L] \to \R</math> не визначає криву <math>\gamma(s)</math>. Для визначення кривої з точністю до [[Ізометрія (математика)|ізометричних]] [[Афінне перетворення|афінних відображень]] потрібні додаткові дані. Наприклад у випадку тривимірного простору також [[скрут кривої]] у кожній точці.

=== Визначення кривини як границі кутових функцій ===
Нехай знову ж <math>\gamma : [0, L] \to \R^n</math> деяка двічі неперервно диференційовна функція [[Параметризація (геометрія)|параметризована]] своєю довжиною. Кривину в точці <math>\gamma(s), s \in [0, L] </math> можна також визначити в інший спосіб. Нехай <math>\dot\gamma(s), \dot\gamma(s + \Delta s)</math>&nbsp;— дотичні вектори в точках з відповідними параметрами. Для параметризації довжиною вони є одиничними. Позначимо <math>\theta (s, s + \Delta s)</math>&nbsp;— кут між цими векторами. Тоді кривина рівна границі відношення цього кута до [[Довжина кривої|довжини кривої]] між двома точками. Для параметризації довжиною це можна записати як:

<math>\kappa = \lim_{\Delta s \to 0} \frac{\theta (s, s + \Delta s)}{\Delta s}.</math>

Дійсно з елементарних властивостей трикутника справедлива рівність<math>|\dot \gamma(s + \Delta s) - \dot \gamma(s)| = 2 \sin \frac{\theta (s, s + \Delta s)}{2}.  </math>

Звідси маємо

<math>\frac {|\dot \gamma(s + \Delta s) - \dot \gamma(s)|}{|\Delta s|} = \frac{\sin \frac{\theta (s, s + \Delta s)}{2}}{\frac{\theta (s, s + \Delta s)}{2}} \cdot \frac{\theta (s, s + \Delta s)}{|\Delta s|}.  </math>

При переході до границі, зважаючи на властивості синуса маємо <math>|\ddot \gamma (s)| = \lim_{\Delta s \to 0} \frac{\theta (s, s + \Delta s)}{\Delta s}.</math>

=== Формули для кривини в довільній параметризації ===
У формулі <math>\kappa=|\ddot\gamma(s)|</math> важливою є [[Параметризація (геометрія)|параметризація]] кривої її довжиною. Нехай тепер <math>\gamma(t) : [a, b] \to \R^n </math>&nbsp;— довільна параметризація. Тоді <math>s(t) : [a, b] \to [0, L] </math> є [[Бієктивна функція|бієктивна]] функція яка для двічі неперервно диференційовних кривих теж є двічі неперервно диференційовною.

Позначаючи <math>\dot\gamma_s</math> і <math>\dot\gamma_t</math> похідні по відповідних параметрах маємо <math>\dot\gamma_t = \dot\gamma_s \dot s_t </math>. Звідси <math>|\dot\gamma_t| = \dot s_t </math> і, як наслідок <math>\dot\gamma_s = \frac {\dot\gamma_t} {|\dot\gamma_t|}. </math>

Продиференціювавши останню рівність по параметру ''t'' маємо:

<math>\ddot\gamma_{ss} \dot s_t = \frac{\ddot\gamma_{tt}}{|\dot\gamma_{t}|} - \frac{(\dot\gamma_{t},\ddot\gamma_{tt})}{|\dot\gamma_{t}|^3}\dot\gamma_{t}. </math>

Взявши абсолютні значення після подальших спрощень отримується формула:

<math>\kappa^2 = \frac{|\dot\gamma|^2|\ddot\gamma|^2 - \langle\dot\gamma,\ddot\gamma\rangle^2}{|\dot\gamma|^6} </math> де всі похідні є по параметру ''t''.

Для плоских кривих записуючи в координатах <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))  </math> формула кривини має вигляд:

<math>\kappa ={\frac {|y''x'-x''y'|}{\left(x'^{2}+y'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}. </math>

Для кривих у тривимірному просторі кривину можна також записати як:

<math>\kappa=\frac{|\dot\gamma\times \ddot\gamma|}{|\dot\gamma|^3}</math>,

або в координатах <math>\gamma(t) = (x(t),y(t), z(t)): </math>

<math>\kappa ={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}} </math>

== Кривина поверхні ==
{{main|Кривина Гауса}}
Нехай <math>\Phi</math>&nbsp;— це регулярна поверхня у тривимірному [[евклідів простір|евклідовому просторі]]. Хай <math>p</math>&nbsp;— точка <math>\Phi</math>, <math>T_p</math>&nbsp;— [[дотична]] площина до <math>\Phi</math> у точці <math>p</math>, <math>n</math>&nbsp;— одинична [[Нормаль (геометрія)|нормаль]] до <math>\Phi</math> у точці <math>p</math>, а <math>\pi_e</math>&nbsp;— площина, що проходить через <math>n</math> і деякий одиничний [[вектор]] <math>e</math> в <math>T_p</math>. Крива <math>\gamma_e</math>, що виходить як перетин площини <math>\pi_e</math> з поверхнею <math>\Phi</math>, називається нормальним перетином поверхні <math>\Phi</math> у точці <math>p</math> у напрямі <math>e</math>. Величина
: <math>\kappa_e=k\cdot n</math>
де <math>\cdot</math> позначає [[скалярний добуток]], а <math>k</math>&nbsp;— '''вектор кривини''' <math>\gamma_e</math> у точці <math>p</math>, називається '''нормальною кривиною''' поверхні <math>\Phi</math> у напрямі <math>e</math>. З точністю до знаку нормальна кривина дорівнює кривині кривої <math>\gamma_e</math>.

У дотичній площині <math>T_p</math> існують два перпендикулярні напрями <math>e_1</math> і <math>e_2</math> такі, що нормальну кривину в довільному напрямі можна представити за допомогою так званої формули Ейлера:
: <math>\kappa_e=\kappa_1\cos^2\alpha+\kappa_2\sin^2\alpha</math>

де <math>\alpha</math>&nbsp;— кут між <math>e_1</math> і <math>e</math>, a величини <math>\kappa_1</math> і <math>\kappa_2</math> нормальні кривини в напрямах <math>e_1</math> і <math>e_2</math>, вони називаються '''[[головна кривина|головними кривинами]]''', а напрями <math>e_1</math> і <math>e_2</math>&nbsp;— '''головними напрямами''' поверхні в точці <math>p</math>.

Головні кривини є [[Екстремум|екстремальними значеннями]] нормальних кривин.

Структуру нормальних кривин в даній точці поверхні зручно графічно зображати за допомогою [[індикатриса Дюпена|індикатриси Дюпена]].

Величина
: <math>H=\kappa_1+\kappa_2</math>, (іноді <math>\frac{\kappa_1+\kappa_2}2</math>)
називається '''середньою кривиною''' поверхні.

Величина
: <math>K=\kappa_1\kappa_2</math>
називається '''[[Кривина Гауса|гаусовою кривиною]]''' поверхні. Гаусова кривина є об'єктом внутрішньої геометрії поверхонь, зокрема не змінюється при ізометричних вигинаннях.

== Див. також ==
* [[Кривина Гауса]]
* {{нп|Афінна кривина|||Affine curvature}}
* [[Скалярна кривина]]
* [[Поверхня]]
* [[Тензор кривини]]
* [[Форма кривини]]

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* ''Погорелов А. И.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Pogorelov1974ru.djvu Дифференциальная геометрия (6-е издание).] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141006095210/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Pogorelov1974ru.djvu |date=6 жовтня 2014 }} М.: Наука, 1974. {{Сторінка}}
* ''Рашевский П. К.'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Rashevskij1950ru.djvu Курс дифференциальной геометрии (3-е издание).] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110910171119/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Rashevskij1950ru.djvu |date=10 вересня 2011 }} М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. {{Сторінка}}
* {{citation|last=Spivak|first=Michael|title=A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II|year=1999|publisher=Publish or Perish Press|isbn=0-914098-71-3}} {{Сторінка}}

== Примітки ==
{{reflist}}

== Інтернет-ресурси ==

{{Commonscat|Curvature}}
* [https://feynmanlectures.caltech.edu/II_42.html The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 42: Curved Space]
* [https://web.archive.org/web/20071106083431/http://www3.villanova.edu/maple/misc/history_of_curvature/k.htm The History of Curvature]
* [http://www.mathpages.com/rr/s5-03/5-03.htm Curvature, Intrinsic and Extrinsic] at MathPages
{{Криві}}
{{math-stub}}
[[Категорія:Кривина (Математика)]]
[[Категорія:Диференціальна геометрія]]
[[Категорія:Ріманова геометрія]]