Перегляд вихідного коду сторінки Краса математики

[[Файл:Mandelpart2.jpg|праворуч|міні|250x250пкс|Межа [[Множина Мандельброта|множини Мандельброта]]]]
'''Краса математики'''&nbsp;— сприйняття [[Математика|математики]] як об'єкта [[Естетика|естетичної]] насолоди, подібного до музики і поезії.{{Початок цитати}}Правильний погляд на математику відкриває не тільки істину, але й бездоганну красу&nbsp;— холодну й сувору, як скульптура, відсторонену від людських слабкостей, позбавлену вигадливих вивертів живопису і музики&nbsp;— гірську кришталевість і строгу досконалість великого мистецтва. Справжній смак насолоди, захоплення, звільнення від тлінної людської оболонки&nbsp;— все це критерії вищої досконалості, які математика має нарівні з поезією.{{Oq|en|Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty—a beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show. The true spirit of delight, the exaltation, the sense of being more than man, which is the touchstone of the highest excellence, is to be found in mathematics as surely as in poetry.}}{{Кінець цитати|джерело=[[Бертран Расселл]]<ref>{{книга-ру|заглавие=Mysticism and Logic: And Other Essays |издательство=[[Longman]] |год=1919 |страницы=60 |часть=The Study of Mathematics |ссылка=https://en.wikisource.org/wiki/Mysticism_and_Logic_and_Other_Essays/Chapter_04 |ref=Russell |автор=[[Бертран Расселл|Russell, Bertrand]] }}</ref>}}

== Краса методу ==
Математики часто називають ''елегантним'' метод [[доведення]], який має одну або декілька з таких властивостей:

* Мінімум початкових постулатів або попередніх результатів.
* Гранична лаконічність.
* Незвичність побудови (наприклад, за допомогою теорем з іншої галузі математики).
* Використання нових, оригінальних ідей.
* Можливість узагальнення для розв'язання схожих задач.

У пошуках елегантного доведення математики використовують найрізноманітніші способи розв'язування задачі, оскільки перше знайдене доведення не обов'язково є найкращим. Рекордсменом за кількістю доведень (кілька сотень) є, ймовірно, [[теорема Піфагора]].<ref>Еліша Скотт Луміс зібрав у своїй книзі «Піфагорейська гіпотез» (ISBN 0-873-53036-5) більше 360 доведень.</ref> Інша відома теорема, доведена багатьма способами&nbsp;— [[квадратичний закон взаємності]], для якої тільки [[Карл Фрідріх Гаусс]] опублікував 8 доведень, заснованих на абсолютно різних ідеях. На противагу елегантному, логічно коректне доведення з використанням трудомістких обчислень, надскладних методів, традиційних підходів, значного числа аксіом або доведень інших теорем називають ''грубим'' або ''незграбним''.

== Краса розв'язку ==
Деякі математики<ref>{{Citation|last=Rota|year=1997|title=The phenomenology of mathematical beauty|page=173}}</ref> вважають красивим розв'язок задачі, що встановлює зв'язок між галузями математики, які раніше вважалися непов'язаними. Такий результат часто називають ''глибоким''. Одним з найвідоміших прикладів є [[тотожність Ейлера]]:<ref name="Gallagher2014">{{Цитата:Новини|last=Gallagher|first=James|title=Mathematics: Why the brain sees maths as beauty|url=http://www.bbc.co.uk/news/science-environment-26151062|accessdate=2014-02-13|work=BBC News online|date=2014-02-13|archive-date=28 січня 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210128055405/https://www.bbc.co.uk/news/science-environment-26151062}}</ref>

: <math>\displaystyle e^{i \pi} + 1 = 0\, .</math>

Цей особливий випадок формули Ейлера фізик [[Річард Філіпс Фейнман|Річард Фейнман]] назвав «нашим скарбом» і «найчудовішою формулою математики».<ref>{{Книга
|заголовок = The Feynman Lectures on Physics
|том = I
|видавництво = [[Addison-Wesley]]
|рік = 1977
|ISBN = 0-201-02010-6
|сторінки = 22—10
|ref = Feynman
|автор = Feynman, Richard P.
}}</ref> [[Теорема про модулярність]], за доведення якої [[Ендрю Джон Вайлс|Ендрю Вайлс]] і [[Роберт Ленглендс]] отримали [[Премія Вольфа|премію Вольфа]], встановлює важливий взаємозв'язок між [[Еліптична крива|еліптичними кривими]] і модулярними формами. [[Monstrous moonshine|Гіпотеза жахливої нісенітниці]] ({{lang-en|monstrous moonshine}}) пов'язує [[Проста група|просту скінченну групу]] [[Монстр (група)|монстр]] із [[Модулярна форма|модулярними функціями]] через [[Теорія струн|теорію струн]]&nbsp;— результат, за який [[Річард Евен Борхердс|Річарда Борхердса]] нагороджено [[Медаль Філдса|Філдсівською премією]].

Глибоким результатом також є виявлення несподіваних аспектів математичних структур. Наприклад, ''[[Theorema Egregium]]'' Гаусса&nbsp;— основна теорема теорії поверхонь&nbsp;— встановлює зв'язок між локальним явищем ([[Кривина Гаусса|кривиною]]) і глобальним ([[Площа|площею]]). Зокрема, площа трикутника на викривленій поверхні пропорційна його [[Сферичний надлишок|надлишку]], причому коефіцієнт пропорційності визначається кривиною. Інший приклад&nbsp;— [[Формула Ньютона — Ляйбніца|основна теорема аналізу]] (і її векторні варіанти, серед яких [[теорема Гріна]] і [[теорема Стокса]]).

Протилежністю ''глибокому'' результату є ''тривіальний''. До таких можна віднести результати, що безпосередньо випливають з інших відомих результатів або застосовні тільки до специфічних об'єктів, таких як [[порожня множина]]. Втім, можливі випадки, коли формулювання теореми може бути досить оригінальним, щоб вважатися глибокою, навіть якщо її доведення цілком очевидне.

У книзі «{{Нп|Апологія математика|||A Mathematician's Apology}}<nowiki/>» [[Ґодфрі Гарольд Гарді|Годфрі Гарді]] припускає, що гарне доведення або результат повинні володіти «''несподіванкою в поєднанні з непохитністю й економічністю''».<ref>{{Книга
|заголовок = A Mathematician's Apology
|частина = 18
|автор = Hardy, G.H.
}}</ref> ''Несподіванка'' була важливим моментом багатьох математичних результатів [[Срініваса Рамануджан|Срініваси Рамануджана]].

Італійський математик Джан-Карло Рота, проте, не визнає несподіванку достатньою умовою краси, наводячи такий [[контрприклад]]:
{{quote|Дуже багато математичних теорем виявлялися несподіваними після їх опублікування; наприклад, близько двадцяти років тому ''(в 1957 році - прим.)'' доведення існування нееквівалентних диференційовних структур на сферах великої розмірності здавалося несподіваним, але нікому б і в голову не прийшло назвати цей факт красивим ні тоді, ні зараз.<ref>{{citation|last = Rota|title=The phenomenology of mathematical beauty|year = 1997|page = 172}}</ref>}}

М.&nbsp;І.&nbsp;Монастирський з легкою іронією пише:{{quote|Дуже важко знайти в минулому винаходи, аналогічні [[Джон Мілнор|мілноровим]] вражаючим конструкціям різних диференціальних структур на семивимірній сфері... Первісне доведення Мілнора було не дуже конструктивним, однак Е. Бріскорн показав, що такі структури можна описати в досить наочній і красивій формі.<ref>{{citation|last = Monastyrsky|title=Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal|year = 2001}}</ref>}}

Ця розбіжність у думках ілюструє як суб'єктивність сприйняття математичної краси, так і її зв'язок з результатом: доведення існування екзотичних сфер справляє менше враження, ніж реалізація їх моделей.

== Відчуття краси ==
[[Файл:Compound_of_five_cubes.png|міні|222x222пкс|«Холодна суворість» складеного многогранника]]
Інтерес до [[Чиста математика|чистої математики]], відмінний від емпіричних досліджень, відзначається в [[Історія математики|багатьох цивілізацій]], як от у [[Давньогрецька математика|давньогрецької]], де «''математикою займалися заради її краси''»<ref>Lang, p. 3</ref>. Проте, математичну красу можна відчути й за межами чистої математики. Наприклад, фізики отримують естетичну насолоду від [[Загальна теорія відносності|загальної теорії відносності]] Ейнштейна, яку [[Поль Дірак]] пояснював її «''великою математичною красою''»<ref>Chandrasekhar, p. 148</ref>.

Нерідко математики розробляли нову галузь математики, яка спочатку не мала практичного застосування, але через певний час фізики помічали, що ці абстрактні математичні обчислення відбивають результати їхніх спостережень. Наприклад, [[теорія груп]], розроблена на початку 1800-х років, єдиною метою якої була можливість розв'язання [[Алгебричне рівняння|поліноміальних рівнянь]], виявилася найбільш підхожим способом категоризації елементарних частинок&nbsp;— будівельних блоків матерії. Так само сталося і з [[Теорія вузлів|теорією вузлів]], де вузол розглядався лише як математичний об'єкт, але пізніше вона зробила значний внесок у [[Теорія струн|теорію струн]] і [[Петльова квантова гравітація|теорію петльової квантової гравітації]].

Отримання задоволення від маніпулювання [[Число|числами]] і [[символ]]ами вимагає певного залучення в заняття математикою, тому будь-яке технологічне суспільство, що використовує цей надзвичайно корисний інструмент, неминуче відкриває її естетичний аспект. Пасивне ж спостереження не дозволяє оцінити всю силу математичної краси, оскільки її реципієнтами не є аудиторія або глядач у їх класичному розумінні<ref>{{Книга
|заголовок = Mathematics Is Not a Spectator Sport
|видавництво = [[Springer Science+Business Media]]
|рік = 2005
|частина = Preface
|ISBN = 0-387-25528-1
|ref = Phillips
|автор = Phillips, George
}}</ref>. Бертран Рассел називав красу математики суворою.

== Прояви прекрасного в математиці ==
[[Френсіс Гатчесон]] у «Дослідженні про походження наших ідей краси і чесноти у двох трактатах» (1725) виділив такі характеристики естетичної краси математики:

* єдність у різноманітті;
* ідеал загальності наукових істин;
* набуття неочевидної істини, здогадки про яку вимагають доведень<ref>[[Лур'є Леонід Ізраїлевич|Л.&nbsp;И.&nbsp;Лурье]]. Математическое образование в пространстве эстетического опыта // Образование и наука (Известия уральского отделения Российской академии образования).&nbsp;— 2006.&nbsp;— №&nbsp;6 (42).&nbsp;— С 120.</ref>.

== Можливі пояснення краси математики ==
[[Файл:Julia_set_(highres_01).jpg|міні|206x206пкс|Одна з [[Множина Жуліа|множин Жуліа]]]]
[[Пал Ердеш]] вважав так: коли розв'язок задачі був правильним, але здавався йому негарним, недостатньо витонченим і лаконічним, він зазвичай говорив: «Чудово, але давайте пошукаємо доведення з Книги» (тобто ідеального, платонічного збірника всіх математичних результатів, відомих і невідомих)<ref>{{Cite web |url=https://www.youtube.com/watch?v=zRNGV85kPbI |title=N is a number (фільм про Ердеша |accessdate=15 січня 2021 |archive-date=22 січня 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210122042347/https://www.youtube.com/watch?v=zRNGV85kPbI }}</ref>. Таким чином, усе записане в Книзі і математики лише читають її. Послідовники Ердеша {{Нп|Мартін Айгнер||ru|Айгнер, Мартин}} і {{Нп|Ґюнтер Ціглер||ru|Циглер, Гюнтер}} опублікували книгу «[[Доведення з Книги]]»<ref>Айгнер М., Циглер Г. Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времен Евклида до наших дней. М.: Мир, 2006. 256 с., ил. ISBN 5-03-003690-3</ref>, яка за п'ять років витримала три перевидання і була перекладена декількома мовами.

== Краса і філософія ==
Дехто з математиків дотримується думки, що досягнення їхньої науки можна з більшим правом називати не винаходом, а відкриттям, яке, за своїм змістом, ближче до відшукання:{{Початок цитати}}Ви не знайдете дослідника, поета, художника, музиканта, який не скаже, що знайшов своє відкриття, вірш або картину готовими&nbsp;— що вони прийшли ззовні, а не були створені ним усвідомлено зсередини.{{Oq|en|There is no scientific discoverer, no poet, no painter, no musician, who will not tell you that he found ready made his discovery or poem or picture – that it came to him from outside, and that he did not consciously create it from within.}}{{Кінець цитати|джерело=[[Вільям Кінгстон Кліффорд]], із лекції в Королівському інституті на тему «Деякі умови розвитку мислення»}}
Крім того, математики, які дотримуються подібної точки зору, вважають, що докладні і точні результати математики можна справедливо вважати істинними незалежно від будови [[Всесвіт]]у, в якому ми живемо. Наприклад, вони стверджують, що теорія [[Натуральне число|натуральних чисел]] обґрунтована так, що принципово не вимагає конкретного контексту розгляду. Найрадикальніші з них приписують математичній красі абсолютну істинність, тим самим тяжіючи до містицизму.

[[Піфагореїзм|Піфагорійці]] вірили в буквальну реальність чисел. Тому відкриття [[Ірраціональні числа|ірраціональних чисел]] стало тим більше для них дивним, оскільки можливість відношення двох натуральних чисел вони вважали свідченням недосконалості природи, невимовним&nbsp;— алогос (піфагорійський світогляд нічого не говорив про границі нескінченних послідовностей відношень натуральних чисел). Із сучасної точки зору такий містичний підхід, що передбачав єдність і нероздільність чисел і геометричних об'єктів, можна назвати [[Нумерологія|нумерологією]].

У філософії [[Платон]]а існували два світи: світ речей, у якому ми живемо, і світ ідей, які необхідні для існування реального світу. У світ ідей входили також математичні ідеї.

Угорський математик [[Пал Ердеш]] вірив в існування уявної книги, в якій бог записав усі найпрекрасніші математичні доведення. І коли Ердеш хотів висловити захоплення доведенням, він вигукував: «О, це з Книги!».

Французький філософ XX століття [[Ален Бадью]] стверджує, що онтологія за своєю природою математична, оскільки математика може помислити множину як таку, а буття є непостійна множинність.

Дуже часто філософи-натуралісти й інші вчені, що широко користуються математичним методом, робили безпідставні висновки про зв'язок краси з істиною, які згодом виявлялися помилковими. Наприклад, на одному етапі свого життя [[Йоганн Кеплер]] вважав, що пропорції орбіт відомих у його час планет [[Сонячна система|Сонячної системи]] встановлені Богом у відповідності з концентричним розташуванням [[Правильний многогранник|п'яти платонівських тіл]] так, що кожна з орбіт одночасно розташована на сфері [[Описана сфера|описаній]] навколо одного многогранника і [[Вписана сфера|вписаній]] в наступний.

== Краса і математична теорія інформації ==
У 1970-х роках [[Абраам Моль]] і {{Нп|Фрідер Наке||en|Frieder Nake}} проаналізували зв'язок між красою, обробкою інформації та теорією інформації.<ref>A. Moles: ''Théorie de l'information et perception esthétique'', Paris, Denoël, 1973 ([[Теорія інформації|Information Theory]] and aesthetical perception)</ref><ref>F Nake (1974). Ästhetik als Informationsverarbeitung. ([[Естетика|Aesthetics]] as information processing). Grundlagen und Anwendungen der Informatik im Bereich ästhetischer Produktion und Kritik. Springer, 1974, {{isbn|3-211-81216-4}}, {{isbn|978-3-211-81216-7}}</ref> У 1990-х роках [[Юрген Шмідхубер]] сформулював математичну теорію, яка залежить від спостерігача і його суб'єктивного бачення краси, на основі [[Алгоритмічна теорія інформації|алгоритмічної теорії інформації]]: найгарніші об'єкти серед тих, що суб'єкту здаються порівнянними між собою, мають короткі алгоритмічні описи, (тобто [[Колмогоровська складність|складність Колмогорова]]), і відносяться до того, що спостерігач вже знає.<ref>J. Schmidhuber. {{li|Мистецтво низької складності|Low-complexity art|Q6692726}}. {{li|Леонардо (науковий журнал)|Leonardo|Q3229697}}, Journal of the International Society for the Arts, Sciences, and Technology ({{li|Леонардо, міжнародне товариство з мистецтва, наук та технології|Leonardo/ISAST|Q55616763}}), 30(2):97–103, 1997. {{doi|10.2307/1576418}}. {{JSTOR|1576418}}.</ref><ref>J. Schmidhuber. Papers on the theory of beauty and {{li|Мистецтво низької складності|low-complexity art|Q6692726}} since 1994: http://www.idsia.ch/~juergen/beauty.html</ref><ref>J. Schmidhuber. Simple Algorithmic Principles of Discovery, Subjective Beauty, Selective Attention, Curiosity & Creativity. Proc. 10th Intl. Conf. on Discovery Science (DS 2007) pp. 26–38, LNAI 4755, Springer, 2007. Also in Proc. 18th Intl. Conf. on Algorithmic Learning Theory (ALT 2007) p. 32, LNAI 4754, Springer, 2007. Joint invited lecture for DS 2007 and ALT 2007, Sendai, Japan, 2007. {{arXiv|0709.0674}}.</ref> При цьому Шмідхубер проводить чітку межу між красивим і цікавим. Останнє відповідає першій похідній суб'єктивно сприйманої краси: спостерігач постійно намагається збільшити передбачуваність і стиснути спостережувані дані, виявляючи такі закономірності як повторення і симетрію, фрактальну самоподібність. Однак, щоразу коли процес навчання спостерігача (для цього можна використовувати прогнозувальну [[Штучна нейронна мережа|штучну нейронну мережу]]) дозволяє краще стиснути дані, тобто нинішнє спостереження можна описати меншою кількістю бітів, ніж попереднє, і відрізок часу, на якому спостерігач виявляє зацікавленість, відповідає коефіцієнту успішного стиснення і пропорційний власній винагороді спостерігача за свою цікавість, йдеться про цікаве, а не про красиве.<ref>{{cite conference|first=J.|last=Schmidhuber|title=Curious model-building control systems|conference=International Joint Conference on Neural Networks|location=Singapore|volume=2|pages=1458–1463|publisher=IEEE press|date=1991|doi=10.1109/IJCNN.1991.170605}}</ref><ref>Schmidhuber's theory of beauty and curiosity in a German TV show: http://www.br-online.de/bayerisches-fernsehen/faszination-wissen/schoenheit--aesthetik-wahrnehmung-ID1212005092828.xml {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080603221058/http://www.br-online.de/bayerisches-fernsehen/faszination-wissen/schoenheit--aesthetik-wahrnehmung-ID1212005092828.xml|date=3 червня 2008}}</ref>

== Див. також ==
* {{Нп|Апологія математика|||A Mathematician's Apology}}
* [[Історія математики]]
* [[Давньогрецька математика]]
* [[Математика та мистецтво]]
* [[Математика та архітектура]]
* [[Фрактал]]

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Література ==
* [[Ґодфрі Гарольд Гарді|Г.&nbsp;Х.&nbsp;Харди]]. {{Нп|Апологія математика|||A Mathematician's Apology}} (Перевод с английского Ю.&nbsp;А.&nbsp;Данилова).&nbsp;— Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000, 104 с. ISBN 5-89806-035-9
* [[Успенський Володимир Андрійович|Успенский В. А.]] Апология математики. М: [[Амфора (видавництво)|Амфора]], 2009.
* Дуран А. Поэзия чисел. Прекрасное и математика. / Пер. с исп. М: [[Де Агостіні|Де Агостини]], 2014, 160 с. ISBN 978-5-9774-0682-6, ISBN 978-5-9774-0722-9.
* Пайтген Х.-О., Рихтер П.&nbsp;Х.&nbsp;Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. / Пер. с нем. М., [[Мир (видавництво)|Мир]], 1993, 208 с. ISBN 5-03-001296-6.
* [[Мартін Айгнер|Aigner, Martin]], and [[Ґюнтер Ціглер|Ziegler, Gunter M.]] (2003), ''Proofs from THE BOOK,'' 3rd edition, Springer-Verlag (есть русский перевод).
* [[Субрахманьян Чандрасекар|Chandrasekhar, Subrahmanyan]] (1987), ''Truth and Beauty: Aesthetics and Motivations in Science,'' University of Chicago Press, Chicago, IL.
* [[Жак Соломон Адамар|Hadamard, Jacques]] (1949), ''The Psychology of Invention in the Mathematical Field,'' 1st edition, Princeton University Press, Princeton, NJ. 2nd edition, 1949. Reprinted, Dover Publications, New York, NY, 1954.
* [[Ґодфрі Гарольд Гарді|Hardy, G.H.]] (1940), ''A Mathematician's Apology'', 1st published, 1940. Reprinted, [[Чарлз Персі Сноу|C.P. Snow]] (foreword), 1967. Reprinted, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1992.
* Hoffman, Paul (1992), ''The Man Who Loved Only Numbers'', Hyperion.
* Huntley, H.E. (1970), ''The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty'', Dover Publications, New York, NY.
* Loomis, Elisha Scott (1968), ''The Pythagorean Proposition'', The National Council of Teachers of Mathematics. Contains 365 proofs of the Pythagorean Theorem.
* [[Серж Ленг|Lang, Serge]] (1985). [https://books.google.com/books?id=U_HITkWziLwC&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false ''The Beauty of Doing Mathematics: Three Public Dialogues''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210121012240/https://books.google.com/books?id=U_HITkWziLwC&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false |date=21 січня 2021 }}. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96149-6.
* Peitgen, H.-O., and Richter, P.H. (1986), ''The Beauty of Fractals'', Springer-Verlag.
* Reber, R., Brun, M., & Mitterndorfer, K. (2008). The use of heuristics in intuitive mathematical judgment. ''Psychonomic Bulletin & Review'', ''15'', 1174—1178.
* Strohmeier, John, and Westbrook, Peter (1999), ''Divine Harmony, The Life and Teachings of Pythagoras'', Berkeley Hills Books, Berkeley, CA.
* {{Стаття|title=The phenomenology of mathematical beauty|видання={{Нп3|Synthese}}|том=111|номер=2|pages=171—182|doi=10.1023/A:1004930722234|ref=Rota|language=en|author=Rota, Gian-Carlo|date=1997|тип=journal}}
* {{Стаття|title=Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal|видання=Can. Math. Soc. Notes|том=33|номер=2 and 3|url=http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedal_Monastyrsky.pdf|ref=Monastyrsky|language=en|тип=journal|author=Monastyrsky, Michael|date=2001|accessdate=15 січня 2021|archivedate=13 серпня 2006|archiveurl=https://web.archive.org/web/20060813224844/http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedal_Monastyrsky.pdf}}

== Посилання ==
* [http://www.the-athenaeum.org/poetry/detail.php?id=80 Edna St. Vincent Millay (poet): ''Euclid alone has looked on beauty bare''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071006083443/http://www.the-athenaeum.org/poetry/detail.php?id=80 |date=6 жовтня 2007 }}
* [[Теренс Тао|Terence Tao]], [http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/Expository/goodmath.dvi ''What is good mathematics?''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070216163051/http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/Expository/goodmath.dvi |date=16 лютого 2007 }}
* [http://regiomontan.ru/ ''Математика як мистецтво''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210121061215/http://regiomontan.ru/ |date=21 січня 2021 }}
* [http://www.nybooks.com/articles/archives/2013/dec/05/mathematical-romance/ ''A Mathematical Romance''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150906044800/http://www.nybooks.com/articles/archives/2013/dec/05/mathematical-romance/ |date=6 вересня 2015 }} Jim Holt, December 5, 2013 issue of [[The New York Review of Books]] review of ''Love and Math: The Heart of Hidden Reality'' by [[Едвард Френкель|Edward Frenkel]]

{{Бібліоінформація}}

[[Категорія:Естетика]]
[[Категорія:Філософія математики]]
[[Категорія:Математика та культура]]