Перегляд вихідного коду сторінки Корінь (математика)

{{short description|Арифметична дія, обернена до n-го степеня}}
''Це стаття про добування коренів. Див. також [[Корінь функції]] та [[Радикал цілого числа]]''.

[[Файл:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|міні]]
'''Корінь <math>n</math>-го степеня''' із числа <math>a</math> визначається<ref>{{книга |частина=Корень |заголовок=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |місце=М. |рік=1982 |том=3 |посилання=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu |видавництво=[[Велика російська енциклопедія (видавництво)|Советская Энциклопедия]] }}</ref> як таке число <math>b</math>, що <math>~b^n=a.</math> Тут <math>n</math>&nbsp;— [[натуральне число]], що зветься '''показником кореня''' (або степенем кореня); як правило, воно більше або дорівнює 2, тому що випадок <math>n=1</math> є тривіальним (звичайним). Добування кореня є протилежною математичною операцією до операції [[Піднесення до степеня|піднесення числа в степінь]].

Позначення: <math>b=\sqrt[n]{a},</math> символ ([[знак кореня]]) в правій частині називається '''радикалом'''. Число <math>a</math> ('''підкореневий вираз''') найчастіше [[Дійсне число|дійсне]] або [[Комплексне число|комплексне]].

Приклади для дійсних чисел:
* <math>\sqrt[2]{9}=\pm 3,</math> тому що <math>{(\pm 3)}^2=9.</math>
* <math>\sqrt[3]{\ 64}=4,</math> тому що <math>4^3=64.</math>
* <math>\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3},</math> тому що <math>\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}.</math>
Як видно з першого прикладу, у дійсного кореня можуть бути два значення (додатнє і від'ємне), і це ускладнює роботу з коренем. Щоб забезпечити однозначність, вводиться поняття '''арифметичного кореня''', значення якого завжди невід'ємне, в першому прикладі це число <math>3.</math>

== Означення та пов'язані поняття ==
{{Результати обчислення}}
Крім наведеного вище, можна дати два рівносильних означення кореня<ref>[[Сканаві Марк Іванович|М.&nbsp;И.&nbsp;Сканави]]. Элементарная математика. п.1.11, стр.49.</ref>:
* '''Коренем <math>n</math>-го степеня''' із числа <math>a</math> є розв'язок <math>x</math> рівняння <math>~x^n=a</math> (відзначимо, що розв'язків може бути кілька або жодного);
* '''Коренем <math>n</math>-го степеня''' із числа <math>a</math> є [[корінь многочлена]] <math>x^n-a,</math> тобто значення <math>x</math>, при якому зазначений многочлен дорівнює нулю.

[[Файл:Function with two values 1.svg|міні|Графік значень [[Квадратний корінь|квадратного кореня]]]]
Операція обчислення <math>\sqrt[n]{a}</math> називається «'''добуванням кореня''' <math>n</math>-го степеня» із числа <math>a</math>. Це одна з двох операцій, обернених [[Піднесення до степеня|піднесенню до степеня]],{{sfn|Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике|1978|с=64}} а саме&nbsp;— знаходження основи степеня <math>b</math> за відомим показником <math>n</math> і результатом піднесення до степеня <math>a=b^n</math>. Друга обернена операція, [[логарифм]]ування, знаходить показник степеня за відомою основою та результатом.

Корені другого і третього степеня використовуються особливо часто і тому мають спеціальні назви.{{sfn|Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике|1978|с=64}}
* [[Квадратний корінь]]: <math>\sqrt{a}.</math> У цьому випадку показник степеня 2 зазвичай опускається, а термін «корінь» без вказівки степеня найчастіше позначає квадратний корінь. Геометрично <math>\sqrt{a}</math> можна розглядати як довжину сторони [[квадрат]]а, площа якого дорівнює <math>a</math>.
* [[Кубічний корінь]]: <math>\sqrt[3]{a}.</math> Геометрично <math>\sqrt[3]{a}</math>&nbsp;— це довжина [[Багатогранник|ребра]] [[куб]]а, об'єм якого дорівнює <math>a</math>.

== Корені з дійсних чисел ==
Корінь <math>n</math>-го степеня із дійсного числа <math>a</math>, в залежності від [[Парність (математика)|парності]] <math>n</math> і знака <math>a</math>, може мати від 0 до 2 дійсних значень.

=== Загальні властивості ===
* Корінь '''непарного''' степеня із '''додатного''' числа&nbsp;— '''додатне''' число, однозначно визначене.
<center>
{| class="wikitable"
|-
| <math>\sqrt[n]{a} = b</math>,{{nbsp|3}}де{{nbsp|3}}<math>a, b > 0, \ n \in \mathbb{N},</math>{{nbsp|3}}<math>n</math>&nbsp;— непарне
|}</center>
: Наприклад, <math>\sqrt[3]{125} = 5, \ \sqrt[5]{32} = 2, \ \sqrt[15]{1} = 1</math>

* Корінь '''непарного''' степеня із '''від'ємного''' числа&nbsp;— '''від'ємне''' число, однозначно визначене.
<center>
{| class="wikitable"
|-
| <math>\sqrt[n]{a} = b</math>,{{nbsp|3}}де{{nbsp|3}}<math>a, b < 0,\ n \in \mathbb{N},</math>{{nbsp|3}}<math>n</math>&nbsp;— непарне
|}</center>
: Наприклад, <math>\sqrt[3]{-8} = -2, \ \sqrt[5]{-243} = -3, \ \sqrt[7]{-1} = -1</math>

* Корінь '''парного''' степеня із '''додатного''' числа має '''два значення''' з протилежними знаками, але рівні за модулем.
<center>
{| class="wikitable"
|-
| <math>\sqrt[n]{a} = \pm b</math>,{{nbsp|3}}де{{nbsp|3}}<math>a, b > 0,\ n \in \mathbb{N},</math>{{nbsp|3}}<math>n</math>&nbsp;— парне
|}</center>
: Наприклад, <math>\sqrt{4} = \pm 2, \ \ \sqrt[4]{81} = \pm 3, \ \ \sqrt[10]{1024} = \pm 2</math>

* Корінь '''парного''' степеня із '''від'ємного''' числа '''не існує''' у області дійсних чисел, оскільки при піднесенні будь-якого дійсного числа до степеня з парним показником результатом буде невід'ємне число. Нижче буде показано, як знаходити такі корені в ширшій системі&nbsp;— [[Комплексне число|множині комплексних чисел]] (тоді значеннями кореня будуть <math>n</math> комплексних чисел).
<center>
{| class="wikitable"
|-
| <math>\sqrt[n]{a}</math>{{nbsp|3}}не існує, якщо{{nbsp|3}}<math>a < 0,\ n \in \mathbb{N},</math>{{nbsp|3}}<math>n</math>&nbsp;— парне
|}</center>

* Корінь будь-якого натурального степеня від нуля&nbsp;— нуль.
<center>
{| class="wikitable"
|-
| <math>\sqrt[n]{0} = 0,</math>{{nbsp|3}}де{{nbsp|3}}<math>n \in \mathbb{N}</math>
|}</center>

[[Файл:Função raiz quadrada.png|мини|280px|Графік функції арифметичного квадратного кореня]]

=== Арифметичний корінь ===
Корені парного степеня визначені, взагалі кажучи, неоднозначно, і цей факт створює незручності при їх використанні. Тому було введено практично важливе обмеження цього поняття<ref>{{книга |частина=Арифметический корень |заголовок=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |місце=М. |рік=1982 |том=1 |посилання=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t1.djvu |видавництво=[[Велика російська енциклопедія (видавництво)|Советская Энциклопедия]] }}</ref>.

'''Арифметичний корінь <math>n</math>-го степеня''' з невід'ємного дійсного числа <math>a</math>&nbsp;— це таке невід'ємне число <math>b</math>, що <math>~b^n=a.</math> Позначається арифметичний корінь тим же знаком радикала.

Таким чином, арифметичний корінь, на відміну від раніше визначеного (''алгебраїчного''<ref>Алгебричний (багатозначний) корінь у джерелах часто називають просто коренем.</ref>), визначається лише для невід'ємних дійсних чисел, а його значення завжди існує, однозначно{{sfn |Фіхтенгольц|2024|loc=Т. I, С. 35—36 в {{ref-ru}} 1966}}{{уточнити|сторінки|дата=червень 2024}} і невід'ємне. Наприклад, квадратний корінь з числа <math>4</math> має два значення: <math>2</math> та <math>-2</math>, з них арифметичним є перше.
: ''Оскільки арифметичний корінь і алгебраїчний позначаються одним і тим же символом, але є різними об'єктами, в рамках даної статті арифметичний корінь позначається синім кольором, а алгебраїчний&nbsp;— чорним.''

=== Алгебраїчні властивості ===
Наведені нижче формули вірні, перш за все, для арифметичних коренів будь-якого степеня, у яких знак радикала виділений синім кольором (крім особливо обумовлених випадків). Вони справедливі також для коренів непарного степеня, у яких допускаються і від'ємні підкореневі вирази{{sfn |Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике|1978|с=141—143|name=VYG141 }}.
            
* Взаємоскорочення кореня і степеня<ref>Алгебра и начала анализа. Учебник для 10—11 классов, под ред. А.&nbsp;Н.&nbsp;Колмогорова. М.: Просвещение, 2002, С. 209.</ref>&nbsp;— для непарного <math>n</math>: {{nbsp|3}}<math>~\sqrt[n]{a^n} = a</math>, для парного <math>n</math>: {{nbsp|3}}<math>~{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a^n}}} = |a|</math>
* Якщо <math>a<b</math>, то і <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a}}} < {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{b}}}</math>
Корінь з добутку дорівнює добутку коренів із співмножників:
* <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{ab}}} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a}}} {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{b}}}</math>
Аналогічно для ділення:
* <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{\frac {a} {b}}}} = \frac{{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black} {a}}}} {{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{b}}}},\; b\ne 0 </math>
Наступна рівність є означенням піднесення у дробову степінь{{sfn|Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике|1978|с=183}}:
* <math>a^{m/n} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a^m}}} = \left({\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a}}}\right)^m = \left(a^{1/n}\right)^m</math>
Величина кореня не зміниться, якщо його показник і степінь підкореневого виразу розділити на їх спільний множник:
* <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}nk}] {\color{black}{a^{mk}}}} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a^m}}}, \; n,k \in \mathbb N.</math> Приклад: <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}6}] {\color{black}{64}}}={\color{blue}\sqrt[{\color{black}{2\cdot 3}}] {\color{black}{4^3}}} = {\color{blue}\sqrt {\color{black}{4}}} = 2</math>
* <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{blue}\sqrt[{\color{black}k}] {\color{black} {a}}}} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}nk}] {\color{black}{a}}}, \; n,k \in \mathbb N</math>
Для коренів непарного степеня є додаткова властивість:
* <math>\sqrt[n]{-a} = - \sqrt[n]{a},\quad n -</math> непарне.

=== Добуток кореня та піднесення до степеня ===
{{main|Піднесення до степеня}}
Операція [[піднесення до степеня]] спочатку була введена як скорочений запис операції множення натуральних чисел: <math>~m^n={\color{Gray}\underbrace{\color{Black}m\cdot m\cdot\dots\cdot m}_{\color{Black}n}}</math>. Наступним кроком було визначення піднесення в довільну цілу, в тому числі від'ємну, степінь: <math>~m^{-n}=\frac{1}{m^n}.</math>

Операція здобування арифметичного кореня дозволяє визначити піднесення додатнього числа в будь-яку раціональну (дробову) степінь:{{sfn|Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике|1978|с=183}}
: <math>a^{\frac{m}{n}} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a^m}}},\quad>0</math>
При цьому чисельник <math>m</math> дробу <math>\frac{m}{n}</math> може мати знак. Властивості розширеної операції переважно аналогічні піднесенню до цілого степеня.

Це визначення означає, що витяг кореня та зворотне до нього зведення в степінь фактично об'єднуються в одну алгебраїчну операцію. Зокрема:
: <math>~{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{a}}} = a^{\frac{1}{n}}</math>
Спроби зведення в раціональну степінь негативних чисел можуть привести до помилок, оскільки значення алгебраїчного кореня неоднозначне, а [[область значень]] арифметичного кореня обмежена невід'ємними числами. Приклад можливої помилки:
: <math>-1 = (-1)^{2\ \cdot\ \frac{1}{2}} = \left({(-1)^2}\right)^\frac{1}{2}=1^\frac{1}{2}={\color{blue}\sqrt{\color{black}1}}= 1</math>

=== Функція кореня ===
<gallery caption="Графіки функцій кореня" widths="300" heights="290">
Файл:Función raíz 1.png|Функції кореня та зворотні до них [[Ступенева функція|статичні функції]] на інтервалі <math>[0; \ 1]</math>
Файл:Función raíz 2.png|функції кореня:<br> — арифметичний, парні степені 2,&nbsp;4,&nbsp;6<br> — загальний, непарні степені 3,&nbsp;5,&nbsp;7 
</gallery>
Якщо розглядати підкорінний вираз як змінну, ми отримаємо функцію кореня <math>n</math>-го степеня: <math>y=\sqrt[n] x</math>. 

Функція кореня належить до категорії [[Алгебраїчна функція|алгебраїчних функцій]]. 

Графік функції кореня будь-якого степеня проходить через початок координат та точку <math>(1; \ 1)</math>.

Як сказано раніше про корінь парного степеня, щоб забезпечити однозначність функції його, він повинен бути арифметичним, так що аргумент <math>x</math> невід'ємний. Функція кореня непарного степеня однозначна та існує для будь-якого дійсного значення аргументу.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Тип функції кореня!! Область визначення!! Область значень!! Інші властивості
|-
|парні степені||<math>[0; \ +\infty)</math>||<math>[0; \ +\infty)</math>||Функція [[Опукла функція|опукла вгору]] на всій області визначення
|-
|непарні степені||<math>(-\infty; +\infty)</math>||<math>(-\infty; +\infty)</math>||функція [[Непарна функція|непарна]]
|}

Для будь-якого степеня функція кореня строго зростає, [[Неперервна функція|неперервна]] усюди всередині своєї області визначення. Необмежено [[Диференційовна функція|диференційована]] усюди, крім початку координат, де [[похідна]] набуває значення [[Нескінченність|нескінченності]]{{sfn|Мордкович А. Г.|2003|с=236 — 238}}. 

Похідна функції кореня визначається за формулою{{sfn|Фіхтенгольц|2024|loc=С. 215 в {{ref-ru}} 1966}}{{уточнити|сторінку|дата=червень 2024}}:
: <math>\frac {d}{dx} \sqrt[n]{x} = \frac {1} {n\sqrt[n]{x^{n-1}}}</math>. Зокрема, <math>\frac {d}{dx} \sqrt{x} = \frac {1} {2\sqrt{x}}</math>.
Функція необмежено [[Методи інтегрування|інтегрована]] на всій області визначення. [[Невизначений інтеграл]] можливо знаходити за формулою:
: <math>\int \sqrt[n]{x} \;dx =  \frac{\sqrt[n]{x^{n+1}}}{1+\frac{1}{n}} + C</math>. 
: Зокрема, <math>\int \sqrt{x} \;dx = \frac{2 \sqrt{x^3}}{3} + C</math>, де <math>C</math>&nbsp;— довільна [[Константа|стала]].

{{Hidden begin
|border=1px solid silver;
|title='''''Необмежені диференційовність та інтегровність функції'''''
|titlestyle=background:#C0C0C0;
}}
* Формула знаходження [[Похідна|похідної <math>k</math>-го порядку]]{{sfn|Фіхтенгольц|2024|loc=Т. I, С. 233 в {{ref-ru}} 1966, окремий випадок для ''μ''&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;/&nbsp;''n''}}{{уточнити|сторінку|дата=червень 2024}} функції <math>\sqrt[n]{x}</math>:

{|class="wikitable"
|-
|<math>\frac {d^k}{dx^k} \sqrt[n]{x} = (-1)^{k} \frac {\prod^{k-1}_{m=0}(mn-1)}{{n^k}{\sqrt[n]{x^{kn-1}}}}</math>
|-
|де <math>\ k, n \in \mathbb {N}, \ x \ne 0</math>
|}

* Формула знаходження <math>k</math>-го [[Невизначений інтеграл|невизначеного інтеграла]]<ref>Не плутати з [[багатократний інтеграл|кратними інтегралами]]. Їх записи вельми схожі, але <math>k</math>-й інтеграл є [[Невизначений інтеграл|невизначеним]], в той час як <math>k</math>-кратний інтеграл&nbsp;— [[Визначений інтеграл|має певне значення]].</ref> функції <math>\sqrt[n]{x}</math>:

{|class="wikitable"
|-
|<math>\underbrace {\int\cdots\int}_{k} \sqrt[n]{x} \ \underbrace {dx\cdots dx}_{k} = \frac {{n^k}{\sqrt[n]{x^{kn+1}}}}{\prod^{k}_{m=1}(1+mn)} + C</math>
|-
|де <math>k, n \in \mathbb {N}, \ C=const</math>
|}

: Праві частини формул є алгебраїчними виразами, які існують завжди, при натуральному <math>k</math>. Отже і ліві теж.
{{Hidden end}}

=== Граничні співвідношення ===
Наведемо кілька корисних [[Границя функції в точці|границь]], що містять корені{{sfn|Фіхтенгольц|2024|loc=Том I, стор. 67, 131 — 132, 164, 166 — 167 в {{ref-ru}} 1966}}{{уточнити|сторінки|дата=червень 2024}}.
: <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]n = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\ln n} = 1</math>
: <math>\lim_{n \to \infty} n \left(\sqrt[n]x-1 \right) = \lim_{n \to \infty} n \left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{x}}\right)= \ln x</math>
: <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{(x+1)^m}-1}{x} = \frac{m}{n}</math>

: <math>\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\sqrt[n]a+\sqrt[n]b}{2}\right)^n = \sqrt{ab}</math>

=== Практичне обчислення коренів ===
Функція обчислення квадратних та кубічних коренів передбачена в багатьох [[Калькулятор|калькуляторах]]; наприклад, калькулятор [[Microsoft Windows|Windows]] показує відповідні кнопки в режимі «Інженерний» (Науковий). Для ручного розрахунку можна використовувати метод, викладений у статті «[[Алгоритм знаходження кореня n-го степеня]]».

Для степенів вище третьої можна використовувати [[логарифм]]ічну тотожність:
: <math>\log_a \sqrt[n]{x} = \frac {\log_a (x)} n \, </math>
З неї випливає, що для добування кореня треба знайти логарифм підкореневого виразу, поділити на степінь кореня та знайти [[антилогарифм]] результату.
{{clear}}

== Корінь комплексного числа ==
Зародження поняття [[Комплексне число|комплексного числа]] історично було пов'язано з бажанням «легалізувати» квадратні корені з [[Від'ємне число|від'ємних чисел]]. Як поступово з'ясувалося, комплексні числа володіють багатьма алгебраїчними та [[Комплексний аналіз|аналітичними]] властивостями; зокрема, вилучення коренів з них завжди можливо, хоча і неоднозначно.

=== Способи знаходження ===
Запишемо [[комплексне число]] <math>z</math> в [[Комплексне число|тригонометричної формі]]:
: <math>z = r \left(\cos{\varphi} + i\sin{\varphi}\right)</math>.
Тоді корінь <math>n</math>-го степеня з <math>z</math> визначається [[Формула Муавра|формулою Муавра]] (тригонометрична форма) {{sfn|Корн|Корн|1973|с=36 — 37}}:
: <math>\sqrt[n]{z} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{r}}}\left(\cos{\frac{\varphi+2\pi k}{n}} + i\sin{\frac{\varphi+2\pi k}{n}}\right),\;k = 0, 1, \dots, n-1</math>
[[Файл:Kreis3 6Teilung.svg|thumb|[[Корінь з одиниці|Коріння третьої та шостого степеня з одиниці]] (вершини трикутника та шестикутника відповідно)]]
або в показниковій формі:
: <math>z = r e^{i\varphi}</math>
: <math>\sqrt[n]{z} = {\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{r}}}e^{\left(i\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right)},\;k = 0, 1, \dots, n-1</math>
{|
|-
|{{початок прихованого блоку
|Тема={{&nbsp;|20}}Позначення{{&nbsp;|20}}
|Рамка=
|Фон_заголовка=#DCDCDC
}}
<math>z = x + iy, \ z \in \mathbb{C}</math> (комплексне число),<br/>
<math>x = \operatorname{Re}(z) \in \mathbb{R}</math> (дійсна частина комплексного числа),<br/>
<math>y = \operatorname{Im}(z) \in \mathbb{R}</math> (уявна частина комплексного числа),<br/>
<math>i</math>&nbsp;— [[уявна одиниця]],<br/>
<math>r=|z|={\color{blue}\sqrt{\color{black}{x^2+y^2}}}</math> (модуль комплексного числа),<br/>
<math>\varphi=\operatorname{arg}z= \operatorname{arctg}\frac{y}{x}</math> (аргумент комплексного числа),<br/>
<math>e</math>&nbsp;— [[e (число)|основа натуральних логарифмів]].
{{кінець прихованого блоку}}
|}

Корінь степеня <math>n</math> з ненульового [[Комплексне число|комплексного числа]] має <math>n</math> значень (це наслідок [[Основна теорема алгебри|основної теореми алгебри]]), і всі вони різні. Значення кореня, що отримане при <math>k=0</math>, часто називається '''головним'''.

Оскільки для всіх значень кореня величина [[Комплексне число|модуля]] однакова (він визначається як арифметичний корінь з модуля початкового комплексного числа), а змінюється лише його [[Комплексне число|аргумент]], всі <math>n</math> значень кореня розташовуються на [[Комплексна площина|комплексній площині]] на [[коло|колі]] радіуса <math>{\color{blue}\sqrt[{\color{black}n}] {\color{black}{r}}}</math> з центром у початку координат. Корені ділять це коло на <math>n</math> рівних частин.

=== Приклади ===
Знайдемо <math>\sqrt{-4}</math>. Оскільки <math>-4 = 4 (\cos{\pi} + i\sin{\pi}),</math> за формулою отримуємо:
: <math>\sqrt{-4} = 2 \left( \cos{\frac{\pi+2\pi k}{2}} + i\sin{\frac{\pi+2\pi k}{2}}\right),\;k = 0, 1</math>
При <math>k=0</math> отримаємо перший корінь <math>2 i</math>, при <math>k=1</math> отримаємо другий корінь <math>(-2 i).</math>

Інший приклад: знайдемо <math>\sqrt[4]{-16}</math>. 

Подамо підкорінний вираз в тригонометричній формі:
: <math>-16 = 16\ (\cos(\pi + 2k\pi) + i \sin(\pi + 2k\pi))</math>
За формулою Муавра отримуємо:
: <math>z_k = \sqrt[4]{-16} = \sqrt[4]{16} \left( \cos\frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin\frac{\pi + 2k\pi}{4} \right)</math>
У підсумку маємо чотири значення кореня<ref>{{книга|автор=Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И.|заголовок=Элементарная математика. Повторительный курс|видання=издание третье, стереотипное|видавництво=Наука|місце=М.|рік=1976|сторінки=68|сторінок=591}}</ref>:
: <math>z_0=2 \left( \cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\ (1+i)</math>
: <math>z_1=2 \left( \cos\frac{3\pi}{4} + i \sin\frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\ (-1+i)</math>
: <math>z_2=2 \left( \cos\frac{5\pi}{4} + i \sin\frac{5\pi}{4} \right) =-\sqrt{2}\ (1+i)</math>
: <math>z_3=2 \left( \cos\frac{7\pi}{4} + i \sin\frac{7\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\ (1-i)</math>
Можна записати отриману відповідь у вигляді: <math>~\sqrt[4]{-16} = \sqrt{2}\ (\pm 1 \pm i)</math>

=== Комплексна функція кореня та ріманова поверхня ===
Розглянемо комплексну функцію кореня <math>n</math>-о степеня: <math>w=\sqrt[n]{z}.</math> Відповідно до сказаного вище, ця функція є [[Багатозначна функція|багатозначною]] (точніше, <math>n</math>-значною) функцією, і це створює незручності при її дослідженні та застосуванні. В [[Комплексний аналіз|комплексному аналізі]] замість розгляду багатозначних функцій на [[Комплексна площина|комплексній площині]] прийнято інше рішення: розглядати функцію як однозначну, але визначену не на площині, а на більш складному [[многовид]]і, який називається [[ріманова поверхня|рімановою поверхнею]].{{sfn|Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной|1967|с=96—99, 28—29}}
<gallery widths="290" heights="290">
Файл:Riemann sqrt.svg|Ріманова поверхня для комплексного квадратного кореня 
Файл:Riemann surface 4th root.jpg|Ріманова поверхня для комплексного кореня 4-о степеня 
</gallery>

Для комплексної функції кореня <math>n</math>-го степеня її ріманова поверхня (див. малюнки) складається з <math>n</math> гілок (''листів''), пов'язаних гвинтоподібно, причому останній лист пов'язаний з першим. Ця поверхня неперервна та [[однозв'язна область|однозв'язна]]. Один з листів містить головні значення кореня, що одержані як [[аналітичне продовження]] дійсного кореня з чисел позитивного променя дійсної осі.

Опишемо для простоти комплексну функцію квадратного кореня. Її ріманова поверхня складається з двох листів. Перший лист можна представити як комплексну площину, у якій вирізаний позитивний промінь дійсної осі. Значення функції кореня <math>w</math> на цьому листі мають удвічі менший аргумент, ніж <math>z</math>, і тому вони заповнюють верхню частину комплексної площини значень. На розрізі перший лист склеєний з другим, і функція неперервно продовжується через розріз на другий лист, де її значення заповнюють нижню частину комплексної площини значень. Решту вільних початок першого листа та кінець другого теж склеємо, після чого отримана функція на рімановій поверхні стає однозначною та всюди неперервною.{{sfn|Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной|1967|с=96—99, 28—29}}

Єдиний нуль у функції (першого порядку) виходить при <math>z=0</math>. Особливі точки: <math>z=0</math> та <math>z=\infty</math> (точки розгалудження нескінченного порядку).{{sfn|Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной|1967|с=96—99, 28—29}} Наявність точки розгалудження означає, що замкнутий контур в околі нуля неминуче містить перехід з листа на лист.

З огляду на однозв'язність, ріманові поверхні кореня є [[Накриття (топологія)|універсальним накриттям]]<ref>{{книга|автор=[[Болтянський Володимир Григорович|Болтянский В. Г.]], Ефремович В. А.|заголовок=Наглядная топология|посилання=http://www.mccme.ru/free-books/djvu/geometry/boltiansky-nagl-topo.htm|місце=М.|видавництво=Наука|рік=1982|серия=Библиотечка Квант, выпуск 21|сторінки=112}}</ref> для комплексної площини без точки <math>0</math>.

== Варіації та узагальнення ==
Корінь <math>n</math>-о степеня з <math>a</math> є рішенням рівняння <math>~x^n=a</math>, і його в принципі можна визначити всюди, де таке рівняння має сенс. Найчастіше розглядають такі узагальнення в [[Кільце (алгебра)|алгебраїчних кільцях]]. Найкраще досліджені узагальнені квадратні корені.

Якщо кільце&nbsp;— [[область цілісності]], то квадратних коренів може бути або два, або жодного. Справді, якщо є два кореня <math>a, b,</math> то <math>~a^2=b^2,</math> звідки: <math>~(a-b)(a+b)=0</math>, тобто, в силу відсутності [[Дільник нуля|дільників нуля]], <math>~a=\pm b</math>. У більш загальному випадку, коли в кільці є дільники нуля або воно [[Комутативність|некомутативне]], число коренів може бути будь-яким.

Корені для [[кватерніони|кватерніонів]] мають багато спільного з комплексними, але є й суттєві особливості. Квадратний кватерніонний корінь зазвичай має 2 значення, але якщо підкоренний вираз&nbsp;— негативне дійсне число, то значень нескінченно багато. Наприклад, квадратні корені з <math>-1</math> утворюють тривимірну сферу, яка визначається формулою<ref>''Porteous, Ian R.'' Clifford Algebras and the Classical Groups. Cambridge, 1995, page 60.</ref>:
: <math>\{ai + bj + ck \mid a^2 + b^2 + c^2 = 1\} \,.</math>

Для кільця [[Матриця (математика)|квадратних матриць]] доведено, що якщо матриця [[Додатноозначена матриця|позитивно визначена]], то позитивно визначений [[Квадратний корінь матриці|квадратний корінь з неї]] існує та є єдиним<ref>Див., наприклад: [[Ґантмахер Фелікс Рувимович|''Гантмахер Ф. Р.'']] Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953, С. 212—219, или: ''Воеводин В., Воеводин В.'' Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. Спб.: БХВ-Петербург, 2006.</ref>. Для матриць інших типів коренів може бути скільки завгодно (в тому числі жодного).

Квадратні корені вводяться також для [[Функція (математика)|функцій]]<ref>См., наприклад: ''Ершов Л. В., Райхмист Р. Б.'' Построение графиков функций. М.: Просвещение, 1984, или: ''Каплан И. А.'' Практические занятия по высшей математике. Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.</ref>, [[оператор (математика)|операторів]]<ref>Див., наприклад: ''Хатсон В., Пим Дж.'' Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983, или: [[Пол Річард Халмош|''Халмош П.'']] Гильбертово пространство в задачах. М.: Мир, 1970.</ref> та інших [[Математичний об'єкт|математичних об'єктів]].

== Історія ==

=== Розвиток поняття ===
[[Файл:Ybc7289-bw.jpg|right|thumb|300px|{{center| Вавилонська табличка (близько 1800—1600&nbsp;р. До н.&nbsp;е.) з обчисленням <math>\sqrt{2} \approx 1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3</math><br/> <math>= 1{,}41421296\dots</math>}}]]
Перші завдання, пов'язані з добуванням квадратного кореня, виявлені в працях [[Вавилонська математика|вавилонських математиків]] (про досягнення стародавнього Єгипту в цьому напрямку нічого не відомо). Серед таких завдань {{sfn |История математики|1970—1972|loc = Том I, С. 42-46}}:
* Застосування [[Теорема Піфагора|теореми Піфагора]] для знаходження сторони [[Прямокутний трикутник|прямокутного трикутника]] за відомими двома іншими сторонами.
* Знаходження сторони [[квадрат]]а, площа якого задана.
* Розв'язування [[Квадратне рівняння|квадратних рівнянь]].
Вавилонські математики (II тисячоліття до н.&nbsp;е.) розробили для добування квадратного кореня особливий чисельний метод. Початкове наближення для <math>~\sqrt{a}</math> розраховувалося виходячи з найближчого до кореня (в меншу сторону) натурального числа <math>n</math>. Представивши підкореневий вираз у вигляді: <math>a=n^2+r</math>, отримуємо: <math>~x_0=n+\frac{r}{2n}</math>, потім застосовувався ітеративний процес уточнення, що відповідає [[Метод Ньютона|методу Ньютона]] {{sfn |История математики|1970—1972|loc = Том I, С. 47}}:
: <math>x_{n+1}=\frac{1}{2}~(x_n + \frac{a}{x_n})\ </math>
Ітерації в цьому методі дуже швидко сходяться. Для <math>\sqrt{5}</math>, наприклад, <math>~a=5;\;n=2;\;r=1;\ x_0=\frac{9}{4} = 2{,}25,</math> і ми отримуємо послідовність наближень:
: <math> x_1=\frac{161}{72} = 2{,}23611;\; x_2=\frac{51841}{23184} = 2{,}2360679779</math>
У заключному значенні правильні всі цифри, крім останньої.

Аналогічні завдання і методи зустрічаються у старокитайській [[Математика в дев'яти книгах|«''Математиці у дев'яти книгах''»]]{{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том I, С. 169-171}}. Стародавні греки зробили важливе відкриття: <math>\sqrt{2}</math>&nbsp;— [[ірраціональне число]]. Детальне дослідження, виконане {{нп|Теетет Афінський|Теететом Афінським||Theaetetus (mathematician)}} (IV століття до н. Е.), показало, що якщо корінь з натурального числа не добувається без остачі, то його значення ірраціональне<ref>{{книга|автор=Башмакова І. Г.|назва=Становлення алгебри (з історії математичних ідей)|місце=М.| видавництво=Знання|рік=1979|серія=Нове у житті, науці, техніці. Математика, кібернетика, № 9|сторінки=23}}</ref>.

Греки сформулювали проблему [[подвоєння куба]], яка зводилася до побудови кубічного кореня [[Побудова за допомогою циркуля і лінійки|за допомогою циркуля і лінійки]]. Проблема виявилася нерозв'язною. Чисельні алгоритми вилучення кубічного кореня опублікували [[Герон]] (в трактаті «''Метрика''», I століття н.&nbsp;е.) і індійський математик [[Аріабхата I]] (V століття)<ref>{{стаття|автор=Abhishek Parakh.|назва=Ariabhata's root extraction methods|посилання=https://cs.okstate.edu/~parakh/okstate_page/Aryabhatas_Root_Extraction_Methods_IJHS.pdf|видання=Indian Journal of History of Science|рік=2007|випуск=42.2|сторінки=149-161|accessdate=2015-05-30|archivedate=2010-06-09|archiveurl=https://web.archive.org/web/20100609142233/http://cs.okstate.edu/%7Eparakh/okstate_page/Aryabhatas_Root_Extraction_Methods_IJHS.pdf}}</ref>.

Алгоритми добування коренів будь-якого степеня з цілого числа, розроблені [[Історія математики в Індії|індійськими]] і [[Математика ісламського середньовіччя|ісламськими]] математиками, були вдосконалені в середньовічній Європі. [[Микола Орезмський]] (XIV століття) вперше витлумачив {{sfn|История математики|1970—1972|loc = Том I, С. 275-276}} корінь <math>n</math>-ого степеня як піднесення до степеня <math>\frac{1}{n}</math>.

Після появи [[Формула Кардано|формули Кардано]] (XVI століття) почалося застосування в математиці [[Уявне число|уявних чисел]], що розуміються як квадратні корені з від'ємних чисел {{sfn|История математики|1970—1972|loc=Том I, С. 296-298}}. Основи техніки роботи з комплексними числами розробив в XVI столітті [[Рафаель Бомбеллі]], який також запропонував оригінальний метод обчислення коренів (за допомогою [[Ланцюговий дріб|ланцюгових дробів]]). Відкриття [[Формула Муавра|формули Муавра]] (1707) показало, що добування кореня будь-якого степеня з комплексного числа завжди можливо і не призводить до нового типу чисел {{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том III, С. 56-59}}.

Комплексні корені довільного степеня на початку XIX століття глибоко дослідив [[Карл Фрідріх Гаус|Гаус]], хоча перші результати належать [[Леонард Ейлер|Ейлеру]] {{sfn |История математики|1970—1972|loc=Том III, С. 62}}. Надзвичайно важливим відкриттям ([[Еварист Галуа|Галуа]]) стало доведення того факту, що не всі [[алгебраїчні числа]] ([[Корінь многочлена|корені многочленів]]) можна отримати з натуральних за допомогою чотирьох арифметичних дій і добування кореня<ref>{{ книга|автор=Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.)|Назва=Математика XIX століття. Математична логіка, алгебра, теорія чисел, теорія ймовірностей|місце=М.|Видавництво=Наука|Том= I |рік = 1978|сторінки = 58-66. }}</ref>.

=== Етимологія терміну і походження символіки ===
Термін ''корінь'' має довгу і складну історію. Добування квадратного кореня стародавні греки розуміли строго геометрично: як знаходження сторони квадрата за відомою його площею. Після переведення на [[санскрит]] грецьке слово «сторона» перетворилася на «''мула''» (основа). Слово «''мула''» мало також значення «корінь», тому при перекладі індійських {{нп|Сиддханта|сиддхант||Siddhanta}} на арабський використовувався термін «''джізре''» (корінь рослини). Згодом аналогічне за змістом слово «''radix''» закріпилося в латинських перекладах з арабської, а через них і в російській математичній термінології («корінь», «радикал») {{sfn |История математики|1970—1972|loc = Том I, С. 185}}.

Середньовічні математики (наприклад, [[Джироламо Кардано|Кардано]]) позначали квадратний корінь<ref>{{книга|автор=Нікіфоровський В. А.|назва=З історії алгебри XVI-XVII ст.|місце = М.|Видавництво=Наука|рік = 1979|сторінок = 208|серія=Історія науки і техніки|сторінки=81}}</ref> символом R<sub> x</sub>, скорочення від слова «radix». [[Знак кореня|Сучасне позначення]] вперше вжив німецький математик [[Крістоф Рудольфф]], зі школи коссистів (тобто алгебраїстів), у 1525 році<ref>{{книга|назва=Математична енциклопедія|частина=Знаки математичні|місце = М.|Рік=1982|Том = 2 | посилання=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t2.djvu|видавництво=[[Велика російська енциклопедія (видавництво)|Радянська Енциклопедія]]}}</ref>. Походить цей символ від стилізованої першої літери того ж слова «''radix''». Риса над підкореневим виразом спочатку була відсутня; її пізніше ввів [[Рене Декарт|Декарт]] (1637) для іншої мети (замість дужок), і ця риса незабаром злилася зі знаком кореня.

Показник степеня з'явився в знаку кореня завдяки [[Джон Валліс|Валлісу]] і «[[Універсальна арифметика|''Універсальній арифметиці'']]» [[Ісаак Ньютон|Ньютона]] (XVIII століття)<ref>{{ книга|автор=Александрова Н. В.|назва = Історія математичних термінів, понять, позначень: Словник-довідник, вид. 3-е|видавництво = ЛКІ|місце = СПб.|Рік = 2008|сторінки = 82|сторінок = 248 |isbn = 978-5-382-00839-4}}</ref>.

== Див. також ==
* [[Корінь з одиниці]]
* [[Піднесення до степеня]]
* [[Квадратний корінь]]
* [[Кубічний корінь]]
* [[Логарифм]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{книга |автор={{Нп|Вигодський Марк Яковлевич|Вигодський М. Я.|ru|Выгодский, Марк Яковлевич}}
  |заголовок=Справочник по элементарной математике |видання=изд. 25-е
  |посилання=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vygodskij1966ru.djvu
  |місце=М. |видавництво=Наука |рік=1978 |isbn=5-17-009554-6 
  |ref=Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике }}
* {{книга |заголовок=История математики, в трёх томах |ref=История математики
  |відповідальний=Под редакцией [[Юшкевич Адольф Павлович|А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича]]
  |місце=М. |видавництво=Наука |рік=1970—1972 }}
* {{Корн.Корн.Справочник}}
* {{книга |автор=Мордкович А. Г. |ref=Мордкович А. Г.
  |заголовок=Алгебра и начала анализа. Учебник для 10—11 классов, часть 1
  |видання=изд. 4-е |місце=М. |видавництво=Мнемозина |рік=2003 |сторінок=376 }}
* {{книга |автор=Свешников А. Г., Тихонов А. Н. |заголовок=Теория функций комплексной переменной
  |місце=М. |видавництво=Наука |рік=1967 |сторінок=304
  |ref=Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной }}

{{Гіпероперації}}

[[Категорія:Алгебра]]
[[Категорія:Елементарні функції]]
[[Категорія:Операції над числами]]