Перегляд вихідного коду сторінки Конічні перетини

[[Файл:Conic sections 2-noeng.png|thumb|300px]]
'''Коні́чні пере́тини'''&nbsp;— невироджені криві, утворені перетином площини з однією або обома частинами [[конус]]а. Перетин площини, перпендикулярній осі конуса, утворює [[коло]]. Перетин площини, не перпендикулярній осі конуса, з однією з частин конуса утворює [[еліпс]] або [[парабола|параболу]]. Крива, отримана перетином площини з обома частинами конуса називається [[гіпербола (математика)|гіперболою]]. Також існують вироджені перетини: [[точка]], [[пряма]] та пара прямих.

== Евклідова геометрія ==
Конічні перетини вивчалися сотні років і стали джерелом багатьох цікавих відкриттів в [[Евклідова геометрія|евклідовій геометрії]].

=== Визначення ===
[[Файл:Conic Sections.svg|300px|right|thumb|lang=uk|Чорні штриховані криві, що є межами кольорових областей є конічними перетинами. На зображенні не показана друга половина гіперболи, яка лежить на другій частині подвоєного конуса, не показаній тут.]]
'''Конічний переріз''' або перетин це крива, що отримується шляхом перетину [[Площина|площини]], що називається ''січною площиною'', і поверхнею подвійного [[Конус|конуса]] (конус з двома симетричними частинами). Для спрощення опису будемо вважати, що це правильний круглий конус, але це не обов'язково, бо поняття є актуальним для будь-якого подвоєного конуса, що можна утворити коло при перетині площиною. Площини, що проходять через верхівку конуса будуть перетинати конус у точці, по прямій або по парі прямих, які перетинаються. Такий випадок називають '''виродженим''' і не складає ніякого інтересу і тому, зазвичай цей випадок не розглядають як конічний переріз. Якщо явно не сказано інше, то під «конічним перерізом» розуміють не вироджені варіанти.
 
Є три види конічних перетинів, [[еліпс]], [[парабола]], і [[Гіпербола (математика)|гіпербола]]. [[Коло]] є особливим випадком еліпса, хоча історично його розглядали як четвертий тип (наприклад, давньогрецький математик [[Аполлоній Перзький|Аполлоній]]). Коло і еліпс виникають коли перетин площини і конуса утворює [[Крива|замкнену криву]]. Коло утворюється коли січна площина є паралельною площині основного кола, що утворює конус&nbsp;— для правильного конуса, це означає, що січна площина також є перпендикулярна осі симетрії конуса. Якщо січна площина є [[Паралельні прямі|паралельною]] до однієї з прямих, що утворюють конус, тоді конічний переріз необмежений і не є замкнений і називається ''параболою''. Залишився ще один варіант перетину&nbsp;— ''гіпербола'', в даному випадку січна площина перетне ''обидві'' половини конуса, утворюючи окрему необмежену криву.

=== Ексцентриситет, фокус та директриса ===

Конічний переріз можна визначити виключно з точки зору плоскої геометрії: це [[Геометричне місце точок|множина всіх точок]] <math>P</math>, відстань яких до фіксованої точки <math>F</math> (яка називається [[Фокус (математика)|фокус]]) є постійною величиною, яка позначається як <math>e</math> ([[Ексцентриситет|ексцентриситет]]) і дорівнює відношенню відстані від довільної точки з <math>P</math> до фіксованої прямої <math>d</math> (яка називається директрисою). 

[[Файл:Eccentricity.svg|right| thumb | 280px | <span style="color: #ff0000">Коло (''e'' = 0)</span>, <span style="color: #ffcc00">еліпс (''e'' = 1/2)</span>, <span style="color: #00ff00">парабола (''e'' = 1)</span> та <span style="color: #0000ff"> гіпербола (''e'' = 2)</span> з фіксованими фокусом ''F'' та директрисою. Для точки <math>M</math> на <span style="color: #ffcc00">еліпсі (''e'' = 1/2)</span>:  <math> |FM| = e\cdot |MM'|</math>, де <math>MM'</math> перерпендикуляр опущений на <math>d</math>.]]

В залежності від значення ексцентриситета, утворюється:

* При <math>0 < e < 1</math>&nbsp;— еліпс;
* При <math>e = 1</math>&nbsp;— парабола;
* При <math>e > 1</math>&nbsp;— гіпербола.

Якщо <math>e = 0</math>, то утворюється коло.

Коло є граничним і не описується фокусом і директрисою на евклідовій площині. Ексцентриситет кола дорівнює нулю, його фокус знаходиться в центрі кола, але його директриса може бути взята тільки як пряма на нескінченності в проективній площині.

Ексцентриситет еліпса можна розглядати як міру того, наскільки далеко еліпс відхиляється від кола.

=== Параметри ===
[[Файл:Ellipse parameters uk.svg|right|thumb|400px|Параметри конічних перетинів на прикладі з еліпсом]]

Існує ряд параметрів, що пов'язані із конічним перетином. ''Основною віссю'' є пряма, що проходить крізь фокуси еліпса або гіперболи, а ''центр''&nbsp;— це середина лінійного відрізку, що сполучає фокуси. Нижче наведені деякі спільні поняття і параметри конічних перетинів.<ref>{{citation
|title=Канонічна теорія кривих другого порядку
|first1=К. Д.
|last1=Драч
|first2=О. О.
|last2=Шугайло
|first3=О. Л.
|last3=Ямпольський
|publisher=Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна
|year=2015
|pages=8–9
|url=http://geometry.karazin.ua/resources/articles/947405987a57401e402595c767308e2f.pdf
|accessdate=8 березня 2018
|archive-date=27 січня 2018
|archive-url=https://web.archive.org/web/20180127111003/http://geometry.karazin.ua/resources/articles/947405987a57401e402595c767308e2f.pdf
}}, [http://geometry.karazin.ua/resources/articles/947405987a57401e402595c767308e2f.pdf Розділ 3.1, стор 8] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180127111003/http://geometry.karazin.ua/resources/articles/947405987a57401e402595c767308e2f.pdf |date=27 січня 2018 }}</ref>

'''Лінійний ексцентриситет''' (позначається буквою <math>c</math>)&nbsp;— відстань між центром і фокусом (або одним із двох фокусів).

Важливим елементом є [[Хорда (геометрія)|хорда]], що паралельна директрисі і яка проходить через фокус. Її повна довжина позначається як <math>2\ell</math>.

'''Фокальний параметр''' (<math>\ell</math>)&nbsp;— половина довжини хорди, що проходить через фокус і паралельна директрисі.

Параметр (<math>p</math>)&nbsp;— відстань від фокусу (або одного з фокусів) до директриси.

Коли еліпс або гіпербола знаходиться в стандартній позиції (основна вісь знаходиться на осі <math>x</math>, а центр в початку координат) вершини конічних перетинів матимуть координати <math>(-a,0)</math> і <math>(a,0)</math>, де <math>a</math> не від'ємні.

'''[[Велика піввісь]]'''&nbsp;— це значення <math>a</math>.

'''Мала піввісь'''&nbsp;— це значення <math>b</math> в рівнянні еліпса або гіперболи на стандартній [[Евклідова площина|евклідовій площині]].

Мають місце наступні рівняння:
* <math>p e = \ell</math>
* <math>a e = c.</math>

Співвідношення цих параметрів наведені в таблиці нижче, за умови стандартного розташування на координатній площині. В усіх випадках, <math>a</math> та <math>b</math> додатні.
{| class="wikitable"
! Конічний перетин
! рівняння
! ексцентриситет ({{math|''e''}})
! лінійний ексцентриситет ({{math|''c''}})
! Половина фокального параметру ({{math|''ℓ''}})
! Параметр ({{math|''p''}})
|-
| [[коло]]
|| <math>x^2+y^2=a^2 \,</math>
|| <math> 0 \,</math>
|| <math> 0 \,</math>
|| <math> a \,</math>
|| <math> \infty</math>
|-
| [[еліпс]]
|| <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>
|| <math>\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}</math>
|| <math>\sqrt{a^2-b^2}</math>
|| <math>\frac{b^2}{a}</math>
|| <math>\frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}</math>
|-
| [[парабола]]
|| <math>y^2=4ax \,</math>
|| <math> 1 \,</math>
|| -
|| <math> 2a \,</math>
|| <math> 2a \, </math>
|-
| [[Гіпербола (математика)|гіпербола]]
|| <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1</math>
|| <math>\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}</math>
|| <math>\sqrt{a^2+b^2}</math>
|| <math>\frac{b^2}{a}</math>
|| <math>\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}</math>
|}

=== На декартовій площині ===
[[Файл:Conic section - standard forms of an ellipse.png|thumb|280px|Стандартні форми еліпса]]
[[Файл:Conic section - standard forms of a parabola.png|thumb|180px|left|Стандартні форми параболи]]
[[Файл:Conic section - standard forms of a hyperbola.png|thumb|280px|Стандартні форми гіперболи]]
При застосування визначення [[Декартова система координат|декартової системи координат]] можна використати рівнянні фокусу і директриси, аби вивести рівняння, що визначають координати точок конічних перетинів.<ref>{{harvnb|Brannan|Esplen|Gray|1999|pages=11–16}}</ref> Застосовуючи перетворення системи координат, такі як поворот і переміщення осей, ці рівнянні можна привести до ''стандартної форми''.<ref>{{harvnb|Protter|Morrey|1970|pp=314–328,585–589}}</ref> Для еліпсів і гіпербол в стандартній формі декартова вісь {{mvar|x}} буде суміщеною із головною віссю, а початок координат (точка (0,0)) знаходитиметься в центрі. Вершини будуть мати координати {{math|(±''a'', 0)}}, а фокуси&nbsp;— координати {{math|(±''c'', 0)}}. Визначимо {{mvar|b}} рівняннями {{math|1=''c''<sup>2</sup> = ''a''<sup>2</sup> − ''b''<sup>2</sup>}} для еліпса і {{math|1=''c''<sup>2</sup> = ''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup>}} для гіперболи. Для кола, {{math|1=''c'' = 0}} тому {{math|1=''a''<sup>2</sup> = ''b''<sup>2</sup>}}. Для параболи, її стандартна форма матиме фокус на осі {{mvar|x}} в точці {{math|(''a'', 0)}} а директрисою буде пряма, що задовольняє рівнянню {{math|1=''x'' = −''a''}}. В стандартній формі парабола завжди проходитиме через початок координат. Особливим випадком гіперболи є ситуація, коли її асимптоти перпендикулярні. В такому випадку гіпербола називається '''рівнобічною'''. У такому випадку, стандартну форму можна отримати прийнявши асимптоти за координатні осі, а пряму {{math|1=''x'' = ''y''}} як основну вісь. Фокуси матимуть координати {{math|(''c'', ''c'')}} і {{math|(−''c'', −''c'')}}.<ref>{{harvnb|Protter|Morrey|1970|pp=290–314}}</ref>

* Коло: {{math|''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> {{=}} ''a''<sup>2</sup>}}
* Еліпс: {{math|{{sfrac|''x''<sup>2</sup>|''a''<sup>2</sup>}} + {{sfrac|''y''<sup>2</sup>|''b''<sup>2</sup>}} {{=}} 1}}
* Гіпербола: {{math|{{sfrac|''x''<sup>2</sup>|''a''<sup>2</sup>}} − {{sfrac|''y''<sup>2</sup>|''b''<sup>2</sup>}} {{=}} 1}}
* Парабола: {{math|''y''<sup>2</sup> {{=}} 4''ax''}}, де {{math|''a'' > 0}}
* Рівнобічна гіпербола:<ref>{{harvnb|Wilson|Tracey|1925|page=130}}</ref> {{math|''xy'' {{=}} {{sfrac|''c''<sup>2</sup>|2}}}}

Перші три наведені форми є симетричними відносно обох {{math|''x''}} та {{math|''y''}} осей (коло, еліпс і гіпербола), або лише відносно {{math|''x''}} осі (для параболи). Рівнобічна гіпербола, в свою чергу, є симетричною відносно прямих {{math|''y'' {{=}} ''x''}} і {{math|''y'' {{=}} −''x''}}.

Ці стандарті форми можна записати у вигляді [[Параметричне рівняння|параметричних рівнянь]] наступним чином,
* [[Коло]]: {{math|(''a'' cos ''&theta;'', ''a'' sin ''&theta;'')}},
* [[Еліпс]]: {{math|(''a'' cos'' &theta;'', ''b'' sin ''&theta;'')}},
* [[Парабола]]: {{math|(''at''<sup>2</sup>, 2''at'')}},
* [[Гіпербола (математика)|Гіпербола]]: {{math|(''a'' sec ''&theta;'', ''b'' tan ''&theta;'')}} або {{math|(±''a'' cosh ''u'', ''b'' sinh ''u'')}},
* [[Гіпербола (математика)|Рівнобічна гіпербола]]: <math>\left(dt, \frac{d}{t}\right),</math> де <math>d = \frac{c}{\sqrt{2}}.</math>

==== Загальна форма ====
В [[Декартова система координат|системі декартових координат]] [[Графік функції|графіком]] [[Квадратне рівняння|квадратичного рівняння]] двох змінних завжди буде конічний перетин (хоча він може бути [[#degenerate conics|виродженим]]<ref>порожня множина включена як вироджена коніка, бо вона може з'явитись як множина рішень рівняння</ref>), і всі конічні перетини утворюються таким чином. Загальне рівняння буде матиме вигляд<ref>{{harvnb|Protter|Morrey|1970|p=316}}</ref>

: <math>Ax^2 + Bxy + Cy^2 +Dx + Ey + F = 0, </math>

де всі коефіцієнти&nbsp;— це [[дійсні числа]], а {{mvar|A, B, C}} не дорівнюють нулю.

Отже, конічні перетини є [[квадрика]]ми.

==== Дискримінант ====
Конічні перетини описані таким рівнянням можна класифікувати в залежності від значення <math>B^2 - 4AC</math>, що є [[дискримінант]]ом рівняння.<ref>{{citation
|title=Math refresher for scientists and engineers
|first1=John R.
|last1=Fanchi
|publisher=John Wiley and Sons
|year=2006
|isbn=0-471-75715-2
|pages=44–45
|url=https://books.google.com/books?id=75mAJPcAWT8C
|accessdate=2 лютого 2018
|archive-date=29 травня 2016
|archive-url=https://web.archive.org/web/20160529050525/https://books.google.com/books?id=75mAJPcAWT8C
}}, [https://books.google.com/books?id=75mAJPcAWT8C&pg=PA45 Section 3.2, page 45] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160426071543/https://books.google.com/books?id=75mAJPcAWT8C&pg=PA45 |date=26 квітня 2016 }}</ref>
Тобто, дискримінант дорівнює {{math|− 4Δ}}, де {{math|Δ}} є детермінантом матриці <math>\left|\begin{matrix}A & B/2\\B/2 & C\end{matrix}\right|. </math>

Типи конічних перетинів в залежності від значення дискримінанту будуть наступними:
* Якщо {{math|''B''<sup>2</sup> − 4''AC'' < 0}}, то рівняння задає [[еліпс]] (вироджені випадки: точка або [[порожня множина]]);
** Якщо {{math|1=''A'' = ''C''}} і {{math|1=''B'' = 0}}, то рівняння задає [[коло]], що є особливим випадком еліпса;
* Якщо {{math|1=''B''<sup>2</sup> − 4''AC'' = 0}}, то це [[парабола]], (вироджені випадки: [[пряма]] або пари паралельних прямих)
* Якщо {{math|''B''<sup>2</sup> − 4''AC'' > 0}}, то це [[гіпербола (математика)|гіпербола]] або у виродженому випадку пари прямих, що перетинаються.
** Якщо також матимемо {{math|1=''A'' + ''C'' = 0}}, тоді рівняння задає рівнобічну гіперболу.
В даних позначеннях {{mvar|A}} і {{mvar|B}} є коефіцієнтами полінома, не варто їх плутати із позначеннями великої і малої півосей {{mvar|A}} і {{mvar|B}}, що часто використовуються в деяких джерелах.

==== Матрична нотація ====

Вище наведене рівняння можна задати в матричному вигляді як<ref>{{harvnb|Brannan|Esplen|Gray|1999|page=30}}</ref>

: <math>\left (\begin{matrix}x & y \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix}A & B/2\\B/2 & C\end{matrix}\right) \left( \begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix}D & E \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right) +F= 0. </math>

А також, загальне рівняння можна записати як

: <math>\left(\begin{matrix}x & y & 1\end{matrix}\right) \left( \begin{matrix}A & B/2 & D/2\\B/2 & C & E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}\right) = 0. </math>

==== Ексцентриситет через коефіцієнти рівняння ====
Якщо конічний перетин задано в алгебраїчній формі як

: <math>Ax^2 + Bxy + Cy^2 +Dx + Ey + F = 0, \,</math>

ексцентриситет можна визначити як функцію коефіцієнтів квадратичного рівняння.<ref>Ayoub, Ayoub B., "The eccentricity of a conic section, " ''[[The College Mathematics Journal]]'' 34(2), March 2003, 116—121.</ref> Якщо {{math|1=4''AC'' = ''B''<sup>2</sup>}}, то конічним перетином є парабола, а її ексцентриситет дорівнює 1 (якщо вона не вироджена). В інших випадках, вважаючи, що рівняння задає невироджені еліпс або гіперболу, ексцентриситет буде задаватися наступним чином

: <math>e=\sqrt{\frac{2\sqrt{(A-C)^2 + B^2}}{\eta (A+C) + \sqrt{(A-C)^2 + B^2}}},</math>

де {{math|1=η = 1}}, якщо детермінант [[#Матрична нотація|вищезгаданої матриці 3×3]] є від'ємним і {{math|1=η = &minus;1}}, якщо детермінант додатній.

Також можна довести<ref name=Spain>Spain, Barry, ''Analytical Conics'', Dover, 2007 (originally published 1957 by Pergamon Press).</ref>{{rp|p. 89}}, що ексцентриситет є додатнім розв'язком рівняння

: <math>\Delta e^4+[(A+C)^2-4\Delta]e^2-[(A+C)^2-4\Delta]=0,</math>

Де також <math>\Delta =AC-\frac{B^2}{4}.</math> Воно має точно один додатній розв'язок&nbsp;— ексцентриситет, у випадку параболи або еліпса, в той час як у випадку з гіперболою воно має два додатні розв'язку, один з яких є ексцентриситетом.

=== В полярних координатах ===

В [[полярні координати|полярних координатах]] <math>(\rho, \theta) </math> з центром в одному з фокусів та нульовим напрямом вздовж головної осі рівняння конічного перетину має вигляд:
: <math> \rho (1 - e \cos \theta) = l \,</math>
де ''е''&nbsp;— ексцентриситет, ''l''&nbsp;— константа.

== Властивості ==

Конічні перерізи можуть утворюватись як перетин [[площина|площини]] і двобічного [[конус]]а
: <math>a^2 z^2 = x^2 + y^2 </math> (в [[Декартова система координат|декартових координатах]]).
Де
: <math> a = \operatorname{tg} \theta,</math>
: <math> \theta </math>&nbsp;— кут між твірною конуса та його віссю.

Якщо площина проходить через [[початок координат]], то буде отримано вироджений перетин.

Рівняння конуса квадратичне, тому конічні перетини є [[квадрика]]ми, також всі квадрики площини є конічними перетинами (хоча дві [[паралельні прямі]] утворюють вирождену квадрику яку неможливо отримати перетином конуса, їх вважають «виродженим конічним перетином»).

Так само як дві (різні) точки визначають пряму, п'ять точок визначають конічний перетин. Через довільні п'ять точок на площині, з яких жодні три не лежать на одній прямій, можна провести єдиний конічний перетин. Формально кажучи, для довільних п'яти точок на площині, що знаходяться у [[Загальне положення|загальному лінійному положенні]], тобто, серед них немає трьох, що були б [[Пряма|колінеарними]], існуватиме один єдиний конічний перетин, який проходить через них, що не буде виродженим. Це є вірним для евклідової площини і для дійсної проєктивної площини. Якщо три точки будуть колінеарними, тоді конічний перетин, який через них проходить буде виродженим (оскільки він міститиме пряму), і може бути не єдиним.

Всі конічні перетини мають спільну властивість ''відображення'', яку можна сформулювати наступним чином: Всі дзеркальні поверхні, що мають форму не виродженого конічного перетину відбивають світло, що потрапляє в один із фокусів у бік іншого фокусу. У випадку з параболою, другий фокус розглядають таким, що знаходиться в нескінченності, тому промені, що йдуть у напрямку другого фокусу є паралельними.<ref>{{harvnb|Brannan|Esplen|Gray|1999|page=28}}</ref><ref>{{harvnb|Downs|2003|pages=36.}}</ref>

[[Теорема Паскаля]] вивчає колінеарність трьох точок, що побудовані із множини з шести точок на будь-якому не виродженому конічному перетині. Теорема також справедлива для вироджених конічних перетинів, що складаються із двох прямих, але цей випадок відомий як [[теорема Паппа]].

Невироджений конічний перетин завжди «[[Гладка функція|гладкий]]». Це є важливою властивістю для багатьох застосувань, наприклад в аеродинаміці, де необхідно мати гладку поверхню, аби бути впевненим в [[Ламінарна течія|ламінарності течії]] для уникання [[Турбулентна течія|турбулентності]].

== Групи перетворень ==

* Ексцентриситет двох невироджених конічних перетинів збігається тоді і тільки тоді, коли вони можуть бути переведені один в одного перетворенням [[Подібність (геометрія)|подібності]].
* [[Афінне перетворення|Афінні перетворення]] зберігають тільки знак ексцентриситету, тобто, для [[Афінна геометрія|афінної геометрії]] існують лише три різні невироджені конічні перетини: еліпс, парабола та гіпербола.
* Усі невироджені конічні перетини неможливо розрізнити в [[проєктивна геометрія|проєктивній геометрії]].

== Історія ==

Конічні перетини були відомі ще [[Давньогрецька математика|математикам Давньої Греції]]. [[Менехм]] займався в [[Академія Платона|Академії]] [[Платон]]а дослідженням конічних перетинів на прикладі макету конуса. Він з'ясував, що задачу про [[подвоєння куба]] можна звести до визначення точок перетину двох конічних перетинів. [[Евклід]]ом було написано чотири книжки про конічні перетини, які, однак до наших часів не збереглись. Найповнішим твором, присвяченим цим кривим, були «Конічні перетини» [[Аполлоній Перзький|Аполлонія із Перги]] (приблизно 200 до н.&nbsp;е.). Представлення конічних перетинів у вигляді рівнянь належить [[П'єр Ферма|П'єру Ферма]] та [[Рене Декарт|Рене Декарту]].

== Застосування ==

Конічні перетини мають застосування у [[астрономія|астрономії]]: орбіти двох масивних тіл, між якими існує [[гравітація|гравітаційна]] взаємодія, є конічними перетинами, якщо їхній спільний центр мас нерухомий. Якщо вони між собою зв'язані, то рухатимуться по еліптичних орбітах; якщо рухаються окремо, то траєкторії матимуть вигляд парабол або гіпербол (див. ''[[закон Кеплера]]'').

== Джерела ==
{{refbegin}}
* {{Cite book|
author=Weisstein, Eric W. |
title=CRC concise encyclopedia of mathematics | url=https://archive.org/details/crcconciseencycl0000weis |
date=1999 |
publisher=CRC Press |
location=Boca Raton, Fla.|
isbn=0-8493-9640-9 | pages=}}
{{refend}}

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Криві другого порядку]].
* [[Кулі Данделена]].
* [[Коніка дев'яти точок]]
* [[Конічна стала]]
* [[Проєктивний конус]]

== Посилання == 
* {{ТС_Буд|частина=Конічні  перерізи|сторінки =110}}
* [http://www.exopas.com/beta/images/cone.gif Анімація на якій зображено різні конічні перетини]{{Недоступне посилання|date=липень 2019 |bot=InternetArchiveBot }}.
* [http://eom.springer.de/C/c024960.htm Conic Sections] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081017175619/http://eom.springer.de/c/c024960.htm |date=17 жовтня 2008 }}&nbsp;— Encyclopaedia of Mathematics.
* [http://mathworld.wolfram.com/ConicSection.html Conic Section] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081211065102/http://mathworld.wolfram.com/ConicSection.html |date=11 грудня 2008 }}&nbsp;— Wolfram MathWorld.
* А.&nbsp;В.&nbsp;Акопян, А.&nbsp;А.&nbsp;Заславский ''[http://math.ru/lib/452 Геометрические свойства кривых второго порядка,] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180320203311/http://math.ru/lib/452 |date=20 березня 2018 }}''&nbsp;— М.: [[МЦНМО]], 2007.&nbsp;— 136с.
* И.&nbsp;Н.&nbsp;Бронштейн, [http://kvant.mccme.ru/1975/05/obshchie_svojstva_konicheskih.htm ''Общие свойства конических сечений''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060628215728/http://kvant.mccme.ru/1975/05/obshchie_svojstva_konicheskih.htm |date=28 червня 2006 }}, [[Квант (журнал)|Квант]], №&nbsp;5, 1975.

== Примітки ==
{{примітки|2}}
{{commonscat-inline|Conic sections}}
{{Криві}}
[[Категорія:Конічні перетини]]
[[Категорія:Аналітична геометрія]]