Перегляд вихідного коду сторінки Конфігурація Сильвестра — Галлаї

'''Конфігура́ція Сильвестра&nbsp;— Галлаї''' складається зі скінченної підмножини точок [[Проєктивний простір|проєктивного простору]] зі властивістю, що пряма, яка проходить через будь-які дві точки підмножини, проходить принаймні ще через одну точку підмножини.

Замість визначення конфігурації Сильвестра&nbsp;— Галлаї як підмножини точок проєктивного простору її можна визначити як абстрактну [[Структура інцидентності|структуру інцидентності]] точок і прямих, яка задовольняє властивостям, що для будь-якої пари точок структура включає рівно одну пряму, яка містить цю пару, і що будь-яка пряма містить принаймні три точки. У цьому загальному вигляді конфігурації називають '''схемами Сильвестра&nbsp;— Галлаї'''. Близьке поняття&nbsp;— {{Не перекладено|матроїд Сильвестра||en|Sylvester matroid}}, з [[Матроїд|тією]] ж властивістю відсутності прямих з двома точками, що й у конфігурації Сильвестра&nbsp;— Галлаї.

== Вкладність у дійсний та комплексний простори ==
[[Теорема Сильвестра — Галлаї|Теорема Сильвестра]] показує, що у [[Двовимірний простір|двовимірному просторі]], на [[Дійсна проєктивна площина|дійсній проєктивній площині]], в евклідових і проективних просторах вищих розмірностей, а також у просторах з координатами з [[Впорядковане поле|упорядкованого поля]] можуть існувати лише одновимірні конфігурації Сильвестра&nbsp;— Галлаї&nbsp;— вони складаються з трьох або більше [[Колінеарність|колінеарних]] точок. [[Жан-П'єр Серр]]{{Sfn|Serre|1966}} надихнувся цим фактом і прикладом [[Конфігурація Гессе|конфігурації Гессе]] і запитав, чи не будуть у просторах з комплексними координатами всі конфігурації Сильвестра&nbsp;— Галлаї максимум двовимірними. [[Пал Ердеш|Ердеш]]{{Sfn|Erdős|1980}} повторив питання. Келлі{{Sfn|Kelly|1986}} відповів на запитання Серра ствердно. {{Нп|Ноам Елкіс|Елкіс|en|Noam Elkies}}, Преторіус і Сванепоел{{Sfn|Elkies, Pretorius, Swanepoel|2006}} спростили доведення Келлі і довели, що в просторах з координатами в [[Кватерніони|кватерніонах]] усі конфігурації Сильвестра&nbsp;— Галлаї повинні лежати в тривимірному підпросторі.

== Проєктивні конфігурації ==
Моцкін{{Sfn|Motzkin|1951}} вивчав [[Конфігурація (геометрія)|проєктивні конфігурації]], які є також конфігураціями Сильвестра&nbsp;— Галлаї. Проєктивна конфігурація має додаткові вимоги, що будь-які дві точки мають однакову кількість прямих, які проходять через них, і що будь-які дві прямі містять однакову кількість точок на них. Конфігурації Сильвестра&nbsp;— Галлаї включають, наприклад, афінні та проєктивні простори будь-якої розмірності, визначені над скінченними полями, і є також проєктивними конфігураціями.

Будь-якій проєктивній конфігурації можна дати позначення (''pa''&nbsp;''ℓ''<sub>''b''</sub>), де ''p''&nbsp;— число точок, ''ℓ''&nbsp;— число прямих, ''a''&nbsp;— число прямих, що проходять через точку, а ''b''&nbsp;— число точок на прямій, для яких виконується рівність ''pa''&nbsp;=&nbsp;''ℓb.'' Моцкін зауважив, що для визначення схеми Сильвестра&nbsp;— Галлаї для цих параметрів необхідно, щоб ''b''&nbsp;>&nbsp;2, ''p''&nbsp;<&nbsp;''ℓ'' (будь-яка множина неколінеарних точок у проєктивному просторі визначає принаймні стільки прямих, скільки є точок) і щоб виконувалася така додаткова рівність

: <math>\binom{p}{2}=\binom{b}{2}\ell.</math>

Ліва частина рівності відбиває число пар точок, а права&nbsp;— число пар, покритих прямими конфігурації.

Схеми Сильвестра&nbsp;— Галлаї, які є також проєктивними конфігураціями, є тими самими об'єктами, що й [[Система Штейнера|системи Штейнера]] з параметрами ST(2,''b'',''p'').

Моцкін перерахував деякі приклади малих конфігурацій цього типу:

* 7<sub>3</sub>7<sub>3</sub>, параметри [[Площина Фано|площини Фано]], проєктивної площини над полем із двох елементів.
* 9<sub>4</sub>12<sub>3</sub>, параметри [[Конфігурація Гессе|конфігурації Гессе]]. Це афінна площина над триелементним полем. Конфігурацію можна реалізувати також у комплексних координатах як множину [[Точка перегину|точок перегину]] [[Еліптична крива|еліптичної кривої]].
* 13<sub>4</sub>13<sub>4</sub>, параметри проєктивної площини над триелементним полем.
* 13<sub>6</sub>26<sub>3,</sub> параметри двох 13-елементних [[Система Штейнера|систем Штейнера]].
* 15<sub>7</sub>35<sub>3</sub>, параметри тривимірного проєктивного простору над двоелементним полем та 79 інших систем трійок Штейнера.
* 16<sub>5</sub>20<sub>4</sub> параметри афінної площини над чотириелементним полем.
* 21<sub>5</sub>21<sub>5</sub>, параметри проєктивної площини над четирехелементним полем.
* 25<sub>6</sub>30<sub>5</sub> параметри афінної площини над п'ятиелементним полем.

Борос, Фюреді і Келлі{{Sfn|Boros, Füredi, Kelly|1989}}, а також Боковські і Ріхтер-Геберт{{Sfn|Bokowski, Richter-Gebert|1992}} вивчали альтернативні геометричні подання схем Сильвестра&nbsp;— Галлаї, в яких точки схеми подаються [[Мимобіжні прямі|мимобіжними прямими]] в чотиривимірному просторі, а кожна пряма схеми подається гіперплощиною. Як семиточкова, так і 13-точкова проєктивні площини мають подання цього типу.

== Інші приклади ==
Келлі і Нванкпа{{Sfn|Kelly, Nwankpa|1973}} класифікували загалом усі неколлінеарні конфігурації Сильвестра&nbsp;— Галлаї і схеми Сильвестра&nbsp;— Галлаї над максимум 14 точками. До цих схем належить унікальна схема із десятьма точками. У схемі деякі точки належать трьом чотириточковим прямим, інші належать трьом триточковим прямим та одній чотириточковій. Існує також єдина 11-точкова схема Сильвестра&nbsp;— Галлаї, дві різні 12-точкові схеми та чотири нерегулярні 13-точкові схеми. Для 14 точок вони виявили, що також існує лише одна схема Сильвестра&nbsp;— Галлаї.

== Примітки ==
{{Reflist|2}}

== Література ==
* {{Стаття|author=Jürgen Bokowski, Jürgen Richter-Gebert|ref=Bokowski, Richter-Gebert|issue=1|видання=[[Journal of Combinatorial Theory]]|серія=Series B|pages=161–165|title=A new Sylvester-Gallai configuration representing the 13-point projective plane in '''R'''<sup>4</sup>|том=54|рік=1992}}
* {{Стаття|author=Endre Boros, Zoltán Füredi, L. M. Kelly|ref=Boros, Füredi, Kelly|issue=4|видання=[[Discrete and Computational Geometry]]|pages=345–348|title=On representing Sylvester-Gallai designs|url=https://archive.org/details/sim_discrete-computational-geometry_1989_4_4/page/345|том=4|рік=1989}}
* {{Стаття|author=Noam Elkies, Lou M. Pretorius, Konrad J. Swanepoel|ref=Elkies, Pretorius, Swanepoel|arxiv=math/0403023|issue=3|видання=[[Discrete and Computational Geometry]]|pages=361–373|title=Sylvester–Gallai theorems for complex numbers and quaternions|том=35|рік=2006}}
* {{Книга
|автор = [[Пал Ердеш|P. Erdős]]
|ref = Erdős
|місце = Berlin
|сторінки = 46–53
|видавництво = Springer
|серія = Lecture Notes in Mathematics
|посилання = http://www.renyi.hu/~p_erdos/1980-41.pdf
|том = 792
|рік = 1980
|назва = Geometry and differential geometry (Proc. Conf., Univ. Haifa, Haifa, 1979)
}}.
* {{Стаття|author=L. M. Kelly|ref=Kelly|issue=1|видання=[[Discrete and Computational Geometry]]|pages=101–104|title=A resolution of the Sylvester–Gallai problem of J. P. Serre|том=1|рік=1986}}
* {{Стаття|author=L. M. Kelly, S. Nwankpa|ref=Kelly, Nwankpa|видання=[[Journal of Combinatorial Theory]]|серія=Series A|pages=422–438|title=Affine embeddings of Sylvester-Gallai designs|том=14|рік=1973}}
* {{Стаття|author=Th. Motzkin|ref=Motzkin|видання=[[Transactions of the American Mathematical Society]]|pages=451–464|title=The lines and planes connecting the points of a finite set|том=70|рік=1951}}
* {{Стаття|author=[[Жан-П'єр Серр|Jean-Pierre Serre]]|ref=Serre|issue=1|видання=American Mathematical Monthly|title=Advanced Problems: 5350-5359|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1966-01_73_1/page/89|том=73|рік=1966}}
[[Категорія:Конфігурації]]