Перегляд вихідного коду сторінки Конфігурація Кремони — Річмонда

[[Файл:Cremona-Richmond_configuration.svg|міні|240x240пкс|Конфігурація Кремони&nbsp;— Річмонда]]
'''Конфігурація Кремони&nbsp;— Річмонда'''&nbsp;— [[Конфігурація (геометрія)|конфігурація]] з 15 прямих і 15 точок, по три точки, що лежать на кожній прямій, і через кожну точку проходять 3 прямих, при цьому конфігурація не містить трикутників. Конфігурацію вивчали [[Луїджі Кремона|Кремона]] {{Harvard citation|Cremona|1877}} і {{Не перекладено|Герберт Вільям Річмонд|Річмонд|en|Herbert William Richmond}} {{Harvard citation|Richmond|1900}}. Конфігурація є [[Узагальнений чотирикутник|узагальненим чотирикутником]] з параметрами (2,2). [[Граф Леві]] конфігурації&nbsp;— це [[граф Татта — Коксетера]].<ref name="cc">{{Harvnb|Coxeter|1950}}; {{Harvnb|Coxeter|1958}}. Терміни двійки (duads) і набори (synthemes) взято зі статті Сильвестера {{Harvard citation|Sylvester|1844}}, але Сильвестер використав ці системи пар і розкладів у контексті загальніших досліджень комплектів і розкладів множин, не надаючи особливої уваги множині зі шести елементів і не пов'язуючи цих множин із геометрією.</ref>

== Симетрія ==
Точки конфігурації Кремони&nbsp;— Річмонда можна ототожнити з <math>15=\binom{6}{2}</math> невпорядкованими парами елементів множини з шести елементів, прямі ж конфігурації можна ототожнити з 15 способами розкладання цих шести елементів на три пари, при цьому точка [[Інцидентність (геометрія)|інцидентна]] прямій (лежить на прямій) [[тоді й лише тоді]], коли відповідна пара елементів міститься в розкладі, відповідному прямій. У цій схемі пари елементів називають '''двійками''' (duads), а розклади на три пари називаються '''наборами''' (synthemes). Таким чином, [[симетрична група]] шести елементів діє транзитивно на прапори конфігурації, де прапор&nbsp;— це пара-пряма і точка на ній. Ця група є групою [[автоморфізм]]ів конфігурації.<ref name="cc"/>

Конфігурація Кремони&nbsp;— Річмонда є [[Двоїстість (проєктивна геометрія)|самодвоїстою]]&nbsp;— можна поміняти місцями точки і прямі, зберігаючи при цьому всі властивості інцидентності конфігурації. Ця двоїстість надає графу Татта&nbsp;— Коксетера додаткових симетрій, що не належать симетріям конфігурації Кремони&nbsp;— Річмонда, які міняють місцями обидві частки двочасткового графу. Ці симетрії відповідають [[Зовнішній автоморфізм групи|зовнішнім автоморфізмам]] симетричної групи шести елементів.

== Реалізація ==
Будь-які шість точок у загальному положенні в чотиривимірному просторі дають 15 точок, які визначаються перетином прямих, що проходять через дві точки, з гіперплощинами, визначеними іншими чотирма точками. Таким чином, двійки відповідають один до одного цим отриманим 15 точкам. Будь-які три двійки, які разом утворюють набір, задають пряму, що є перетином трьох гіперплощин, які містять дві з трьох трійок з набору, і ця пряма містить усі точки, відповідні трьом двійкам набору. Таким чином, двійки і набори абстрактної конфігурації один до одного відповідають, у сенсі належності точок прямим, цим 15 точкам і 15 прямим, отриманим із початкових шести точок. Цю ж побудову можна спроєктувати в евклідів простір (3-вимірний) або на евклідову площину.<ref name="cc"/>

Конфігурація Кремони&nbsp;— Річмонда має також сімейство реалізацій на площині, залежне від одного параметра, яке має циклічну симетрію п'ятого порядку.<ref>{{Harvnb|Zacharias|1951}}; {{Harvnb|Boben, Pisanski|2003}}; {{Harvnb|Boben, Grünbaum, Pisanski, Žitnik|2006}}.</ref>

== Історія ==
Шлефлі {{Harvard citation|Schläfli|1858}}{{Harvard citation|Schläfli|1863}} знайшов [[Кубічна поверхня|кубічні поверхні]], що містять 15 дійсних прямих (додаткових до [[Подвійна шістка Шлефлі|подвійної шістки Шлефлі]] у множині 27 прямих кубик) і 15 дотичних площин, по три прямих на кожній площині і по три площини, що проходять через кожну пряму. Перетин цих прямих і площин зі ще однією площиною дає конфігурацію 15<sub>3</sub>15<sub>3</sub>. Цю модель інциденцій прямих і площин Шлефлі пізніше опублікував Кремона {{Harvard citation|Cremona|1868}}. Те, що отримана конфігурація не містить трикутників, помітив Мартінетті {{Harvard citation|Martinetti|1886}}. Та сама конфігурація з'явилася в роботі Річмонда {{Harvard citation|Richmond|1900}}. Вісконті {{Harvard citation|Visconti|1916}} виявив, що конфігурацію можна подати у вигляді самовписаного багатокутника. {{Не перекладено|Генрі Фредерік Бейкер|Бейкер|en|H. F. Baker}} використовував чотиривимірну реалізацію конфігурації як малюнок на обкладинці його двотомної роботи 1922—1925 ''Principles of Geometry'' (Основи геометрії). Захаріс {{Harvard citation|Zacharias|1951}} перевідкрив ту саму конфігурацію і виявив її реалізацію з циклічною симетрією п'ятого порядку.<ref name="bgpz"> Історію конфігурації Кремони&nbsp;— Річмонда та більшість посилань взято зі статті {{Harvnb|Boben, Grünbaum, Pisanski, Žitnik|2006}}. Посилання на Бейкера взято зі статті Коксетера {{Harvard citation|Coxeter|1950}}.</ref>

Назва конфігурації походить від робіт Кремони {{Harvard citation|Cremona|1868}}{{Harvard citation|Cremona|1877}} і Річмонда {{Harvard citation|Richmond|1900}}. Можливо, внаслідок деяких помилок у роботах Мартінетті, його внесок залишився непоміченим.<ref name="bgpz"/>

== Примітка ==
{{Reflist}}

== Література ==

* {{Стаття|author=M. Boben, T. Pisanski|doi=10.1016/S0195-6698(03)00031-3|issue=4|видання=European Journal of Combinatorics|pages=431–457|title=Polycyclic configurations|url=http://www.imfm.si/preprinti/PDF/00770.pdf|том=24|date=2003|ref=Boben, Pisanski}}
* {{Стаття|author=Marko Boben, Branko Grünbaum, Tomaž Pisanski, Arjana Žitnik|doi=10.1007/s00454-005-1224-9|issue=3|видання=[[Discrete and Computational Geometry]]|pages=405–427|title=Small triangle-free configurations of points and lines|url=http://www.imfm.si/preprinti/PDF/00938.pdf|том=35|date=2006|ref=Boben, Grünbaum, Pisanski, Žitnik}}.
* {{Стаття|author=H. S. M. Coxeter|doi=10.1090/S0002-9904-1950-09407-5|видання=Bulletin of the American Mathematical Society|pages=413–455|title=Self-dual configurations and regular graphs|том=56|date=1950|ref=Coxeter}}.
* {{Стаття|author=H. S. M. Coxeter|title=Twelve points in PG(5,3) with 95040 self-transformations|видання=[[Proceedings of the Royal Society A]]|том=247|date=1958|issue=1250|pages=279–293|doi=10.1098/rspa.1958.0184|ref=Coxeter}}.
* {{Стаття|author=L. Cremona|видання=J. Reine Angew. Math.|pages=1–133|title=Mémoire de géométrie pure sur les surfaces du troisieme ordre|том=68|date=1868|ref=Cremona}}. Як процитовано в {{Harvnb|Boben, Grünbaum, Pisanski, Žitnik|2006}}.
* {{Стаття|author=L. Cremona|title=Teoremi stereometrici dal quali si deducono le proprietà dell' esagrammo di Pascal|url=https://books.google.com/books?id=FoYlSQAACAAJ|серія=Atti della R. Accademia dei Lincei|date=1877|том=1|ref=Cremona|accessdate=27 вересня 2021|archivedate=27 вересня 2021|archiveurl=https://web.archive.org/web/20210927191604/https://books.google.com/books?id=FoYlSQAACAAJ}}
* {{Книга
|автор = Branko Grünbaum
|заголовок = Configurations of points and lines
|видавництво = [[Американське математичне товариство|American Mathematical Society]]
|місце = Providence, R.I.
|серія = Graduate Studies in Mathematics
|ISBN = 978-0-8218-4308-6
|рік = 2009
|том = 103
|ref = Grünbaum
}}
* {{Стаття|last=V. Martinetti|doi=10.1007/BF02420733|issue=1|видання=Annali di matematica pura ed applicata|pages=161–192|title=Sopra alcune conﬁgurazioni piane|том=14|date=1886|ref=Martinetti}}.
* {{Стаття|author=H. W. Richmond|title=On the figure of six points in space of four dimensions.|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN600494829_0031|date=1900|видання=Quart. J.|том=31|pages=125–160|ref=Richmond}}
* {{Стаття|author=L. Schläfli|видання=Quart. J. Pure Appl. Math.|pages=55–65, 110–120|title=An attempt to determine the twenty-seven lines upon a surface of the third order, and to divide such surfaces into species in reference to the reality of the lines upon the surface|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN600494829_0002|том=2|date=1858|ref=Schläfli}}.
* {{Стаття|author=L. Schläfli|doi=10.1098/rstl.1863.0010|видання=Philosophical Transactions of the Royal Society|pages=193–241|title=On the distribution of surfaces of the third order into species, in reference to the absence or presence of singular points, and the reality of their lines|url=https://archive.org/details/philtrans03162110|том=153|date=1863|ref=Schläfli}}.
* {{Стаття|author=J. J. Sylvester|title=Elementary researches in the analysis of combinatorial aggregation|видання=The Philos. Mag.|том=24|date=1844|pages=285–295|ref=Sylvester}}.
* {{Стаття|author=E. Visconti|видання=Giornale di Matematiche di Battaglini|pages=27–41|title=Sulle conﬁgurazioni piane atrigone|том=54|date=1916|ref=Visconti}} Як процитовано в {{Harvnb|Boben, Grünbaum, Pisanski, Žitnik|2006}}.
* {{Стаття|author=Max Zacharias|doi=10.1002/mana.19510050602|видання=[[Mathematische Nachrichten]]|pages=329–345|title=Streifzüge im Reich der Konfigurationen: Eine Reyesche Konfiguration (15<sub>3</sub>), Stern- und Kettenkonfigurationen|том=5|date=1951|ref=Zacharias}}.

== Посилання ==
* {{MathWorld|title=Cremona–Richmond Configuration|urlname=Cremona-RichmondConfiguration}}
* [https://archive.org/stream/principlesofgeom04bake#page/n7/mode/2up Image ofCremona-Richmond configuration]
* [https://archive.org/stream/principlesofgeom02bake#page/n7/mode/2up Image ofCremona-Richmond configuration]
[[Категорія:Конфігурації]]