Перегляд вихідного коду сторінки Конус

{{otheruses}}
{{unibox}}[[Файл:Cone 3d.png|thumb|Прямий і похилий конуси]]
[[Файл:Cutting cone.svg|thumb|[[Зрізаний конус|Зрізаний круговий конус]]]]
'''Ко́нус''' ({{lang-la|conus}} від {{lang-grc|κώνος}}&nbsp;— «шпичак шолома», «шишка»)<ref>{{ЕСУМ2}}</ref> [[Архаїзм|заст.]] ''кружі́ль''<ref>[https://r2u.org.ua/s?w=кружіль&scope=all&dicts=all&highlight=on Ко́нус] // [[Російсько-українські словники]] на R2U.</ref>— [[геометричне тіло]], отримане шляхом об'єднання всіх [[промінь (геометрія)|променів]], що виходять з однієї точки&nbsp;— '''вершини конуса''', і таких що проходять через довільну плоску [[крива|криву]]. Іноді конусом називають частину такого [[Геометричне тіло|тіла]], отриману об'єднанням усіх [[відрізок|відрізків]], що з'єднують вершину і точки пласкої поверхні (яку в такому випадку називають '''основою конуса''', а конус називають таким, що спирається на дану поверхню). Надалі буде розглядатися саме цей випадок, якщо не сказано про інше.

За [[ДСТУ]]: '''конус'''&nbsp;— узагальнений термін, під яким залежно від конкретних умов розуміють [[конічна поверхня|конічну поверхню]], конічну деталь чи конічний елемент<ref>ДСТУ 2499-94 Конуси та конічні з'єднання. Терміни та визначення.</ref>.

Відрізок, опущений перпендикулярно з вершини на площину основи (а також його довжина), називається '''висотою конуса'''. Якщо площа основи має скінченне значення, то об'єм конуса також має скінченне значення і дорівнює третині добутку висоти на площу основи. Таким чином всі конуси, що спираються на дану основу, і мають вершину в площині, паралельній цій основі, мають рівний об'єм, оскільки їх висоти рівні. Якщо основою конуса є многокутник, тоді конус стає [[піраміда (геометрія)|пірамідою]]. Таким чином піраміди є підмножиною конусів.

Відрізок, що сполучає вершину конуса з точкою границі його основи називається '''твірною конуса'''. Множина всіх твірних конуса називається '''бічною поверхнею конуса'''.

Якщо основа конуса має [[центр симетрії]] (наприклад, є [[еліпс]]ом) і ортогональна проєкція вершини конуса на його основу збігається з цим центром, то конус називається прямим. При цьому пряма, що сполучає вершину конуса з центром його основи називається віссю конуса. Якщо ж ортогональна проєкція вершини не збігається з центром основи, то такий конус називається косим.

== Означення кругового конуса ==
У курсі шкільної геометрії розглядають конус (точніше, [https://formula.kr.ua/tila-obertannya/pryamij-krugovij-konus.html прямий круговий конус] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191215115621/https://formula.kr.ua/tila-obertannya/pryamij-krugovij-konus.html |date=15 грудня 2019 }}). Конусом (точніше, [[круг]]овим конусом) називається тіло, яке складається із круга&nbsp;— основи конуса, точки, що не лежить в площині цього круга,&nbsp;— вершини конуса і всіх відрізків, які з'єднують вершину конуса з точками основи.

=== Конус обертання ===
Прямий круговий конус (часто його називають просто конусом) можна отримати обертанням прямокутного [[трикутник]]а навколо одного з [[катет]]ів, який таким чином стане '''віссю''' конуса. Конус обертання в прямокутній системі координат описується системою нерівностей:
: <math>\left\{ {{x^2 +y^2 \le \left(\frac{zr}{h}\right)^2}\atop {0\le z\le h}}\right .</math>
:: де <math>r>0,\ h>0</math>

З усіх конусів тільки прямий круговий є тілом обертання.

Перетин площини з прямим круговим конусом є одним з конічних перерізів (в невироджених випадках&nbsp;— еліпсом, параболою чи гіперболою, в залежності від розміщення січної площини).

Частина конуса, що лежить між основою і площиною, паралельною до основи і знаходиться між вершиною і основою, називається '''[[зрізаний конус|зрізаним конусом]]'''.

Конус, що спирається на еліпс, гіперболу чи параболу називається відповідно еліптичним, гіперболічним чи параболічним конусом (останні два мають нескінченний об'єм).

== Площа поверхні конуса ==
[[Файл:Stozek schemat.svg|thumb|Прямий круговий конус]]
Повна площа прямого кругового конуса
: <math>S = \pi rl+\pi r^2</math> ,
де ''r'' та ''l''&nbsp;— радіус кола основи та довжина твірної бічної поверхні відповідно.

Площа бічної поверхні прямого кругового конуса
: <math>S_b = \pi r l</math>,
де ''r'' та ''l''&nbsp;— радіус кола основи та довжина твірної бічної поверхні відповідно.

== Об'єм конуса ==
У загальному випадку:
: <math> V = \frac{1}{3}Sh </math>,
де S&nbsp;— площа основи, h&nbsp;— висота конуса.

Об'єм кругового конуса, відповідно:
: <math> V = \frac{1}{3}\pi r^2h </math>,

Формулу об'єму конуса легко отримати із використанням інтегрального числення. Ми знаємо, що об'єм твердого тіла дорівнює інтегралу площі його перерізу вздовж певної осі. Отже, з точністю до сталої, це інтеграл <math>\int x^2 dx = \tfrac{1}{3} x^3.</math>

== Кут конуса ==
Цей термін означає кут <math>\alpha</math> при вершині в осьовому перерізі конуса.
: <math> \alpha = 2 \operatorname{arctg} \frac{r}{h}</math>

== Вписані та описані тіла ==

=== Конус, описаний навколо піраміди ===
Конус можна описати навколо піраміди, якщо її основа&nbsp;— многокутник, навколо якого можна описати коло, а вершина піраміди проєктується в центр цього кола. Радіус конуса дорівнює радіусу цього кола; висоти конуса і піраміди збігаються.

=== Конус, вписаний у піраміду ===
Конус можна вписати в піраміду, якщо її основа&nbsp;— многокутник, у який можна вписати коло, а вершина піраміди проєктується в центр цього кола. Радіус конуса дорівнює радіусу цього кола; висота конуса і піраміди збігаються.

=== Куля, описана навколо конуса ===
{{Див. також|Описана сфера}}
[[Файл:В перерізі.png|альт=|міні|Куля, описана навколо конуса]]Кулю можна описати навколо довільного конуса. Коло основи конуса і вершина конуса лежать на поверхні кулі. Центр кулі лежить на осі конуса і збігається з центром кола, описаного навколо трикутника, який є осьовим перерізом конуса. Переріз площиною, що проходить через вісь конуса (осьовий переріз). Об'єм кулі, описаної навколо прямого кругового конуса:

: <math>V_k={1 \over 6} \pi \frac{l^6}{ (l^2-r^2) \sqrt{l^2-r^2}}</math>, де <math> l </math>&nbsp;— твірна конуса; <math> r </math>&nbsp;— радіус основи конуса.
: Радіус кулі R, радіус основи конуса r і висота конуса H пов'язані співвідношенням:[[Файл:Осьовий переріз .png|міні|Куля, вписана в конус]]<math>R^2=\bigl(H-R\bigr)^2+r^2</math>

Це співвідношення справедливе зокрема для випадку, коли <math>H\leq R</math>.

=== Куля, вписана в конус ===
{{Див. також|Вписана сфера}}
Кулю можна вписати в довільний конус. Куля дотикається основи конуса в його центрі і бічної поверхні конуса по колу, що лежить в площині, яка паралельна основі конуса. Центр кулі лежить на осі конуса і збігається з центром кола, вписаного в трикутник, що є осьовим перерізом конуса. Радіус кулі R, радіус основи конуса r і висота конуса H пов'язані співвідношенням: <math>\frac{R}{H-R}=\frac{r}{\sqrt{H^2+r^2}}</math>
[[Файл:1912. Земляной конус на руднике Новороссийского общества.jpg|міні|Земляний конус]]
Форму конусів мають насипані на горизонтальній поверхні купи піску, зерна, вугілля, породи, щебеню тощо. Кожному такому матеріалу відповідає ''кут природного укосу''<ref>{{Cite web|title=Геометрія (Бевз, Владімірова) 11 клас|url=https://pidruchnyk.com.ua/448-geometrya-bevz-vladmrova-11-klas.html|website=Шкільні підручники онлайн|accessdate=2019-12-25|language=uk|archive-date=25 грудня 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20191225162621/https://pidruchnyk.com.ua/448-geometrya-bevz-vladmrova-11-klas.html}}</ref> ''-'' кут нахилу твірної до площини основи конуса. Для піску він дорівнює приблизно 30°, для вугілля&nbsp;— 42°, для породи&nbsp;— 46°.

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Блазенський ковпак]]
* [[Зрізаний конус]]
* [[Інструментальний конус]]
* [[Конічна поверхня]]
* [[Конічні перетини]]
* [[Конус (алгебрична геометрія)]]
* [[Конус (топологія)]]
* [[Конусність]]
* [[Проєктивний конус]]
* [[Умова конуса]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* Геометрія. 10-11 класи [Текст]: пробний підручник / Афанасьєва О. М. [та ін.].&nbsp;— Тернопіль: Навчальна книга- Богдан, 2003.&nbsp;— 264 с.&nbsp;— ISBN 966-692-161-8
* Геометрія. 11 клас [Текст]: підручник для загальноосвітніх навчальних закладів: академічний рівень, профіл.рівень / Бевз Г. П. [та ін.].&nbsp;— Київ: Генеза, 2011.&nbsp;— 336 с.
* Геометрія: Стереометрія: 10-11 класи [Текст]: підручник / Погорєлов О. В. &nbsp;— Київ: Освіта, 2001.&nbsp;— 128 с.
* Наочний довідник з геометрії [Текст] / Генденштейн Л. Е., Єршова А. П. &nbsp;— Харків&nbsp;— Тернопіль: Гімназія&nbsp;— Підручники і посібники, 1997.&nbsp;— 96 с.
{{Бібліоінформація}}
[[Категорія:Геометричні тіла]]