Перегляд вихідного коду сторінки Континуум-гіпотеза

{{Універсальна картка}}
'''Конти́нуум-гіпо́теза'''&nbsp;— [[гіпотеза]], яку висунув [[Георг Кантор]] у [[1877]] і згодом безуспішно намагався її довести, що її можна сформулювати таким чином:

: ''Будь-яка нескінченна підмножина [[Континуум (теорія множин)|континууму]] є або [[зліченна множина|зліченною]], або континуальною''.

Континуум-гіпотеза стала першою з двадцяти трьох математичних проблем, про які [[Давид Гільберт]] доповів на II [[Міжнародний конгрес математиків|Міжнародному Конгресі математиків]] в [[Париж]]і [[1900]] року. Тому континуум-гіпотеза відома також як [[проблеми Гільберта|'''перша проблема Гільберта''']].

1940 року [[Курт Гедель]] довів, що у [[Теорія множин Цермело — Френкеля|системі аксіом Цермело—Френкеля з аксіомою вибору]] (ZFC), континуум-гіпотезу не можна спростувати (за припущення про [[несуперечність]] ZFC<ref group="Прим." name="ZFC"/>); а [[1963]] року американський математик [[Пол Коен]] довів, що континуум-гіпотезу не можна довести, виходячи з тих же аксіом (також у припущенні про несуперечність ZFC). Таким чином, континуум-гіпотеза не залежить від аксіом ZFC.

== Еквівалентні формулювання ==
Відомо кілька тверджень, еквівалентних континуум-гіпотезі:
* Пряма <math>\R</math> може бути розфарбована в зліченну кількість кольорів так, що ні для якої одноколірної четвірки чисел <math> a, b, c, d </math> не виконується умова <math>a + b = c + d.</math><ref>http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1201/1201.1207v1.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211127233716/http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1201/1201.1207v1.pdf |date=27 листопада 2021 }} {{ref-en}}</ref>
* Площина <math>\R^2</math> може бути повністю покрита зліченним сімейством кривих, кожна з яких має вигляд <math>y=f(x)</math> (тобто має єдину точку перетину з кожною вертикальною прямою) або <math>x=f(y)</math> (має єдину точку перетину з кожною горизонтальною прямою).<ref> {{книга
 | Автор = [[Вацлав Серпінський]]
 | Заголовок = Cardinal And Ordinal Numbers
 | Місце = [[Варшава]]
 | Видавництво = Polish Scientific Publishers
 | Рік = 1965
}} {{ref-en}} </ref>
* Простір <math>\R^3</math> можна розбити на 3 множини так, що вони перетинаються з будь-якою прямою, паралельною осям ''Ox'','' Oy'' і ''Oz'', відповідно, лише в скінченній кількості точок.<ref> {{книга
 | Автор = [[Вацлав Серпінський]]
 | Заголовок = Про теорію множин
 | Місце = [[Москва]]
 | Видавництво = Просвещение
 | Рік = 1966
}} {{ref-en}} </ref>
* Простір <math>\R^3</math> можна розбити на 3 множини так, що для кожної з них існує така точка ''P'', що ця множина перетинається з будь-якою прямою, що проходить через ''P'', лише в скінченній кількості точок.<ref>http://www.math.wisc.edu/ {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120817032055/http://www.math.wisc.edu/ |date=17 серпня 2012 }} ~ miller/old/m873-05/setplane.ps</ref>

== Узагальнення ==
'''Узагальнена континуум-гіпотеза''' стверджує, що для будь-якої нескінченної множини '''S''', кожна множина, [[кардинальне число]] якої більше, ніж у '''S''', має кардинальне число, яке більше або дорівнює '''2<sup>S</sup>'''.

Узагальнена континуум-гіпотеза також не суперечить аксіоматиці Цермело-Френкеля, і, як довели [[Серпінський]] 1947&nbsp;р. і [[Шпеккер]] 1952&nbsp;р., з неї випливає [[аксіома вибору]].

== Примітки ==
{{reflist|group="Прим."|refs=
<ref name="ZFC">Несуперечність системи аксіом Цермело—Френкеля з аксіомою вибору (ZFC) є необхідною умовою (оскільки в суперечливій системі можна довести будь-яке твердження). Однак, несуперечність ZFC неможливо довести в межах самої ZFC (відповідно до [[Теореми Геделя про неповноту|другої теореми Геделя про неповноту]]).</ref>
}}

== Джерела ==
{{примітки}}

{{Теорія множин}}
{{Математична логіка}}

[[Категорія:Теорія множин]]
[[Категорія:Основні поняття теорії нескінченних множин]]
[[Категорія:Проблеми Гільберта]]
[[Категорія:Нескінченність]]
[[Категорія:Математичні гіпотези]]
[[Категорія:Потужність множин]]