Перегляд вихідного коду сторінки Комутативне кільце

{{Алгебричні структури|ring}}
'''Комутативне кільце'''&nbsp;— [[кільце (алгебра)|кільце]] з [[комутативність|комутативним]] [[множення|множенням]].

Кільця взагалі вивчає [[теорія кілець]] (частина [[абстрактна алгебра|абстрактної алгебри]]).

Комутативні кільця, їх [[ідеал (алгебра)|ідеали]] та їх [[модуль над кільцем|модулі]] вивчає [[комутативна алгебра]] (на комутативній алгебрі базуються [[алгебрична геометрія]] та [[алгебрична теорія чисел]]).

Деякі підвиди комутативних кілець (поставлено в порядку від загальніших до більш спеціалізованих):
: '''комутативне кільце ⊃ [[область цілісності]] ⊃ [[цілозамкнута область]] ⊃ [[факторіальне кільце]] ⊃ [[кільце головних ідеалів]] ⊃ [[евклідове кільце]] ⊃ [[поле (алгебра)|поле]]'''.

== Визначення ==
{{main|Кільце (алгебра)}}
''Кільце'' це [[множина]] ''R'' з двома [[бінарна операція|бінарними операціями]], що називають ''додавання'' та ''множення'' і позначаються символами "+" і "⋅".
Одиничні елементи цих операцій позначають як 0 і 1, відповідно.

Щоб утворювати кільце, ці операції повинні задовільняти властивості:
* ''R'' є [[абелева група|абелевою групою]] відносно додавання;
* ''R'' є [[моноїд]]ом відносно множення,
* множення є [[дистрибутивність|дистрибутивним]] відносно додавання; {{nowrap|1=''a'' ⋅ (''b'' + ''c'') = (''a'' ⋅ ''b'') + (''a'' ⋅ ''c'')}}.

Якщо множення є комутативним, тобто
:''a'' ⋅ ''b'' = ''b'' ⋅ ''a'',
тоді кільце ''R'' називають ''комутативним''.

== Приклади ==
Важливим прикладом, в певному сенсі вирішальним, є [[Цілі числа|кільце цілих чисел]] '''Z''' із двома операціями додавання і множення. Оскільки множення цілих чисел є комутативною операцією, це комутативне кільце. Воно зазвичай позначається '''Z''', що є скороченням [[Німецька мова|німецького]] слова ''Zahlen'' (числа).

[[Поле (алгебра)|Поле]] це комутативне кільце, де <math> 0 \not = 1 </math> і кожен [[0 (число)|не нульовий]] елемент ''a'' є інвертованим; тобто, має мультиплікативне обернене число ''b'', таке що ''a'' ⋅ ''b'' = 1. Тому, за визначенням, будь-яке поле є комутативним кільцем. [[Раціональні числа|Раціональні]], [[Дійсне число|дійсні]] і [[Комплексне число|комплексні]] числа утворюють поля.

Якщо ''R'' це дане комутативне кільце, тоді множина всіх [[Многочлен|поліномів]] для змінної ''X'', коефіцієнти якого належать ''R'' утворюють [[Кільце многочленів|кільце поліномів]], що позначається як ''R''[''X'']. Те саме буде виконуватися і для декількох змінних.

Якщо ''V'' це деякий [[Топологічний простір]], наприклад підмножина деякої '''R'''<sup>''n''</sup>, [[Неперервна функція|неперервні функції]] над ''V'' дійсних або комплексних змінних утворюють комутативне кільце. Те саме буде вірним і для [[Диференційовна функція|диференційовних]] або [[Голоморфна функція|голоморфні функції]], коли обидва поняття визначені такими, що є [[Комплексний многовид|комплексним многовидом]] для ''V''.

== Оборотний елемент ==
...

== Модуль над кільцем ==
...

== Ідеал кільця ==
...

== Див. також ==
* [[Градуйована алгебра|Градуйоване кільце]]

== Джерела ==
* {{Зарисский.Самюэль.Коммутативная алгебра.том1}}
* {{Бурбаки.Коммутативная алгебра}}

{{math-stub}}

[[Категорія:Комутативна алгебра]]
[[Категорія:Теорія кілець]]