Перегляд вихідного коду сторінки Комплексна амплітуда

[[Файл:Wykres wektorowy by Zureks.svg|thumb|300px|Приклад послідовного [[коливальний контур|коливального контуру]] та відповідної векторної діаграми для певної частоти]]
'''Комплексною амплітудою''' у [[фізика|фізиці]] та [[Інженерія|інженерії]] називають [[комплексне число]], що представляє собою [[синусоїда|синусоїду]], чиї [[амплітуда]] (''A''), [[кутова частота]] (''ω'') та [[Фаза (коливання)|початкова фаза]] (''<math>\theta</math>'') є незмінними у часі ({{lang-en|time-invariant }}). За межами пострадянського простору найпоширеніший термін '''фазовий вектор''' або '''фазор''' ({{lang-en|phasor}}), слово, що створене методом [[Телескопія|телескопії]] зі слів фаза та вектор<ref name="FoxBolton2002">{{cite book|author1=Huw Fox|author2=William Bolton|title=Mathematics for Engineers and Technologists|url=https://archive.org/details/mathematicsforen00foxh_204|year=2002|publisher=Butterworth-Heinemann|isbn=978-0-08-051119-1|page=[https://archive.org/details/mathematicsforen00foxh_204/page/n36 30]}}</ref><ref name="Rawlins2000">{{cite book|author=Clay Rawlins|title=Basic AC Circuits|year=2000|publisher=Newnes|isbn=978-0-08-049398-5|page=124|edition=2nd}}</ref>. Своїй ідеї використання фазового вектора завдячує більш загальному представленню аналітичного сигналу<ref name=Bracewell>Bracewell, Ron. ''The Fourier Transform and Its Applications''. McGraw-Hill, 1965. p269</ref>, яким синусоїда розкладається на результат множення комплексної константи та коефіцієнту, що включає в себе частоту та залежність від часу. Комплексна константа відома у літературі під назвами '''фазор''', '''комплексна амплітуда'''<ref name="Kumar2008">{{cite book|author=K. S. Suresh Kumar|title=Electric Circuits and Networks|year=2008|publisher=Pearson Education India|isbn=978-81-317-1390-7|page=272}}</ref><ref name="ZhangLi2007">{{cite book|author1=Kequian Zhang|author2=Dejie Li|title=Electromagnetic Theory for Microwaves and Optoelectronics|year=2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-74296-8|page=13|edition=2nd}}</ref>, та, у старіших текстах, '''синор''' ({{lang-en|sinor}})<ref name="Hindmarsh2014"/> чи '''комплексор''' ({{lang-en| complexor }})<ref name="Hindmarsh2014">{{cite book|author=J. Hindmarsh|title=Electrical Machines & their Applications|year=1984|edition=4th|publisher=Elsevier|isbn=978-1-4832-9492-6|page=58}}</ref>.

Звичайною ситуацією для електричних мереж є наявність кількох синусоїд з однаковою частотою але різною амплітудою та фазою. Єдиною різницею при аналітичному представленні є їх комплексна амплітуда або фазор. Лінійна комбінація таких функцій може бути перетворена у результат лінійної комбінації комплексних амплітуд (відома як арифметика фазорів {{lang-en| phasor arithmetic }}) та коефіцієнтів залежності від часу та частоти, що є спільними для них всіх.

Термін фазор виник на основі коректного припущення, що дії з комплексними амплітудами чимось подібні до дій з [[Вектор (математика) |векторами]] .<ref name="Hindmarsh2014"/>. Важливою особливістю використання комплексних амплітуд є те, що визначення [[похідна|похідної]] та [[інтеграл]]у сигналу у формі синусоїди (з сталими амплітудою, періодом та фазою) відповідають простим арифметичним операціям над комплексними амплітудами. Таким чином перехід до комплексних амплітуд дозволяє виконувати аналіз режимів роботи електричних мереж, або іншими словами&nbsp;— розрахунки сталих режимів [[коливний контур|коливних контурів]] [[змінний струм|змінного струму]], розв'язанням систем [[Алгебраїчне рівняння|алгебраїчних рівнянь]] (хоча і з комплексними коефіцієнтами) в області комплексних амплітуд у порівнянні з розв'язанням системи [[Диференціальні рівняння|диференціальних рівнянь]] в [[Часова область|часовій області]]<ref name="Eccles2011">{{cite book|author=William J. Eccles|title=Pragmatic Electrical Engineering: Fundamentals|year=2011|publisher=Morgan & Claypool Publishers|isbn=978-1-60845-668-0|page=51}}</ref><ref name="DorfSvoboda2010">{{cite book|author1=Richard C. Dorf|author2=James A. Svoboda|title=Introduction to Electric Circuits|url=https://archive.org/details/introductiontoel00dorf_304|year=2010|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-52157-1|page=[https://archive.org/details/introductiontoel00dorf_304/page/n680 661]|edition=8th}}</ref>. Винахідником такого перетворення був [[Чарльз Протеус Штейнмец]], що працював у кінці 19 сторіччя у компанії [[General Electric]]<ref name="RobbinsMiller2012">{{cite book|author1=Allan H. Robbins|author2=Wilhelm Miller|title=Circuit Analysis: Theory and Practice|year=2012|edition=5th|publisher=Cengage Learning|isbn=1-285-40192-1|page=536}}</ref><ref name="YangLee2008"/>.

Якщо не звертати увагу на певні математичні тонкощі, то можна сказати, що перетворення комплексних амплітуд є окремим випадком [[перетворення Лапласа]], що додатково може використовуватись для визначення [[Перехідний процес|перехідного процесу]], що відбувається у коливному колі<ref name="DorfSvoboda2010"/><ref name="YangLee2008">{{cite book|author1=Won Y. Yang|author2=Seung C. Lee|title=Circuit Systems with MATLAB and PSpice|year=2008|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-82240-1|pages=256–261}}</ref>. Однак власне перетворення Лапласа математично важче застосовувати та це може бути недоречним, якщо мова іде виключно про аналіз сталого режиму<ref name="YangLee2008"/>.

[[Файл:unfasor.gif|thumb|right|Рис. 2. Коли функція <math>\scriptstyle A\cdot e^{i(\omega t + \theta)}</math> представлена на комплексній площині, вектор, що утворений дійсною та уявною його частиною, обертається навколо вихідної точки. Його амплітуда позначена через '''A''', один оберт здійснюється за 2π/ω секунд. θ&nbsp;— це кут, що формує вектор до осі реальних чисел в&nbsp;''t''&nbsp;=&nbsp;n•2π/ω, для цілих n.]]

== Визначення ==

[[Формула Ейлера]] каже, що синусоїда може бути представлена математично як сума двох функцій з [[комплексне число|комплексними]] складовими:

: <math>A\cdot \cos(\omega t + \theta) = A \cdot \frac{e^{i(\omega t + \theta)} + e^{-i(\omega t + \theta)}}{2},</math> &nbsp; &nbsp;{{efn|
*'''i''' - [[уявна одиниця]] (<math>i^2 = -1</math>).
*В електротехніці, через використання літери '''i''' для позначення миттєвого значення струму, вісь уявних чисел позначається через '''j'''.
*Частота хвилі в [[герц]]ах, визначається як <math>\omega/2\pi</math>.}}

або як [[дійсні числа|дійсне число]] однієї з функцій:

: <math>
\begin{align}
A\cdot \cos(\omega t + \theta) = \operatorname{Re} \{ A\cdot e^{i(\omega t + \theta)}\}= \operatorname{Re} \{ A e^{i\theta} \cdot e^{i\omega t}\}.
\end{align}
</math>

Функція <math>A\cdot e^{i(\omega t + \theta)}</math> є аналітичним представленням <math>A\cdot \cos(\omega t + \theta).</math>&nbsp; Рисунок 2 показує вектор, що обертається, на комплексній площині. Інколи зручно до всіє функції звертатись, як до комплексної амплітуди<ref>{{cite book|last1=Singh|first1=Ravish R|title=Electrical Networks|date=2009|publisher=Mcgraw Hill Higher Education|isbn=0070260966|page=4.13|chapter=Section 4.5: Phasor Representation of Alternating Quantities}}</ref>, як і буде використано далі у статті. Хоча зазвичай під поняттям комплексної амплітуди мають на увазі лише статичний вектор,<math> A e^{i\theta}.</math>&nbsp; Ще більш компактне представлення комплексної амплітуди&nbsp;— це використання кутового представлення ({{lang-en| angle notation }}): &nbsp;<math>A \angle \theta.\,</math>&nbsp; у порівнянні з векторним представленням ({{lang-en| vector notation}}).

== Арифметика комплексної амплітуди ==

=== Множення на скалярну величину ===
В результаті множення комплексної амплітуди &nbsp;<math>A e^{i\theta} e^{i\omega t}\,</math> на комплексне число &nbsp;<math>B e^{i\phi}\,</math>&nbsp; дає іншу комплексну амплітуду. Це означає, що змін зазнає амплітуда та фаза синусоїди, що писана цією комплексною амплітудою:

: <math>
\begin{align}
\operatorname{Re}\{(A e^{i\theta} \cdot B e^{i\phi})\cdot e^{i\omega t} \}
&= \operatorname{Re}\{(AB e^{i(\theta+\phi)})\cdot e^{i\omega t} \} \\
&= AB \cos(\omega t +(\theta+\phi))
\end{align}
</math>

В електроніці <math>B e^{i\phi}\,</math> представляє [[Електричний імпеданс|комплексний опір]], що є незалежним від часу. Зокрема він не є спрощеним записом іншої комплексної амплітуди. Множення комплексної амплітуди струму на опір дає комплексну амплітуду напруги, але множення між собою двох комплексних амплітуд або зведення до квадрату, що є операцією множення двох синусоїд&nbsp;— це виконання нелінійної операції, що утворює компоненти з новою частотою. Представлення у комплексних амплітудах може застосовуватись лише для систем з однією частотою.

=== Диференціювання та інтегрування ===
 
Похідна за часом чи інтеграл від комплексної амплітуди дасть іншу комплексну амплітуду{{efn|
Це виходить з &nbsp;<math>\frac{d}{d t}(e^{i \omega t}) = i \omega e^{i \omega t}</math>

що означає, що [[Формула Ейлера|комплексна ступенева функція]] є [[власна функція|власною функцією]] при операції [[похідна|диференціювання]].
}}. Наприклад:

: <math>
\begin{align}
\operatorname{Re}\left\{\frac{d}{d t}(A e^{i\theta} \cdot e^{i\omega t})\right\}= \operatorname{Re}\{A e^{i\theta} \cdot i\omega e^{i\omega t}\} = \operatorname{Re}\{A e^{i\theta} \cdot e^{i\pi/2} \omega e^{i\omega t}\} = \operatorname{Re}\{\omega A e^{i(\theta + \pi/2)} \cdot e^{i\omega t}\} = \omega A\cdot \cos(\omega t + \theta + \pi/2)
\end{align}
</math>

Таким чином у представленні комплексними амплітудами похідна за часом синусоїди є простим множенням на константу <math>i \omega = (e^{i\pi/2} \cdot \omega).\,</math>&nbsp;

Подібно до похідної, інтеграл від комплексної амплітуди відповідає множенню на <math>\frac{1}{i\omega} = \frac{e^{-i\pi/2}}{\omega}.\,</math>&nbsp; Залежний від часу коефіцієнт, &nbsp;<math>e^{i\omega t}\,</math>,&nbsp; на зазнає впливу.

Коли ми вирішуємо [[лінійне диференціальне рівняння]] у арифметиці комплексних амплітуд ми, фактично, виносимо коефіцієнт&nbsp;<math>e^{i\omega t}\,</math>&nbsp; за межі рівнянь та повертаємо його до відповіді. Наприклад, розглянемо таке рівняння напруги на конденсаторі в [[RC-коло|RC-колі]]:

: <math>\frac{d\ v_C(t)}{dt} + \frac{1}{RC}v_C(t) = \frac{1}{RC}v_S(t)</math>

Якщо джерело напруги в колі дає синусоїду:

: <math>v_S(t) = V_P\cdot \cos(\omega t + \theta),\,</math>

можна підставити:

: <math>
\begin{align}
v_S(t) &= \operatorname{Re} \{V_s \cdot e^{i\omega t}\} \\
\end{align}
</math>
: <math>v_C(t) = \operatorname{Re} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\},</math>

де комплексні амплітуди &nbsp;<math>V_s = V_P e^{i\theta},\,</math>&nbsp; та <math>V_c\,</math> невідомі, які необхідно визначити.
 
У спрощеному представлені комплексних амплітуд диференціальне рівняння спрощується до{{efn|
'''Доказ:'''

{{NumBlk|:|
<math>\frac{d\ \operatorname{Re} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\}}{dt} + \frac{1}{RC}\operatorname{Re} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\} = \frac{1}{RC}\operatorname{Re} \{V_s \cdot e^{i\omega t}\}</math>
|{{EquationRef|Eq.1}}}}

Оскільки так має бути для всіх <math>t\,</math>, зокрема''':''' &nbsp;<math>t-\frac{\pi}{2\omega },\,</math>&nbsp; виходить''':'''

{{NumBlk|:|
<math>\frac{d\ \operatorname{Im} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\}}{dt} + \frac{1}{RC}\operatorname{Im} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\} = \frac{1}{RC}\operatorname{Im} \{V_s \cdot e^{i\omega t}\}</math>
|{{EquationRef|Eq.2}}}}

Також видно, що:

: <math>\frac{d\ \operatorname{Re} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\}}{dt} 
= \operatorname{Re} \left\{ \frac{d\left( V_c \cdot e^{i\omega t}\right)}{dt} \right\}
= \operatorname{Re} \left\{ i\omega V_c \cdot e^{i\omega t} \right\}</math>

: <math>\frac{d\ \operatorname{Im} \{V_c \cdot e^{i\omega t}\}}{dt} 
= \operatorname{Im} \left\{ \frac{d\left( V_c \cdot e^{i\omega t}\right)}{dt} \right\}
= \operatorname{Im} \left\{ i\omega V_c \cdot e^{i\omega t} \right\}</math>

Підставляючи в &nbsp;{{EquationNote|Eq.1}} та &nbsp;{{EquationNote|Eq.2}}, перемножаючи &nbsp;{{EquationNote|Eq.2}} на <math>i,\,</math>&nbsp; да оддоаючи рівняння одне до одного''':'''

: <math>i\omega V_c \cdot e^{i\omega t} + \frac{1}{RC}V_c \cdot e^{i\omega t} = \frac{1}{RC}V_s \cdot e^{i\omega t}</math>

: <math>\left(i\omega V_c + \frac{1}{RC}V_c \right) \cdot e^{i\omega t} = \left( \frac{1}{RC}V_s\right) \cdot e^{i\omega t}</math>

: <math>i\omega V_c + \frac{1}{RC}V_c = \frac{1}{RC}V_s \quad\quad(\mathrm{QED})</math>
}}''':'''

: <math>i \omega V_c + \frac{1}{RC} V_c = \frac{1}{RC}V_s</math>

Вирішуючи для комплексної амплітуди напруги на конденсаторі:

: <math>
V_c = \frac{1}{1 + i \omega RC} \cdot (V_s) = \frac{1-i\omega R C}{1+(\omega R C)^2} \cdot (V_P e^{i\theta})\,
</math>

Як ми веж бачили, коефіцієнт <math>V_s\,</math>&nbsp; представляє різницю амплітуди та фази <math>v_C(t)\,</math>&nbsp; по відношенню до <math>V_P\,</math>&nbsp; та <math>\theta.\,</math>

У полярних координатах''':'''

: <math>\frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\cdot e^{-i \phi(\omega)},\text{ where }\phi(\omega) = \arctan(\omega RC).\,</math>

Таким чином:

: <math>v_C(t) = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\cdot V_P \cos(\omega t + \theta- \phi(\omega))</math>

=== Додавання ===
[[Файл:sumafasores.gif|thumb|right|Сума комплексних амплітуд у вигляді сум векторів, що обертаються]]
Сума кількох комплексних амплітуд є ще однією комплексною амплітудою. Це виходить тому, що сума синусоїд однієї частоти є також синусоїдою тієї ж частоти:

: <math>
\begin{align}
A_1 \cos(\omega t + \theta_1) + A_2 \cos(\omega t + \theta_2)
&= \operatorname{Re} \{A_1 e^{i\theta_1}e^{i\omega t}\} + \operatorname{Re} \{A_2 e^{i\theta_2}e^{i\omega t}\} \\[8pt]
&= \operatorname{Re} \{A_1 e^{i\theta_1}e^{i\omega t} + A_2 e^{i\theta_2}e^{i\omega t}\} \\[8pt]
&= \operatorname{Re} \{(A_1 e^{i\theta_1} + A_2 e^{i\theta_2})e^{i\omega t}\} \\[8pt]
&= \operatorname{Re} \{(A_3 e^{i\theta_3})e^{i\omega t}\} \\[8pt]
&= A_3 \cos(\omega t + \theta_3),
\end{align}
</math>

де:

: <math>
A_3^2 = (A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos \theta_2)^2 + (A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2)^2,
</math>
: <math>
\theta_3 = \arctan\left(\frac{A_1 \sin\theta_1 + A_2 \sin\theta_2}{A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2}\right) 
</math>

чи, за [[теорема косинусів|теоремою косинусів]] на [[комплексна площина|комплексній площині]] (чи [[Список тригонометричних тотожностей#Формули для суми аргументів|тригонометричних тотожностей для різниці кутів]])

: <math>
A_3^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2 A_1 A_2 \cos(180^\circ - \Delta\theta),
      = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\Delta\theta),
</math>

де <math>\Delta\theta = \theta_1 - \theta_2</math>.
Головним є те, що <sub>3</sub> та θ<sub>3</sub> не залежать від ω чи t і це уможливлює представлення у вигляді комплексних амплітуд. Час та частота можуть бути викинуті з розгляду та введені назад після виконання дій якщо проведені операції були виключно такі, що утворювали інші комплексні амплітуди. У кутовому представленні операції вище виглядають як:

: <math>A_1 \angle \theta_1 + A_2 \angle \theta_2 = A_3 \angle \theta_3. \, </math>

Інший спосіб представлення суми двох векторів з координатами {{nobr|[''A''<sub>1</sub> cos(''ωt'' + ''θ''<sub>1</sub>), ''A''<sub>1</sub> sin(''ωt'' + ''θ''<sub>1</sub>)]}} та {{nobr|[''A''<sub>2</sub> cos(''ωt'' + ''θ''<sub>2</sub>), ''A''<sub>2</sub> sin(''ωt'' + ''θ''<sub>2</sub>)]}} є [[Вектор (математика)|додавання векторів]] для отримання результуючого вектора з координатами {{nobr|[''A''<sub>3</sub> cos(''ωt'' + ''θ''<sub>3</sub>), ''A''<sub>3</sub> sin(''ωt'' + ''θ''<sub>3</sub>)]}}.

[[Файл:destructive interference.png|thumb|right|Діаграма комплексних амплітуд трьох хвиль в ідеальній протифазі ({{lang-en|perfect destructive interference}})]]
У фізиці таке додавання відбувається, коли синусоїди [[Інтерференція хвиль|взаємодіють між собою]] у фазі або у протифазі. Концепція статичних векторів надає необхідну інформацію для відповіді на питання на кшталт: «Яка різниця у фазі між трьома ідеальними синусоїдами потрібна для отримання ідеальної протифази?» У цьому випадку просто візьміть три вектори однакової довжини та розташуйте їх, сумістивши їх початки та кінці таким чином, що кінець останнього вектора має ті ж координати, що і початок першого. Очевидно, що цій умові відповідає рівносторонній [[трикутник]] з кутами між сусідніми векторами 120° (2π/3 радіан) або одна третя довжини хвилі<sup>{{var|λ}}</sup>/<sub>3</sub>. Тож різниця фаз має бути також 120°, як у випадку [[Трифазна система електропостачання|трифазної системи електропостачання]].

Іншими словами:

: <math>\cos(\omega t) + \cos(\omega t + 2\pi/3) + \cos(\omega t -2\pi/3) = 0.\,</math>

У прикладі з трьома хвилями різниця у фазі між першою та останньою хвилями була 240 градусів, в той час як протифаза для двох хвиль відбувається при 180 градусах. За умови математичного наближення до великої кількості хвиль протифаза виникне за умови, якщо остання комплексна амплітуда є майже паралельною до першої. Це означає, що для великої кількості джерел протифаза виникає за умови різниці між першою та останньою хвилями у 360 градусів, тобто повної довжини хвилі <math>\lambda</math>. Саме тому виникають області [[дифракція|дифракції]] з мінімальним освітленням, коли [[світло]] з віддаленого джерела подорожує на довжину хвилі довше, ніж від ближчого джерела.

== Діаграма комплексних амплітуд ==

Інженери у галузях електротехніки, енергетики, електроніки та авіації використовують діаграми комплексних амплітуд ({{lang-en|phasor diagrams}}) для візуалізації комплексних сталих та змінних. Як і вектори, направлені стрілки на папері або у комп'ютерних програмах представляють комплексні амплітуди. [[Декартова система координат|Декартова]] та [[Полярна система координат|полярна]] системи координат має кожна свої переваги, перша краще показує дійсну та уявні складові, в той час як друга&nbsp;— розмір та фазу векторів.

== Застосування ==

=== Розрахунок електричних кіл ===

З використанням комплексних амплітуди можливе застосування методів для розрахунку кіл [[Постійний струм|постіного струму]] для кіл зі змінним струмом. Перелік основних правил наведено нижче:
* Закон Ома для резисторів&nbsp;— резистор не має затримок у часі та не змінює фазу сигналу, тому вираз ''V''=''IR'' діє і тут.
* Закон Ома для резисторів, котушок індуктивностей та конденсаторів&nbsp;— ''V''&nbsp;=&nbsp;''IZ'', де ''Z''&nbsp;— [[Електричний імпеданс|повний опір]]
* В колі змінного струму потужність має дві складові&nbsp;— активну (''P''), що є представленням споживання підключеного корисного навантаження, та реактивна (''Q''), що є споживаною та повернутою потужністю реактивними компонентами протягом одного циклу. Можна визначити [[Діюче значення змінного струму|повну потужність]] ''S''&nbsp;=&nbsp;''P''&nbsp;+&nbsp;''jQ'', що має амплітуду ''S''. Закон потужності, виражений у комплексних амплітудах, буде ''S''&nbsp;=&nbsp;''VI''<sup>*</sup> (де ''I''<sup>*</sup>&nbsp;— це [[Спряжені числа|спряжене значення]] струму ''I'', та I з V&nbsp;— діючі значення напруги та струму).
* [[Правила Кірхгофа]] діють для комплексних амплітуд у комплексній формі.

Враховуючи вищезазначене ми можемо застосувати методи аналізу електричних кіл з комплексними амплітудами для аналізу електричних кіл змінного струму з резисторами, котушками індуктивності та конденсаторами. Кола з кількома частотами можуть бути проаналізовані шляхом перетворення всіх форм хвиль до компонентів синусоїдної форми та вирішення окремих задач, кожна з яких має власну частоту, відповідно до [[Принцип суперпозиції|принципу суперпозиції]]

=== Енергетика ===

Зазвичай, при аналізі [[Трифазний струм|трифазної]] енергосистеми, набір комплексних амплітуд обирається, як три середньоквадратичних одиниці. Що графічно представляються як амплітуди з кутами 0, 120 та 240 градусів. Для спрощення розрахунків можна розглядати багатофазну систему комплексних амплітуд, як збалансовану або, за умови незбалансованості, представити її як систему лінійних збалансованих рівнянь. Такий підхід значно знижує вимоги до складності розрахунків падіння напруги, перетоків потужності та струмів короткого замикання. У контексті аналізу енергосистем фаза представляється у вигляді [[Градус (геометрія)|градуса]], а амплітуди&nbsp;— у вигляді середньоквадратичних, а не пікових амплітудних значень синусоїди.

Технологія [[синхрофазор]]а використовується у цифрових вимірювальних пристроях для визначення напруги в електричних системах у географічно віддалених ділянках. Різниця між комплексними амплітудами показує перетоки потужності та допомагає визначати загрози для стабільності системи.

== Див. також ==
* [[IQ-сигнал]]

== Виноски ==
{{notelist}}

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{cite book | author=Douglas C. Giancoli | title=Physics for Scientists and Engineers | url=https://archive.org/details/physicsforscient0000gian_v7u0 | publisher=Prentice Hall | year=1989 | isbn=0-13-666322-2}} {{ref-en}}
* {{cite book
 | last1 = Dorf| first1 = Richard C.
 | first2 = Ronald J. | last2 = Tallarida
 | title =Pocket Book of Electrical Engineering Formulas
 | url = https://archive.org/details/pocketbookofelec0000dorf| publisher =CRC Press
 | edition =1
 | date =1993-07-15
 | location =Boca Raton,FL
 | pages =[https://archive.org/details/pocketbookofelec0000dorf/page/152 152]–155
 | isbn =0849344735 }} {{ref-en}}

== Посилання ==
{{commons category|Phasors}}
* [http://www.jhu.edu/~signals/phasorapplet2/phasorappletindex.htm Phasor Phactory] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080420131521/http://www.jhu.edu/~signals/phasorapplet2/phasorappletindex.htm |date=20 Квітня 2008 }}
* [http://resonanceswavesandfields.blogspot.com/2007/08/phasors.html Візуальне представлення фазорів] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100909151913/http://resonanceswavesandfields.blogspot.com/2007/08/phasors.html |date=9 Вересня 2010 }}
* [http://www.allaboutcircuits.com/vol_2/chpt_2/5.html Полярна та прямокутні системи координат] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100227095537/http://www.allaboutcircuits.com/vol_2/chpt_2/5.html |date=27 Лютого 2010 }}

[[Категорія:Електротехніка]]
[[Категорія:Електроенергетика]]
[[Категорія:Інтерференція]]
[[Категорія:Тригонометрія]]