Перегляд вихідного коду сторінки Компактно-відкрита топологія

'''Компактно-відкрита топологія''' — природна [[Топологічний простір|топологія]] на просторі [[Неперервне відображення|неперервних відображень]] між [[Топологічний простір|топологічними просторами]]. Компактно відкрита топологія часто використовується у теорії гомотопій і [[Функціональний аналіз|функціональному аналізі]].

== Означення ==
Нехай <math>C(X,Y)</math> — простір [[неперервне відображення|неперервних відображень]] між двома [[топологічний простір|топологічними просторами]] <math>X\to Y</math>.  '''Компактно-відкритою топологією''' на цьому просторі називається топологія [[предбаза|передбазу]] якої утворюють множини відображень виду

:<math>W_{K,U}=\{f\in C(X,Y)|f(K)\subset U\},</math>

де <math>U\subset Y</math> — [[відкрита множина]], а <math>K\subset X</math> — [[компактний простір]].

== Приклади ==

* Якщо {{math|*}} є одноточковим топологічним простором то {{math|''C''(*, ''Y'')}} можна ідентифікувати із {{mvar|Y}}. При цій ідентифікації компактно-відкрита топологія співпадає із топологією простору {{mvar|Y}}. 
* Більш загально, якщо {{mvar|X}} є [[Дискретний простір|дискретним простором]], то {{math|''C''(''X'', ''Y'')}} можна ідентифікувати із добутком {{math|{{!}}''X''{{!}}}} копій простору {{mvar|Y}} і компактно-відкрита топологія є рівною топології добутку.
* Якщо {{mvar|Y}} є [[Метричний простір|метричним простором]] (або, більш загально, [[Рівномірний простір|рівномірним простором]]), тоді компактно-відкрита топологія є рівною топології компактної збіжності. Тобто, якщо {{mvar|Y}}  є метричним простором то послідовність {{math|{&thinsp;''f''<sub>''n''</sub>&thinsp;}}} збігається до {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}}  у компактно-відкритій топології якщо і тільки якщо для кожної [[Компактна множина|компактної множини]] {{mvar|K}} у {{mvar|X}}, {{math|{&thinsp;''f''<sub>''n''</sub>&thinsp;}}} [[Рівномірна збіжність|рівномірно збігається]] до {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} на {{mvar|K}}. Якщо {{mvar|X}} є компактним простором, а {{mvar|Y}} — рівномірним простором, тоді компактно-відкрита топологія є рівною топології рівномірної збіжності.
* Компактно-відкрита топологія широко використовується для таких важливих просторів:
** <math>\Omega(X,x_0) = \{ f: I \to X : f(0) = f(1) = x_0 \}</math>, [[простір петель]] для <math>X</math> у точці <math>x_0</math>.
** <math>E(X, x_0, x_1) = \{ f: I \to X : f(0) = x_0,\  f(1) = x_1 \}</math>
** <math>E(X, x_0) = \{ f: I \to X : f(0) = x_0 \}</math>

== Властивості ==

* Якщо {{mvar|X}} є [[Гаусдорфів простір|гаусдорфовим простором]] і {{mvar|S}} є передбазою простору {{mvar|Y}}, тоді множини {{math|{''V''(''K'',&nbsp;''U'') : ''U'' ∈ ''S'', ''K'' compact}}} утворюють передбазу компактно-відкритої топології на {{math|''C''(''X'', ''Y'')}}.
* Якщо {{math|''Z''}} є підпростором {{math|''Y''}} (із [[Індукована топологія|індукованою топологією]]), то компактно-відкрита топологія на {{math|''C''(''X'', ''Z'')}} є індукованою топологією від компактно-відкритої топології на просторі {{math|''C''(''X'', ''Y'')}}.
* Якщо простір {{mvar|Y}} задовольняє [[Простір T0|аксіоми T<sub>0</sub>]], [[Простір T1|T<sub>1</sub>]], є гаусдорфовим, [[Регулярний простір|регулярним]] чи [[Цілком регулярний простір|цілком регулярним]] то такі ж властивості має і компактно відкрита топологія на просторі {{math|''C''(''X'', ''Y'')}}.
*Якщо {{math|''X'', ''Y''}}, {{mvar|A}} і {{mvar|B}} є топологічними просторами, {{math|''f'' : ''A'' → ''X''}} і {{math|''g'' : ''Y'' → ''B''}} — неперервні відображення, то можна задати відображення  {{math|''g''<sup>''f''</sup> : ''C''(''X'', ''Y'') → ''C''(''A'', ''B'')}} як {{math|1=''g''<sup>''f''</sup> (''k'') = ''g'' ∘ ''k'' ∘ ''f''.}} Дане відображення є неперервним, якщо на {{math|''C''(''X'', ''Y'')}} і {{math|''C''(''A'', ''B'')}} задано компактно-відкриті топології.

::Нехай <math>W_{K,U}</math> є елементом передбази простору {{math|''C''(''A'', ''B'')}}, де <math>U\subset B</math> — [[відкрита множина]], а <math>K\subset A</math> — [[компактний простір]]. Тоді 
:::<math>\left(g^f \right)^{-1} (W_{K,U}) = \{ k \in C(X, Y)\ | \ g\circ k \circ f (K) \subset U \}
= \{ k \in C(X, Y)\ | \  k \circ f (K) \subset g^{-1}(U) \}.</math>  Але {{math|''f'' (''K'')}} є компактною множиною у {{mvar|X}}, а {{math|''g''<sup>-1</sup> (''U'') }} 'відкритою множиною у {{mvar|Y}}. Тому <math>\left(g^f \right)^{-1} (W_{K,U}) = W_{f(K),g^{-1}(U)}.</math> Тобто прообрази елементів передбази простору {{math|''C''(''A'', ''B'')}} є відкритими підмножинами у {{math|''C''(''X'', ''Y'')}} і {{math|''g''<sup>''f''</sup>}} є неперервним відображенням.

* У позначеннях попередньої властивості, якщо {{math|''h'' : ''C'' → ''A''}} і {{math|''j'' : ''B'' → ''D''}} є ще двома неперервними відображеннями, то {{math|1=(''j''<sup>''h''</sup>) ∘ (''g''<sup>''f''</sup>) = (''j ∘ g'')<sup>''f ∘ h''</sup>.}}
*Якщо {{math|''f, f' '' : ''A'' → ''X''}} є парою [[Гомотопія|гомотопно еквівалентних]] відображень і  {{math|''g, g' '' : ''Y'' → ''B''}} також є парою гомотопно еквівалентних відображень, тоді {{math|1=''g''<sup>''f''</sup>}} і {{math|1=''g' ''<sup>''f' ''</sup>}} є гомотопно еквівалентними.
*Якщо {{math|''X'', ''Y''}} і {{mvar|Z}}  є топологічними просторами і {{mvar|Y}}  є [[Локально компактний простір|локально компактним]] і гаусдорфовим, то відображення {{math|''C''(''Y'', ''Z'') × ''C''(''X'', ''Y'') → ''C''(''X'', ''Z''),}} задане як {{math|(&thinsp;''f''&thinsp;, ''g'') ↦ &thinsp;''f''&thinsp; ∘ ''g'',}} є неперервним (на всіх функційних просторах задана компактно-відкрита топологія, а на {{math|''C''(''Y'', ''Z'') × ''C''(''X'', ''Y'')}} — топологія добутку).
* Як частковий випадок попередньої властивості, якщо {{mvar|Y}} є локально компактним і гаусдорфовим, тоді відображення обчислення {{math|''e'' : ''C''(''Y'', ''Z'') × ''Y'' → ''Z''}}, задане як {{math|''e''(&thinsp;''f''&thinsp;, ''x'') {{=}} &thinsp;''f''&thinsp;(''x'')}}, є неперервним. Ця властивість зводиться до попередньої, якщо за {{mvar|X}} взяти одноточковий простір.
*Якщо {{math|''X'', ''Y''}} і {{mvar|Z}}  є топологічними просторами і відображення {{math|''f'' : ''X'' × ''Y'' → ''Z''}} є неперервним, то і відображення {{math|''F'' : ''Y'' → ''C''(''X'', ''Z'')}} задане як {{math|(''F''(''y''))(''x'') {{=}} ''f'' (''x'', ''y'')}} є неперервним (для компактно-відкритої топології на {{math|''C''(''X'', ''Z'')}}). Якщо додатково простір {{mvar|X}} є [[Локально компактний простір|локально компактним]] і гаусдорфовим, то правильним буде і обернене твердження, тобто із неперервності ''F'' випливає неперервність ''f''. У цьому випадку одержується бієкція між {{math|''C''(''X'' × ''Y'', ''Z'')}} і {{math|''C''(''Y'', ''C''(''X'', ''Z''))}} яка є гомеоморфізмом відповідних топологічних просторів із компактно-відкритими топологіями.
* Якщо {{mvar|X}} є компактним простором і {{mvar|Y}}  — [[Метричний простір|метричним простором]] і з метрикою {{mvar|d}}, то компактно-відкрита топологія на {{math|''C''(''X'', ''Y'')}} є [[Метризовний простір|метризовною]] із метрикою заданою як {{math|''e''(&thinsp;''f''&thinsp;, ''g'') {{=}} sup{''d''(&thinsp;''f''&thinsp;(''x''), ''g''(''x'')) : ''x'' ∈ ''X''},}} для {{math|&thinsp;''f''&thinsp;, ''g'' ∈ ''C''(''X'', ''Y'')}}.

=== Властивості пов'язані із букетом просторів і смеш-добутком ===

Нижче <math>\vee</math> позначає [[букет просторів]], а <math>\wedge</math> — [[смеш-добуток]] просторів, а всі функціональні простори наділені компактно-відкритою топологією.

* Якщо {{math|''X'', ''Y''}} і {{mvar|Z}}  є топологічними просторами і {{math|''X'', ''Y''}} є гаусдорфовим, то простори <math>C(X \vee Y, Z)</math> і <math>C(X , Z) \times C(Y , Z)</math> є [[гомеоморфізм|гомеоморфними]].
* Якщо {{math|''X'', ''Y''}} і {{mvar|Z}}  є топологічними просторами і {{math|''X''}} є гаусдорфовим, то простори <math>C(X , Y \times Z)</math> і <math>C(X , Y) \times C(X , Z)</math> є гомеоморфними.
*Для топологічних просторів {{math|''X'', ''Y''}} і {{mvar|Z}}  можна задати відображення: 
::<math>\alpha : C(X \wedge Y, Z) \to C(X, C(Y,Z))</math> як <math>[\alpha (k) (x)](y) := k(x \wedge y), \ \ x \in X, y \in Y, k \in X \wedge Y \to Z.</math>
:*Для будь-яких просторів це відображення є [[Ін'єкція (математика)|інєктивним]]. 
:*Якщо {{math|''X''}} є гаусдорфовим простором то воно є неперервним. 
:*Якщо {{math|''Y''}} є [[Локально компактний простір|локально компактним]] і гаусдорфовим, то відображення є [[Сюр'єкція|сюрєктивним]].
:*Якщо {{math|''X''}} і {{math|''Y''}} є [[Компактний простір|компактними]] і гаусдорфовими, то відображення є гомеоморфізмом.

== Див. також ==

* [[Простір петель]]
* [[Рівномірна збіжність]]

== Література ==

* ''О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев'' [http://www.math.uu.se/~oleg/rtopoman.html Задачный учебник по топологии] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070206064314/http://www.math.uu.se/~oleg/rtopoman.html |date=6 Лютого 2007 }}
* {{citation|last=Maunder|first=Charles Richard Francis|title=Algebraic topology|year=1980|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=9780521231619}}

[[Категорія:Топологія]]
[[Категорія:Топологічні простори функцій]]