Перегляд вихідного коду сторінки Коефіцієнт кореляції Пірсона

{{Короткий опис|Міра лінійної кореляції}}
[[Файл:Correlation_coefficient.png|міні|400пкс|праворуч|Приклади діаграм розсіювання з різними значеннями коефіцієнта кореляції (''ρ'')]]
{{Не плутати|Коефіцієнт детермінації|коефіцієнтом детермінації}}
[[Файл:Correlation_examples2.svg|міні|400пкс|праворуч|Декілька наборів точок (''x'',&nbsp;''y''), з коефіцієнтом кореляції між ''x'' та ''y'' для кожного набору. Кореляція відображує силу та напрямок лінійного зв'язку (верхній ряд), але не нахил цього зв'язку (середній), ані багато аспектів нелінійних зв'язків (нижній). Примітка: фігура в центрі має нахил 0, але в цьому випадку коефіцієнт кореляції невизначений, оскільки дисперсія ''Y'' нульова.]]

У [[Статистика|статистиці]], '''коефіціє́нт кореля́ції Пі́рсона''' ('''ККП''', {{lang-en|Pearson correlation coefficient, PCC}}){{efn|Відомий також як '''''r'' Пі́рсона''' ({{lang-en|Pearson's r}}), '''коефіціє́нт кореля́ції моме́нту до́бутку Пі́рсона''' ({{lang-en|Pearson product-moment correlation coefficient, PPMCC}}), '''двови́мірна кореля́ція''' ({{lang-en|bivariate correlation}})<ref>{{cite web |url=http://libguides.library.kent.edu/SPSS/PearsonCorr |title=SPSS Tutorials: Pearson Correlation |language=en}}</ref> та просто неконкретизований '''коефіціє́нт кореля́ції''' ({{lang-en|correlation coefficient}})<ref>{{cite web|url=https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/correlation-coefficient-formula/|title=Correlation Coefficient: Simple Definition, Formula, Easy Steps |website=Statistics How To |language=en}}</ref>}}&nbsp;— це [[коефіцієнт кореляції]], який вимірює {{нп|Лінійність|лінійну||Linearity}} кореляцію між двома наборами даних. Це відношення [[Коваріація|коваріації]] двох змінних до добутку їхніх [[Стандартне відхилення|стандартних відхилень]]; таким чином, це, по суті, унормована міра коваріації, така, що її результат завжди має значення між &minus;1 та 1. Як і сама коваріація, ця міра може відображати лише лінійну [[Кореляція|кореляцію]] змінних, і не враховує багатьох інших типів взаємозв'язків і кореляцій. Як простий приклад, можна було би очікувати, що вік і зріст групи підлітків із середньої школи матимуть коефіцієнт кореляції Пірсона значно більший за 0, але менший за 1 (оскільки 1 означало би нереалістично ідеальну кореляцію).

== Назва й історія ==

Розробив його [[Карл Пірсон]] на основі спорідненої ідеї, запропонованої [[Френсіс Гальтон|Френсісом Гальтоном]] у 1880-х роках, математичну формулу для якої вивів та опублікував [[Огюст Браве]] 1844 року.{{efn|Ще 1877 року Гальтон використовував термін «реверсія» ({{lang-en|"reversion"}}, див. [[Регресія до середнього|регресію до середнього]]) й символ «''r''» для того, що згодом стане «регресією» ({{lang-en|"regression"}}).<ref>{{cite journal |first=F. |last=Galton |date=5–19 April 1877 |title=Typical laws of heredity |journal=Nature |language=en |volume=15 |issue=388, 389, 390 |pages=492–495; 512–514; 532–533 |doi=10.1038/015492a0 |bibcode=1877Natur..15..492. |s2cid=4136393 |url=https://books.google.com/books?id=eskKAAAAYAAJ&pg=PA512|doi-access=free }} У додатку «Appendix» на сторінці 532 Гальтон використовує термін «reversion» та символ ''r''.</ref><ref>{{cite journal |first=F. |last=Galton |date=24 вересня 1885 |title=The British Association: Section II, Anthropology: Opening address by Francis Galton, F.R.S., etc., President of the Anthropological Institute, President of the Section |journal=Nature |language=en |volume=32 |issue=830 |pages=507–510 |url=https://books.google.com/books?id=lN3RjXLUuWsC&pg=PA499}}</ref><ref>{{cite journal |first=F. |last=Galton |year=1886 |title=Regression towards mediocrity in hereditary stature |journal=Journal of the Anthropological Institute of Great Britain and Ireland |language=en |volume=15 |pages=246–263 |doi=10.2307/2841583 |jstor=2841583 |url=https://books.google.com/books?id=JPcRAAAAYAAJ&pg=PA246}}</ref>}}<ref>{{cite journal |first=Karl |last=Pearson |date=20 червня 1895 |title=Notes on regression and inheritance in the case of two parents |journal=Proceedings of the Royal Society of London |volume=58 |language=en |pages=240–242 |bibcode=1895RSPS...58..240P |url=https://books.google.com/books?id=60aL0zlT-90C&pg=PA240}}</ref><ref>{{cite journal |last=Stigler |first=Stephen M. |year=1989 |title=Francis Galton's account of the invention of correlation |url=https://archive.org/details/sim_statistical-science_1989-05_4_2/page/73 |journal=Statistical Science |volume=4 |language=en |issue=2 |pages=73–79 |jstor=2245329 |doi=10.1214/ss/1177012580 |doi-access=free}}</ref><ref>{{cite journal |title=Analyse mathematique sur les probabilités des erreurs de situation d'un point |journal=Mem. Acad. Roy. Sci. Inst. France |series=Sci. Math, et Phys. |volume=9 |pages=255–332 |year=1844 |url=https://books.google.com/books?id=y3s_AAAAcAAJ&q=Sur%20Les%20Probabilités%20des%20Erreurs%20de%20Situation%20d'un%20Point&pg=PA1 |via=Google Books |language=fr}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Wright |first1=S. |year=1921 |title=Correlation and causation |journal=Journal of Agricultural Research |language=en |volume=20 |issue=7 |pages=557–585}}</ref> Назва цього коефіцієнта є одним із прикладів [[Закон Стіглера|закону Стіглера]].

== Визначення ==

Коефіцієнт кореляції Пірсона це [[коваріація]] двох змінних, поділена на добуток їхніх [[Стандартне відхилення|стандартних відхилень]]. Вигляд цього визначення містить «момент добутку», тобто середнє значення (перший [[Момент (математика)|момент]] відносно початку координат) добутку змінних, скоригованих на їхні середні значення; тому в назві й використовують означення «моменту добутку».

=== Для сукупності ===

Коефіцієнт кореляції Пірсона, коли його застосовують до [[Статистична сукупність|сукупності]], зазвичай позначують грецькою літерою ''ρ'' (ро), й можуть називати ''коефіцієнтом кореляції сукупності'' ({{lang-en|population correlation coefficient}}) або ''коефіцієнтом кореляції Пірсона для сукупності'' ({{lang-en|population Pearson correlation coefficient}}). Для пари випадкових змінних <math>(X, Y)</math> (наприклад, Зріст та Вага), формулою для ''ρ''<ref name="RealCorBasic">Real Statistics Using Excel, "[http://www.real-statistics.com/correlation/basic-concepts-correlation/ Basic Concepts of Correlation]" {{ref-en}}, отримано 22 лютого 2015&nbsp;р.</ref> є<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Statistical Correlation|url=https://mathworld.wolfram.com/StatisticalCorrelation.html|access-date=2020-08-22|website=Wolfram MathWorld|language=en}}</ref>

<math display=block> \rho_{X,Y} = \frac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}</math>

де
* <math> \operatorname{cov} </math>&nbsp;— [[коваріація]]
* <math> \sigma_X </math>&nbsp;— [[стандартне відхилення]] <math> X </math>
* <math> \sigma_Y </math>&nbsp;— стандартне відхилення <math> Y </math>.

Формулу для <math>\operatorname{cov}(X,Y)</math> можливо виразити через [[середнє значення]] та [[математичне сподівання]]. Оскільки<ref name="RealCorBasic"/>

: <math>\operatorname{cov}(X,Y) = \operatorname\mathbb{E}[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)],</math>

формулу для <math>\rho</math> також можливо записати як

<math display=block> \rho_{X,Y} = \frac{\operatorname\mathbb{E}[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)]}{\sigma_X\sigma_Y}</math>

де
* <math> \sigma_Y </math> та <math> \sigma_X </math> визначено як вище
* <math> \mu_X </math>&nbsp;— середнє значення <math> X </math>
* <math> \mu_Y </math>&nbsp;— середнє значення <math> Y </math>
* <math> \operatorname\mathbb{E} </math>&nbsp;— математичне сподівання.

Формулу для <math>\rho</math> можливо виразити через нецентровані моменти. Оскільки

: <math>\begin{align}
       \mu_X ={} &\operatorname\mathbb{E}[\,X\,] \\
       \mu_Y ={} &\operatorname\mathbb{E}[\,Y\,] \\
  \sigma_X^2 ={} &\operatorname\mathbb{E}\left[\,\left(X - \operatorname\mathbb{E}[X]\right)^2\,\right] = \operatorname\mathbb{E}\left[\,X^2\,\right] - \left(\operatorname\mathbb{E}[\,X\,]\right)^2 \\
   \sigma_Y^2 ={} &\operatorname\mathbb{E}\left[\,\left(Y - \operatorname\mathbb{E}[Y]\right)^2\,\right] = \operatorname\mathbb{E}\left[\,Y^2\,\right] - \left(\,\operatorname\mathbb{E}[\,Y\,]\right)^2 \\
                  &\operatorname\mathbb{E}[\,\left(X - \mu_X\right)\left(Y - \mu_Y\right)\,] = \operatorname\mathbb{E}[\,\left(X - \operatorname\mathbb{E}[\,X\,]\right)\left(Y - \operatorname\mathbb{E}[\,Y\,]\right)\,] = \operatorname\mathbb{E}[\,X\,Y\,] - \operatorname\mathbb{E}[\,X\,]\operatorname\mathbb{E}[\,Y\,] \,,
\end{align}</math>

формулу для <math>\rho</math> також можливо записати як
<math display="block">\rho_{X,Y} =
  \frac{\operatorname\mathbb{E}[\,X\,Y\,] - \operatorname\mathbb{E}[\,X\,]\operatorname\mathbb{E}[\,Y\,]}{\sqrt{\operatorname\mathbb{E}\left[\,X^2\,\right] - \left(\operatorname\mathbb{E}[\,X\,] \right)^2} ~ \sqrt{\operatorname\mathbb{E}\left[\,Y^2\,\right] - \left(\operatorname\mathbb{E}[\,Y\,] \right)^2}}.</math>

=== Для вибірки ===

Коефіцієнт кореляції Пірсона, коли його застосовують до [[Вибірка (статистика)|вибірки]], зазвичай позначують через <math>r_{xy}</math> і можуть називати ''коефіцієнтом кореляції вибірки'' ({{lang-en|sample correlation coefficient}}) або ''коефіцієнтом кореляції Пірсона для вибірки'' ({{lang-en|sample Pearson correlation coefficient}}). Формулу для <math>r_{xy}</math> можливо отримати, підставивши оцінки коваріацій та дисперсій на основі вибірки до наведеної вище формули. Для парних даних <math>\left\{ (x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n) \right\}</math>, що складаються з <math>n</math> пар, <math>r_{xy}</math> визначають як

<math display=block>r_{xy} =\frac{\sum ^n _{i=1}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum ^n _{i=1}(x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum ^n _{i=1}(y_i - \bar{y})^2}}</math>

де
* <math>n</math>&nbsp;— розмір вибірки
* <math>x_i, y_i</math>&nbsp;— окремі точки вибірки з індексом ''i''
* <math display="inline">\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i</math> (середнє значення вибірки); й аналогічно для <math>\bar{y}</math>.

Перегрупування дає таку формулу для <math>r_{xy}</math>:

: <math>r_{xy} = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i\sum y_i}
{\sqrt{n\sum x_i^2-\left(\sum x_i\right)^2}~\sqrt{n\sum y_i^2-\left(\sum y_i\right)^2}},</math>

де <math>n, x_i, y_i</math> визначено як вище.

Ця формула пропонує зручний однопрохідний алгоритм обчислення кореляцій вибірок, хоча, залежно від задіяних чисел, вона іноді може бути [[Числова стійкість|чисельно нестійкою]].

Подальше перегрупування дає таку<ref name="RealCorBasic"/> формулу для <math>r_{xy}</math>:

: <math>r_{xy} = \frac{\sum_i x_i y_i-n\bar{x}\bar{y}}
{\sqrt{\sum_i x_i^2-n\bar{x}^2}~\sqrt{\sum_i y_i^2-n\bar{y}^2}},</math>

де <math>n, x_i, y_i, \bar{x}, \bar{y}</math> визначено як вище.

Еквівалентний вираз дає формулу для <math>r_{xy}</math> як середнє добутків [[Стандартна оцінка|стандартних оцінок]] наступним чином:

: <math>r_{xy} = \frac{1}{n-1} \sum ^n _{i=1} \left( \frac{x_i - \bar{x}}{s_x} \right) \left( \frac{y_i - \bar{y}}{s_y} \right)</math>

де
* <math>n, x_i, y_i, \bar{x}, \bar{y}</math> визначено як вище, а <math>s_x, s_y</math> визначено нижче
* <math display="inline"> \left ( \frac { x_i - \bar { x } } { s_x } \right ) </math>&nbsp;— стандартна оцінка (й аналогічно для стандартної оцінки <math>y</math>).

Доступні й альтернативні формули для <math>r_{xy}</math>. Наприклад, можливо використовувати наступну формулу для <math>r_{xy}</math>:

: <math>r_{xy} =\frac{\sum x_iy_i-n \bar{x} \bar{y}}{(n-1) s_x s_y}</math>
де
* <math>n, x_i, y_i, \bar{x}, \bar{y}</math> визначено як вище, а
* <math display="inline">s_x = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}</math> ([[Вибіркове стандартне відхилення|ви́біркове стандартне відхилення]]); й аналогічно для <math>s_y</math>.

=== Для спільно гауссових розподілів ===

Якщо <math>(X, Y)</math> [[Спільний розподіл|спільно]] [[Гауссів розподіл|гауссові]], з нульовим середнім значенням і [[Дисперсія випадкової величини|дисперсією]] <math>\Sigma</math>, то <math>\Sigma = \begin{bmatrix}
\sigma_X^2 & \rho_{X,Y}\sigma_X\sigma_Y \\
\rho_{X,Y}\sigma_X\sigma_Y & \sigma_Y^2 \\
\end{bmatrix}</math>.

=== Практичні проблеми ===

В умовах сильного шуму виділяння коефіцієнта кореляції між двома наборами [[Випадкова змінна|стохастичних змінних]] нетривіальне, особливо коли [[канонічно-кореляційний аналіз]] показує зниження значень кореляції через значний внесок шуму. Узагальнення цього підходу наведено в іншому місці.<ref>{{cite book |first= N. |last=Moriya |year=2008 |contribution=Noise-related multivariate optimal joint-analysis in longitudinal stochastic processes  |pages=[https://www.google.com/books/edition/Progress_in_Applied_Mathematical_Modelin/4XvRgF0QfqkC?hl=en&gbpv=1&pg=PA223&printsec=frontcover 223–260] |editor=Yang, Fengshan  |title={{нпні|Прогрес у прикладному математичному моделюванні|Progress in Applied Mathematical Modeling||Progress in Applied Mathematical Modeling}} |publisher={{нп|Nova Science Publishers, Inc.}} |language=en |isbn=978-1-60021-976-4 }}</ref>

У випадку відсутності даних, Ґаррен вивів [[оцінювання максимальною правдоподібністю]].<ref>{{cite journal |last=Garren |first=Steven T. |date=15 червня 1998 |title=Maximum likelihood estimation of the correlation coefficient in a bivariate normal model, with missing data |journal=Statistics & Probability Letters |language=en  |volume=38 |issue=3 |pages=281–288 |doi=10.1016/S0167-7152(98)00035-2 }}</ref>

Деякі розподіли (наприклад, [[Стійкий розподіл|стійкі розподіли]], відмінні від [[Нормальний розподіл|нормального]]) не мають визначеної дисперсії.

== Математичні властивості ==

Значення коефіцієнта кореляції Пірсона як для вибірки, так і для сукупності перебувають на або між &minus;1 та 1. Кореляції, які дорівнюють +1 чи &minus;1, відповідають точкам даних, що лежать точно на прямій (у випадку коефіцієнта кореляції вибірки), або двовимірному розподілу, {{нп|Носій (теорія мір)|носій||Support (measure theory)}} якого лежить на прямій (у випадку коефіцієнта кореляції сукупності). Коефіцієнт кореляції Пірсона симетричний: corr(''X'',''Y'')&nbsp;=&nbsp;corr(''Y'',''X'').

Ключовою математичною властивістю коефіцієнта кореляції Пірсона є його {{нп|Інваріантний оцінювач|інваріантність||Invariant estimator}} щодо окремих змін розташування та масштабу в обох змінних. Тобто ми можемо перетворити ''X'' на {{math|''a'' + ''bX''}}, і перетворити ''Y'' на {{math|''c'' + ''dY''}}, де ''a'', ''b'', ''c'', та ''d'' сталі, а {{math|''b'', ''d'' > 0}}, не змінивши коефіцієнта кореляції. (Це справджується як для коефіцієнта кореляції сукупності, так і для коефіцієнта кореляції вибірки.) Загальніші лінійні перетворення кореляцію змінюють: щодо того, як це застосовувати, див. ''{{section link||Декореляція n випадкових змінних}}''.

== Тлумачення ==

Коефіцієнт кореляції набуває значень з &minus;1 по 1. Абсолютне рівне значення 1 означає, що лінійне рівняння описує взаємозв'язок між ''X'' та ''Y'' ідеально, з усіма точками даних на одній [[Пряма|прямій]]. Знак кореляції визначається [[Нахил регресії|нахилом регресії]]: значення +1 означає, що всі точки даних лежать на прямій, за якої ''Y'' зростає зі зростанням ''X'', і навпаки для &minus;1.<ref name="STAT 462">{{cite web | title=2.6 - (Pearson) Correlation Coefficient r | website=STAT 462 | url=https://online.stat.psu.edu/stat462/node/96/ | language=en | access-date=2021-07-10}}</ref> Значення 0 означає, що між змінними немає лінійної залежності.<ref>{{Cite web|title=Introductory Business Statistics: The Correlation Coefficient r|url=https://opentextbc.ca/introbusinessstatopenstax/chapter/the-correlation-coefficient-r/|access-date=21 серпня 2020|website=opentextbc.ca|language=en}}</ref>

Загальніше, {{math|(''X''<sub>''i''</sub> − {{overline|''X''}})(''Y''<sub>''i''</sub> − {{overline|''Y''}})}} додатний тоді й лише тоді, коли ''X''<sub>''i''</sub> та ''Y''<sub>''i''</sub> перебувають з одного боку від своїх середніх значень. Відтак, коефіцієнт кореляції додатний, коли ''X''<sub>''i''</sub> та ''Y''<sub>''i''</sub> схильні бути одночасно більшими або одночасно меншими за свої середні значення. Коефіцієнт кореляції від'ємний ([[антикореляція]]), коли ''X''<sub>''i''</sub> та ''Y''<sub>''i''</sub> схильні перебувати по різні боки від своїх середніх значень. Більше того, що сильніша будь-яка з цих тенденцій, то більше [[абсолютне значення]] коефіцієнта кореляції.

Роджерс та Найсвандер<ref>{{cite journal |author1=Rodgers |author2=Nicewander |year=1988  |title=Thirteen ways to look at the correlation coefficient |journal=The American Statistician |language=en |volume=42 |issue=1 |pages=59–66 |url=https://www.stat.berkeley.edu/~rabbee/correlation.pdf |doi=10.2307/2685263 |jstor=2685263}}</ref> перелічили тринадцять способів тлумачення кореляції або простих функцій від неї:
* Функція від сирих оцінок та середніх значень
* Стандартизована коваріація
* Стандартизований нахил лінії регресії
* Геометричне середнє двох нахилів регресії
* Квадратний корінь відношення двох дисперсій
* Середній векторний добуток стандартизованих змінних
* Функція кута між двома стандартизованими регресійними лініями
* Функція кута між двома векторами змінних
* Перемасштабована дисперсія різниці стандартизованих оцінок
* Оцінка за правилом повітряної кульки
* Пов'язана з двовимірними еліпсами ізоконцентрації
* Функція статистичного критерію із запланованих експериментів
* Відношення двох середніх

=== Геометричне тлумачення ===
[[Файл:Regression lines.png|thumb|upright=1.5|Лінії регресії для {{math|1=''y'' = ''g''<sub>''X''</sub>(''x'')}} [{{color|red|червона}}] та {{math|1=''x'' = ''g''<sub>''Y''</sub>(''y'')}} [{{color|blue|синя}}]]]

Для нецентрованих даних існує зв'язок між коефіцієнтом кореляції та кутом ''φ'' між двома регресійними лініями, {{nowrap|1=''y'' = ''g''<sub>''X''</sub>(''x'')}} та {{nowrap|1=''x'' = ''g''<sub>''Y''</sub>(''y'')}}, отриманими в результаті регресії ''y'' на ''x'' та ''x'' на ''y'' відповідно. (Тут ''φ'' відкладають проти годинникової стрілки в першому квадранті, утвореному навколо точки перетину ліній, якщо {{math|''r'' > 0}}, чи проти годинникової стрілки з четвертого до другого квадранту, якщо {{nowrap|''r'' < 0}}.) Можливо показати,<ref>{{cite journal |last=Schmid |first=John Jr. |title=The relationship between the coefficient of correlation and the angle included between regression lines |url=https://archive.org/details/sim_journal-of-educational-research_1947-12_41_4/page/311 |journal=The Journal of Educational Research |language=en |date=грудень 1947 |volume=41 |issue=4 |pages=311–313 |jstor=27528906 |doi=10.1080/00220671.1947.10881608}}</ref> що якщо стандартні відхилення рівні, то {{nowrap|1=''r'' = sec ''φ'' − tg ''φ''}}, де sec та tg&nbsp;— [[тригонометричні функції]].

Для центрованих даних (тобто даних, зміщених на середні значення їхніх відповідних змінних, таким чином, щоби середнє значення кожної змінної було нульовим) коефіцієнт кореляції також можливо розглядати як [[косинус]] [[кута]] ''θ'' між двома спостережуваними [[Вектор (геометрія)|векторами]] в ''N''-вимірному просторі (для ''N'' спостережень кожної змінної).<ref>{{cite web |last=Rummel |first=R.J. |title=Understanding Correlation |year=1976 |url=http://www.hawaii.edu/powerkills/UC.HTM |language=en |at=гл. 5 (як проілюстровано для особливого випадку в наступному абзаці)}}</ref>

Коефіцієнти як нецентрованої (не пірсоново сумісної), так і центрованої кореляції можливо визначати для набору даних. Наприклад, припустімо, що виявлено, що п'ять країн мають валовий національний продукт 1, 2, 3, 5 та 8 мільярдів доларів відповідно. Припустімо, що ці ж п'ять країн (у тому ж порядку) мають 11&nbsp;%, 12&nbsp;%, 13&nbsp;%, 15&nbsp;% та 18&nbsp;% бідності. Тоді нехай '''x''' та '''y''' будуть впорядкованими 5-елементними векторами, що містять наведені вище дані: {{nowrap|1='''x''' = (1, 2, 3, 5, 8)}} та {{nowrap|1='''y''' = (0.11, 0.12, 0.13, 0.15, 0.18)}}.

За звичайною процедурою визначення кута ''θ'' між двома векторами (див. [[скалярний добуток]]) коефіцієнт ''нецентрованої'' кореляції становить

: <math> \cos \theta = \frac { \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} } { \left| \mathbf{x} \right| \left| \mathbf{y} \right|} = \frac {2.93} { \sqrt{103} \sqrt{0.0983} } = 0.920814711. </math>

Цей коефіцієнт нецентрованої кореляції ідентичний [[Косинусна подібність|косинусній подібності]]. Наведені вище дані було свідомо обрано так, щоби вони бути ідеально корельованими: {{math|1=''y'' = 0.10 + 0.01 ''x''}}. Тому коефіцієнт кореляції Пірсона мусить дорівнювати рівно одиниці. Центрування даних (зміщення '''x''' на {{math|1=ℰ('''x''') = 3.8}} та '''y''' на {{math|1=ℰ('''y''') = 0.138}}) дає {{math|1='''x''' = (−2.8, −1.8, −0.8, 1.2, 4.2)}} та {{math|1='''y''' = (−0.028, −0.018, −0.008, 0.012, 0.042)}}, звідки

: <math> \cos \theta = \frac{\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}} {\left| \mathbf{x} \right| \left| \mathbf{y} \right|} = \frac {0.308}{\sqrt{30.8}\sqrt{0.00308}} = 1 = \rho_{xy}, </math>
як і очікувалося.

=== Тлумачення розміру кореляції ===
[[Файл:Pearson correlation and prediction intervals.svg|thumb|200px|right|Цей рисунок дає уявлення про те, як корисність кореляції Пірсона для передбачування значень змінюється залежно від її величини. Для спільно нормальних ''X'', ''Y'' з кореляцією ''ρ'', <math>1 - \sqrt{1 - \rho^2}</math> (зображений тут як функція ''ρ'') це коефіцієнт, на який може бути зменшено заданий {{нп|інтервал передбачення|||Prediction interval}} для ''Y'' з урахуванням відповідного значення ''X''. Наприклад, якщо ''ρ'' = 0.5, то 95&nbsp;%-вий інтервал передбачення ''Y''&#124;''X'' буде приблизно на 13&nbsp;% меншим за 95&nbsp;%-вий інтервал передбачення ''Y''.]]

Декілька авторів запропонували настанови для тлумачення коефіцієнта кореляції.<ref name="Buda">{{cite book |last1=Buda |first1=Andrzej |last2=Jarynowski |first2=Andrzej |title=Life Time of Correlations and its Applications |date=грудень 2010 |publisher=Wydawnictwo Niezależne |language=en |isbn=9788391527290 |pages=5–21}}</ref><ref name="Cohen88"/> Проте всі такі критерії дещо довільні.<ref name="Cohen88">{{cite book |last=Cohen |first=J. |year=1988 |title=Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences |url=https://archive.org/details/statisticalpower0000cohe_j0l3 |language=en |edition=2nd}}</ref> Тлумачення коефіцієнта кореляції залежить від контексту та цілей. Кореляція 0,8 може бути дуже низькою, якщо йдеться про перевірку фізичного закону з використанням високоякісних інструментів, але може вважатися дуже високою в соціальних науках, де внесок від ускладнювальних чинників може бути більшим.

== Висновування ==

Статистичне висновування на основі коефіцієнті кореляції Пірсона часто зосереджується на одній з наступних двох цілей:

* Одна мета полягає в перевірці [[Нульова гіпотеза|нульової гіпотези]], що істинний коефіцієнт кореляції ''ρ'' дорівнює 0, на основі значення коефіцієнта кореляції вибірки ''r''.
* Інша мета полягає в тому, щоби вивести [[довірчий інтервал]], який при повторюваному вибиранні має задану ймовірність містити ''ρ''.

Методи досягнення однієї або обох цих цілей обговорюються нижче.

=== Використання перестановкового критерію ===

[[Перестановковий критерій|Перстановкові критерії]] забезпечують прямий підхід до здійснення перевірок гіпотез і побудови довірчих інтервалів. Перестановковий критерій для коефіцієнта кореляції Пірсона містить наступні два кроки:

# Використовуючи первинні паровані дані (''x''<sub>''i''</sub>,&nbsp;''y''<sub>''i''</sub>), випадково визначити пари заново, створивши новий набір даних (''x''<sub>''i''</sub>,&nbsp;''y''<sub>''i&prime;''</sub>), де ''i&prime;''&nbsp;— [[перестановка]] множини {1,…,''n''}. Перестановку ''i&prime;'' вибирають випадково, з рівними ймовірностями для всіх ''n''! можливих перестановок. Це рівнозначне вибиранню ''i&prime;'' випадково без повторів з множини {1, …, ''n''}. У [[Статистична натяжка|натяжці]], тісно пов'язаному підході, ''i'' та ''i&prime;'' є рівними й вибираються з {1, …, ''n''} з повторами;
# Побудувати коефіцієнт кореляції ''r'' з цих увипадковлених даних.

Щоби виконати перевірку перестановкового критерію, повторіть кроки&nbsp;(1) та (2) велику кількість разів. [[p-значення|''p''-значення]] для перестановкового критерію&nbsp;— це частка значень ''r'', породжених на кроці&nbsp;(2), більших за коефіцієнт кореляції Пірсона, обчислений із первинних даних. Тут «більший» може означати як більший за абсолютним значенням, так і більший за значенням зі знаком, залежно від того, чи потрібен {{нп|Двобічний критерій|двобічний||Two-tailed test}}, чи {{нп|Однобічний критерій|однобічний||Two-tailed test}} критерій.

=== Використання натяжки ===

Для побудови довірчих інтервалів для коефіцієнта кореляції Пірсона можливо використовувати [[Статистична натяжка|натяжку]]. В «непараметричній» натяжці ''n'' пар (''x''<sub>''i''</sub>,&nbsp;''y''<sub>''i''</sub>) перевибирають зі спостережуваного набору з ''n'' пар «з повторами», й коефіцієнт кореляції ''r'' обчислюють на основі цих перевибраних даних. Цей процес повторюють велику кількість разів, і цей емпіричний розподіл перевибраних значень ''r'' використовують для наближення [[Вибірковий розподіл|вибіркового розподілу]] цієї статистики. 95&nbsp;%-вий [[довірчий інтервал]] для ''ρ'' можливо визначити як інтервал, що простягається від 2,5-го до 97,5-го [[перцентиль|перцентиля]] перевибраних значень ''r''.

=== Стандартна похибка ===

Якщо <math>x</math> та <math>y</math>&nbsp;— випадкові змінні, то [[Стандартна похибка|стандартною похибкою]], пов'язаною з кореляцією у випадку нульової гіпотези, є

: <math>\sigma_r = \sqrt{\frac{1-r^2}{n-2}}</math>

де <math>r</math>&nbsp;— кореляція (за припущення ''r''≈0), а <math>n</math>&nbsp;— розмір вибірки.<ref>{{Cite journal|last=Bowley|first=A. L.|date=1928|title=The Standard Deviation of the Correlation Coefficient|url=https://www.jstor.org/stable/2277400|journal=Journal of the American Statistical Association|language=en|volume=23|issue=161|pages=31–34|doi=10.2307/2277400|jstor=2277400|issn=0162-1459}}</ref><ref>{{Cite web|title=Derivation of the standard error for Pearson's correlation coefficient|url=https://stats.stackexchange.com/q/226380 |access-date=2021-07-30|website=Cross Validated|language=en}}</ref>

=== Перевірка з використанням розподілу Ст'юдента ===
[[Файл:Critical correlation vs. sample size.svg|thumb|324x324px|Критичні значення коефіцієнта кореляції Пірсона, які має бути перевищено, щоби вважати його значно ненульовим на рівні 0,05.]]

Для пар з некорельованого [[Двовимірний нормальний розподіл|двовимірного нормального розподілу]], [[вибірковий розподіл]] [[Ст'юдентування|ст'юдентованого]] коефіцієнта кореляції Пірсона дотримується [[t-розподіл Ст'юдента|''t''-розподілу Ст'юдента]] зі ступенями вільності ''n''&nbsp;−&nbsp;2. Зокрема, якщо змінні в основі мають двовимірний нормальний розподіл, то змінна

: <math>t = \frac{r}{\sigma_r} = r\sqrt{\frac{n-2}{1 - r^2}}</math>

у випадку нульової гіпотези (нульової кореляції) має розподіл Ст'юдента.<ref>Rahman, N. A. (1968) ''A Course in Theoretical Statistics'' {{ref-en}}, Charles Griffin and Company, 1968</ref> Це приблизно виконується у випадку не нормальних спостережуваних значень, якщо розміри вибірок достатньо великі.<ref>Kendall, M. G., Stuart, A. (1973) ''The Advanced Theory of Statistics, Volume 2: Inference and Relationship'' {{ref-en}}, Griffin. {{isbn|0-85264-215-6}} (Section 31.19)</ref> Для визначення критичних значень для ''r'' потрібна обернена функція:

: <math>r = \frac{t}{\sqrt{n - 2 + t^2}}.</math>

Також можливо використовувати асимптотичні підходи для великих вибірок.

Інша рання стаття<ref>{{cite journal |last1=Soper |first1=H.E. |author-link=Г. Е. Сопер |last2=Young |first2=A.W. |last3=Cave |first3=B.M. |last4=Lee |first4=A. |last5=Pearson |first5=K. |year=1917 |title=On the distribution of the correlation coefficient in small samples. Appendix II to the papers of "Student" and R.A. Fisher. A co-operative study |url=https://zenodo.org/record/1431587 |journal={{нп|Biometrika}} |language=en |volume=11 |issue=4 |pages=328–413 |doi=10.1093/biomet/11.4.328}}</ref> пропонує графіки та таблиці для загальних значень ''ρ'', для малих розмірів вибірки, та обговорює підходи до обчислень.

У випадку, якщо змінні в основі не нормальні, вибірковий розподіл коефіцієнта кореляції Пірсона дотримується розподілу Ст'юдента, але ступені вільності знижуються.<ref>{{cite journal |last1=Davey |first1=Catherine E. |last2=Grayden |first2=David B. |last3=Egan |first3=Gary F. |last4=Johnston |first4=Leigh A. |title=Filtering induces correlation in fMRI resting state data |journal=NeuroImage |language=en |date=January 2013 |volume=64 |pages=728–740 |doi=10.1016/j.neuroimage.2012.08.022 |pmid=22939874 |hdl=11343/44035 |s2cid=207184701 |hdl-access=free }}</ref>

=== Використання точного розподілу ===

Для даних, що слідують [[Двовимірний нормальний розподіл|двовимірному нормальному розподілу]], точною функцією густини ''f''(''r'') для вибіркового коефіцієнта кореляції ''r'' нормального двовимірного розподілу є<ref>{{cite journal |last1=Hotelling |first1=Harold |title=New Light on the Correlation Coefficient and its Transforms |journal=Journal of the Royal Statistical Society |series=Series B (Methodological) |language=en |date=1953 |volume=15 |issue=2 |pages=193–232 |jstor=2983768 |doi=10.1111/j.2517-6161.1953.tb00135.x }}</ref><ref>{{cite book |author1=Kenney, J.F. |author2=Keeping, E.S. |title=Mathematics of Statistics |language=en |volume=Part 2 |edition=2nd |place=Princeton, NJ |publisher=Van Nostrand |year=1951}}</ref><ref>{{cite web |url=http://mathworld.wolfram.com/CorrelationCoefficientBivariateNormalDistribution.html |title=Correlation Coefficient—Bivariate Normal Distribution |first=Eric W. |last=Weisstein |website=Wolfram MathWorld |language=en}}</ref>

: <math>f(r) = \frac{(n - 2)\, \mathrm{\Gamma}(n - 1) \left(1 - \rho^2\right)^{\frac{n - 1}{2}} \left(1 - r^2\right)^{\frac{n - 4}{2}}}{\sqrt{2\pi}\, \operatorname{\Gamma}\mathord\left(n - \tfrac{1}{2}\right) (1 - \rho r)^{n - \frac{3}{2}}} {}_{2}\mathrm{F}_{1}\mathord\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}; \tfrac{1}{2}(2n - 1); \tfrac{1}{2}(\rho r + 1)\right)</math>

де <math>\Gamma</math>&nbsp;— це [[гамма-функція]], а <math>{}_{2}\mathrm{F}_{1}(a,b;c;z)</math>&nbsp;— [[Гіпергеометрична функція|гауссова гіпергеометрична функція]].

В окремому випадку, коли <math>\rho = 0</math> (нульова кореляція в сукупності), точну функцію густини ''f''(''r'') можливо записати як

: <math>f(r) = \frac{\left( \frac{1}{1-r^2} \right)^{-\frac{n - 1}{2}}}{\sqrt{n-2}\, \operatorname{\Beta}\mathord\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{n - 2}{2}\right)},</math>

де <math>\Beta</math>&nbsp;— це [[бета-функція]], що є одним зі способів запису густини ''t''-розподілу Ст'юдента для [[Ст'юдентування|ст'юдентованого]] вибіркового коефіцієнта кореляції, як зазначено вище.

==== Використання точного довірчого розподілу ====

Довірчі інтервали та критерії можливо розраховувати з {{нп|Довірчий розподіл|довірчого розподілу||Confidence distribution}}. Точна довірча густина для ''ρ'' становить<ref>{{Cite journal|last=Taraldsen|first=Gunnar|date=2020|title=Confidence in Correlation|url=http://rgdoi.net/10.13140/RG.2.2.23673.49769 |language=en|doi=10.13140/RG.2.2.23673.49769 |website=ResearchGate |doi-access=free }}</ref>

<math display="block">
  \pi(\rho \mid r) =
  \frac{\nu(\nu - 1)\Gamma(\nu - 1)}
       {\sqrt{2\pi}\Gamma\left(\nu + \frac{1}{2}\right)}
     \left(1 - r^2\right)^{\frac{\nu - 1}{2}} \cdot
     \left(1 - \rho^2\right)^{\frac{\nu - 2}{2}} \cdot
     \left(1 - r \rho\right)^{\frac{1 - 2\nu}{2}} \operatorname{F}\left(\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}; \nu + \tfrac{1}{2}; \tfrac{1 + r \rho}{2}\right)
</math>

де <math>\operatorname{F}</math>&nbsp;— це гауссова гіпергеометрична функція, а <math>\nu = n - 1 > 1</math>.

=== Використання перетворення Фішера ===
{{main|{{нп|Перетворення Фішера|||Fisher transformation}}}}

На практиці обчислення [[Довірчий інтервал|довірчих інтервалів]] та [[Перевірка гіпотез|перевірки гіпотез]] щодо ''ρ'' зазвичай виконують за допомогою {{нп|перетворення Фішера|||Fisher transformation}}, <math>F</math>'':

: <math>F(r) \equiv \tfrac{1}{2} \, \ln \left(\frac{1 + r}{1 - r}\right) = \operatorname{arth}(r)</math>

''F''(''r'') приблизно дотримується [[Нормальний розподіл|нормальному розподілу]], де

: <math>\text{середнє} = F(\rho) = \operatorname{arth}(\rho),</math>{{spaces|4}}а [[стандартна похибка]] <math>=\text{SE} = \frac{1}{\sqrt{n - 3}},</math>

де ''n''&nbsp;— розмір вибірки. Похибка наближення найнижча для великого розміру вибірки <math>n</math> і малих значень <math>r</math> та <math>\rho_0</math>, і збільшується в іншому випадку.

За використання цього наближення [[Z-оцінка|''z''-оцінка ]] становить

: <math>z = \frac{x - \text{середнє}}{\text{SE}} = [F(r) - F(\rho_0)]\sqrt{n - 3}</math>

за [[Нульова гіпотеза|нульовою гіпотезою]], що <math>\rho = \rho_0</math>, за припущення, що пари вибірки [[незалежні й однаково розподілені]] та дотримуються [[Двовимірний нормальний розподіл|двовимірного нормального розподілу]]. Відтак, можливо отримати наближене [[p-значення|''p''-значення]] з таблиці нормальної ймовірності. Наприклад, якщо спостерігається ''z''&nbsp;=&nbsp;2.2 й потрібне двобічне ''p''-значення для перевірки нульової гіпотези, що <math>\rho = 0</math>, то ''p''-значення становитиме {{nowrap|1=2&thinsp;Φ(−2.2) = 0.028}}, де Φ&nbsp;— це стандартна нормальна [[функція розподілу]].

Щоб отримати довірчий інтервал для ρ, спочатку обчислімо довірчий інтервал для ''F''(''<math>\rho</math>''):

: <math>100(1 - \alpha)\%\text{CI}: \operatorname{arth}(\rho) \in [\operatorname{arth}(r) \pm z_{\alpha/2}\text{SE}]</math>

Обернене перетворення Фішера повертає інтервал до шкали кореляції.

: <math>100(1 - \alpha)\%\text{CI}: \rho \in [\operatorname{th}(\operatorname{arth}(r) - z_{\alpha/2}\text{SE}), \operatorname{th}(\operatorname{arth}(r) + z_{\alpha/2}\text{SE})]</math>

Наприклад, припустімо, що ми спостерігаємо ''r''&nbsp;=&nbsp;0.7 з розміром вибірки ''n''=50, і хочемо отримати 95&nbsp;%-вий довірчий інтервал для&nbsp;''ρ''. Перетворене значення становить <math display="inline">\operatorname{arth} \left ( r \right ) = 0.8673</math>, тому довірчий інтервал у перетвореній шкалі становить <math>0.8673 \pm \frac{1.96}{\sqrt{47}} </math>, або (0.5814,&nbsp;1.1532). Перетворення назад до шкали кореляції дає (0.5237,&nbsp;0.8188).

== В регресійному аналізі методом найменших квадратів ==
{{For|загальнішу, не лінійну залежність|{{нп|Коефіцієнт детермінації загальної лінійної моделі|||Coefficient of determination in a multiple linear model}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Coefficient of determination in a multiple linear model]] (→ [[:en:Coefficient of determination#In a multiple linear model]]) перекладена як [[Коефіцієнт детермінації]], хоча хотіли [[Коефіцієнт детермінації загальної лінійної моделі]] (SashkoR0B0T)-->}}

Квадрат коефіцієнта кореляції вибірки зазвичай позначують через ''r''<sup>2</sup>, він є окремим випадком [[Коефіцієнт детермінації|коефіцієнта детермінації]]. У цьому випадку він оцінює частку дисперсії ''Y'', яку пояснює ''X'' через [[Проста лінійна регресія|просту лінійну регресію]]. Отже, якщо є спостережуваний набір даних <math>Y_1, \dots , Y_n</math> та допасований набір даних <math>\hat Y_1, \dots , \hat Y_n</math>, то як відправну точку повну дисперсію ''Y''<sub>''i''</sub> навколо їхнього середнього значення можливо розкласти як

: <math>\sum_i (Y_i - \bar{Y})^2 = \sum_i (Y_i-\hat{Y}_i)^2 + \sum_i (\hat{Y}_i-\bar{Y})^2,</math>

де <math>\hat{Y}_i</math>&nbsp;— це допасовані значення з регресійного аналізу. Це можливо переформулювати як

: <math>1 = \frac{\sum_i (Y_i-\hat{Y}_i)^2}{\sum_i (Y_i - \bar{Y})^2} + \frac{\sum_i (\hat{Y}_i-\bar{Y})^2}{\sum_i (Y_i - \bar{Y})^2}.</math>

Обидва доданки вище&nbsp;— це частка дисперсії в ''Y'', яку пояснює ''X'' (правий), та яку ''X'' не пояснює (лівий).

Далі, ми застосовуємо властивість регресійних моделей [[Метод найменших квадратів|найменших квадратів]], що вибіркова коваріація між <math>\hat{Y}_i</math> та <math>Y_i-\hat{Y}_i</math> нульова. Тож вибірковий коефіцієнт кореляції між спостережуваними та допасованими значеннями відгуку в регресії можливо записати (обчислення виконується виходячи з очікування гауссової статистики) як

: <math>
\begin{align}
r(Y,\hat{Y}) &= \frac{\sum_i(Y_i-\bar{Y})(\hat{Y}_i-\bar{Y})}{\sqrt{\sum_i(Y_i-\bar{Y})^2\cdot \sum_i(\hat{Y}_i-\bar{Y})^2}}\\[6pt]
&= \frac{\sum_i(Y_i-\hat{Y}_i+\hat{Y}_i-\bar{Y})(\hat{Y}_i-\bar{Y})}{\sqrt{\sum_i(Y_i-\bar{Y})^2\cdot \sum_i(\hat{Y}_i-\bar{Y})^2}}\\[6pt]
&= \frac{ \sum_i [(Y_i-\hat{Y}_i)(\hat{Y}_i-\bar{Y}) +(\hat{Y}_i-\bar{Y})^2 ]}{\sqrt{\sum_i(Y_i-\bar{Y})^2\cdot \sum_i(\hat{Y}_i-\bar{Y})^2}}\\[6pt]
&= \frac{ \sum_i (\hat{Y}_i-\bar{Y})^2 }{\sqrt{\sum_i(Y_i-\bar{Y})^2\cdot \sum_i(\hat{Y}_i-\bar{Y})^2}}\\[6pt]
&= \sqrt{\frac{\sum_i(\hat{Y}_i-\bar{Y})^2}{\sum_i(Y_i-\bar{Y})^2}}.
\end{align}
</math>

Тож

: <math>r(Y,\hat{Y})^2 = \frac{\sum_i(\hat{Y}_i-\bar{Y})^2}{\sum_i(Y_i-\bar{Y})^2}</math>

де <math>r(Y,\hat{Y})^2</math>&nbsp;— частка дисперсії ''Y'', пояснювана лінійною функцією ''X''.

У наведеному вище виведенні той факт, що
: <math>\sum_i (Y_i-\hat{Y}_i)(\hat{Y}_i-\bar{Y}) = 0</math>
можливо довести, відмітивши, що частинні похідні {{нп|Залишкова сума квадратів|залишкової суми квадратів||Residual sum of squares}} ({{math|RSS}}) за ''β''<sub>0</sub> та ''β''<sub>1</sub> у моделі найменших квадратів дорівнюють 0, де
: <math>\text{RSS} = \sum_i (Y_i - \hat{Y}_i)^2</math>.

Кінець кінцем, рівняння можливо записати як

: <math>r(Y,\hat{Y})^2 = \frac{\text{SS}_\text{reg}}{\text{SS}_\text{tot}}</math>
де
* <math>\text{SS}_\text{reg} = \sum_i (\hat{Y}_i-\bar{Y})^2</math>
* <math>\text{SS}_\text{tot} = \sum_i (Y_i-\bar{Y})^2</math>.

Символ <math>\text{SS}_\text{reg}</math> називають сумою квадратів регресії, також відомою як [[пояснена сума квадратів]], а <math>\text{SS}_\text{tot}</math>&nbsp;— {{нп|повна сума квадратів|||Total sum of squares}} (пропорційна [[Дисперсія випадкової величини|дисперсії]] даних).

== Чутливість до розподілу даних ==
{{Further|Кореляція і залежність#Чутливість до розподілу даних}}

=== Існування ===

Коефіцієнт кореляції Пірсона для сукупності визначено через [[Момент (математика)|моменти]], й тому він існує для будь-якого двовимірного [[Розподіл імовірності|розподілу ймовірності]], для якого визначені [[коваріація]] [[Статистична сукупність|сукупності]] та [[Відособлений розподіл|відособлені]] [[Дисперсія сукупності|дисперсії сукупності]], й вони ненульові. Деякі розподіли ймовірності, такі як [[розподіл Коші]], мають невизначену дисперсію, й відтак якщо ''X'' або ''Y'' відповідають такому розподілові, то ρ невизначений. У деяких практичних застосуваннях, дані в яких підозрюють на відповідність {{нп|Розподіл із повільно спадним хвостом|розподілові з повільно спадним хвостом||Heavy-tailed distribution}}, це важливий аспект. Проте, існування коефіцієнта кореляції зазвичай не проблема; наприклад, якщо діапазон розподілу обмежений, ρ завжди визначений.

=== Розмір вибірки ===

* Якщо розмір вибірки помірний або великий і сукупність нормальна, то у випадку двовимірного [[Нормальний розподіл|нормального розподілу]] вибірковий коефіцієнт кореляції є [[Максимальна правдоподібність|максимально-правдоподібнісною]] оцінкою коефіцієнта кореляції сукупності, {{нп|Асимптотичний розподіл|асимптотично||Asymptotic distribution}} {{нп|Зміщення оцінки|незміщеною||Bias of an estimator}} та {{нп|Ефективність (статистика)|ефективною||Efficiency (statistics)}}, що приблизно означає неможливість побудувати оцінку, точнішу за вибірковий коефіцієнт кореляції.
* Якщо розмір вибірки великий і сукупність не нормальна, то вибірковий коефіцієнт кореляції залишається приблизно незміщеним, але може не бути ефективним.
* Якщо розмір вибірки великий, то вибірковий коефіцієнт кореляції є [[Слушна оцінка|слушною оцінкою]] коефіцієнта кореляції сукупності, за умови, що середні значення вибірки, дисперсії та коваріація слушні (що гарантовано, коли можливо застосувати [[закон великих чисел]]).
* Якщо розмір вибірки малий, то вибірковий коефіцієнт кореляції ''r'' не є незміщеною оцінкою ''ρ''.<ref name="RealCorBasic"/> Замість цього слід використовувати скоригований коефіцієнт кореляції: визначення див. далі у цій статті.
* Кореляції можуть бути різними для незбалансованих [[Дихотомна змінна|дихотомних]] даних, коли у вибірці є помилка дисперсії.<ref>{{cite journal |last1=Lai |first1=Chun Sing |last2=Tao |first2=Yingshan |last3=Xu |first3=Fangyuan |last4=Ng |first4=Wing W.Y. |last5=Jia |first5=Youwei |last6=Yuan |first6=Haoliang |last7=Huang |first7=Chao |last8=Lai |first8=Loi Lei |last9=Xu |first9=Zhao |last10=Locatelli |first10=Giorgio |title=A robust correlation analysis framework for imbalanced and dichotomous data with uncertainty |journal=Information Sciences |language=en |date=січень 2019 |volume=470 |pages=58–77 |doi=10.1016/j.ins.2018.08.017 |s2cid=52878443 |url=http://eprints.whiterose.ac.uk/134706/2/ELSEVI_3.pdf }}</ref>

=== Робастність ===

Як і багато інших часто використовуваних статистик, вибіркова [[Статистика (математика)|статистика]] ''r'' не [[Робастність у статистиці|робастна]],<ref name="wilcox">{{Cite book| title=Introduction to robust estimation and hypothesis testing | last = Wilcox | first = Rand R. | publisher= Academic Press | language=en | year=2005}}</ref> тож за наявності [[Викид (статистика)|викидів]] її значення може бути оманливим.<ref>{{Cite journal |title=Robust estimation and outlier detection with correlation coefficients |url=https://archive.org/details/sim_biometrika_1975-12_62_3/page/531 |author1=Devlin, Susan J. |author1-link=Сьюзен Девлін |author2=Gnanadesikan, R. |author3=Kettenring J.R. |journal=Biometrika |language=en |volume=62 |issue=3 |year=1975 |pages=531–545 |doi=10.1093/biomet/62.3.531 |jstor=2335508}}</ref><ref>{{Cite book| title=Robust Statistics | url=https://archive.org/details/robuststatistics0000hube | language = en | last = Huber | first = Peter. J.| publisher= Wiley | year=2004}}{{Page needed|date=січень 2024}}</ref> Зокрема, коефіцієнт кореляції моменту добутку не робастний ані щодо розподілу,<ref>{{Cite book |last=Vaart |first=A. W. van der |url=http://dx.doi.org/10.1017/cbo9780511802256 |title=Asymptotic Statistics |language=en |date=1998-10-13 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-511-80225-6}}</ref> ані щодо викидів<ref name="wilcox"/> (див. ''{{section link|Робастність у статистиці|Поняття робастності}}''). Перевірка [[Діаграма розсіяння|діаграми розсіяння]] між ''X'' та ''Y'' зазвичай виявляє ситуацію, коли робастність може бути проблемою, і в таких випадках може бути рекомендовано використовувати робастну міру пов'язаності. Проте слід зазначити, що хоч більшість робастних оцінювачів пов'язаності і вимірюють якимось чином [[Статистична залежність|статистичну залежність]], вони зазвичай не інтерпретовні тою ж мірою, що й коефіцієнт кореляції Пірсона.

Статистичне висновування для коефіцієнта кореляції Пірсона чутливе до розподілу даних. Точні критерії та асимптотичні критерії на основі {{нп|перетворення Фішера|||Fisher transformation}} можливо застосовувати, якщо дані розподілені приблизно нормально, але в іншому разі вони можуть бути оманливими. У деяких ситуаціях можливо використовувати [[Статистична натяжка|натяжку]] для створення довірчих інтервалів, а [[Перестановковий критерій|перестановкові критерії]]&nbsp;— для здійснення перевірки гіпотез. Ці {{нп|Непараметрична статистика|непараметричні||Nonparametric statistics}} підходи можуть давати змістовніші результати в деяких ситуаціях, коли двовимірна нормальність не виконується. Проте стандартні версії цих підходів покладаються на {{нп|Взаємозамінні випадкові змінні|взаємозамінність||Exchangeable random variables}} даних, що означає, що не існує впорядкування чи групування аналізованих пар даних, які могли би вплинути на поведінку оцінки кореляції.

Стратифікований аналіз&nbsp;— це один зі способів або пристосування до відсутності двовимірної нормальності, або для відокремлення кореляції, що випливає з одного чинника при контролі над іншим. Якщо ''W'' подає приналежність до кластеру або інший чинник, який хочеться контролювати, можливо [[Стратифікована вибірка|стратифікувати]] дані на основі значення ''W'', а потім обчислити коефіцієнт кореляції в межах кожної страти. Оцінки на рівні страт потім можливо об'єднати для оцінки загальної кореляції при контролі над ''W''.<ref>Katz., Mitchell H. (2006) ''Multivariable Analysis – A Practical Guide for Clinicians''. 2nd Edition.  Cambridge University Press. {{ref-en}} {{isbn|978-0-521-54985-1}}. {{isbn|0-521-54985-X}}</ref>

== Варіанти ==
{{Див. також|Кореляція і залежність#Інші міри залежності між випадковими величинами}}

Існують різні варіації коефіцієнта кореляції, які можливо обчислювати для різних цілей. Ось декілька прикладів.

=== Скоригований коефіцієнт кореляції ===

Вибірковий коефіцієнт кореляції {{mvar|r}} не є незміщеною оцінкою {{mvar|ρ}}. Для даних, що дотримуються [[Двовимірний нормальний розподіл|двовимірному нормальному розподілу]], математичне сподівання {{math|E[''r'']}} вибіркового коефіцієнта кореляції {{mvar|r}} нормальної двовимірності становить<ref>{{Cite journal | first = H. | last = Hotelling | year = 1953 | title = New Light on the Correlation Coefficient and its Transforms | journal = Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological) | language = en  | volume = 15 | issue = 2 | pages = 193–232 | jstor = 2983768| doi = 10.1111/j.2517-6161.1953.tb00135.x }}</ref>

: <math>\operatorname\mathbb{E}\left[r\right] = \rho - \frac{\rho \left(1 - \rho^2\right)}{2n} + \cdots, \quad</math> тож {{mvar|r}} є зміщеним оцінювачем <math>\rho.</math>

Унікальний мінімально-дисперсійний незміщений оцінювач ({{lang-en|unique minimum variance unbiased estimator}}) {{math|''r''<sub>adj</sub>}} задається як<ref>{{Cite journal | first=Ingram | last=Olkin |author2=Pratt,John W.  |date=March 1958  | title=Unbiased Estimation of Certain Correlation Coefficients | url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematical-statistics_1958-03_29_1/page/201 | journal=The Annals of Mathematical Statistics | language=en | volume=29| issue=1 | pages=201–211 | jstor=2237306 | doi=10.1214/aoms/1177706717| doi-access=free }}.</ref>

{{NumBlk|:|<math> r_\text{adj} = r \, \mathbf{_2F_1}\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; \frac{n - 1}{2}; 1 - r^2\right),</math>|{{EquationRef|1}}}}

де:
* <math>r, n</math> визначено як вище,
* <math>\mathbf{_2 F_1}(a, b; c; z)</math>&nbsp;— [[Гіпергеометрична функція|гауссова гіпергеометрична функція]].

Приблизно незміщений оцінювач ({{lang-en|approximately unbiased estimator}}) {{math|''r''<sub>adj</sub>}} можливо отримати{{citation needed|date=січень 2024}} шляхом утинання {{math|E[''r'']}} та розв'язання цього утятого рівняння:

{{NumBlk|:|<math> r = \operatorname\mathbb{E}[r] \approx r_\text{adj} - \frac{r_\text{adj} \left(1 - r_\text{adj}^2\right)}{2n}.</math>|{{EquationRef|2}}}}

Приблизним розв'язком{{citation needed|date=січень 2024}} рівняння ({{EquationNote|2}}) є

{{NumBlk|:|<math> r_\text{adj} \approx r \left[1 + \frac{1 - r^2}{2n}\right],</math>|{{EquationRef|3}}}}

де у ({{EquationNote|3}})
* <math>r, n</math> визначено як вище,
* {{math|''r''<sub>adj</sub>}}&nbsp;— субоптимальний оцінювач,{{citation needed|date=січень 2024}}{{clarify|date=січень 2024| reason=субоптимальний у якому сенсі?}}
* {{math|''r''<sub>adj</sub>}} також можливо отримати максимізуванням log(''f''(''r'')),
* {{math|''r''<sub>adj</sub>}} має мінімальну дисперсію за великих значень {{mvar|n}},
* {{math|''r''<sub>adj</sub>}} має зміщення порядку {{math|{{frac|1|(''n'' − 1)}}}}.

Іншим запропонованим<ref name="RealCorBasic"/> скоригованим коефіцієнтом кореляції ({{lang-en|adjusted correlation coefficient}}) є{{citation needed|date=січень 2024|reason=чи це в опублікованій статті?}}

: <math>r_\text{adj}=\sqrt{1-\frac{(1-r^2)(n-1)}{(n-2)}}.</math>

{{math|''r''<sub>adj</sub> ≈ ''r''}} за великих значень&nbsp;{{mvar|n}}.

=== Коефіцієнт зваженої кореляції ===

Покладімо, що спостереження, які потрібно скорелювати, мають різні ступені важливості, які можливо виразити ваговим вектором ''w''. Щоб обчислити кореляцію між векторами ''x'' та ''y'' з ваговим вектором ''w'' (всі довжиною&nbsp;''n''),<ref>{{cite web|url=http://sci.tech-archive.net/Archive/sci.stat.math/2006-02/msg00171.html|title=Re: Compute a weighted correlation|website=sci.tech-archive.net|language=en}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/20846-weighted-correlation-matrix|title=Weighted Correlation Matrix – File Exchange – MATLAB Central|language=en|access-date=2024-01-14|archive-date=2021-05-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20210515121719/https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/20846-weighted-correlation-matrix|url-status=dead}}</ref>

* Зважене середнє: <math display="block">\operatorname{m}(x; w) = \frac{\sum_i w_i x_i}{\sum_i w_i}.</math>
* Зважена коваріація: <math display="block">\operatorname{cov}(x,y;w) = \frac{\sum_i w_i \cdot (x_i - \operatorname{m}(x; w)) (y_i - \operatorname{m}(y; w))}{\sum_i w_i }.</math>
* Зважена кореляція ({{lang-en|weighted correlation}}): <math display="block">\operatorname{corr}(x,y;w) = \frac{\operatorname{cov}(x,y;w)}{\sqrt{\operatorname{cov}(x,x;w) \operatorname{cov}(y,y;w)}}.</math>

=== Віддзеркалювальний коефіцієнт кореляції ===

Віддзеркалювальна кореляція ({{lang-en|reflective correlation}})&nbsp;— це варіант пірсонової кореляції, в якому дані не центровано навколо їхніх середніх значень.{{citation needed|date=січень 2024}} Віддзеркалювальна кореляція сукупності це

: <math>\operatorname{corr}_r(X,Y) = \frac{\operatorname\mathbb{E}[\,X\,Y\,]}{\sqrt{\operatorname\mathbb{E}[\,X^2\,]\cdot \operatorname\mathbb{E}[\,Y^2\,]}}.</math>

Віддзеркалювальна кореляція симетрична, але не інваріантна щодо паралельного перенесення:

: <math>\operatorname{corr}_r(X, Y) = \operatorname{corr}_r(Y, X) = \operatorname{corr}_r(X, bY) \neq \operatorname{corr}_r(X, a + b Y), \quad a \neq 0, b > 0.</math>

Віддзеркалювальна кореляція вибірки еквівалентна [[Косинусна подібність|косинусній подібності]]:

: <math>rr_{xy} = \frac{\sum x_i y_i}{\sqrt{(\sum x_i^2)(\sum y_i^2)}}.</math>

Зважена версія вибіркової віддзеркалювальної кореляції це

: <math>rr_{xy, w} = \frac{\sum w_i x_i y_i}{\sqrt{(\sum w_i x_i^2)(\sum w_i y_i^2)}}.</math>

=== Масштабний коефіцієнт кореляції ===
{{Основна стаття|{{нп|Масштабна кореляція|||Scaled correlation}}}}

Масштабна кореляція ({{lang-en|scaled correlation}})&nbsp;— це варіант кореляції Пірсона, в якому діапазон даних обмежують навмисно й контрольовано, щоби виявляти кореляції між швидкими складовими в [[Часовий ряд|часових рядах]].<ref name = "Nikolicetal">{{cite journal | last1 = Nikolić | first1 = D | last2 = Muresan | first2 = RC | last3 = Feng | first3 = W | last4 = Singer | first4 = W | year = 2012 | title = Scaled correlation analysis: a better way to compute a cross-correlogram | url = http://www.danko-nikolic.com/wp-content/uploads/2012/03/Scaled-correlation-analysis.pdf | journal = European Journal of Neuroscience | language = en | volume =  35| issue = 5| pages = 1–21 | doi = 10.1111/j.1460-9568.2011.07987.x | pmid = 22324876 | s2cid = 4694570 }}</ref> Масштабну кореляцію визначають як середню кореляцію над короткими сегментами даних.

Нехай <math>K</math> це кількість сегментів, які можуть вміститися в загальну довжину сигналу <math>T</math> для заданого масштабу <math>s</math>:

: <math>K = \operatorname{round}\left(\frac{T}{s}\right).</math>

Тоді масштабну кореляцію над усім сигналом <math>\bar{r}_s</math> обчислюють як

: <math>\bar{r}_s = \frac{1}{K} \sum\limits_{k=1}^K r_k,</math>

де <math>r_k</math>&nbsp;— коефіцієнт кореляції Пірсона для сегмента <math>k</math>.

Шляхом обирання параметра <math>s</math> зменшують діапазон значень, і кореляції на довгих часових масштабах відфільтровуються, так, що виявляються лише кореляції на коротких часових масштабах. Таким чином усувають внески повільних складових і зберігають внески швидких складових.

=== Відстань Пірсона ===

Метрику відстані для двох змінних ''X'' та ''Y'', відому як ''відстань Пірсона'' ({{lang-en|Pearson's distance}}), можливо визначати з коефіцієнта їхньої кореляції як<ref>Fulekar (Ed.), M.H. (2009) ''Bioinformatics: Applications in Life and Environmental Sciences'', Springer {{ref-en}} (pp. 110) {{isbn|1-4020-8879-5}}</ref>
: <math>d_{X,Y}=1-\rho_{X,Y}.</math>
Враховуючи те, що коефіцієнт кореляції Пірсона перебуває в межах [−1, +1], відстань Пірсона лежить на проміжку [0, 2]. Відстань Пірсона використовували в [[Кластерний аналіз|кластерному аналізі]] та виявлянні даних для передавання та зберігання з невідомими передавальним коефіцієнтом та зміщенням.<ref>{{cite journal
 |author1=Immink, K. Schouhamer
 |author2=Weber, J. 
 |title=Minimum Pearson distance detection for multilevel channels with gain and / or offset mismatch 
 |date=жовтень 2010
 |journal=IEEE Transactions on Information Theory 
 |language=en
 |volume=60 |issue=10 |pages=5966–5974
 |doi=10.1109/tit.2014.2342744 |citeseerx=10.1.1.642.9971
 |s2cid=1027502 
 |url=https://www.researchgate.net/publication/265604603
 |access-date=11 лютого 2018}}</ref>

Визначена таким чином «відстань» Пірсона для від'ємних кореляцій встановлює відстань понад 1. Насправді, значення мають як сильна додатна, так і сильна від'ємна кореляції, тому потрібно бути обережними при використанні «відстані» Пірсона в алгоритмах найближчих сусідів, оскільки такі алгоритми включатимуть лише сусідів із додатною кореляцією й виключати сусідів із від'ємною. Як альтернативу, можливо застосовувати відстань з абсолютним значенням, <math>d_{X,Y}=1-|\rho_{X,Y}|</math>, яка враховуватиме як додатні, так і від'ємні кореляції. Інформацію про додатну та від'ємну пов'язаність можливо виділяти окремо пізніше.

=== Коловий коефіцієнт кореляції{{anchor|Коловий}} ===
{{Детальніше|Кругова статистика}}

Для змінних ''X'' = {''x''<sub>1</sub>,…,''x''<sub>''n''</sub>} та ''Y'' = {''y''<sub>1</sub>,…,''y''<sub>''n''</sub>}, визначених на одиничному колі <math> [0, 2\pi) </math>, можливо визначити коловий ({{lang-en|circular}}) аналог коефіцієнта Пірсона.<ref name="SRJ">{{cite book |title=Topics in circular statistics |language=en |last1=Jammalamadaka |first1=S. Rao |last2=SenGupta |first2=A. |year=2001 |publisher=World Scientific |location=New Jersey |isbn=978-981-02-3778-3 |page=176 |url=https://books.google.com/books?id=sKqWMGqQXQkC&q=Jammalamadaka+Topics+in+circular |access-date=21 вересня 2016}}</ref> Це робиться шляхом такого перетворення даних в ''X'' та ''Y'' за допомогою функції [[синус]]а, що коефіцієнт кореляції визначається як

: <math>r_\text{circular} = \frac{\sum ^n _{i=1}\sin(x_i - \bar{x}) \sin(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum^n_{i=1} \sin(x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum ^n_{i=1} \sin(y_i - \bar{y})^2}}</math>

де <math>\bar{x}</math> та <math>\bar{y}</math>&nbsp;— {{нп|Середнє колових величин|колові середні||Mean of circular quantities}} ''X'' та ''Y''. Ця міра може бути корисною в таких галузях як метеорологія, де важливий кутовий напрямок даних.

=== Частинна кореляція ===
{{Основна стаття|Частинна кореляція}}

Якщо сукупність або набір даних характеризується понад двома змінними, коефіцієнт [[Частинна кореляція|частинної кореляції]] вимірює силу залежності між парою змінних, яка не пояснюється тим, як вони обидві змінюються у відповідь на варіації в обраній підмножині інших змінних.

== Декореляція ''n'' випадкових змінних ==
{{Основна стаття|{{нп|Декореляція|||Decorrelation}}}}

Завжди можливо усунути кореляції між усіма парами довільного числа випадкових змінних за допомогою перетворення даних, навіть якщо взаємозв'язок між цими змінними нелінійний. Подання цього результату для розподілів сукупностей навели Кокс та Гінклі.<ref>{{cite book |author1=Cox, D.R. |author2=Hinkley, D.V. |year=1974 |title=Theoretical Statistics |url=https://archive.org/details/theoreticalstati0000coxd |language=en |publisher=Chapman & Hall |at=Appendix 3 |isbn=0-412-12420-3}}</ref>

Існує відповідний результат для зведення до нуля й вибіркових кореляцій. Припустімо, що вектор з ''n'' випадкових змінних спостерігають ''m'' разів. Нехай ''X''&nbsp;— матриця, де <math>X_{i,j}</math>&nbsp;— ''j''-та змінна спостереження ''i''. Нехай <math>Z_{m,m}</math>&nbsp;— квадратна матриця ''m'' на ''m'' з усіма елементами 1. Тоді ''D''&nbsp;— це дані, перетворені так, що кожна випадкова змінна має нульове середнє, а ''T''&nbsp;— це дані, перетворені так, що всі змінні мають нульове середнє й нульову кореляцію з усіма іншими змінними,&nbsp;— вибіркова [[кореляційна матриця]] ''T'' буде одиничною матрицею. Це потрібно додатково поділити на стандартне відхилення, щоб отримати одиничну дисперсію. Перетворені змінні будуть некорельованими, хоч вони й можуть бути не [[Статистична незалежність|незалежними]].

: <math>D = X -\frac{1}{m} Z_{m,m} X</math>
: <math>T = D (D^{\mathsf{T}} D)^{-\frac{1}{2}},</math>

де степінь {{frac|−|1|2}} подає [[квадратний корінь матриці|квадратний корінь]] [[обернена матриця|оберненої]] матриці. Матриця кореляції ''T'' буде одиничною. Якщо нове спостереження даних ''x'' це рядковий вектор з ''n'' елементів, то те саме перетворення можливо застосувати й до ''x'', щоб отримати перетворені вектори ''d'' та ''t'':

: <math>d = x - \frac{1}{m} Z_{1,m} X,</math>
: <math>t = d (D^{\mathsf{T}} D)^{-\frac{1}{2}}.</math>

Декореляція пов'язана з [[Аналіз головних компонент|аналізом головних компонент]] для багатовимірних даних.

== Програмні втілення ==

* У базовому пакеті статистики ''[[R (мова програмування)|R]]'' цей коефіцієнт кореляції втілено через <code>cor(x, y)</code>, або (з ''P''-значенням) через [http://stat.ethz.ch/R-manual/R-patched/library/stats/html/cor.test.html <code>cor.test(x, y)</code>].
* У бібліотеці ''[[Python]]'' ''[[SciPy]]''&nbsp;— через [https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.pearsonr.html <code>pearsonr(x, y)</code>].
* Бібліотека ''Python'' ''[[Pandas]]'' втілює обчислення коефіцієнта кореляції Пірсона як варіант за замовчуванням для методу [https://pandas.pydata.org/pandas-docs/stable/reference/api/pandas.DataFrame.corr.html <code>pandas.DataFrame.corr</code>]
* ''[[Wolfram Mathematica]]''&nbsp;— через функцію [https://reference.wolfram.com/language/ref/Correlation.html <code>Correlation</code>], або (з ''P''-значенням) через [https://reference.wolfram.com/language/ref/CorrelationTest.html <code>CorrelationTest</code>].
* Бібліотека [[C++|''C''++]] ''[[Boost]]''&nbsp;— через функцію [https://www.boost.org/doc/libs/1_76_0/libs/math/doc/html/math_toolkit/bivariate_statistics.html <code>correlation_coefficient</code>].
* ''[[Excel]]'' має вбудовану функцію [https://support.microsoft.com/en-us/office/correl-function-995dcef7-0c0a-4bed-a3fb-239d7b68ca92 <code>correl(array1, array2)</code>] для обчислення коефіцієнта кореляції Пірсона.

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}

* {{нп|Відношення квадрантових кількостей|||Quadrant count ratio}}
* {{нп|Відношення шансів|||Odds ratio}}
* {{нп|Дезатенюація|||Disattenuation}}
* [[Квартет Анскомбе]]
* {{нп|Коефіцієнт колігації|||Coefficient of colligation}}
** {{нп|Q Юла|''Q'' Юла||Yule's Q}}
** {{нп|Y Юла|''Y'' Юла||Yule's Y}}
* {{нп|Коефіцієнт конкордації|||Concordance correlation coefficient}}
* [[Коефіцієнт кореляції рангу Спірмена]]
* {{нп|Коефіцієнт множинної кореляції|||Coefficient of multiple correlation}}
* {{нп|Кореляційне відношення|||Correlation ratio}}
* {{нп|Кореляція віддалі|||Distance correlation}}
* [[Кореляція і залежність]]
* {{нп|Максимальний інформаційний коефіцієнт|||Maximal information coefficient}}
* {{нп|Множинна кореляція|||Multiple correlation}}
* {{нп|Нормальна розподіленість і некорельованість не означає незалежність|||Normally distributed and uncorrelated does not imply independent}}
* [[Пов'язаність (статистика)]]
* {{нп|Поліхорна кореляція|||Polychoric correlation}}
* {{нп|RV-коефіцієнт|''RV''-коефіцієнт||RV coefficient}}
* [[Частинна кореляція]]

== Виноски ==
{{Notelist|1}}

== Примітки ==
{{Примітки}}

== Посилання ==

* {{cite web |url=http://comparingcorrelations.org |title=cocor |website=comparingcorrelations.org |language=en}}&nbsp;— Безкоштовний вебінтерфейс та пакет ''R'' для статистичного порівняння двох залежних або незалежних кореляцій з перетинними або неперетинними змінними.
* {{cite web |url=http://nagysandor.eu/AsimovTeka/correlation_en/index.html |title=Correlation |language=en |website=nagysandor.eu}}&nbsp;— інтерактивна флешсимуляція кореляції двох нормально розподілених змінних.
* {{cite web |url=http://www.hackmath.net/en/calculator/linear-regression |title=Correlation coefficient calculator |series=Linear regression |language=en |website=hackmath.net}}
* {{cite web |url=http://frank.mtsu.edu/~dkfuller/tables/correlationtable.pdf |title=Critical values for Pearson's correlation coefficient |website=frank.mtsu.edu/~dkfuller}}&nbsp;— велика таблиця.
* {{cite web |url=http://guessthecorrelation.com |title=Guess the Correlation |language=en }}&nbsp;— Гра, в якій гравці вгадують, наскільки корельовані дві змінні на діаграмі розсіювання, щоби краще зрозуміти поняття кореляції.

{{Статистика|описова}}
{{Бібліоінформація}}

{{DEFAULTSORT:Коефіцієнт кореляції добутку моментів Пірсона}}
[[Категорія:Кореляційні показники]]
[[Категорія:Параметрична статистика]]
[[Категорія:Статистичні співвідношення]]