Перегляд вихідного коду сторінки Кирпатий додекаедр

'''Кирпатий додекаедр'''{{Sfn|Веннинджер|1974|с=20, 42}}, '''плосконосий додекаедр'''{{Sfn|Энциклопедия элементарной математики|1963|с=437, 435}}{{Sfn|Люстерник|1956|с=183}} або '''плосконосий ікосододекаедр'''&nbsp;— [[напівправильний многогранник]] (архімедове тіло), одне з тринадцяти опуклих [[Ізогональність|ізогональних]] непризматичних тіл, гранями яких є два або більше [[Правильний многокутник|правильних многокутників]].

Кирпатий додекаедр має 92 грані (найбільше з усіх архімедових тіл), 12 [[П'ятикутник|п'ятикутних]], інші 80&nbsp;— [[Правильний трикутник|правильні трикутники]]. У нього 150 ребер та 60 вершин.

Многогранник має дві різні форми, що є [[Віддзеркалення|дзеркальними образами]] (або [[Хіральність (математика)|енантіоморфами]]) одна одної. Об'єднання обох форм утворює {{Не перекладено|з'єднання двох кирпатих додекаедрів||en|compound of two snub dodecahedra}}, а [[опукла оболонка]] цієї конструкції є [[Ромбозрізаний ікосододекаедр|ромбозрізаним ікосододекаедром]].

[[Йоганн Кеплер|Кеплер]] 1619 року у своїй книзі [[Harmonices Mundi]] спочатку назвав його [[Латинська мова|латиною]] '''dodecahedron simum'''. [[Гарольд Коксетер]] зауважив, що многогранник можна отримати і з додекаедра або ікосаедра і назвав його '''кирпатим ікосододекаедром''', з вертикальним [[Символ Шлефлі|символом Шлефлі]] <math>s\begin{Bmatrix} 5 \\ 3 \end{Bmatrix}</math>.

Співвідношення між довжиною ребра <math>a</math> та діаметром [[Описана сфера|описаної сфери]] <math>D</math>:

<math>D=4{,}311675\cdot a</math>

== Декартові координати ==
з парною кількістю знаків плюс, де: (±2α, ±2, ±2β),
: (±(α+β/ϕ+ϕ), ±(−αϕ+β+1/ϕ), ±(α/ϕ+βϕ−1)),
: (±(α+β/ϕ−ϕ), ±(αϕ−β+1/ϕ), ±(α/ϕ+βϕ+1)),
: (±(−α/ϕ+βϕ+1), ±(−α+β/ϕ−ϕ), ±(αϕ+β−1/ϕ)) та: (±(−α/ϕ+βϕ−1), ±(α−β/ϕ−ϕ), ±(αϕ+β+1/ϕ)), і

: α = ξ − 1 / ξ

де <math>\phi = (1 + \sqrt 5)/2</math>&nbsp;— [[золотий перетин]], а ξ&nbsp;— дійсний розв'язок рівняння ξ<sup>3</sup> − 2ξ = ϕ і це число дорівнює

: β = ξϕ + ϕ <sup>2</sup> + ϕ /ξ,

а об'єм дорівнює

: <math>\xi = \sqrt[3]{\frac{\phi}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\phi - \frac{5}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{\phi}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{\phi - \frac{5}{27}}}</math>

або, приблизно, 1,7155615.

Цей кирпатий додекаедр має довжину ребра приблизно 6,0437380841.
[[Файл:A11-A13.gif|міні| Перетворення ромбоікосідодекаедра на кирпатий додекаедр]]
Якщо взяти [[Перестановка|непарні перестановки]] наведених вище координат із парним числом знаків плюс, отримаємо іншу, [[Хіральність (математика)|енантіоморфну]] форму першого. Хоча це не зразу очевидно, тіло, отримане з парних перестановок, є тим самим, що й з непарних. Так само, дзеркальне відбиття многогранника відповідатиме або парним перестановкам, або непарним.

== Площа поверхні та об'єм ==
За довжини ребра 1 площа поверхні дорівнює

: <math>A = 20\sqrt{3} + 3\sqrt{25+10\sqrt{5}} \approx 55,28674495844515</math>

[[Декартова система координат|Декартовими координатами]] вершин кирпатого додекаедра є всі [[Перестановка|парні перестановки]]

: <math>V= \frac{12\xi^2(3\phi+1)-\xi(36\phi+7)-(53\phi+6)}{6\sqrt{3-\xi^2}^3} \approx 37,61664996273336</math> ,

де <math>\phi</math>&nbsp;— [[золотий перетин]].

Кирпатий додекаедр має найвищу [[сферичність]] із усіх [[Напівправильний многогранник|архімедових тіл]].

== Ортогональні проєкції ==
Кирпатий додекаедр має дві особливі [[Проєкція (математика)|ортогональні проєкції]], центровані відносно двох типів граней&nbsp;— трикутних та п'ятикутних, що відповідають [[Число Коксетера|площинам Коксетера]] A<sub>2</sub> та H<sub>2</sub>.
{| class="wikitable" width="500"
|+Ортогональні проекції
! Центрований відносно…
! …трикутної грані
! …п'ятикутної грані
! …ребра
|-
! Зображення
|[[Файл:Snub_dodecahedron_A2.png|120x120пкс]]
|[[Файл:Snub_dodecahedron_H2.png|120x120пкс]]
|[[Файл:Snub_dodecahedron_e1.png|120x120пкс]]
|- align="center"
! Проєктивна<br/>симетрія
| [3]
| [5]<sup>+</sup>
| [2]
|-
! Двоїстий многогранник
|[[Файл:Dual_snub_dodecahedron_A2.png|120x120пкс]]
|[[Файл:Dual_snub_dodecahedron_H2.png|120x120пкс]]
|[[Файл:Dual_snub_dodecahedron_e1.png|120x120пкс]]
|}

== Геометричні зв'язки ==
{| class="wikitable" align="right" style="text-align:center"
!Обертання кирпатого додекаедра
|-
|[[Файл:Dodecaedro_torcido_dextrogiro.jpg|міні|225x225пкс| Обертання по спіралі вправо]][[Файл:Dodecaedro_torcido_levógiro.jpg|міні|225x225пкс| Обертання по спіралі вліво]]
|}
Кирпатий додекаедр можна отримати з дванадцяти правильних [[П'ятикутник|п'ятикутних]] граней [[Дванадцятигранник|додекаедра]], [[Розтягування (геометрія)|витягнувши їх назовні]] так, щоб вони перестали торкатися одна одної. При розтягуванні на відповідну відстань це дасть [[ромбоікосододекаедр]], якщо простір, отриманий між розділеними ребрами, заповнити квадратами, а між розділеними вершинами&nbsp;— трикутниками. Але щоб отримати кирпатий вид, заповнюємо лише трикутні грані, квадратні проміжки залишаємо порожніми. Тепер повертаємо п'ятикутники відносно їхніх центрів разом із трикутниками, доки квадратні проміжки не перетворяться на рівносторонні трикутники.

Кирпатий додекаедр можна також отримати з [[Ромбозрізаний ікосододекаедр|ромбозрізаного ікосододекаедра]] {{Не перекладено|Альтернація (геометрія)|альтернацією|en|alternation (geometry)}}. Шістдесят вершин ромбозрізаного ікосододекаедра утворюють многогранник, топологічно еквівалентний одному кирпатому додекаедру. Решта шістдесят утворюють його дзеркальне відображення. Отриманий многогранник [[Ізогональність|вершинно транзитивний]], але не однорідний, оскільки має ребра різної довжини, для зведення його до однорідного многогранника знадобиться деяка деформація.

== Пов'язані многогранники та мозаїки ==
{{Ікосаедричні зрізи}}
Цей напівправильний многогранник належить до послідовності {{Не перекладено|Зрізання носів (геометрія)|кирпатих|en|Snub (geometry)}} многогранників та мозаїк з [[Вершинна фігура|вершинною фігурою]] (3.3.3.3.''n'') та [[Діаграми Коксетера — Динкіна|діаграмою Коксетера&nbsp;— Динкіна]]{{ДКД|node_h|n|node_h|3|node_h}}. Ці фігури та їхні двоїсті мають (n32) обертальну {{Не перекладено|Орбіфолдна нотація|симетрію|en|Orbifold notation}} і існують у евклідовій площині для n=6 та гіперболічній площині для будь-якого n, більшого від 6. Можна вважати, що послідовність починається з n=2, якщо припустити, що деяка множина граней вироджується в [[двокутник]]и.
{{Таблиця кирпатих фігур}}

== Граф кирпатого додекаедра ==
{{Граф|namesake=|name=Граф кирпатого додекаедра|image=[[Файл:Snub dodecahedral graph.png|260px]]|vertices=60|edges=150|automorphisms=60|properties=[[Гамільтонів граф|гамільтонів]]<br />[[Регулярний граф|регулярний]]}}У [[Теорія графів|теорії графів]] '''граф кирпатого додекаедра'''&nbsp;— це [[1-кістяк|граф вершин і ребер]] кирпатого додекаедра. Він має 60 вершин і 150 ребер і є [[Архімедів граф|архімедовим графом]]{{Sfn|Read, Wilson|1998|с=269}}.{{Clear}}

== Галерея ==
<gallery>
Файл:Snub Dodecahedron Animaton.gif|alt=Розгортання кирпатого додекаедра (анімація)|Розгортання кирпатого додекаедра
Файл:Snubdodecahedronccw.gif|alt=Кирпатий додекаедр (анімація)|Кирпатий додекаедр
</gallery>

== Примітки ==
{{Reflist|2}}

== Література ==
{{Refbegin}}
* {{Книга
|автор = [[Маґнус Веннінґер|М. Веннинджер]]
|видавництво = [[Мир (видавництво)|Мир]]
|рік = 1974
|ref = Веннинджер
|назва = Модели многогранников
}}
* {{Книга
|видавництво = {{нп|Физматлит|Государственное издательство физико-математической литературы|ru|Физматлит}}
|місце = {{М.}}
|рік = 1963
|відповідальний = Под ред. [[Александров Павло Сергійович|П.&nbsp;С.&nbsp;Александрова]], {{нп|Маркушевич Олексій Іванович|А. И. Маркушевича|ru|Маркушевич, Алексей Иванович}}, {{нп|Хінчин Олександр Якович|А. Я. Хинчина|ru|Хинчин, Александр Яковлевич}}
|частина = Многоугольники и многогранники
|сторінки = 382—447
|ref = Энциклопедия элементарной математики
|назва = Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия
}}
* {{Книга
|автор = [[Люстерник Лазар Аронович|Л. А. Люстерник]]
|місце = {{М.}}
|видавництво = {{нп|Физматлит|Государственное издательство технико-теоретической литературы|ru|Физматлит}}
|рік = 1956
|ref = Люстерник
|назва = Выпуклые фигуры и многогранники
}}
* {{Стаття|author=Udaya Jayatilake|title=Calculations on face and vertex regular polyhedra|видання=Mathematical Gazette|date=2005|том=89|issue=514 (March)|pages=76–81|ref=Jayatilake}}
* {{Книга
|автор = Robert Williams
|рік = 1979
|посилання = https://archive.org/details/geometricalfound00will
|видавництво = Dover Publications, Inc.
|ISBN = 0-486-23729-X.
|ref = Williams
|назва = The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design
}} (Секція 3-9)
* {{Книга
|автор = P. Cromwell
|ref = Cromwell
|рік = 1997
|посилання = http://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&lpg=PP1&pg=PA82#v=onepage&q=&f=false
|місце = United Kingdom
|видавництво = Cambridge
|сторінки = 79–86 ''Archimedean solids''
|ISBN = 0-521-55432-2
|назва = Polyhedra
}}
* {{Книга
|автор = R.C. Read, R.J. Wilson
|видавництво = Oxford University Press
|рік = 1998
|ref = Read, Wilson
|назва = An Atlas of Graphs
}}

{{Refend}}

== Посилання ==
* {{MathWorld|urlname=SnubDodecahedralGraph|title=Snub dodecahedral graph}}
* [http://mathworld.wolfram.com/GreatRhombicuboctahedron.html 3D convex uniform polyhedra] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/GreatRhombicuboctahedron.html|date=20151222083831}}
* [http://www.dr-mikes-math-games-for-kids.com/polyhedral-nets.html?net=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&name=Snub+Dodecahedron#applet Editable printable net of a Snub Dodecahedron with interactive 3D view] {{Wayback|url=http://www.dr-mikes-math-games-for-kids.com/polyhedral-nets.html?net=aDiAd7EuD6JEyMy1JVKFsa8iDW5tM3Qs3MqxBVGvmd0694UNAzjcvcRXcqBcC0KGnIBi7h9Cg3w8ikfFW8uoxM4d8N02mUmiPtVdjRPES3K1YArAm20bjfn9nWCHZyBubfS1uMff57mXxR7FJJfAfnu4OcLgXVVXORgYnVJIjjFwCcT2i1hLxuYbchkA5VGUKE1Xrvjw5arGCHafH9uIWvTT0ZGeb7LJ5C90hu7ALyKfc9C7vxnyqc2dVwmoXQSD9kc84xzoZiGGWx4MyhCpjnD5MVLpy8LssafhN1eSm2ZrUT4snKGowFy8b3ZbTsWtLD0HPNYfZWrbvpgWhE4ToCjGOOKXWnUT3qflcKZLGxwRrv5gWaxKZeBPQNwvRohjtyI96MJL5N1lz9FLKmEQbwliTaWaqBK7aWIiuMjhMxo3QghFTa1mLqvtZFll4OOyKnnjWe3uWAW0AX6tYWUEhElXF1f5QM9zSeKxr80WxlOQUXS875Be7s7cirEkBwiwTzNbQkQCjC3UlMHw05WygS2LQzqhxoLVDIW43poA7RxsZzZ54x9kBmVeMuZDYJPVFPGFJiOOHk2SwSMB1E4UmlEZb2LKxNr19bc3YnVn06RJjG2F5y5pbzKdyq1J0tZ5aX7Mi61LcreSoHOrO5teQDDQL7bkqcPixbpxQCSmX7jVCGFzLqgZF3c9t56VBAmM8FcR&name=Snub+Dodecahedron#applet|date=20151223122633}}
* [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra] {{Wayback|url=http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/|date=20080211233246}}
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] The Encyclopedia of Polyhedra {{Wayback|url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html|date=20080223132026}}
* [http://www.mocpages.com/moc.php/253958 The Snub Dodecahedron made with LEGO] by Antonio Nicassio (ITALY) {{Wayback|url=http://www.mocpages.com/moc.php/253958|date=20151222103803}}
{{Багатогранники}}
[[Категорія:Однорідні многогранники]]
[[Категорія:Архімедові тіла]]
[[Категорія:Замощення]]
[[Категорія:Хіральні многогранники]]