Перегляд вихідного коду сторінки Квадратне рівняння

'''Квадра́тне рівня́ння'''&nbsp;— [[алгебраїчне рівняння]] виду:

: <math>ax^2 + bx + c = 0,</math> де <math>a\ne 0</math>,

де {{math|''x''}} є невідомою змінною, а {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, і {{math|''c''}} є сталими відомими числами, такими що {{math|''a''}} не дорівнює нулю {{math|0}}. Якщо {{math|''a'' {{=}} 0}}, тоді рівняння буде [[Лінійне рівняння|лінійним]], а не квадратним рівнянням. Числа {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, і {{math|''c''}} є ''[[коефіцієнт]]ами'' рівняння, і аби розрізнити їх можна називати відповідно, ''квадратичним коефіцієнтом'', ''лінійним коефіцієнтом'' і ''вільною сталою''.<ref>Protters & Morrey: « Calculus and Analytic Geometry. First Course»</ref>

Квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою процедури [[Факторизація многочленів|розкладання на множники]], методу [[виділення квадрата]], за допомогою побудови [[Графік функції|графіка функції]], або з використанням [[квадратична формула|квадратичної формули]], що є загальним розв'язком цього рівняння:

: <math>x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.</math>

Рішення задачі, еквівалентної квадратному рівнянню були відомі ще в 2000 році до нашої ери.
__TOC__

== Перші згадки ==
;Стародавній Вавилон

Уже в другому тисячолітті до нашої ери вавилоняни знали, як розв'язувати квадратні рівняння. Розв'язання їх в [[Вавилон|Стародавньому Вавилоні]] було тісно пов'язане з практичними завданнями, в основному такими, як обчислення площі земельних ділянок, земельні роботи, пов'язані з військовими потребами; наявність цих знань також обумовлена розвитком математики та астрономії взагалі. Були відомі способи розв'язання як повних, так і неповних квадратних рівнянь.

Наведемо приклад квадратного рівняння, які розв'язувалися в Стародавньому Вавилоні, використовуючи сучасний алгебраїчний запис:

<math>x^2 + x = 3/4</math>

Правила розв'язування квадратних рівнянь багато в чому аналогічні сучасним, проте в вавилонських текстах не зафіксовано міркування, шляхом яких ці правила були отримані.

== Загальні відомості ==
Квадратні рівняння є різновидом [[рівняння|рівнянь]] другого степеня з однією змінною. Числа <math>\ a, b, c</math>&nbsp;— його коефіцієнти, при чому <math>\ a</math> також називається першим коефіцієнтом, <math>\ b</math>&nbsp;— другим, <math>\ c</math>&nbsp;— вільним членом. Будь-яке квадратне рівняння має
* або два різних дійсних корені,
* або два однакові дійсних корені (тобто, по суті, один),
* або взагалі не має дійсних коренів, а має два комплексні корені.

(Зазвичай, коли кажуть, що коренів немає, то мається на увазі, що немає [[Дійсні числа|дійсних]] коренів: в такому разі обидва корені є [[Комплексне число|комплексними]]. Вони позначаються як <math>x_1</math> та <math>x_2</math> або, якщо йдеться про обидва корені одночасно, то <math>x_{1,2}.</math> В деякій літературі зустрічається ще й таке позначення: <math>x_+</math> і <math>x_-.</math>.)

== Неповні квадратні рівняння ==
Згідно з означенням, перший коефіцієнт квадратного [[рівняння]] не може дорівнювати нулю: якщо <math>\ a = 0</math>, то <math>\ ax^2 + bx + c = 0</math> перетворюється у [[лінійне рівняння]] <math>\ bx + c = 0</math>.
Якщо хоч один коефіцієнт <math>\ b</math> або <math>\ c</math> дорівнює нулю, то квадратне рівняння називається '''непо́вним'''.

=== Розв'язування неповних квадратних рівнянь ===
* <math>ax^2 = 0</math> рівносильне рівнянню <math>x^2 = 0</math> і тому завжди має тільки один корінь <math>x = 0</math>.
* <math>ax^2 + bx = 0</math> розв'язується винесенням за дужки <math>x</math>: <math>x(ax + b) = 0</math>. Таке рівняння має два корені: <math>x_1 = 0, x_2 = -b/a</math>
* <math>ax^2 + c = 0</math> рівносильне рівнянню <math>x^2 = -c/a</math>. Якщо <math>-c/a > 0</math>, воно має два дійсних розв'язки, якщо <math>-c/a < 0</math>&nbsp;— жодного дійсного. 

== Зведені квадратні рівняння ==
'''Зведеними''' називаються такі квадратні рівняння, у яких перший коефіцієнт дорівнює одиниці <math>(a = 1)</math>. Будь-яке квадратне рівняння можна перетворити у зведене, іншими словами, звести його. Для цього треба обидві частини рівняння поділити на <math>a</math>:
: <math>x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0.</math>

== Повне квадратне рівняння ==
Повним називається таке квадратне рівняння, у якому жодний з коефіцієнтів <math>a, b, c</math> не дорівнює нулю.

=== Виділення квадрату ===
{{main|Виділення квадрату}}
Для зведеного квадратного рівняння
: <math>x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0.</math>

використаємо [[формули скороченого множення|формулу скороченого множення]] про '''квадрат суми''', щоб позбутись доданка з першим степенем:
: <math>\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.</math>

=== Дискримінант ===
{{main|Дискримінант}}
Оскільки <math>4a^2 > 0,</math> то кількість коренів залежить тільки від знаку чисельника правої частини
: <math>D = b^2 - 4ac</math>

який називають '''дискриміна́нтом''' ({{lang-la|diskriminans}}&nbsp;— розрізняючий), та позначають латинською літерою <math>D</math>.

=== Формула ===
Якщо <math>D > 0</math>, то квадратне рівняння рівносильне рівнянню <math>(2ax + b)^2 = \left(\sqrt D \right)^2</math>, звідки
: <math>2ax + b = \sqrt D,\qquad x=\frac{-b + \sqrt D}{2a},</math>

або

: <math>2ax + b = -\sqrt D,\qquad x=\frac{-b - \sqrt D}{2a}.</math>

У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються лише знаком перед <math>\sqrt D</math>. Коротко ці корені записують так:

: <math>x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}</math>, де <math>D = b^2 - 4ac \qquad (1).</math>

Якщо <math>D = 0</math>, то <math>2ax + b = 0</math>, звідки <math>x = -\frac{b}{2a}</math>&nbsp;— єдиний корінь (точніше&nbsp;— два однакові корені)

У випадку, якщо дискримінант менший за нуль, то дане рівняння не має дійсних коренів. Але при цьому є можливість знайти два [[Комплексне число|комплексних]] корені за формулою (1) або, скориставшись наступною формулою, щоб не добувати корінь з від'ємного числа:

: <math>x_{1,2} = \frac{-b \pm i \cdot \sqrt{-b^2 + 4ac}}{2a}.</math>
Якщо коефіцієнти в рівнянні мають великі числові значення для уникнення довгих розрахунків можна скористатися формулою:
: <math>x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a},</math> де :<math>k = \frac{b}{2}.</math>
: Приклад:
: <math>2x^2 + 3x -5 = 0.</math>
: <math>a=2</math> <math>b=3</math> <math>c=-5</math>
: <math>D=3^2-4\cdot2\cdot(-5)=9+40=49=7^2</math>
: У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються лише знаком перед <math>\sqrt D</math>
: <math>x_{1} = \frac{-3  - 7}{4}=-2,5</math>
: <math>x_{2} = \frac{-3  + 7}{4}=1</math>
: 

== [[Теорема Вієта]] ==
Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнтові рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток&nbsp;— вільному члену. Для прикладу візьмемо зведене рівняння <math>x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0</math> і позначимо <math>\frac{b}{a}</math> через <math>p,</math> а <math>\frac{c}{a}</math> через <math>q.</math> Тоді воно матиме такий вигляд:

: <math>x^2 + px + q = 0,</math>

отже за [[Теорема Вієта|теоремою Вієта]]:

: <math>x_1 + x_2 = -p,</math>
: <math>x_1\cdot x_2 = q.</math>

=== Доведення ===
Якщо рівняння <math>x^2 + px + q = 0</math> має корені <math>x_1</math> і <math>x_2,</math> то їх можна знаходити за [[формула]]ми:

: <math>x_1 = \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2}</math> і <math>x_2 = \frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2}.</math>

При додаванні та множенні коренів отримуємо відповідно:

: <math>x_1 + x_2 = \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2} + \frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2} = -p,</math>
: <math>x_1\cdot x_2 = \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2}  * \frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2} = q.</math>

=== Теорема обернена до теореми Вієта ===
Якщо сума і добуток чисел <math>m</math> і <math>n</math> дорівнюють відповідно <math>-p</math> і <math>q</math>, то <math>m</math> і <math>n</math>&nbsp;— корені рівняння <math>x^2 + px + q = 0.</math>

=== Використання теореми Вієта та оберненої до неї ===
Використовуючи теорему Вієта можна перевіряти правильність розв'язання квадратних рівнянь. А користуючись оберненою теоремою, можна навіть усно розв'язувати більшість зведених рівнянь. Для прикладу розв'яжемо таке рівняння:

: <math>2x^2 + 16x + 14 = 0.</math>

Щоб звести рівняння поділимо його на 2 (незведене рівняння матиме такі ж корені, як і зведене)

: <math>x^2 + 8x + 7 = 0.</math>

Оскільки 7 (вільний член)&nbsp;— це добуток коренів рівняння, то коренями має бути пара чисел 7 та 1 або −7 та −1. Так як сума коренів дорівнює −8 (другий коефіцієнт з протилежним знаком), то шукана пара&nbsp;— −7 і −1. Отже:

: <math>x_1 = -7,\quad x_2 = -1.</math>

== Інші методи розв'язування ==
Для знаходження коренів існують формули, які можуть стати в пригоді у деяких окремих випадках. Так, наприклад, формулу

: <math>x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^2 - q}</math>

зручно використовувати при парному p. Її перевага полягає в непотрібності окремого знаходження дискримінанта, що значно спрощує необхідні обчислення.

Також поширеною є формула

: <math>x_{1,2} = \frac{2c}{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}} \qquad (2),</math>

але суттєвим її недоліком є неможливість отримати два корені при <math>c = 0</math>. Тобто у випадку відсутності вільного члена з її допомогою не вдасться добути другий корінь (перший дорівнюватиме нулю). Цю проблему можна вирішити використовуючи змішаний вигляд вищезазначеної формули:

: <math>x_1 = \frac{-b - \sgn b \,\sqrt {b^2-4ac}}{2a},</math>
: <math>x_2 = \frac{c}{ax_1},</math>

де <math>\sgn b</math>&nbsp;— [[Signum-функція|sign-функція]]. Цей спосіб розв'язування рівнянь дещо простіший за звичайний метод і позбавлений недоліку формули (2).

=== Аналітична геометрія ===
[[Файл:Polynomialdeg2.svg|thumbnail|right|200px|[[Графік функції]] y = x<sup>2</sup> − x − 2 перетинає вісь абсцис у точках з координатами, що дорівнюють кореням рівняння x<sup>2</sup> − x − 2 = 0]]
Корені рівняння

: <math>ax^2 + bx + c = 0</math>

є також нулями функції

: <math>f(x) = ax^2 + bx + c.</math>

В точках перетину її графіка з віссю абсцис значення x-координати дорівнюватиме кореням рівняння. У випадку, коли дискримінант цього рівняння більший нуля, графік перетинається з віссю у двох точках; коли <math>D = 0</math>, графік дотикається до неї в одній точці; якщо ж дискримінант менший за нуль, графік не перетинає вісь Ox взагалі.

=== Факторизація ===
{{Див. також|Факторизація многочленів}}
Ліва частина квадратного рівняння, яка також називається квадратним тричленом, може бути [[Факторизація многочленів|розкладена на множники]] за такою формулою:<br/>
<math>ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)</math>, де <math>x_1, x_2</math>&nbsp;— корені цього рівняння.

=== Доповнення до квадрата ===

В процесі доповнення до квадрата використовують алгебраїчне рівняння
: <math>x^2+2hx+h^2 = (x+h)^2,</math>
яке визначає чітко визначений [[алгоритм]], який можна використати для розв'язку квадратного рівняння.<ref name=Washington2000>{{cite book|last=Washington|first=Allyn J.|title=Basic Technical Mathematics with Calculus, Seventh Edition|year=2000|publisher=Addison Wesley Longman, Inc.|isbn=0-201-35666-X}}</ref> Розпочнемо із квадратного рівняння наступної форми, {{math|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' {{=}} 0}}
# Розділимо кожну його частину на {{math|''a''}}, коефіцієнт при квадратному члені рівняння.
# Віднімемо сталу {{math|''c''/''a''}} з обох частин рівняння.
# Додайте квадрат половини значення {{math|''b''/''a''}}, коефіцієнта при {{math|''x''}}, до обох частин рівняння. Це «доповнює квадрат», перетворюючи ліву частину у ідеальний квадрат.
# Перепишіть ліву частину у вигляді квадрата і спростіть праву частину при необхідності.
# Отримаємо два лінійні рівняння прирівнявши [[квадратний корінь]] у лівій частині із додатнім і від'ємним квадратним коренями правої частини.
# Знайдемо розв'язок двох лінійних рівнянь.

Наведемо приклад роботи алгоритма, розв'язавши рівняння {{math|2''x''<sup>2</sup> + 4''x'' &minus; 4 {{=}} 0}}
: <math>1) \ x^2+2x-2=0</math>
: <math>2) \ x^2+2x=2</math>
: <math>3) \ x^2+2x+1=2+1</math>
: <math>4) \ \left(x+1 \right)^2=3</math>
: <math>5) \ x+1=\pm\sqrt{3}</math>
: <math>6) \ x=-1\pm\sqrt{3}</math>

Подвійний [[Знак плюс-мінус|знак плюс-мінус «±»]] означає, що обидва варіанти {{math|''x'' {{=}} &minus;1 + {{radic|3}}}} і {{math|''x'' {{=}} &minus;1 &minus; {{radic|3}}}} є розв'язками квадратного рівняння.<ref>{{Citation|last=Sterling|first=Mary Jane|title=Algebra I For Dummies|year=2010|publisher=Wiley Publishing|isbn=978-0-470-55964-2|url=https://books.google.com/books?id=2toggaqJMzEC&pg=PA219&dq=quadratic+formula#v=onepage&q=quadratic%20formula&f=false|page=219|accessdate=14 Липня 2018|archive-date=8 Лютого 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210208023934/https://books.google.com/books?id=2toggaqJMzEC&pg=PA219&dq=quadratic+formula#v=onepage&q=quadratic%20formula&f=false}}</ref>

== Рівняння, що зводяться до квадратних ==
До квадратних можна звести біквадратне, а також будь-яке рівняння виду <math>ax^{2n} + bx^n + c = 0</math>, зробивши заміну <math>t = x^n</math>. Для прикладу розв'яжемо наступне рівняння:

: <math>3x^6 - 21x^3 + 30 = 0.</math>

Зробимо заміну <math>t = x^3</math>:

: <math>3t^2 - 21t + 30 = 0.</math>

Це звичайне квадратне рівняння, корені якого знайдемо за формулою (2):

: <math>t_1 = \frac{2 \cdot 30}{21 + \sqrt{(-21)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 30}} = \frac{60}{21 + \sqrt{441 - 360}} = \frac{60}{30} = 2,</math>
: <math>t_2 = \frac{2 \cdot 30}{21 - \sqrt{(-21)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 30}} = \frac{60}{21 - \sqrt{441 - 360}} = \frac{60}{12} = 5.</math>

Маючи значення <math>t</math> легко знайти корені початкового рівняння:

: <math>x_1 = \sqrt[3]{t_1} = \sqrt[3]{2},</math>
: <math>x_2 = \sqrt[3]{t_2} = \sqrt[3]{5}.</math>

== Приклади і застосування ==
[[Файл:La Jolla Cove cliff diving - 02.jpg|thumb|Траєкторія польоту при стрибанні з кручі у воду [[парабола|параболічна]], оскільки горизонтальне переміщення є лінійною функцією від часу <math>x=v_x t</math>, а вертикальне переміщення є квадратичною функцією від часу <math>y=\tfrac{1}{2} at^2+v_y t+h</math>. В результаті, шлях буде задаватися квадратним рівнянням <math>y=\tfrac{a}{2v_x^2} x^2+\tfrac{v_y}{v_x} x+h</math>, де <math>v_x</math> і <math>v_y</math>&nbsp;— горизонтальна і вертикальна компоненти початкової швидкості, {{math|''a''}} є [[Прискорення вільного падіння|гравітаційним]] [[прискорення]]м, а {{math|''h''}} є початковою висотою. Значення {{math|''a''}} слід задавати від'ємним, оскільки напрям падіння (вниз) є протилежним до вимірювання висоти (вгору).]]
[[Золотий перетин]] можна знайти як додатній розв'язок квадратного рівняння <math>x^2-x-1=0</math>.

Рівняння [[Коло|кола]] і інших [[Конічний перетин|конічних перетинів]]&nbsp;— [[еліпс]]а, [[парабола|параболи]], і [[Гіпербола (математика)|гіперболи]]&nbsp;— є квадратними рівняннями двох змінних.

При відомому [[косинус]]і або [[синус]]і кута, знайти косинус або синус половини цього кута можна за допомогою вирішення квадратного рівняння.

[[Теорема Декарта (геометрія)|Теорема Декарта]] стверджує, що для будь-яких чотирьох взаємно дотичних кіл, їх [[радіус]]и задовольнятимуть певному квадратному рівнянню.

[[Біцентричний чотирикутник#Теорема Фусса|Теоремою Фаусса]] визначається рівняння, яке задає співвідношення між радіусом [[Вписане коло|кола вписаного]] в [[біцентричний чотирикутник]] і радіусом [[Описане коло|описаного кола]] та відстанню між центрами цих кіл. Рівняння можна представити у вигляді квадратного рівняння, в якому розв'язком буде відстань між двома центрами кіл із заданими радіусами. Іншим розв'язком того ж рівняння, при відповідних радіусах дасть відстань між центрами описаного кола і зовнішнього кола [[Зовнішньо-описаний чотирикутник|зовні-описаного чотирикутника]].

== Історія ==
;Стародавня Греція
У [[Стародавня Греція|стародавній Греції]] квадратні рівняння розв'язувалися за допомогою геометричних побудов. Методи, які не пов'язувалися з геометрією, вперше наводить [[Діофант Александрійський]] у [[III століття|III&nbsp;ст.]] У своїх книгах «Арифметика» він наводить приклади розв'язування неповних квадратних рівнянь. Його книги з описом способів розв'язування повних квадратних рівнянь до нашого часу не збереглися.

;Індія
Завдання, які розв'язувалися за допомогою квадратних рівнянь, зустрічаються в трактаті з астрономії «Аріабхаттіам», написаним індійським астрономом і математиком [[Аріабхата I|Аріабхатою І]] в 499 році нашої ери. Один з перших відомих висновків формули коренів квадратного рівняння належить індійському вченому [[Брамагупта|Брамагупті]] (близько 598&nbsp;р.) [1]; Брамагупта виклав універсальне правило розв'язування квадратного рівняння, зведеного до канонічного вигляду: <math>ax^2 + bx + c = 0,</math>причому передбачалося, що в ньому всі коефіцієнти, крім <math>a
</math>, можуть бути від'ємними. Сформульоване вченим правило по своїй суті збігається з сучасним.

[[Аль-Хорезмі]] описав алгоритм знаходження коренів всіх шести підвидів квадратного рівняння.

;Європа
Загальне правило розв'язування квадратних рівнянь було сформоване німецьким математиком М. Штифелем (1487&nbsp;— 1567). Виведенням формули загального розв'язку квадратних рівнянь займався [[Франсуа Вієт]]. Він же й вивів формули залежності коренів рівняння від коефіцієнтів у [[1591]] році. Після праць нідерландського математика [[Альберт Жирар|А. Жирара]] (1595&nbsp;— 1632), а також [[Рене Декарт|Декарта]] і [[Ісаак Ньютон|Ньютона]] спосіб розв'язування квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.

== Див. також ==
* [[Рівняння]]
* [[Кубічне рівняння]]
* [[Теорема Вієта]]
* [[Формули скороченого множення]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{Завало.Курс алгебри}}
* {{Cite web|url=http://shkolyar.in.ua/kvadratni-rivnyannya8|title=Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння, їх розв’язування|last=Administrator|website=shkolyar.in.ua|language=uk-ua|accessdate=2017-02-14|archive-date=15 Лютого 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170215041349/http://shkolyar.in.ua/kvadratni-rivnyannya8}}

== Посилання ==
* {{УСЕ-4|[http://slovopedia.org.ua/29/53396/10239.html  Дискримінант]}}

{{Математика-доробити}}
{{Поліноміальні рівняння (список)}}

[[Категорія:Многочлени]]
[[Категорія:Елементарна математика]]
[[Категорія:Рівняння]]