Перегляд вихідного коду сторінки Квадратичний закон взаємності

В [[математика|математиці]], а точніше в [[теорія чисел|теорії чисел]], '''квадратичний закон взаємності'''&nbsp;— твердження, що стосується розв'язності квадратичних рівнянь у [[модульна арифметика|модульній арифметиці]] .

== Твердження ==

=== Елементарне твердження ===
Нехай маємо два різних [[прості числа|простих числа]] ''p'' і ''q''. Тоді квадратичний закон взаємності стверджує, що:

:* Якщо хоча б одне з чисел ''p'' і ''q'' є рівним 1 за модулем 4, то рівняння відносно невідомого ''x'':
:: <math>x^2\equiv p \pmod{q}</math>
: має розв'язок [[тоді й лише тоді]], коли має розв'язок відносно невідомого ''y'' таке рівняння:
:: <math>y^2\equiv q \pmod{p}</math>
:* Якщо ''p'' і ''q'' рівні 3 за модулем 4, то рівняння відносно невідомого ''x'':
:: <math>x^2\equiv p \pmod{q}</math>
: має розв'язок тоді й лише тоді, коли рівняння відносно невідомого ''y'':
:: <math>y^2\equiv q \pmod{p}</math>
: не має розв'язку.

=== Твердження за допомогою символу Лежандра ===
З використанням [[символ Лежандра|символу Лежандра]], твердження закону можна записати так:

: <math> \left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}</math>

Також існує два доповнення до закону:
: <math>\left(\frac{-1}p\right)=(-1)^\frac{p-1}2</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;і&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\left(\frac 2p\right)=(-1)^\frac{p^2-1}8.</math>

== Приклади ==

=== Для простих чисел ===

Нехай ''p'' дорівнює 11, а ''q'' дорівнює 19, i тоді <math>\left(\frac{11}{19}\right)= -\left(\frac{19}{11}\right)= -\left(\frac{8}{11}\right)</math> (оскільки <math>19\equiv 8\ (11)</math>). Далі <math> -\left(\frac{8}{11}\right)= -\left(\frac{-3}{11}\right)= -\left(\frac{11}{3}\right)= -\left(\frac{2}{3}\right)</math>, і, оскільки 2 не є [[квадратичний лишок|квадратичним лишком]] за модулем 3, маємо: <math>-\left(\frac{2}{3}\right)=-(-1)= 1</math>. Тобто одержуємо, що 11 є квадратичним лишком за модулем 19. Це твердження легко можна перевірити: <math>7^2 =49=38+11 \equiv 11 \pmod{19} </math>

=== Загальний випадок ===
Покажемо, що 219 є квадратичним лишком за модулем 383. Із властивостей символу Лежандра маємо:
: <math>\left(\frac{219}{383}\right)= \left(\frac{3}{383}\right)\left(\frac{73}{383}\right)</math>
Використання квадратичного закону взаємності дає рівність:
: <math>\left(\frac{219}{383}\right)= -\left(\frac{383}{3}\right)\left(\frac{383}{73}\right)</math>
Подальше використання закону та властивостей символу Лежандра приводить до необхідного результату:
: <math>\left(\frac{219}{383}\right)=-\left(\frac{-1}{3}\right)\left(\frac{18}{73}\right) = -\left(\frac{-1}{3}\right) \left(\frac{2}{73}\right) \left(\frac{9}{73}\right) = \left(\frac{2}{73}\right)=(-1)^{\left(\frac{73^2-1}{8}\right)}=(-1)^{666}=1 </math>

== Див. також ==
* [[Модульна арифметика]]
* [[Символ Лежандра]]

[[Категорія:Квадратичний лишок]]
[[Категорія:Теорія чисел]]