Перегляд вихідного коду сторінки Картина взаємодії

{{Квантова механіка}}
'''Картина взаємодії (картина Дірака)'''&nbsp;— спосіб опису квантовомеханічних явищ, проміжний між [[Картина Шредінгера|картиною Шредінгера]] й [[Картина Гейзенберга|картиною Гейзенберга]]. Така картина закладає залежність від часу й до хвильових функцій, і до операторів.

== Перехід до картини взаємодії ==
Для переходу до картини взаємодії необхідно [[гамільтоніан]] системи розділити на дві частини:
: <math> \hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{V},</math>
* <math> \hat{H}_0 </math>&nbsp;— гамільтоніан системи без врахування взаємодії між певними її частинами,
* <math> \hat{V} </math> відповідає за опис цієї взаємодії.

Часто таке розділення виконують із тих міркувань, що задача з гамільтоніаном <math>\hat{H}_0</math> розв'язується точно, а <math>\hat{V}</math> є малим [[Теорія збурень|збуренням]]. Зокрема, якщо вихідний гамільтоніан <math>\hat{H}</math> явно залежить від часу, то часто залежність від часу переносять на <math>\hat{V}</math>, залишаючи <math>\hat{H_0}</math> незалежним від часу.

=== Оператор еволюції ===
Унітарний [[оператор еволюції]] <math>\hat{U}_0(t)</math> вводиться таким чином:
: <math>| \psi_S(t) \rangle = \hat{U}_0(t) | \psi_I(t) \rangle,</math>
де <math>| \psi_S(t) \rangle</math>&nbsp;— хвильова функція в картині Шредінгера.
Якщо гамільтоніан <math>\hat{H_0}</math> явно не залежить від часу, то:
: <math>\hat{U}_0(t) = e^{-\frac{i \hat{H_0} t}{\hbar}},</math>
що випливає з рівняння:
: <math>i\hbar\frac{d \hat{U}_0}{dt}=\hat{H}_0 \hat{U}_0.</math>

=== Рівняння руху для операторів ===
Часова залежність закладається до операторів фізичних величин за допомогою оператора еволюції (аналогічно до картини Гейзенберга):
: <math>\hat{A}_I(t) = \hat{U}_0^{\dagger}(t) \hat{A} \hat{U}_0(t).</math>

Далі, якщо записати повну похідну від оператора <math>\hat{A}_I(t)</math>:
: <math>\frac{d\hat{A}_I(t)}{dt} = \frac{\partial \hat{A}_I(t)}{\partial t} + \frac{i}{\hbar} \hat{H}_0 e^{\frac{i \hat{H}_0 t}{\hbar}} \hat{A} e^{-\frac{i \hat{H}_0 t}{\hbar}} - \frac{i}{\hbar} e^{\frac{i \hat{H}_0 t}{\hbar}} \hat{A} e^{-\frac{i \hat{H}_0 t}{\hbar}} \hat{H}_0 = \frac{\partial \hat{A}_I(t)}{\partial t} + \frac{i}{\hbar} \hat{H}_0 \hat{A}_I(t) - \frac{i}{\hbar} \hat{A}_I(t) \hat{H}_0.</math>
Остаточно, якщо записати отриманий вираз через [[Комутатор (математика)|комутатор]], маємо рівняння руху для операторів:
: <math>i \hbar \frac{d\hat{A}_I(t)}{dt} = i \hbar \frac{\partial \hat{A}_I(t)}{\partial t} + [\hat{A}_I(t), \hat{H}_0].</math>

Якщо оператор <math>\hat{A}_I</math> явно не залежить від часу, рівняння руху має вигляд:
: <math>i \hbar \frac{d\hat{A}_I}{dt} = [\hat{A}_I, \hat{H}_0].</math>

=== Рівняння для хвильових функцій ===
Записавши оператор взаємодії <math>\hat{V}</math> у картині взаємодії:
: <math>\hat{V}_I(t) = \hat{U}_0^{\dagger}(t) \hat{V} \hat{U}_0(t),</math>
можна отримати рівняння для хвильових функцій:
: <math>i\hbar\frac{\partial | \psi_I(t) \rangle}{\partial t}=\hat{V}_I(t) | \psi_I(t) \rangle.</math>

== Зв'язок із картинами Шредінгера й Гейзенберга ==
Картина взаємодії&nbsp;— проміжна між картинами Шредінгера й Гейзенберга. Перехід від картини Шредінгера до картини взаємодії виконується за допомогою оператора еволюції <math>\hat{U}_0</math>, що задається опорним гамільтоніаном <math>\hat{U}_0</math>. Перейти від картини взаємодії до картини Гейзенберга можна, ввівши ще один оператор еволюції <math>\hat{\sigma}</math>, який діє наступним чином:
: <math>| \psi_I(t) \rangle = \hat{\sigma}(t) | \psi_H \rangle</math>
і задається рівнянням:
: <math>i\hbar\frac{d \hat{\sigma}(t)}{dt}=\hat{V}_I(t) \hat{\sigma}(t).</math>

Таким чином, можна ввести повний оператор еволюції <math>\hat{U}(t) = \hat{U}_0(t) \hat{\sigma}(t)</math>, який переводить хвильову функцію з картини Гейзенберга до картини Шредінгера через картину взаємодії:
: <math>| \psi_S(t) \rangle = \hat{U}(t) | \psi_H \rangle = \hat{U}_0(t) | \psi_I(t) \rangle.</math>

== Див. також ==
* [[Картина Шредінгера]]
* [[Картина Гейзенберга]]

== Література ==
* {{книга
|автор        = [[Вакарчук Іван Олександрович|Вакарчук І. О.]]
|заголовок    = Квантова механіка
|рік          = 2012
|видання      = 4-е видання, доповнене
|видавництво  = ЛНУ ім. Івана Франка
|місто        = {{Comment|Л.|Львів}}
|сторінок     = 872
}}
* {{книга
|автор        = Мессиа А.
|назва        = Квантовая механика
|рік          = 1978
|том          = 1
|видавництво  = Наука
|місто        = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок     = 480
}}

[[Категорія:Квантова механіка]]