Перегляд вихідного коду сторінки Зірчатий многокутник

{| class=wikitable align=right width=320 style="margin: 0px 0px 10px 10px"
|+ Два типи зірчастих п'ятикутників
|- align=center
|[[Файл:Alfkors.svg|160пкс]]<BR>{5/2}
|[[Файл:Stjärna.svg|160пкс]]<BR>{{pipe}}5/2{{pipe}}
|-
|colspan=2|Правильний зірчатий [[Правильний п'ятикутник|п'ятикутник]], {5/2}, має п'ять вершин (вершини його кутів) та п'ять ребер, що перетинаються.<BR>
Неопуклий десятикутник, {{pipe}}5/2{{pipe}}, має десять ребер та два набори по п'ять вершин.<BR>
Перший використовується в означеннях зірчастих багатогранників та зірчастих однорідних паркетів, тоді як другий іноді використовується в [[Теселяція|паркетах на площині]].
|}

'''Зірчатий багатокутник''', також '''зірчастий багатокутник''', або '''зірчастий многокутник''' —
один з видів неопуклих багатокутників.

[[Бранко Ґрюнбаум]] розрізнив два типи зірчатих багатокутників: перший відповідає означенню правильних зірчатих багатокутників, ребра яких перетинаються, але точки перетину не утворюють нових вершин; а другий тип є [[Ізотоксальна фігура|ізотоксальними]] неопуклими [[Простий многокутник|простими багатокутниками]].<ref name=tilingsandpatterns>Grünbaum & Shephard (1987). Tilings and Patterns. Section 2.5</ref>

==Правильний зірчастий багатокутник==
{{Infobox
| title            = Правильні зірчасті багатокутники
| above            = 2 < 2q < p, [[Найбільший спільний дільник|НСД]](p, q) = 1
| abovestyle       = font-size: 14px;
| subheader        = {{image array|perrow=3||width=80
   | image1 = Regular star polygon 5-2.svg | caption1 = [[Пентаграма|{5/2}]]
   | image2 = Regular star polygon 7-2.svg | caption2 = [[Гептаграма|{7/2}]]
   | image3 = Regular star polygon 7-3.svg | caption3 = [[Гептаграма|{7/3}]]
}}
| label1           = [[Символ Шлефлі]]
| data1            = {p/q}
| label2           = [[Вершина (геометрія)|Вершини]] та [[Ребро (геометрія)|Ребра]]
| data2            = p
| label3           = {{Нп|Щільність (політоп)|Щільність|en|Density (polytope)}}
| data3            = q
| label4           = [[Діаграми Коксетера — Динкіна|Діаграма Коксетера — Динкіна]]
| data4            = {{CDD|node_1|p|rat|dq|node}}
| label5           = [[Група симетрії]]
| data5            = [[Діедрична група|Діедрична симетрія]] (D<sub>p</sub>)
| label6           = {{Нп|Двоїстий багатокутник|Двоїстий|en|Dual polygon}}
| data6            = Самодвоїстий
| label7           = [[Внутрішній та зовнішній кути|Внутрішній кут]]<br>([[Градус (геометрія)|градусів]])
| data7            = <math>180-\frac{360q}{p}</math><ref>{{cite book |last=Kappraff |first=Jay |title=Beyond measure: a guided tour through nature, myth, and number |publisher=World Scientific |year=2002 |page=258 |isbn= 978-981-02-4702-7 |url=https://books.google.com/books?id=vAfBrK678_kC&q=star+polygon&pg=PA256}}</ref>
}}

'''Правильний зірчатий багатокутник''' (або '''правильна поліграма''') {p/q} — неопуклий багатокутник, що складається з ''p'' вершин (які розміщені на деякому колі та ділять його на ''p'' рівних частин), та ''p'' рівних ребер, що сполучають кожну ''i''- ту вершину з кожною (''i+q'')-ю вершиною.

Якщо, наприклад, «q = 2», то з'єднується кожна друга точка. Якщо «q = 3», то  з'єднується кожна третя точка. Межа багатокутника обертається навколо центру ''q'' разів.

При цьому ребра багатокутника перетинаються, але точки їх перетину не утворюють нових вершин.
{| class="wikitable" align=right style="margin: 0px 0px 10px 10px"
|[[Файл:Regular star polygon 5-2.svg|80пкс]]<BR>[[Пентаграма|Пентаграма {5/2}]]
|[[Файл:Regular star polygon 7-2.svg|80пкс]]<BR>[[Гептаграма|Гептаграма {7/2}]]
|[[Файл:Regular star polygon 7-3.svg|80пкс]]<BR>[[Гептаграма|Гептаграма {7/3}]]
|...
|}
Деякі невироджені правильні зірчасті багатокутники до 12 сторін включно:
*[[Пентаграма]] – {5/2}
* Гептаграма – {7/2} та {7/3}
*[[Октаграма]] – {8/3}
*Енеаграма – {9/2} та {9/4}
*[[Декаграма (геометрія)|Декаграма]] – {10/3}
*Гендекаграма – {11/2}, {11/3}, {11/4} та {11/5}
*Додекаграма – {12/5}

''p'' та ''q'' мають бути взаємно простими, інакше багатокутник буде виродженим.

[[Файл:regular star polygons.svg|thumb|300пкс|Правильні опуклі та зірчасті багатокутники з кількістю вершин від 3 до 12, та їхні символи Шлефлі.]]
У ''правильного зірчастого багатокутника'' всі сторони та кути рівні.

Правильний зірчастий багатокутник позначають [[Символ Шлефлі|символом Шлефлі]] як {''p''/''q''}, де ''p'' (кількість вершин) та ''q'' ({{Нп|Щільність (політоп)|щільність багатокутника|en|Density (polytope)}}) [[взаємно прості числа]] (не мають спільних множників), і ''q'' ≥ 2. 

[[Група симетрії]] багатокутника {''p''/''q''} є [[Діедрична група|діедричною групою]] D<sub>''p''</sub>, порядку 2''p'', і не залежить від ''q''.

Радіус описаного кола правильного зірчастого багатокутника {p/q} при (p,q)=1(тобто, якщо  ''p'' та ''q'' — [[взаємно прості числа]]) з довжиною ребра <math> a </math>, можна обчислити за формулою: <ref name=":0">{{MathWorld |urlname=StarPolygon |title=Star Polygon}}</ref>

:<math>R = \frac{\sin \left ( \frac{p-2q}{2p} \cdot \pi \right ) }{\sin \left ( \frac{2q}{p} \cdot \pi \right )} \cdot a </math>

Правильний зірчатий багатокутник може бути  суцільно нерозривним (тобто олівець обходить багатокутник по периметру через всі його вершини без відриву від паперу), наприклад, як правильна [[пентаграма]]. А також — складеним (тобто олівець обходить весь багатокутник по периметру і всі його вершини з відривом від паперу, до повного замикання багатокутника), наприклад, як правильна [[гексаграма]] — зірчаста форма [[Правильний шестикутник|правильного шестикутника]], є сполукою двох протилежно орієнтованих  [[Правильний трикутник|рівносторонніх трикутників]].

Правильні зірчасті багатокутники вперше були систематично вивчені {{Нп|Томас Брадвардін|Томасом Брадвардіном|en|Thomas Bradwardine}}, а пізніше [[Йоганн Кеплер| Йоганном Кеплером]]. <ref>Coxeter, Introduction to Geometry, second edition, 2.8 ''Star polygons'', pp. 36–38</ref>

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|- bgcolor="#e0e0e0"
!Назва
|[[Пентаграма]]
| colspan="2" | Гептаграма
|[[Октаграма]]
| colspan="2" | Енеаграма
|[[Декаграма (геометрія)|Декаграма]]
|...[[Зірчатий многокутник|n-грама]]
|- bgcolor="#ffd0d0"
![[Символ Шлефлі]]
|{5/2}<!--<br/>(star)-->
|{7/2}<!--<br/>(hag)-->
|{7/3}<!--<br/>(gahg)-->
|{8/3}<!--<br/>(og)-->
|{9/2}<!--<br/>(eng)-->
|{9/4}<!--<br/>(geng)-->
|{10/3}<!--<br/>(dag)-->
|{''p/q''}
|-
!Симетрія
|D<sub>5</sub>, [5]||colspan=2|D<sub>7</sub>, [7]||D<sub>8</sub>, [8]||colspan=2|D<sub>9</sub>, [9],||D<sub>10</sub>, [10]||D<sub>p</sub>, [''p'']
|-
![[Діаграми Коксетера — Динкіна|Діаграма Коксетера]]
|{{CDD|node_1|5|rat|d2|node}}
|{{CDD|node_1|7|rat|d2|node}}
|{{CDD|node_1|7|rat|d3|node}}
|{{CDD|node_1|8|rat|d3|node}}
|{{CDD|node_1|9|rat|d2|node}}
|{{CDD|node_1|9|rat|d4|node}}
|{{CDD|node_1|10|rat|d3|node}}
|{{CDD|node_1|p|rat|dq|node}}
|-
!Зображення
|[[Файл:Star polygon 5-2.svg|75пкс]]
|[[Файл:Star polygon 7-2.svg|75пкс]]
|[[Файл:Star polygon 7-3.svg|75пкс]]
|[[Файл:Star polygon 8-3.svg|75пкс]]
|[[Файл:Star polygon 9-2.svg|75пкс]]
|[[Файл:Star polygon 9-4.svg|75пкс]]
|[[Файл:Star polygon 10-3.svg|75пкс]]
|&nbsp;
|}

{| class=wikitable
|+ Правильні зірчасті багатокутники 
|- align=center
|[[Файл:Regular_star_polygon_ 11-2.svg|60пкс]]<br />{11/2}
|[[Файл:Regular_star_polygon_ 11-3.svg|60пкс]]<br />{11/3}
|[[Файл:Regular_star_polygon_ 11-4.svg|60пкс]]<br />{11/4}
|[[Файл:Regular_star_polygon_ 11-5.svg|60пкс]]<br />{11/5}
|[[Файл:Regular_star_polygon_ 12-5.svg|60пкс]]<br />{12/5}
|[[Файл:Regular_star_polygon_13-2.svg|60пкс]]<br />{13/2}
|[[Файл:Regular_star_polygon_13-3.svg|60пкс]]<br />{13/3}
|[[Файл:Regular_star_polygon_13-4.svg|60пкс]]<br />{13/4}
|[[Файл:Regular_star_polygon_13-5.svg|60пкс]]<br />{13/5}
|[[Файл:Regular_star_polygon_13-6.svg|60пкс]]<br />{13/6}
|- align=center
|[[Файл:Regular_star_polygon_14-3.svg|60пкс]]<br />{14/3}
|[[Файл:Regular_star_polygon_14-5.svg|60пкс]]<br />{14/5}
|[[Файл:Regular_star_polygon_15-2.svg|60пкс]]<br />{15/2}
|[[Файл:Regular_star_polygon_15-4.svg|60пкс]]<br />{15/4}
|[[Файл:Regular_star_polygon_15-7.svg|60пкс]]<br />{15/7}
|[[Файл:Regular_star_polygon_16-3.svg|60пкс]]<br />{16/3}
|[[Файл:Regular_star_polygon_16-5.svg|60пкс]]<br />{16/5}
|[[Файл:Regular_star_polygon_16-7.svg|60пкс]]<br />{16/7}
|- align=center
|[[Файл:Regular_star_polygon_17-2.svg|60пкс]]<br />{17/2}
|[[Файл:Regular_star_polygon_17-3.svg|60пкс]]<br />{17/3}
|[[Файл:Regular_star_polygon_17-4.svg|60пкс]]<br />{17/4}
|[[Файл:Regular_star_polygon_17-5.svg|60пкс]]<br />{17/5}
|[[Файл:Regular_star_polygon_17-6.svg|60пкс]]<br />{17/6}
|[[Файл:Regular_star_polygon_17-7.svg|60пкс]]<br />{17/7}
|[[Файл:Regular_star_polygon_17-8.svg|60пкс]]<br />{17/8}
|[[Файл:Regular_star_polygon_18-5.svg|60пкс]]<br />{18/5}
|[[Файл:Regular_star_polygon_18-7.svg|60пкс]]<br />{18/7}
|- align=center
|[[Файл:Regular_star_polygon_19-2.svg|60пкс]]<br />{19/2}
|[[Файл:Regular_star_polygon_19-3.svg|60пкс]]<br />{19/3}
|[[Файл:Regular_star_polygon_19-4.svg|60пкс]]<br />{19/4}
|[[Файл:Regular_star_polygon_19-5.svg|60пкс]]<br />{19/5}
|[[Файл:Regular_star_polygon_19-6.svg|60пкс]]<br />{19/6}
|[[Файл:Regular_star_polygon_19-7.svg|60пкс]]<br />{19/7}
|[[Файл:Regular_star_polygon_19-8.svg|60пкс]]<br />{19/8}
|[[Файл:Regular_star_polygon_19-9.svg|60пкс]]<br />{19/9}
|[[Файл:Regular_star_polygon_20-3.svg|60пкс]]<br />{20/3}
|[[Файл:Regular_star_polygon_20-7.svg|60пкс]]<br />{20/7}
|[[Файл:Regular_star_polygon_20-9.svg|60пкс]]<br />{20/9}
|}

===Побудова шляхом сполучення вершин===
* Нехай ''p'' вершин розташовані як вершини [[Правильний многокутник|правильного p-кутника]]. Правильний зірчастий багатокутник можна утворити, сполучивши несусідні вершини, і продовжувати процес доти, доки не буде досягнута початкова вершина.<ref>{{cite book |last=Coxeter |first=Harold Scott Macdonald |title=[[Regular polytopes (book)|Regular polytopes]] |publisher=Courier Dover Publications |page=[https://archive.org/details/regularpolytopes0000coxe/page/93 93] |date=1973 |isbn=978-0-486-61480-9 }}</ref> 

Також:
* Нехай ''p'' точок розташовані на деякому колі і ділять його на ''p'' рівних частин. Правильний зірчастий багатокутник {''p''/''q''} утворююється, якщо з'єднати кожну ''q''- ту точку до повного замикання багатокутника. <ref name=":0"/> 

Наприклад, у [[Правильний п'ятикутник|правильному п'ятикутнику]] п'ятикутну зірку можна отримати, з'єднавши вершини через одну: 1-у та 3-ю, 3-ю та 5-у, 5-у та 2-у, 2-у та 4-у, 4-у та 1-у вершини.

Якщо ''q'' ≥ ''p''/2, то побудова {''p''/''q''} призведе до такого ж багатокутника, як і {''p''/(''p'' - ''q'')}; з'єднання кожної третьої вершини п'ятикутника дасть такий же результат, як і з'єднання кожної другої вершини. Однак вершини будуть досягнуті у зворотному порядку, що має значення, коли ретроградні багатокутники входять до складу політопів вищої розмірності. Наприклад, [[антипризма]], утворена з проґрадної пентаграми {5/2}, дає {{Нп|Пентаграмна антипризма|пентаграмну антипризму|en|Pentagrammic antiprism}}; аналогічна конструкція з пентаграми {5/3} дає {{Нп|Пентаграмна схрещена антипризма|пентаграмну схрещену антипризму|en|Pentagrammic crossed-antiprism}}; [[пентаграматична перехрещена антипризма]]. Іншим прикладом є [[тетрагемігексаедр]], який можна розглядати як «перехрещений трикутний [[Купол (геометрія)#Зірчасті куполи | куполоїд]] » {3/2}.

====Вироджені правильні зірчасті багатокутники====
Якщо ''p'' та ''q'' не є взаємно простими числами, то зірчастий багатокутник буде виродженим, тобто його вершини і ребра будуть збігатися. Наприклад, багатокутник {6/2} виглядає як трикутник, але його можна позначити двома наборами вершин: 1-3 та 4-6. І це слід розглядати не як два трикутники, що накладені один на один, а як цільний шестикутник з подвійним закручуванням.<ref>[http://www.math.washington.edu/~grunbaum/Your%20polyhedra-my%20polyhedra.pdf Are Your Polyhedra the Same as My Polyhedra?] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160803160413/http://www.math.washington.edu/~grunbaum/Your%20polyhedra-my%20polyhedra.pdf |date=2016-08-03 }}, Branko Grünbaum</ref> <ref>Coxeter, The Densities of the Regular Polytopes I, стор. 43: <BR>
Якщо ''q'' непарне, то операція [[Зрізання (геометрія)|зрізання]] щодо багатокутника {''p''/''q''} утворить багатокутник {2''p''/''q''}. Але якщо ''q'' парне, то результат зрізання {''p''/''q''} складатиметься з двох багатокутників {{nowrap|{''p''/(''q''/2)}, }}, що збігаються один з одним, оскільки кожна сторона цього багатокутника походить від ребра і від вершини початкового багатокутника. Оскільки {{nowrap|2(''q''/2) {{=}} ''q'',}} щільність багатокутника ніколи не змінюється при зрізанні.</ref>
:[[File:Doubly wound hexagon.svg|160px]]

Вироджені правильні зірчасті багатокутники з кількістю сторін до 12 включно:
*Чотирикутник – {4/2}
*Шестикутники – {6/2}, {6/3}
*Восьмикутники – {8/2}, {8/4}
*Дев'ятикутник – {9/3}
*Десятикутники – {10/2}, {10/4}, and {10/5}
*Дванадцятикутники – {12/2}, {12/3}, {12/4}, and {12/6}

{| class="wikitable floatright"
|+ Дві інтерпретації {6/2}
! Ґрюнбаум<br>{6/2} або 2{3}<ref name="Branko">[http://www.math.washington.edu/~grunbaum/Your%20polyhedra-my%20polyhedra.pdf Are Your Polyhedra the Same as My Polyhedra?] [[Branko Grünbaum]] (2003), Fig. 3</ref>
! Коксетер<br>2{3} або {6}[2{3}]{6}
|-
| [[Файл:Doubly wound hexagon.svg|160пкс]]
| [[Файл:Regular star figure 2(3,1).svg|160пкс]]
|-
! Двічі закручений шестикутник.
! Гексаграма, як поєднання<br>двох трикутників
|}
Залежно від того, як саме отримано [[символ Шлефлі]], існують різні думки щодо природи виродженої фігури. Наприклад, {6/2} можна трактувати одним з двох способів:
* Протягом більшої частини 20-го століття (див., наприклад, {{harvtxt|Coxeter|1948}}) зазвичай використовували позначення "6/2 " для шестикутника, у якого з'єднана кожна друга вершина; такий правильний зірчастий шестикутник є складеним з двох трикутників, або [[гексаграма|гексаграмою]]. 

Коксетер позначає таку правильну сполуку символом {k•p}[k{p}]{k•p} для зірки {p/k}, так що [[гексаграма]] представляється як {6}[2{3}]{6}.<ref>Regular polytopes, p.95 </ref> Більш компактно Коксетер також записує позначення ''2'' {n/2} ( ''2''{3} для гексаграми) для складеної зірки з [[Чергування (геометрія)|чергуванням]] правильних парно-сторонніх багатокутників, з курсивом на провідному факторі, щоб відрізнити його від інтерпретації, коли вони збігаються. <ref>Coxeter, The Densities of the Regular Polytopes II, 1932, p.53</ref>
* Багато сучасних геометрів, таких як Ґрюнбаум (2003),<ref name=Branko/> вважають це неправильним. Вони вважають, що /2 означає переміщення на два місця навколо {6} на кожному кроці, в результаті чого виходить «подвійно закручений» трикутник, який має по дві вершини, накладені у кожній кутовій точці, і два ребра вздовж кожного відрізка лінії. Це не тільки краще узгоджується з сучасними теоріями [[Абстрактний многогранник|абстрактних політопів]], але й більш точно копіює спосіб, у який Пуансо (1809) створював свої зірчасті багатокутники, беручи одну довжину дроту і згинаючи його в послідовних точках на один і той самий кут, поки фігура не замикалася.

===Побудова шляхом ззірчення===
Також правильний зірчатий багатокутник можна отримати шляхом ззірчення опуклого правильного багатокутника, тобто шляхом одночасного продовження всіх сторін правильного багатокутника до їх наступного перетину в точках, які і є вершинами зірчастого багатокутника.

Отриманий зірчатий багатокутник буде '''зірчастої формою''' правильного багатокутника, з якого він отриманий. Вершинами зірчастого багатокутника будуть вважатися тільки ті точки, в яких сходяться сторони цього багатокутника, але не точки перетину цих сторін; зірчаста форма даного багатокутника має стільки ж вершин, скільки він сам. Вказану дію неможливо виконати з правильним [[Трикутник|трикутником]] і [[Квадрат|квадратом]], так як після продовження їхніх сторін, вони більше не перетинаються; серед правильних багатокутників зірчасті форми мають тільки багатокутники з числом сторін більше чотирьох. Зірчастою формою правильного п'ятикутника (пентагона) є [[пентаграма]]. 

У правильного багатокутника може бути кілька зірчастих форм, кількість яких залежить від того, скільки разів його сторони перетинаються між собою після їх продовження. Наприклад,  [[правильний семикутник]] має 2 зірчасті форми (два види семипроменевої зірки).
{| class="standard"
!Кількість вершин правильного багатокутника
! Кількість зірчастих форм правильного багатокутника
! Кількість не розірваних (сполучних) зоряних багатокутників серед зірчастих форм
! Кількість вершин правильного багатокутника, розташованих між двома вершинами зоряного багатокутника
|-
| 5
| 1
| 1
| 1
|-
| 6
| 1
| 0
|
|-
| 7
| 2
| 2
| 2; 3
|-
| 8
| 2
| 1
| 2
|-
| 9
| 3
| 2
| 1; 3
|-
| 10
| 3
| 1
| 2
|-
| 11
| 4
| 4
| 1; 2; 3; 4
|-
| 12
| 4
| 1
| 4
|}
[[Файл:Regulaj_stelaj_plurlateroj.png|міні|600x600пкс|Двовимірна дискретна множина зірок.<br />Пурпурні — опуклі багатокутники.<br />Зелені — зв'язкові зірки [[Символ Шлефлі|{n / m}]] (де ''n'' і ''m'' [[взаємно прості числа]]).<br />Чорні — НЕ зв'язкові зірки [[Символ Шлефлі|{n / m}]] (де ''n'' і ''m'' '''НЕ''' [[взаємно прості числа]]).<br />Сині прямі з'єднують багатокутник (опуклий або зв'язну зірку) зі всіма не зв'язковими зірками, які є сполуками (після повороту) різної кількості однакових багатокутників, таких же як початкові.]]
Побудова, що основана на ззірченні також дозволяє отримати правильні багатокутні сполуки у випадках, коли щільність ''q'' та кількість вершин ''p'' не є взаємно простими числами. 

{{Clear}}

==Ізотоксальні зірчасті прості багатокутники==
Якщо з правильного зірчастого ''n''-кутника видалити частини ребер, що обмежені точками їх перетину і знаходяться всередині багатокутника, отримана фігура перестає бути правильною, але може розглядатися як [[Ізотоксальна фігура|ізотоксальний]] неопуклий  [[Простий многокутник|простий]] 2'''n'''-кутник, що має два набори вершин, що по-чергово розташовані на колах двох різних радіусів. [[Бранко Грюнбаум]] у '''Нахилах і візерунках''' позначає таку зірку, яка відповідає контуру правильної [[Поліграма (геометрія)|поліграми]] {''n''/''k''} як |''n''/''k''|, або більш загально {''n''<sub>𝛼</sub>}, що позначає [[Ізотоксальна фігура#Ізотоксальні багатокутники|ізотоксальний неопуклий ''або опуклий'']] простий 2'''n'''-кутник із [[Внутрішній та зовнішній кути| внутрішнім кутом]] 𝛼 при зовнішній вершині.

* Для |''n''/''k''|, внутрішній кут 𝛼 при зовнішній вершині дорівнює {{nowrap|𝛼 {{=}} 180(1 − 2''k''/''n'')}} градусів, а [[Внутрішній та зовнішній кути|зовнішній кут]] при внутрішній (новій) вершині дорівнює {{nowrap|''β''{{sub|зовн.}} {{=}} 180[1 − 2(''k'' − 1)/''n'']}} градусів.

* Для {''n''<sub>𝛼</sub>}, внутрішній кут при злвнішній вершині 𝛼 та зовнішній кут при внутрішній вершині ''β''{{sub|зовн.}}, не обов'язково дорівнюють відповідним кутам правильної поліграми {''n''/''k''}; однак обов'язково, {{nowrap|𝛼 < 180(1 − 2/''n'')}} градусів та {{nowrap|''β''{{sub|зовн.}} < 180°,}} (у випадку, коли {''n''<sub>𝛼</sub>} неопуклий).<ref name=tilingsandpatterns/>

{| class=wikitable
|+ Приклади ізотоксальниї зірчатих простих багатокутників.
|- valign=top align=center
!{{pipe}}''n''/''k''{{pipe}}<BR>{''n''<sub>𝛼</sub>}
!{{pipe}}9/4{{pipe}}<BR>{9<sub>20°</sub>}
!&nbsp;<BR>{3<sub>30°</sub>}
!&nbsp;<BR>{6<sub>30°</sub>}
!{{pipe}}5/2{{pipe}}<BR>{5<sub>36°</sub>}
!&nbsp;<BR>{4<sub>45°</sub>}
!{{pipe}}8/3{{pipe}}<BR>{8<sub>45°</sub>}
!{{pipe}}6/2{{pipe}}<BR>{6<sub>60°</sub>}
!&nbsp;<BR>{5<sub>72°</sub>}
|-
!𝛼
!20°
!colspan=2|30°
!36°
!colspan=2|45°
!60°
!72°
|-
!''β''{{sub|зовн.}}
!60°
!150°
!90°
!108°
!135°
!90°
!120°
!144°
|- valign=top align=center
!valign=center|Ізотоксальна<BR>проста<BR>''n''-кутна<BR>зірка
|[[Файл:Isotoxal star simple 18-gon fitting regular star 9÷4-gon outline.png|75пкс]]
|[[Файл:Isotoxal star triangle 12-5.svg|75пкс]]
|[[Файл:Isotoxal star hexagon 12-5.png|75пкс]]
|[[Файл:Stjärna.svg|75пкс]]
|[[Файл:Isotoxal square star 8-3.svg|75пкс]]
|[[Файл:Octagonal star.png|75пкс]]
|[[Файл:Roundel of Israel – Low Visibility – Type 2.svg|60пкс]]
|[[Файл:Wide pentagram.png|75пкс]]
|- valign=top align=center
!valign=center|Пов'язана<BR>правильна<BR>поліграма<BR>{''n''/''k''}
|[[Файл:Star polygon 9-4.svg|75пкс]]<BR>{9/4}
|colspan=2|[[Файл:Regular star polygon 12-5.svg|75пкс]]<BR>{12/5}
|[[Файл:Alfkors.svg|75пкс]]<BR>{5/2}
|colspan=2|[[Файл:Regular star polygon 8-3.svg|75пкс]]<BR>{8/3}
|[[Файл:Hexagram.svg|65пкс]]<BR>2{3}
|[[Файл:Decagram 10 3.png|75пкс]]<BR>{10/3}
|}

===Приклади в паркетах===
Ці багатокутники часто зустрічаються як плитки паркетів. Параметричний кут 𝛼 (у градусах або радіанах) може бути обраний відповідно до [[Внутрішній та зовнішній кут|внутрішніх кутів]] сусідніх багатокутників у візерунку паркета. У своїй роботі 1619 року ''[[Harmonices Mundi]]''',  [[Йоганн Кеплер]] серед періодичних мозаїк,  включає неперіодичні мозаїки, такі як мозаїка з трьома [[Правильний п'ятикутник|правильними п'ятикутниками]] і одним правильним зірчастим п'ятикутником, що розміщені навколо певних вершин, 5,5,5,5/2, і пов'язана з сучасними [[Мозаїка Пенроуза|мозаїками Пенроуза]].<ref name="maa.org">[https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Allendoerfer/1978/0025570x.di021102.02p0230f.pdf Branko Grunbaum and Geoffrey C. Shephard, Tilings by Regular Polygons, Mathematics Magazine #50 (1977), стор. 227–247, та #51 (1978), стор. 205–206]</ref>
{| class="wikitable nowrap"
|+ Приклади ізогональних паркетів з ізотоксальними простими зірками.<ref>[http://www.polyomino.org.uk/publications/2004/star-polygon-tiling.pdf Tiling with Regular Star Polygons], Joseph Myers</ref>
!valign=center|Ізотоксальні прості<BR>''n''-кутні зірки
!"Трикутні" зірки<BR>(''n'' = 3)
!"Чотирикутні" зірки<BR>(''n'' = 4)
!colspan=3|"Шестикутні" зірки<BR>(''n'' = 6)
!"Восьмикутні" зірки<BR>(''n'' = 8)
|- align=center valign=center
!Зображення мозаїки
|[[Файл:Triangle and triangular star tiling.svg|140пкс]]
|[[Файл:Octagon star square tiling.svg|150пкс]]
|[[Файл:Hexagon hexagram tiling.png|140пкс]]
|[[Файл:Gyrated truncated hexagonal tiling2.png|140пкс]]
|[[Файл:Trihexagonal tiling stars.svg|150пкс]]
|[[Файл:Hexagon hexagram tiling2.png|140пкс]]
|- align=center valign=center
!Вершинна фігура.
|3.3{{supsub|*|𝛼}}.3.3{{supsub|**|𝛼}}
|8.4{{supsub|*|π/4}}.8.4{{supsub|*|π/4}}
|6.6{{supsub|*|π/3}}.6.6{{supsub|*|π/3}}
|3.6{{supsub|*|π/3}}.6{{supsub|**|π/3}}
|3.6.6{{supsub|*|π/3}}.6
|not edge-to-edge
|}

==Внутрішня частина зірки==
Існує кілька способів відображати внутрішню частину зірчастого багатокутника. [[Бранко Ґрюнбаум]] та Джофрі Стефард розглядали два з них, зокрема, як правильну зірчастий ''n''-кутник та як Ізотоксальний неопуклий простий '''2'''''n''-кутник.<ref name="maa.org"/>

[[File:Pentagram interpretations.svg|400px]]
Три інтерпретації для внутрішньої частини зірчастого багатокутника:
* в місцях, де частина ребра знаходиться всередині багатокутника, одна сторона цього відрізка розглядається як зовнішня, а інша - як внутрішня. Це показано на ілюстрації ліворуч і зазвичай зустрічається у комп'ютерній візуалізації векторної графіки.
* Кількість разів, які полігональна крива (ламана) огинає задану область, визначає її '''щільність'''. Зовнішня область має щільність 0, а будь-яка область зі щільністю > 0 розглядається як внутрішня. Це показано на центральній ілюстрації і зазвичай зустрічається у математичній характеристиці багатогранників (однак, для неорієнтованих багатогранників щільність можна розглядати лише за модулем 2 і, отже, у цих випадках, для узгодженості, іноді замість неї використовується перша обробка).
* Внутрішня область поліграми, що обмежена її контуром ( без частин ребер, що знаходяться всередині, як у другому випадку). Це показано на ілюстрації праворуч і зазвичай використовується при створенні фізичної моделі зірки.

Коли обчислюється площа багатокутника, кожен з цих підходів дає різні результати.

== Див. також ==

* '''[[Зірка (геометрія)]]'''
* [[Зірчастий багатогранник|Зірчастий многогранник]]

==Примітки==
{{reflist}}

==Література==
* {{Книга
|автор = [[Веннинджер, Магнус|М. Веннинджер]].
|заголовок = Модели многогранников
|рік = 1974
|місце = Москва
|видавництво = Мир
|посилання = http://wenninger.narod.ru/part2/stellaplaton.html
|назва = 
|archivedate = 11 жовтня 2020
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20201011182131/http://wenninger.narod.ru/part2/stellaplaton.html
}}{{ref-ru}}

*{{Cite book |author-link=Coxeter |first=H.S.M. |last=Coxeter |title=[[Regular Polytopes]] |publisher=Methuen and Co. |year=1948 }}

* Cromwell, P.; ''Polyhedra'', CUP, Hbk. 1997, {{isbn|0-521-66432-2}}. Pbk. 1999, {{isbn|0-521-66405-5}}. p. 175
* [[Branko Grünbaum|Grünbaum, B.]] and G. C. Shephard; ''Tilings and Patterns'', New York: W. H. Freeman & Co. (1987), {{isbn|0-7167-1193-1}}.
* [[Branko Grünbaum|Grünbaum, B.]]; Polyhedra with Hollow Faces, ''Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. (Toronto, 1993)'', ed. T. Bisztriczky ''et al.'', Kluwer Academic (1994), pp. 43–70.
* [[John Horton Conway|John H. Conway]], Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ''The Symmetries of Things'', 2008, {{isbn|978-1-56881-220-5}} (Chapter 26, p. 404: Regular star-polytopes Dimension 2)
* [[Branko Grünbaum]], ''Metamorphoses of polygons'', published in ''The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History'' (1994)

== Посилання ==
* {{MathWorld |urlname=StarPolygon |title=Star Polygon}}
* {{MathWorld |urlname=Polygram |title=Polygram}}

[[Категорія:Многокутники]]
[[Категорія:Сторінки з неперевіреними перекладами]]