Перегляд вихідного коду сторінки Зрізання (геометрія)

{| class="wikitable" align="right" width="450"
! bgcolor=#e7dcc3 colspan=4|<span style="color: MediumBlue"><big><big>Приклади операції «зрізання»</big></big> </span>
|- valign=top, align=center
| ||[[File:Regular polygon truncation 4 1.svg|130px]]<BR/>Зрізаний [[квадрат]] є [[Восьмикутник#Правильний восьмикутник|правильним восьмикутником]] з двома типами ребер
| [[Image:Truncated hexahedron.png|130px]]<BR/>[[Зрізаний куб]]
| [[File:Truncated cubic honeycomb1.jpg|130px]]<BR/>{{Не перекладено|Кубічні стільники|Стільник зі зрізаних кубів||Cubic honeycomb}} та [[октаедр]]ів
|- valign=top, align=center
|'''[[Символ Шлефлі]]'''||t{4} = {8} || t{4,3} ||t{4,3,4}
|- valign=top, align=center
| '''[[Діаграми Коксетера&nbsp;— Динкіна]]'''
| {{CDD|node_1|4|node_1}} = {{CDD|node_1|8|node}}
| {{CDD|node_1|4|node_1|3|node}}
| {{CDD|node_1|4|node_1|3|node|4|node}}
|}
У [[Геометрія|геометрії]] '''зріза́ння''' (або '''зріза́ння вершин''', '''трунка́ція''', {{lang-en|truncation}})&nbsp;— це операція в [[Простір|просторі]] будь-якого виміру, унаслідок якої [[Вершина (геометрія)|вершини]] [[політоп]]а відсікаються, а на місці кожної відсіченої вершини створюється нова [[Фасета (геометрія)|фасета]].

Термін походить від назв [[Архімедове тіло|архімедових тіл]], що дав їм [[Йоганн Кеплер|Кеплер]].

== Однорідне зрізання ==
Загалом операція «зрізання» застосовується до многогранника ([[політоп]]а) з певним ступенем свободи щодо вибору глибини зрізання вершини, що можна побачити в статті {{Не перекладено|Нотація Конвея для многогранників|''Нотація Конвея для многогранників''|en|Conway polyhedron notation}}.
[[Файл:Cube truncation sequence.svg|ліворуч|безрамки|534x534пкс]]
Окремий випадок операції «зрізання«, який зазвичай мається на увазі, є '''однорідне зрізання''', коли оператор зрізання застосовується до [[Правильний многогранник|правильного многогранника]] (або правильного [[політоп]]а), унаслідок чого утворюється [[Однорідний многогранник|однорідний многогранник]] (однорідний політоп) з рівними довжинами ребер. У цьому разі немає свободи вибору глибини зрізання; вона є однозначною для кожного політопа. Однорідне зрізання вершин многогранника передбачає, що операція «зрізання» проводиться до моменту, коли грані вихідного многогранника стають [[Правильний многокутник|правильними многокутниками]] з подвоєним числом сторін.

Загалом усі однорідні [[політоп]]и з одним кільцевим вузлом (у [[Діаграми Коксетера — Динкіна|діаграмі Коксетера — Динкіна]]) можуть бути однорідно зрізані. Наприклад, [[ікосододекаедр]], який позначається [[Символ Шлефлі|символом Шлефлі]] як r{5,3} або <math>\begin{Bmatrix} 5 \\ 3 \end{Bmatrix}</math> та [[Діаграми Коксетера — Динкіна|діаграмою Коксетера — Динкіна]] як {{CDD|node|5|node_1|3|node}}, або {{CDD|node_1|split1-53|nodes}} має [[Однорідний многогранник|однорідно]] зрізаний многогранник — [[зрізаний ікосододекаедр]], для якого символ Шлефлі tr{5,3} або <math>t\begin{Bmatrix} 5 \\ 3 \end{Bmatrix}</math> та діаграма Коксетера — Динкіна {{CDD|node_1|split1-53|nodes_11}}.

У [[Діаграми Коксетера — Динкіна|діаграмі Коксетера — Динкіна]] результат зрізання вершин проявляється в тому, що всі вузли, суміжні з кільцевим вузлом початкового [[Многогранник|многогранника]], стають також кільцевими вузлами.

Однорідне зрізання правильного [[Трикутний паркет|трикутного паркету]] {3,6} утворює правильний [[шестикутний паркет]] {6,3}.

== Зрізання вершин многокутників ==
Зрізаний [[Многокутник|n-кутник]] має 2n сторін (ребер).

Однорідно зрізаний [[Правильний многокутник|правильний n-кутник]] є правильним 2n-кутником: t{n} = {2n}.

{{Не перекладено|Повне зрізання (геометрія)|Повне зрізання|en|Rectification (geometry)}} ('''ректифікація''') правильного многокутника, r{n}, утворює також правильний многокутник, [[Дуальний многогранник|двоїстий]] до початкового.

Правильний [[Многокутник|n-кутник]] позначається [[Діаграми Коксетера — Динкіна|діаграмою Коксетера Динкіна]] як {{CDD|node_1|n|node}}, а його однорідно зрізаний многокутник — як {{CDD|node_1|n|node_1}}. У разі повного зрізання [[Правильний многокутник|правильного n-кутника]] отримаємо многокутник {{CDD|node|n|node_1}} (двоїстий до початкового).

Граф {{CDD|node|n|node}} являє собою [[Група Коксетера|групу Коксетера]] I<sub>2</sub>(n), у якій кожен вузол є дзеркальним, а кожне ребро представляє кут <math>\frac{\pi}{n}</math> між дзеркалами, а кільця навколо одного чи обох дзеркал показують які з них активні.
{| class="wikitable"
|+ Зрізання вершин трикутника з певними параметрами глибини зрізання
| [[Файл:Regular_truncation_3_0.0.svg|139x139пкс]]{3}
{{CDD|node_1|3|node}}
| [[Файл:Regular_truncation_3_0.2.svg|139x139пкс]]
| [[Файл:Regular_truncation_3_0.333.svg|139x139пкс]]t{3} = {6}
{{CDD|node_1|3|node_1}}
| [[Файл:Regular_truncation_3_0.45.svg|139x139пкс]]
| [[Файл:Regular_truncation_3_0.5.svg|139x139пкс]]r{3} = {3}
{{CDD|node|3|node_1}}
|}
[[Зірчатий многокутник|Зірчасті многокутники]] також можуть бути зрізані. Зрізана [[пентаграма]] {5/2} має вигляд [[Правильний п'ятикутник|п'ятикутника]], але насправді є подвійно-накритим (виродженим) [[десятикутник]]ом ({10/2}) із двома множинами вершин і ребер, що накладені одне на одне.

Зрізана велика [[Семикутна зірка|гептаграма]] {7/3} являє собою [[Чотирнадцятикутник|чотирнадцятикутну зірку]] (тетрадекаграму) {14/3}.

== Однорідне зрізання в правильних многогранниках та паркетах ==
Під час застосування операції «зрізання» до [[Правильний многогранник|правильних многогранників Платона]] або {{Не перекладено|Паркети з правильних многокутників|паркетів з правильних многокутників|en|Euclidean tilings by convex regular polygons}} зазвичай використовується однорідне зрізання, що передбачає зрізання вершин до моменту, коли грані вихідного многогранника стають [[Правильний многокутник|правильними многокутниками]] з подвоєним числом сторін.
[[Файл:Cube_truncation_sequence.svg|ліворуч|494x494px]]
Приклад на малюнку показує послідовний процес зрізання вершин [[куб]]а до моменту [[Повне зрізання (геометрія)|повного зрізання]]. Кінцевий многогранник&nbsp;— [[кубооктаедр]]. Середнє зображення&nbsp;— рівномірно [[зрізаний куб]] (напівправильний [[Архімедове тіло|архімедів многогранник]]); він має позначення [[Символ Шлефлі|символом Шлефлі]] '''''t''''' {''p'',''q'',...}.


[[Файл:Birectified_cube_sequence.png|міні|333x333пкс|Зрізання вершик куба до повного зрізання (ректифікації), та після нього]]
{{Не перекладено|Глибоке зрізання (геометрія)|Глибоке зрізання|en|Bitruncation}} ('''бітрункація''')&nbsp;— це продовження процесу зрізання після {{Не перекладено|Повне зрізання (геометрія)|повного зрізання|en|Rectification (geometry)}} вершин, коли всі ребра вихідного многогранника зникають (у процесі зрізання), але залишається внутрішня частина граней вихідного многогранника.

Приклад: [[зрізаний октаедр]] є глибоко зрізаним [[куб]]ом: t{3,4} = 2t{4,3}.

'''Повне глибоке зрізання''', коли процес зрізання продовжується до повного зникнення граней вихідного многогранника (вони стягуються в точку), називається '''біректифікацією'''.

Унаслідок операції біректифікації, застосованої до многогранника, утворюється його [[Дуальний многогранник|двоїстий многогранник]].

Приклад: [[октаедр]] є повним глибоким зрізанням [[куб]]а (біректифікованим кубом): {3,4} = 2r{4,3}.

Інший тип зрізання, {{Не перекладено|Кантеляція (геометрія)|зрізання вершин та ребер|en|Cantellation (geometry)}} ('''кантеляція'''), унаслідок якого зрізаються вершини та ребра; водночас на місці зрізаних ребер вихідного многогранника утворюються прямокутники, а на місці зрізаних вершин утворюються нові грані. Повний процес цього зрізання призводить до утворення [[Дуальний многогранник|двоїстого многогранника]] (чи паркету).
[[Файл:Cube cantellation sequence.svg|ліворуч|міні|450x450пкс]]
[[Політоп]]и в [[Простір|просторах]] з розмірністю вище 3, мають також зрізання [[Фасета (геометрія)|фасетів]] вищої розмірності. Наприклад, операція {{Не перекладено|Ранцинація (геометрія)|ранцинація|en|Runcination}} в просторах розмірності вище 3, зрізає [[Вершина (геометрія)|вершини]], [[Ребро (геометрія)|ребра]] та [[Грань (геометрія)|двовимірні грані]] [[політоп]]а; операція [[Однорідний многогранник|стерікація]] в просторах розмірності вище 4, зрізає вершини, ребра, грані та тривімірні грані (комірки) політопа.

== Операція «зрізання ребер» ==
{{multiple image|align=right|total_width=400|image1=Polyhedron 6 unchamfered.png|width1=1|height1=1|image2=Polyhedron 6 slightly chamfered.png|width2=1|height2=1|image3=Polyhedron chamfered 6 edeq.png|width3=1|height3=1|footer=Зрізання ребер куба утворює куб з фаскою.}}
'''Операція «зрізання ребер»''' ('''ско́шування''', або '''зняття́ {{Не перекладено|Фаска (геометрія)|фа́ски|en|Chamfer (geometry)}}''') — подібна до кантеляції , але зберігає оригінальні вершини та замінює ребра на шестикутники.

У 4-вимірному [[політоп]]і операція «зрізання ребер» замінює ребра на комірки у вигляді [[Біпіраміда|подовжених біпірамід]].

== Альтернація або часткове зрізання ==
[[Файл:Snubcubes_in_grCO.svg|міні|393x393пкс|Однорідна {{Не перекладено|Альтернація (геометрія)|альтернація|en|Alternation (geometry)}} [[Зрізаний кубооктаедр|зрізаного кубооктаедра]] утворює неоднорідний [[кирпатий куб]].]]
{{multiple image
 | align = right | total_width = 400
 | image1 = Polyhedron 4a.png
 | image2 = Polyhedron 4-4 dual blue.png
 | image3 = Polyhedron 4b.png
 | footer = [[Альтернація (геометрія)|Альтернований]] [[куб]] h{4,3} є [[Правильний тетраедр|правильним тетраедром]].
}}

'''{{Не перекладено|Альтернація (геометрія)|Альтерна́ція|en|Alternation (geometry)}}''' або '''частко́ве зріза́ння''' видаляє тільки деякі вершини вихідного многогранника.

Під час застосування цієї операції половина вершин (через одну) вихідного многогранника повністю видаляється. Видаляються також і ребра, що оточують цю вершину. Операція застосовується тільки до многогранників з парною кількістю граней. Після альтернації кількість граней скорочується вдвоє, а квадратні грані вироджуються в ребра.

Приклад: [[Правильний тетраедр|тетраедр]] є альтернованим [[куб]]ом, h{4,3}.

[[Правильногранний многогранник|Відсікання]]&nbsp;— більш загальний термін, застосований до [[Правильногранний многогранник|многогранників Джонсона]], і означає видалення однієї або кількох [[Вершина (геометрія)|вершин]], [[Ребро (геометрія)|ребер]], [[Грань (геометрія)|граней]] многогранника (відсікається у вигляді [[Піраміда (геометрія)|піраміди]] або [[Купол (геометрія)|купола]]), без порушення інших вершин.

Наприклад, [[тричі відсічений ікосаедр]] (J<sub>63</sub>) утворюється з [[ікосаедр]]а через видалення трьох його вершин разом з ребрами та гранями, що їх оточують (відсікаються три [[П'ятикутна піраміда|п'ятикутні піраміди]]).

Інші види часткового зрізання засновані на симетрії, наприклад, як у {{Не перекладено|Тетраедрично відсічений додекаедр|тетраедрично відсіченому додекаедрі|en|Tetrahedrally diminished dodecahedron}}

== Узагальнення операції «зрізання» ==
[[Файл:Types_of_truncation_on_edge.png|міні|400x400пкс|Типи зрізань, показаних на ребрі, ізольованому від більшого многокутника або многогранника з червоними та синіми вершинами. Ребро змінює напрямок після повного зрізання.]]
Процес операції «зрізання» можна узагальнити через надання параметру глибини зрізання від'ємного значення, або провести зрізання таким чином, щоб після перетину середин ребер, вони продовжувалися{{Уточнити переклад}}, утворюючи за такої умови схрещені зірчасті многогранники, які можуть бути параметрично пов'язані з правильними [[Зірчатий многокутник|зірчастими многокутниками]] або [[Однорідний многогранник|однорідними зірчастими многогранниками]].

'''Неглибоке зрізання'''&nbsp;— ребра зменшуються в довжину, кількість ребер у гранях подвоюється, на місці вершин утворюються нові грані.

'''Однорідне зрізання''' є окремим випадком неглибокого зрізання, за якого всі новоутворені ребра мають однакову довжину. Під час однорідного зрізання [[куб]]а його [[квадрат]]ні грані стають [[Восьмикутник#Правильний восьмикутник|правильними восьмикутниками]], а на місці [[Вершина (геометрія)|вершин]] утворюються [[Правильний трикутник|правильні трикутні]] грані. Отриманий многогранник&nbsp;— [[зрізаний куб]], t{4,3}.

'''Анти-зрізання'''. Неглибоке зрізання у зворотному напрямі (назовні від початкової вершини, а не в середину многогранника). У результаті отримаємо многогранник, подібний до вихідного, але з частинами його тілесних кутів, прикріпленими до вершин (замість їх відрізання, як у разі звичайного неглибокого зрізання).

'''Повне зрізання''' або '''ректифікація'''&nbsp;— граничне неглибоке зрізання, за якого ребра зводяться до точок. Прикладом є [[кубооктаедр]], r{4,3}.

'''Гіперзрізання'''. Форма зрізання, яка проходить повз повне зрізання, інвертуючи вихідні ребра, що призводить до появи самоперетинів.

'''Повне гіперзрізання'''. Ребра вихідного многогранника повністю інвертуються (перевертаються). Вершини віхідного ребра міняються місцями.

'''Квазізрізання'''. Форма зрізання, яка проходить повз повне гіперзрізання, коли перевернуте ребро стає довшим за довжину вихідного ребра. Його можна згенерувати з вихідного многогранника, розглядаючи всі грані як ретроградні, тобто повернуті назад навколо вершини{{Уточнити переклад}}. Наприклад, квазізрізання [[квадрат]]а дає [[Октаграма|правильну октаграму]] (t{4,3}={8/3}), а квазізрізання [[куб]]а дає [[Однорідний многогранник|однорідний]] {{Не перекладено|зірчастий зрізаний куб|||Stellated truncated hexahedron}}, t{4/3,3}.
{| class="wikitable" width="640"
|+ Процес зрізання квадрата
| [[Файл:Types_of_truncation_on_square4.png|640x640пкс]]Типи зрізання показано на квадраті, {4}.
Ребра вихідного квадрата показано червоним кольором; новостворені ребра, отримані в процесі зрізання, показано блакитним кольором.

Вершини вихідного квадрата 1–4 слідують проти годинникової стрілки; отримані внаслідок зрізання пари вершин позначено літерами ''a'' та ''b''.

Однорідно зрізаний квадрат є правильним восьмикутником, t{4}={8}.

Повністю зрізаний квадрат стає новим квадратом, сторони якого мають орієнтацію діагоналей початкового.
|}
{| class="wikitable" width="840"
|+ Процес зрізання куба
| bgcolor="#f0d0d0"|[[Файл:Cube_truncation_3.75.png|120x120пкс]]<big><big><big>⇨</big></big></big> [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=dk(0%2C-4)dC t<sub>a</sub>C]
| [[Файл:Cube_truncation_0.00.png|120x120пкс]]Початковий куб
[[Куб|{4,3}]] [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=C C]
| bgcolor="#d0d0f0"|[[Файл:Cube_truncation_0.25.png|120x120пкс]]Зрізання
<big><big><big>⇨</big></big></big> [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=dk(0%2C4)dC tC]
| bgcolor="#d0d0f0"|[[Файл:Cube_truncation_0.50.png|120x120пкс]]Однорідне зрізання
[[Зрізаний куб|t{4,3}]] [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=tC tC]
| bgcolor="#d0d0f0"|[[Файл:Cube_truncation_0.75.png|120x120пкс]]<big><big><big>⇨</big></big></big> [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=dk(0%2C-.1)dC tC]
| [[Файл:Cube_truncation_1.00.png|120x120пкс]]Повне зрізання
[[Кубооктаедр|r{4,3}]] [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=aC aC]
| bgcolor="#d0f0f0"|[[Файл:Cube_truncation_1.25.png|120x120пкс]]<big><big><big>⇩</big></big></big> [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=dk(0%2C-.6)dC t<sub>h</sub>C]
|- align="center" valign="top"
| bgcolor="#f0d0d0"|[[Файл:Cube_truncation_3.50.png|120x120пкс]]Антизрізання [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=dk(0%2C-3)dC t<sub>a</sub>C]
| colspan="5" |
| bgcolor="#d0f0f0"|[[Файл:Cube_truncation_1.50.png|120x120пкс]]Гіперзрізання [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=dk(0%2C-1)dC t<sub>h</sub>C]
|- align="center" valign="top"
| bgcolor="#f0d0d0"|[[Файл:Cube_truncation_3.25.png|120x120пкс]]<big><big><big>⇧</big></big></big> [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=dk(0%2C-1.8)dC t<sub>a</sub>C]
| [[Файл:Cube_truncation_3.00.png|120x120пкс]]Повне квазізрізання
[https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=dk(0%2C-1.65)dC a<sub>q</sub>C]
| bgcolor="#d0f0d0"|[[Файл:Cube_truncation_2.75.png|120x120пкс]]<big><big><big>⇦</big></big></big>
| bgcolor="#d0f0d0"|[[Файл:Cube_truncation_2.50.png|120x120пкс]]Квазізрізання
t{4/3,3} [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=dk(0%2C-1.5)dC t<sub>q</sub>C]
| bgcolor="#d0f0d0"|[[Файл:Cube_truncation_2.25.png|120x120пкс]]<big><big><big>⇦</big></big></big> [https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=dk(0%2C-1.5)dC t<sub>q</sub>C]
| [[Файл:Cube_truncation_2.00.png|120x120пкс]]
|}

== Література ==
* [[Гарольд Коксетер|Coxeter, H.S.M.]] ''Regular Polytopes'', (3 видання, 1973), Dover edition, {{isbn|0-486-61480-8}} (стор. 145–154 Розділ 8: Truncation)
* {{не переведено 5|Норман Джонсон|Norman W. Johnson||Norman Johnson (mathematician)}}. ''Uniform Polytopes'', Manuscript (1991)
** {{не переведено 5|Норман Джонсон|Norman W. Johnson||Norman Johnson (mathematician)}}. ''The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs'', Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966

== Посилання ==
* {{mathworld | urlname = Truncation | title = Truncation}}
* [https://web.archive.org/web/20070207021813/http://members.aol.com/Polycell/glossary.html#Truncation%7C Glossary For Hyperspace]
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/naming.html Polyhedra Names, truncation]

{{Операції над багатогранниками}}

[[Категорія:Операції над багатогранниками]]