Перегляд вихідного коду сторінки Золотий трикутник (геометрія)

[[Файл:Golden_Triangle.svg|праворуч|міні| Золотий трикутник. Співвідношення a / b&nbsp;— це золотий перетин φ. Кут між бічними сторонами трикутника дорівнює <math>\theta=36^{\circ}</math> . Кути при основі дорівнюють 72 ° кожен.]]
[[Файл:GoldenGnomon.png|міні| Золотий гномон.]]
'''Золотий трикутник'''<ref name="elam">
{{Cite book
|title=Geometry of Design
|url=https://archive.org/details/geometryofdesign0000elam
|last=Elam
|first=Kimberly
|year=2001
|publisher=Princeton Architectural Press
|location=New York
|isbn=1-56898-249-6
}}</ref>&nbsp;— [[Рівнобедрений трикутник|рівнобедрений]] [[Трикутник|трикутник,]] у якому бічні сторони знаходиться у [[Золотий перетин|золотому перетині]] <math>\varphi</math> до основи:

: <math>{a\over b} = \varphi = {1+\sqrt5\over2} \approx 1.618~034~.</math>

== Кути ==
* Кут при вершині<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/GoldenTriangle.html|title=Golden Triangle|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|accessdate=2019-12-26|archive-date=3 січня 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210103035611/https://mathworld.wolfram.com/GoldenTriangle.html}}</ref> дорівнює

: <math>\theta = 2\arcsin{b\over2a} = 2\arcsin{1\over2\varphi} = 2\arcsin{{\sqrt5-1}\over4} = {\pi\over5}~\text{rad} = 36^\circ.</math>

: Отже, золотий трикутник&nbsp;— рівнобедрений трикутник з гострим кутом при вершині.

* Оскільки кути трикутника складають <math>\pi~\text{rad}</math>, кожен з базових кутів (CBX і CXB) дорівнює:

: <math>\beta = {{\pi-{\pi\over5}}\over2} = {2\pi\over5}~\text{rad} = 72^\circ.</math><ref name="elam"/>

: Примітка:
: <math>\beta = \arccos{{\sqrt5-1}\over4} = {2\pi\over5}~\text{rad} = 72^\circ.</math>

* Золотий трикутник однозначно визначений як єдиний трикутник, який має три кути у пропорціях 1: 2: 2 (36 °, 72 °, 72 °).<ref name="tilings">
{{Cite book
|url=http://tilings.math.uni-bielefeld.de/substitution_rules/robinson_triangle
|title=Tilings Encyclopedia
|year=1970
|archiveurl=https://web.archive.org/web/20090524004703/http://tilings.math.uni-bielefeld.de/substitution_rules/robinson_triangle
|archivedate=2009-05-24
}}</ref>

== В інших геометричних фігурах ==
* Золоті трикутники можна знайти у вершинах правильних [[Пентаграма|пентаграм]] .
* Золоті трикутники також можна знайти в правильному [[десятикутник]]у, рівносторонньому десятигранному багатокутнику, з'єднавши будь-які дві сусідні вершини з центром. Це тому, що: 180 (10-2) / 10 = 144 °&nbsp;— це внутрішній кут, а поділивши його, маємо: 144/2 = 72 °.<ref name="elam"/>
* Також золоті трикутники зустрічаються в [[Розгортка многогранника|розгортках]] кількох зірок [[Дванадцятигранник|додекаедрів]] та [[ікосаедр]]ів .

== Логарифмічна спіраль ==
[[Файл:Golden_triangle_and_Fibonacci_spiral.svg|праворуч|міні| Золоті трикутники, вписані в [[Логарифмічна спіраль|логарифмічну спіраль]]]]
Золотий трикутник використовується для формування деяких точок [[Логарифмічна спіраль|логарифмічної спіралі]] . Поділивши один із кутів при основі навпіл, з'являється нова точка, яка, у свою чергу, утворює ще один золотий трикутник.<ref name="huntley">
{{Cite book
|url=https://archive.org/details/divineproportion0000hunt
|title=The Divine Proportion: A Study In Mathematical Beauty
|last=Huntley
|first=H.E.
|year=1970
|publisher=Dover Publications Inc
|location=New York
|isbn=0-486-22254-3
}}</ref> Процес поділу можна продовжувати безліч разів, створюючи нескінченну кількість золотих трикутників. Через вершини можна провести логарифмічну спіраль. Ця спіраль також відома як рівнокутна спіраль, термін, який ввів [[Рене Декарт]] . «Якщо від полюса до будь-якої точки кривої проведена пряма лінія, вона перетне криву завжди під одним і тим самим кутом», отже, ''рівнокутна'' .<ref name="livio">{{Cite book
|url=https://books.google.com/books?id=w9dmPwAACAAJ
|title=The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number
|last=Livio
|first=Mario
|year=2002
|publisher=Broadway Books
|location=New York
|isbn=0-7679-0815-5
|accessdate=9 травня 2021
|archive-date=7 липня 2016
|archive-url=https://web.archive.org/web/20160707153240/https://books.google.com/books?id=w9dmPwAACAAJ
}}</ref>

== Золотий гномон ==
[[Файл:Golden_triangle_(math).svg|праворуч|міні| Золотий трикутник, розділений на трикутники Робінсона: золотий трикутник і золотий гномон.]]
[[Файл:Golden-triangles-pentagram.svg|праворуч|міні| Звичайна [[пентаграма]] . Кожен кут&nbsp;— це золотий трикутник. Фігура також містить п'ять «великих» золотих гномонів, утворених шляхом приєднання до центрального п'ятикутника двох несуміжних кутів. Побудувавши п'ять сторін «великого» п'ятикутника навколо пентаграми, утворимо п'ять «малих» золотих гномонів.]]
З золотим трикутником тісно пов'язаний золотий гномон, це рівнобедрений трикутник, у якому відношення довжин рівних сторін до довжини основи є оберненим <math>{1\over\varphi}</math> до [[Золотий перетин|золотого перерізу]] <math>\varphi</math> .

« У золотому трикутник відношення довжини основи до довжини сторони, дорівнює золотому перерізу φ, тоді як у золотому гномоні відношення довжини сторони до довжини основи, дорівнює золотому перерізу φ.»<ref name="loeb">{{Cite book
|url=https://books.google.com/books?id=3PEGCAAAQBAJ&pg=PA180
|title=Concepts and Images: Visual Mathematics
|last=Loeb
|first=Arthur
|year=1992
|publisher=Birkhäuser Boston
|location=Boston
|page=180
|isbn=0-8176-3620-X
|accessdate=9 травня 2021
|archive-date=9 травня 2021
|archive-url=https://web.archive.org/web/20210509152420/https://books.google.com/books?id=3PEGCAAAQBAJ&pg=PA180
}}</ref>

: <math>{a'\over b'} = {1\over\varphi} = {{\sqrt5-1}\over2} \approx 0.618034.</math>

== Кути ==
(Відстані AX і CX дорівнюють a '= a = φ, а відстань AC дорівнює b' = φ², як видно на малюнку.)

* Кут при вершині AXC дорівнює:

: <math>\theta' = 2\arcsin{b'\over{2a'}} = \biggl(2\arcsin{{\varphi^2}\over{2\varphi}}\biggr) = 2\arcsin{\varphi\over2} = 2\arcsin{{1+\sqrt5}\over4} = {3\pi\over5}~rad = 108^\circ.</math>
: Звідси золотий гномон&nbsp;— тупий (рівнобедрений) трикутник.

: <math>(</math> Примітка: <math>\theta' = \arccos{{1-\sqrt5}\over4} = {3\pi\over5}~rad = 108^\circ.)</math>

* Оскільки кути трикутника AXC складають <math>\pi~rad</math>, кожен з кутів при основі CAX і ACX дорівнює:

: <math>\beta' = \theta = {\pi-{3\pi\over5}\over2} = {\pi\over5}~rad = 36^\circ.</math>

: Примітка:
: <math>\beta' = \theta = \arccos{{1+\sqrt5}\over4} = {\pi\over5}~rad = 36^\circ.</math>

* Золотий гномон однозначно ідентифікується як трикутник, що має три кути у пропорціях 1: 1: 3 (36 °, 36 °, 108 °). Кути при основі його дорівнюють 36 °, що відповідає вершині золотого трикутника.

== Бісекція ==

* Поділивши один з кутів при основі на 2 рівні кути, золотий трикутник можна розділити на золотий трикутник та золотий гномон.
* Поділивши його кут при вершині на 2 кути (один вдвічі більший за інший), золотий гномон може бути поділений на золоті трикутники та золотий гномон.
* Золотий гномон і золотий трикутник з спільною стороною, також називають тупим і гострим трикутниками Робінсона.<ref name="tilings"/>

== Мозаїка Пенроуза ==

* Ці рівнобедрені трикутники також можна використовувати для виготовлення [[Мозаїка Пенроуза|мозаїки Пенроуза]]. Плитки Пенроуза утворюються з «зміїв» та «дротиків». Змії утворюються з двох золотих трикутників, а дротик&nbsp;— з двох гномонів.

[[Файл:Kite Dart.svg|праворуч|міні| Плитки в мозаїці Пенроуза ]]
[[Файл:Penrose vertex figures.svg|праворуч|міні| Сім можливих типів вершин в мозаїці Пенроуза типу P2 ]]

== Див. також ==
* [[Золотий прямокутник]]
* [[Золотий ромб]]
* [[Трикутник Кеплера]]
* [[Золотий трикутник Кімберлінга]]
* {{нп|Лютня Піфагора|||Lute of Pythagoras}}
* [[Пентаграма]]

== Список літератури ==
* {{книга
|автор=Kimberly Elam
|ref= Elam
|рік=2001
|назва=Geometry of Design
|видавництво=Princeton Architectural Press
|місто=New York
|isbn=1-56898-249-6
}}
* {{книга
|автор= H.E. Huntley
|ref= Huntley
|рік=1970
|назва=The Divine Proportion: A Study In Mathematical Beauty
|видавництво=Dover Publications Inc
|місто=New York
|isbn=0-486-22254-3
}}
* {{книга
 |автор= Mario Livio
 |ref= Livio
 |рік=2002
 |назва=The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number
 |видавництво=Broadway Books
 |місто
 |isbn=0-7679-0815-5
 |url=http://books.google.com/books?id=w9dmPwAACAAJ
 }}
* {{книга
 |автор= Arthur Loeb
 |ref=Loeb
 |рік=1992
 |назва=Concepts and Images: Visual Mathematics
 |видавництво=Birkhäuser Boston
 |місто=Boston
 |isbn=0-8176-3620-X
}}

== Примітки ==
{{примітки}}

== Посилання ==
* <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles>{{MathWorld|title=Golden triangle}}
* <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles> {{MathWorld|title=Golden gnomon}}
* [https://web.archive.org/web/20090524004703/http://tilings.math.uni-bielefeld.de/substitution_rules/robinson_triangle Трикутники Робінзона] в Енциклопедії Тілінга
* [[c:File:01-Goldenes_Dreieck-Euklid.svg|Золотий трикутник за Евклідом]]
* [http://www.pietrocola.eu/maecla/tartapelago/museo/oro/triangoli/en%20reciprocity.htm Надзвичайна взаємність золотих трикутників] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210511072608/http://www.pietrocola.eu/maecla/tartapelago/museo/oro/triangoli/en%20reciprocity.htm |date=11 травня 2021 }} у Тартапелазі Джорджо П'єтрокола

{{Бібліоінформація}}

[[Категорія:Золотий перетин|Пентаграма|Логарифмічна спіраль]]