Перегляд вихідного коду сторінки Золота спіраль

[[Файл:FakeRealLogSpiral.svg|міні|Наближена і справжня спіралі за числами Фібоначчі: зелена спіраль складена з четвертинок кіл всередині квадратів, в той час як червона спіраль є золотою спіраллю, особливим типом [[Логарифмічна спіраль|логарифмічної спіралі]]. Місця, де спіралі накладаються одна на одну, показано жовтим кольором. Довжина частини спіралі всередині більшого квадрата відноситься до довжини спіралі всередині наступного квадрата згідно правила [[Золотий перетин|золотого перетину]]]]
[[File:GoldenSpiralLogarithmic.svg|thumb|Золота спіраль.<br />
Якщо довжина сторони квадрата дорівнює 1, то наступний менший квадрат має сторони довжиною 1/φ. Наступні&nbsp;— 1/φ², 1/φ³ і так далі.]]
[[File:GoldenSpiralLogarithmic color in.gif|thumb|Золоті спіралі є [[самоподібність|самоподібними]]. Їхня форма ідеально повторюється при збільшенні.]]
{{unibox}}'''Золота спіраль''' — [[логарифмічна спіраль]], швидкість зростання якої дорівнює {{Math|&phi;}} — [[Золотий перетин|золотій пропорції]]

== Формула ==
Рівняння для золотої спіралі в [[Полярна система координат|полярній системі координат]] таке ж саме, що і для інших [[Логарифмічна спіраль|логарифмічних спіралей]], але зі спеціальним значенням коефіцієнта зростання {{mvar|b}}:

: <math>r = ae^{b\theta}</math>,

або:

: <math>\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a)</math>,

де [[e (число)|{{mvar|e}}]] — основа [[Натуральний логарифм|натуральних логарифмів]], {{mvar|a}} — довільна позитивна дійсна константа, а {{mvar|b}} знаходиться з рівняння:

: <math>e^{\frac{\pi b}{2}}\, = \varphi</math>,

в якому <math>\varphi = \frac{ \sqrt{5} +1}{2}</math> — [[золотий перетин]]. Рішенням цього рівняння є:

: <math>b = \frac{2 \ln{\varphi}}{\pi} \approx 0{,}306349</math>.

Оскільки спіраль може йти як за годинниковою стрілкою, так і проти неї, {{mvar|b}} може бути і негативним:
[[Файл:Fibonacci_spiral_34.svg|праворуч|міні|[[Числа Фібоначчі|Спіраль Фібоначчі]] апроксимує золоту спіраль з використанням четвертинок кола в квадратах з розмірами квадратів, що дорівнюють числам Фібоначчі. На малюнку показані квадрати з розмірами 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 34.]]
: <math>b = \pm \frac{2 \ln{\varphi}}{\pi} \approx \pm 0{,}306349</math>.

Альтернативною формулою для золотої спіралі є:

: <math>r = ac^{\theta}</math>,

де константа {{mvar|c}} задається формулою:

: <math>c = e^b = \varphi ^ \frac{2}{\pi} \approx 1{,}358456</math>.

== Наближення золотої спіралі ==
[[Файл:LT-2007-10litų-Aušros_vartai-b.png|праворуч|міні|Литовська монета]]
Існує кілька схожих спіралей, які наближені, але не збігаються в точності з золотою спіраллю, з якою їх часто плутають.

Наприклад, золоту спіраль можна апроксимувати, почавши з прямокутника, у якого відношення між довжиною і шириною дорівнює золотій пропорції (такий прямокутник називають [[Золотий прямокутник|золотим]]). Цей прямокутник можна розділити на квадрат і подібний йому прямокутник, його, своєю чергою, розділити тим же чином, і продовжувати цей процес довільну кількість разів. Тоді ми отримаємо майже повне розкладання прямокутника на квадрати. Кути цих квадратів можна з'єднати четвертинками кіл, і тоді ми отримаємо криву, яка хоч і не є справжньою логарифмічною спіраллю, але близько її апроксимує.

Ще однією апроксимацією є [[Числа Фібоначчі|спіраль Фібоначчі]], яка будується подібно до вищеописаної спіралі, за винятком того, що починають з прямокутника з двох квадратів і додають потім до більшої сторони прямокутника квадрат такої ж довжини. Оскільки відношення між сусідніми числами Фібоначчі наближається до золотої пропорції, спіраль все більше наближається до золотої спіралі в міру додавання квадратів (див. другий малюнок).

== Спіралі у природі ==
Наближення до [[Логарифмічна спіраль|логарифмічних спіралей]] трапляється в природі (наприклад, рукави [[Спіральна галактика|спіральних галактик]] чи [[Черепашка|раковини молюсків]]). Золоті спіралі є окремим випадком логарифмічних спіралей. Недавній глибокий аналіз спіралей, що зустрічаються в роговичному епітелії мишей, показав, що трапляються як золоті, так й інші логарифмічні спіралі. Іноді трапляються твердження, що спіральні галактики й раковини наутилідів частіше трапляються у формі золотої спіралі тому, що золота спіраль пов'язана із золотим перетином і послідовністю Фібоначчі, однак насправді спіральні галактики й раковини молюсків часто мають вигляд логарифмічних спіралей, які істотно відрізняються від золотої.

== Див. також ==
* Золотий кут
* [[Золотий прямокутник]]

== Інтернет-ресурси ==
{{Commonscat|Golden ratio|Goldener Schnitt}}

'''Німецькою'''
* Marcus Frings: [http://www.rdklabor.de/w/?oldid=90817 ''Goldener Schnitt.''] In: ''[[Reallexikon zur Deutschen Kunstgeschichte|RDK.]]'' Labor (2015).

'''Англійською'''
* Marcus Frings: [http://belveduto.de/text-nnj.htm ''The Golden Section in Architectural Theory.''] In: ''Nexus Network Journal'', 2002,&nbsp;4/1.
* {{MathWorld|id=GoldenRatio|title=Golden Ratio}}
* {{MacTutor|id=/Golden_ratio|title=The Golden Ratio|page=ht}}
* Alexander Bogomolny: [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/GoldenRatio.shtml ''Golden Ratio.''] cut-the-knot.org
* [[Steven Strogatz]]: [http://opinionator.blogs.nytimes.com/2012/09/24/proportion-control/ ''Proportion Control.''] New York Times (Online), 24.&nbsp;September 2012.
* {{OEIS|A001622}} (Dezimalentwicklung von&nbsp;<math>\Phi</math>), {{OEIS|A028259}} ([[Engel-Entwicklung]] von&nbsp;<math>\Phi</math>), {{OEIS|A118242}} ([[Pierce-Entwicklung]] von&nbsp;<math>1/\Phi</math>).

{{Криві}}
[[Категорія:Золотий перетин]]
[[Категорія:Спіралі]]