Перегляд вихідного коду сторінки Змінна

{{Short description|Символ, що представляє математичний об'єкт}}
{{distinguish|Змінна (програмування)}}
{{Otheruses}}
'''Змінна''' у [[Математика|математиці]] ({{lang-en|variable}}, від [[Латинська мова|лат.]] ''[[wikt:variabilis|variabilis]]'', «що піддається змінам»)&nbsp;— [[Таблиця математичних символів|символ]], зазвичай літера, що позначає невизначений [[математичний об'єкт]]<ref>{{Cite book |last=Sobolev |first=S.K. (originator) |title=Encyclopedia of Mathematics |title-link=Encyclopedia of Mathematics |website= |publisher={{нп|Springer Publishing|Springer|en|Springer Publishing}} |isbn=1402006098 |chapter=Individual variable |quote=A symbol of a formal language used to denote an arbitrary element (individual) in the structure described by this language. |access-date=2024-09-05 |chapter-url=http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Individual_variable&oldid=17515 |language=en}}</ref><ref>{{Cite book |last=Beckenbach |first=Edwin F |url=https://archive.org/details/collegealgebra0000beck_d0s1/mode/2up |title=College algebra |publisher=Wadsworth |year=1982 |isbn=0-534-01007-5 |edition=5th |quote=A variable is a symbol representing an unspecified element of a given set.|language=en}}</ref><ref>{{Cite book |last=Landin |first=Joseph |url=https://archive.org/details/introductiontoal00land/page/2/mode/2up?q=variable |title=An Introduction to Algebraic Structures |publisher={{нп|Dover Publications|Dover Publications|en|Dover Publications}} |year=1989 |isbn=0-486-65940-2 |location=New York |page=204 |quote=A variable is a symbol that holds a place for constants.|language=en}}</ref>. У неформальному спілкуванні кажуть, що змінна ''представляє'' або ''позначає'' об'єкт, а будь-який допустимий кандидат на роль об'єкта є {{нп|Значення (математика)|значенням|en|Value (mathematics)}} змінної. Значення, які може приймати змінна, зазвичай одного типу, часто значеннями є числа. Більш конкретно, задіяні значення можуть утворювати [[Множина|множину]], таку як множина [[Дійсне число|дійсних чисел]].

Об'єкт не завжди повинен існувати, або може бути невизначеним, чи існує хоча б один допустимий кандидат чи ні. Наприклад, можна представити два цілі числа за допомогою змінних {{mvar|p}} і {{mvar|q}} і вимагати, щоб значення квадрата {{mvar|p}} було подвоєним квадратом {{mvar|q}}, що в алгебраїчній нотації можна записати як {{math|''p''<sup>2</sup> {{=}} 2 ''q''<sup>2</sup>}}. Остаточний доказ того, що цю рівність неможливо задовольнити, коли {{mvar|p}} і {{mvar|q}} обмежені цілими числами, не є очевидним, але він був відомий з давніх часів і з тих пір мав великий вплив на математику.

Спочатку термін ''змінна'' використовувався переважно для [[Аргумент функції|аргументу функції]], у цьому випадку аргумент може ''змінюватись'' в [[Область визначення|області визначення функції]]. Це пояснює вибір цього терміну. Крім того, змінні використовуються для позначення значень функцій, наприклад {{tmath|y}} в <math>y=f(x)</math>.

Змінна може представляти невизначене число, яке залишається фіксованим під час вирішення задачі; у цьому випадку його часто називають ''параметром''. Змінна може позначати невідоме число, яке необхідно визначити; у цьому випадку воно називається [[Невідоме (математика)|невідомим]]; наприклад, у [[Квадратне рівняння|квадратному рівнянні]] <math>ax^2+bx+c=0,</math> змінні <math>a, b, c</math> є параметрами, а <math>x</math> є невідомим.

Іноді один і той же символ можна використовувати для позначення як змінної, так і [[Константа|константи]], тобто чітко визначеного математичного об'єкта. Наприклад, [[Грецька абетка|грецька літера]] ''{{pi}}'' зазвичай позначає число {{mvar|[[Число пі|π]]}}, але також використовується для позначення [[Проєкція (математика)|проєкції]]. Подібним чином літера ''{{Mvar|e}}'' часто позначає [[e (число)|число Ейлера]], але її використовують для позначення непризначеного [[Коефіцієнт (математика)|коефіцієнта]] для поліномів {{нп|Квартична функція|четвертого|en|Quartic function}} та вищого [[Степінь многочлена|степеня]]. Навіть символ {{tmath|1}} використовується для позначення [[Нейтральний елемент|нейтрального елемента]] довільного [[Поле (алгебра)|поля]]. Ці два поняття використовуються майже однаково, тому зазвичай потрібно знати, чи позначає даний символ змінну чи константу<ref name="80000-2:2019">{{cite web |title=ISO 80000-2:2019 |url=https://www.iso.org/standard/64973.html |archive-url=https://cdn.standards.iteh.ai/samples/64973/329519100abd447ea0d49747258d1094/ISO-80000-2-2019.pdf |archive-date=2019-09-15 |access-date=2019-09-15 |website=Quantities and units, Part 2: Mathematics |publisher=[[International Organization for Standardization]]|language=en}}</ref>.

Змінні часто використовуються для представлення [[Матриця (математика)|матриць]], [[Функція (математика)|функцій]], їхніх аргументів, [[Множина|множин]] та їхніх [[Елемент (математика)|елементів]], [[Вектор (математика)|векторів]], [[Простір (математика)|просторів]] тощо<ref>[[#SW|Stover & Weisstein]].</ref>.

У [[Математична логіка|математичній логіці]] ''змінна'' є символом, який або представляє невизначену константу теорії, або підлягає [[Квантор|кількісній]] оцінці<ref>{{Cite journal |last=van Dalen |first=Dirk |date=2008 |title=Logic and Structure |url=https://www.cin.ufpe.br/~mlogica/livros/Logic%20and%20Structure%20-%20Van%20Dalen.pdf |journal=[[Springer-Verlag]] |edition=4th |page=57 |doi=10.1007/978-3-540-85108-0 |isbn=978-3-540-20879-2 |language=en}}</ref><ref>{{Cite book |last1=Feys |first1=Robert |title=Dictionary of symbols of mathematical logic |last2=Fitch |first2=Frederic Brenton |publisher=[[Elsevier|North-Holland Pub. Co]] |year=1969 |location=Amsterdam |lccn=67030883 |language=en}}</ref><ref>{{Citation |last1=Shapiro |first1=Stewart |title=Classical Logic |date=2024 |encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |editor-last=Zalta |editor-first=Edward N. |url=https://plato.stanford.edu/entries/logic-classical/#BuilBloc |access-date=2024-09-01 |edition=Spring 2024 |publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University |last2=Kouri Kissel |first2=Teresa |editor2-last=Nodelman |editor2-first=Uri |language=en}}</ref>.

== Історія ==
{{Ширше|{{нп|Історія алгебри|Історія алгебри|en|History of algebra}}|Історія математичних позначень}}

=== Рання історія ===
[[Файл:Rhind Mathematical Papyrus.jpg|thumb|284x284px|[[Папірус Райнда]]]]
Найдавніші приклади використання «невідомої величини» відносяться принаймні до [[Математика в Стародавньому Єгипті|стародавніх єгиптян]] у [[Московський математичний папірус|московському математичному папірусі]] (бл. 1500&nbsp;р. до н.&nbsp;е.) де риторично описувалися проблеми з невідомими, які називаються «задачами Аха». «Задачі Аха» включають пошук невідомих величин (відомих як «аха», «купа»), якщо відома сума цих величин та їхніх частин ([[папірус Райнда]] також містить чотири подібні задачі). Наприклад, у задачі 19 потрібно обчислити кількість, взяту {{frac|1|1|2}} рази та додану до 4, щоб отримати 10<ref name="Clagett">Clagett, Marshall. 1999. Ancient Egyptian Science: A Source Book. Volume 3: Ancient Egyptian Mathematics. Memoirs of the American Philosophical Society 232. Philadelphia: American Philosophical Society. {{ISBN|0-87169-232-5}}</ref>. У сучасних математичних позначеннях: <math display="inline">\frac{3}{2}x + 4 = 10  </math>. Приблизно в той же час у Месопотамії [[Вавилонська математика|математика стародавнього вавилонського періоду]] (бл. 2000&nbsp;р. до н.&nbsp;е.&nbsp;— 1500&nbsp;р. до н.&nbsp;е.) була більш розвиненою і також вивчала квадратичні та [[Кубічне рівняння|кубічні рівняння]]<ref name=":0" />.

[[Файл:Euclid-proof-white-background.svg|thumb|Сторінка з [[Начала Евкліда|''Начал'' Евкліда]]]]
У працях [[Давньогрецька математика|стародавньої Греції]], таких як [[Начала Евкліда|''Начала'' Евкліда]] (бл. 300&nbsp;р. до н.&nbsp;е.), математика описувалася [[Геометрія|геометрично]]. Наприклад, твердження 1 Книги II ''Начал'' [[Евклід]]а містить таке твердження:

''«Якщо є дві прямі, і одна з них розділена на будь-яку кількість сегментів, прямокутник, обмежений двома прямими, дорівнює прямокутникам, обмеженим нерозділеною прямою та кожним із сегментів.»''

Це відповідає алгебраїчній тотожності a(b+c)=ab+ac ([[дистрибутивність]]), але описується повністю геометрично. Евклід та інші грецькі геометри також використовували окремі літери для позначення геометричних точок і фігур. Такий тип алгебри тепер іноді називають {{нп|Історія алгебри|грецькою геометричною алгеброю|en|History of algebra}}<ref name=":0">{{Cite book |last=Boyer |first=Carl B. (Carl Benjamin) |url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye |title=A History of Mathematics |date=1991 |publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]] |others= |isbn=978-0-471-54397-8 |location=New York |language=en}}</ref>.

[[Діофант Александрійський|Діофант]] {{нп|Історія Александрії|Александрійський|en|History of Alexandria}}<ref>[http://www.ms.uky.edu/~carl/ma330/projects/diophanfin1.html Diophantine Equations]. Submitted by: Aaron Zerhusen, Chris Rakes, & Shasta Meece. MA 330—002. Dr. Carl Eberhart. 16 February 1999.</ref> започаткував форму {{нп|Історія алгебри|синкопованої алгебри|en|History of algebra}} у своїй ''{{нп|Арифметика (Діофант)|Арифметиці|en|Arithmetica}}'' (бл. 200&nbsp;р. н.&nbsp;е.), яка запровадила символічне маніпулювання виразами з невідомими та степенями, але без сучасних символів {{нп|Відношення (математика)|відношення|en|Relation (mathematics)}} (таких як [[Відношення рівності|рівність]] чи [[нерівність]]) або [[Піднесення до степеня|показників]]<ref name="Boyer2">Boyer (1991). «Revival and Decline of Greek Mathematics». p. 178. «Головна відмінність діофантової синкопи від сучасної алгебраїчної нотації полягає у відсутності спеціальних символів для операцій і відношень, а також експоненціальної нотації»</ref>. Невідоме число називалося <math>\zeta</math><ref>A History of Greek Mathematics: From Aristarchus to Diophantus. By Sir Thomas Little Heath. Pg [[iarchive:bub_gb_7DDQAAAAMAAJ/page/n472|456]]</ref>. Квадрат <math>\zeta</math> мав назву <math>\Delta^v</math>; куб називався <math>K^v</math>; четвертий степінь називався <math>\Delta^v\Delta</math>; а п'ятий степінь називався <math>\Delta K^v</math><ref>A History of Greek Mathematics: From Aristarchus to Diophantus. By Sir Thomas Little Heath. Pg [[iarchive:bub_gb_7DDQAAAAMAAJ/page/n474|458]]</ref>. Таким чином, вираз, записаний в сучасних позначеннях:<math display="block">x^3 - 2x^2 + 10x -1,</math>буде записаний у синкопованій нотації Діофанта як:

: <math>\Kappa^{\upsilon} \overline{\alpha} \; \zeta \overline{\iota} \;\, \pitchfork \;\, \Delta^{\upsilon} \overline{\beta} \; \Mu \overline{\alpha} \,\;</math>

У 7 столітті до нашої ери [[Брамагупта]] використовував різні кольори для представлення невідомих в алгебраїчних рівняннях у ''{{нп|Виправлене вчення про Брахму|Виправленому вченні про Брахму|en|Brahmasphutasiddhanta}}''. Один розділ цієї книги називається «Рівняння кількох кольорів»<ref>{{Harvnb|Tabak|2014|page=[https://books.google.com/books?id=h-zRieb7VbwC&pg=PA40 40]}}.</ref>. Грецькі та інші стародавні математичні досягнення часто потрапляли в пастку тривалих періодів застою, тому революційних змін у нотації було небагато, але ситуація почала змінюватися на початку [[Ранній новий період|раннього нового періоду]].

=== Ранній новий період ===
Наприкінці 16 століття [[Франсуа Вієт]] запропонував ідею представлення відомих і невідомих чисел літерами, які сьогодні називаються змінними, і ідею обчислення з ними так, ніби вони є числами, з метою отримання результату шляхом простої заміни. Конвенція Вієта полягала в тому, щоб використовувати приголосні для відомих значень і голосні для невідомих<ref>{{Harvnb|Fraleigh|1989|місце=[https://archive.org/details/firstcourseinabs0000fral/page/276/mode/2up 276]}}.</ref>.

У 1637 році [[Рене Декарт]] «запропонував конвенцію про представлення невідомих у рівняннях за допомогою ''x'', ''y'' і ''z'', а відомих&nbsp;— за допомогою ''a'', ''b'' і ''c''»<ref>{{Harvnb|Sorell|2000|місце=p. 19}}.</ref>. На відміну від конвенції Вієта, конвенція Декарта все ще широко використовується. Історія літери x в математиці обговорювалася в статті [[Scientific American]] 1887 року<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=moM9AQAAIAAJ|title=Scientific American|date=1887-09-03|publisher=Munn & Company|місце=p. 148|language=en}}</ref>.

Починаючи з 1660-х років [[Ісаак Ньютон]] і [[Готфрід Вільгельм Лейбніц]] незалежно один від одного розробили [[Диференціальне та інтегральне числення|числення нескінченно малих величин]], яке, по суті, полягає у вивченні того, як [[Нескінченно мала величина|нескінченно мала]] зміна ''величини, що змінюється в часі'' і називається {{нп|Флюент (математика)|флюентом|en|Fluent (mathematics)}}, викликає відповідну зміну іншої величини, яка є ''[[Функція (математика)|функцією]]'' першої змінної. Майже століття потому [[Леонард Ейлер]] закріпив термінологію числення нескінченно малих величин і ввів позначення {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} для функції {{math|''f''}}, її '''змінної''' {{math|''x''}} і її значення {{math|''y''}}. До кінця 19 століття слово ''змінна'' стосувалося майже виключно [[Аргумент функції|аргументів]] і {{нп|Значення (математика)|значень|en|Value (mathematics)}} функцій.

У другій половині 19 століття з'ясувалося, що основи числення нескінченно малих величин не були достатньо формалізовані, щоб мати справу з очевидними парадоксами, такими як [[неперервна функція]], яка не є [[Диференційовна функція|диференційованою]] в жодній точці. Щоб вирішити цю проблему, [[Карл Веєрштрасс]] запропонував новий формалізм, який полягає в заміні інтуїтивного поняття [[Границя|границі]] формальним визначенням. Попереднім визначенням границі було «коли ''змінна'' {{math|''x''}} змінюється і прямує до {{math|''a''}}, тоді {{math|''f''(''x'')}} прямує до {{math|''L''}}», без будь-якого точного визначення «прямує». Веєрштрасс замінив це речення формулою
: <math>(\forall \epsilon >0) (\exists \eta >0) (\forall x) \;|x-a|<\eta </math><math> \; \Rightarrow |L-f(x)|<\epsilon,</math>
в якому жодна з п'яти змінних не розглядається як змінна.

Це статичне формулювання призвело до сучасного поняття змінної, яка є просто символом, що представляє [[математичний об'єкт]] який або невідомий, або може бути замінений будь-яким елементом заданої [[Множина|множини]] (наприклад, множини [[Дійсне число|дійсних чисел]]).

== Позначення ==
Змінні, як правило, позначаються однією літерою, найчастіше з [[Латинська абетка|латинської абетки]] і рідше з [[Грецька абетка|грецької]]; літери можуть бути малими або великими. Після літери може стояти індекс: число (як у {{math|''x''<sub>2</sub>}}), інша змінна ({{math|''x''<sub>''i''</sub>}}), слово або абревіатура слова як позначка ({{math|''x''<sub>total</sub>}}) або [[Вираз (математика)|математичний вираз]] ({{math|''x''<sub>2''i''+1</sub>}}). Під впливом [[Змінна (програмування)|інформатики]], деякі назви змінних у чистій математиці складаються з кількох літер і цифр. Слідом за [[Рене Декарт]]ом (1596—1650), літери на початку англійської абетки, такі як {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}} зазвичай використовуються для відомих значень і параметрів, а літери в кінці абетки, такі як {{math|''x''}}, {{math|''y''}}, {{math|''z''}}&nbsp;— для невідомих і змінних функцій<ref name=E004>Edwards Art. 4</ref>. У друкованій математиці нормою є використання змінних і констант курсивом<ref>{{Harvnb|Hosch|2010|page=[https://books.google.com/books?id=ad0P0elU1_0C&pg=PA71 71].}}</ref>.

Наприклад, загальна [[Квадратична функція однієї змінної|квадратична функція]] умовно записується як {{math|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}}, де {{math|''a''}}, {{math|''b''}} і {{math|''c''}}&nbsp;— параметри (їх також називають [[константа]]ми, оскільки вони є [[Стала функція|сталими функціями]]), а {{math|''x''}}&nbsp;— змінна функції. Більш явним способом позначення цієї функції є {{math|''x'' ↦ ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}}, що пояснює статус {{math|''x''}} як аргументу функції і сталість {{math|''a''}}, {{math|''b''}} та {{math|''c''}}. Оскільки {{math|''c''}} зустрічається в виразі, який є постійною функцією {{math|''x''}}, його називають {{нп|Постійний член|постійним членом|en|Constant term}}<ref>{{Harvnb|Foerster|2006|місце=[https://archive.org/details/algebratrigonome00paul_0/page/18/mode/2up 18]}}.</ref>.

Різні розділи та застосування математики мають свої {{нп|Правила іменування|правила іменування|en|Naming convention}} змінних. Змінним зі схожими ролями або значеннями часто призначаються послідовні літери або та сама літера з різними нижніми індексами. Наприклад, три осі в тривимірному [[Векторний простір|координатному просторі]] традиційно називаються {{math|''x''}}, {{math|''y''}} і {{math|''z''}}. У фізиці назви змінних значною мірою визначаються [[Фізична величина|фізичною величиною]], яку вони описують, але існують різні домовленості про найменування. Конвенція, якої часто дотримуються в [[Імовірність|теорії імовірності]] та [[Статистика|статистиці]] полягає в використанні {{math|''X''}}, {{math|''Y''}}, {{math|''Z''}} для назв [[Випадкова величина|випадкових величин]], залишаючи {{math|''x''}}, {{math|''y''}}, {{math|''z''}} для змінних, що представляють відповідні відомі або спостережувані значення.

=== Загальноприйняті імена змінних ===
<!-- Список не повний -->
* {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}}, {{math|''d''}} (іноді розширюється до {{math|''e''}}, {{math|''f''}}) для параметрів або [[Коефіцієнт (математика)|коефіцієнтів]]
* {{math|''a''<sub>0</sub>}}, {{math|''a''<sub>1</sub>}}, {{math|''a''<sub>2</sub>}}, … для ситуацій, коли різні літери незручні
* {{math|''a<sub>i</sub>''}} або {{math|''u<sub>i</sub>''}} для {{math|''i''}}-го члена [[Послідовність|послідовності]] або {{math|''i''}}-го коефіцієнта [[Ряд (математика)|ряду]]
* {{math|''f''}}, {{math|''g''}}, {{math|''h''}} для [[Функція (математика)|функцій]] (як у {{math|''f''(''x'')}})
* {{math|''i''}}, {{math|''j''}}, {{math|''k''}} (іноді {{math|''l''}} або {{math|''h''}}) для змінних [[Ціле число|цілих чисел]] або індексів в [[Індексоване сімейство|індексованому сімействі]] або [[Одиничний вектор|одиничних векторах]]
* {{math|''l''}} і {{math|''w''}} для довжини та ширини фігур
* {{math|''l''}} також для прямої (лінії) або в теорії чисел для простого числа, яке не дорівнює {{math|''p''}}
* {{math|''n''}} (або альтернативне позначення {{math|''m''}}) для фіксованого цілого числа, такого як кількість об'єктів або [[Степінь|степінь полінома]]
* {{math|''p''}} для [[Просте число|простого числа]] або [[Імовірність|імовірності]]
* {{math|''q''}} для [[Степінь простого числа|степеня простого числа]] або [[Частка (математика)|частки]]
* {{math|''r''}} для [[радіус]]а, [[Остача|остачі]] або [[Коефіцієнт кореляції|коефіцієнта кореляції]]
* {{math|''t''}} для [[час]]у
* {{math|''x''}}, {{math|''y''}}, {{math|''z''}} для трьох [[Декартова система координат|декартових координат]] точки в [[Евклідова геометрія|евклідовій геометрі]] або відповідних [[Декартова система координат|осей]]
* {{math|''z''}} для [[Комплексне число|комплексного числа]] або в статистиці для [[Нормальний розподіл|змінної з нормальним розподілом]]
* {{math|''α''}}, {{math|''β''}}, {{math|''γ''}}, {{math|''θ''}}, {{math|''φ''}} для [[Кут#Вимірювання|мір кутів]]
* {{math|''ε''}} (або альтернативне позначення {{math|''δ''}}) для як завгодно малого додатного числа
* {{math|''λ''}} для [[Власні вектори та власні значення|власного значення]]
* {{math|Σ}} (велика сигма) для суми або {{math|''σ''}} (маленька сигма) у статистиці для [[Стандартне відхилення|стандартного відхилення]]<ref>{{cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Sum |url=https://mathworld.wolfram.com/ |access-date=2022-02-14 |website=mathworld.wolfram.com |language=en}}</ref>
* {{math|''μ''}} для [[Середнє значення|середнього значення]]

== Класифікація змінних ==
Зазвичай змінні відіграють різні ролі в одній і тій самій математичній формулі, і для їх розрізнення були введені назви або кваліфікатори. Наприклад, загальне [[кубічне рівняння]]
: <math>ax^3+bx^2+cx+d=0,</math>
інтерпретується як таке, що має п'ять змінних: чотири з яких, {{math|''a'', ''b'', ''c'', ''d''}}, вважаються заданими числами, а п'ята змінна, {{math|''x'',}} вважається ''невідомим'' числом. Щоб відрізнити їх, змінну {{math|''x''}} називають ''невідомою'', а інші змінні називають ''параметрами'' або ''[[Коефіцієнт (математика)|коефіцієнтами]]'', або іноді ''константами'', хоча остання термінологія є некоректною для рівняння та має бути зарезервована для [[Функція (математика)|функції]], визначеної лівою частиною цього рівняння.

У контексті функцій термін ''змінна'' зазвичай відноситься до аргументів функцій. Зазвичай це має місце в таких реченнях, як «<nowiki/>{{нп|Функція дійсної змінної|функція дійсної змінної|en|Function of a real variable}}<nowiki/>», «{{math|''x''}}&nbsp;— змінна функції {{math|1=''f'' : ''x'' ↦ ''f''(''x'')}}», «{{math|''f''}}&nbsp;— функція змінної {{math|''x''}}» (це означає, що змінна {{math|''x''}} посилається на аргумент функції).

У цьому ж контексті змінні, які не залежать від {{math|''x''}}, визначають [[Стала функція|сталі функції]] і тому їх називають ''константами''. Наприклад, ''[[стала інтегрування]]'' є довільною сталою функцією, яка додається до певної [[Первісна|первісної]], щоб отримати інші первісні. Через тісний зв'язок між [[Многочлен|поліномами]] та [[Многочлен#Узагальнений многочлен|поліноміальними функціями]], термін «константа» часто використовується для позначення коефіцієнтів полінома, які є сталими функціями невизначених величин.

Інші назви змінних включають:
* '''Невідоме'''&nbsp;— це змінна в рівнянні, яку потрібно знайти.
* '''{{нп|Невизначене (змінна)|Невизначене|en|Indeterminate (variable)}}'''&nbsp;— це символ, який зазвичай називають змінною, що з'являється в [[многочлен]]і або [[Формальний степеневий ряд|формальному степеневому ряді]]. Формально кажучи, невизначене&nbsp;— це не змінна, а [[константа]] в [[Кільце многочленів|кільці многочленів]] або кільці [[Формальний степеневий ряд|формальних степеневих рядів]]. Однак через сильний зв'язок між поліномами або [[Степеневий ряд|степеневими рядами]] та [[Функція (математика)|функціями]], які вони визначають, багато авторів розглядають невизначені величини як особливий вид змінних.
* '''[[Параметр]]'''&nbsp;— це величина (зазвичай число), яка є частиною вхідних даних задачі та залишається постійною протягом усього розв'язання цієї задачі. Наприклад, у [[Механіка|механіці]] маса і розмір твердого тіла є ''параметрами'' для вивчення його руху. В [[Інформатика|інформатиці]], ''параметр'' має інше значення і позначає аргумент функції.
* '''[[Вільні і зв'язані змінні]]'''
* '''[[Випадкова величина]]'''&nbsp;— це різновид змінної, яка використовується в [[Теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]] та її застосуваннях.

Всі ці найменування змінних мають [[Семантика|семантичний]] характер, а спосіб роботи з ними ({{нп|Синтаксис (логіка)|синтаксис|en|Syntax (logic)}}) є однаковим для всіх.

=== Залежні і незалежні змінні ===
{{main|Залежна і незалежна змінні}}
В [[Диференціальне та інтегральне числення|диференціальному та інтегральному численні]] та його застосуваннях до [[Фізика|фізики]] та інших наук досить поширеним є розгляд змінної, скажімо {{math|''y''}}, можливі значення якої залежать від значення іншої змінної, скажімо {{math|''x''}}. З математичної точки зору, ''залежна'' змінна {{math|''y''}} представляє значення [[Функція (математика)|функції]] від {{math|''x''}}. Щоб спростити формули, часто корисно використовувати той самий символ для залежної змінної {{math|''y''}} та функції, що відображає {{math|''x''}} на {{math|''y''}}. Наприклад, стан фізичної системи залежить від вимірюваних величин, таких як [[тиск]], [[температура]], положення в просторі, …, і всі ці величини змінюються, коли система розвивається, тобто вони є функцією часу. У формулах, що описують систему, ці величини представлені змінними, які залежать від часу, і, таким чином, неявно розглядаються як функції часу.

Тому у формулі '''залежна змінна'''&nbsp;— це змінна, яка неявно є функцією іншої (або кількох інших) змінних. '''Незалежна змінна'''&nbsp;— це змінна, яка не є залежною<ref>Edwards Art. 5</ref>.

Властивість змінної бути залежною або незалежною часто залежить від точки зору і не є її внутрішньою властивістю. Наприклад, у позначенні {{math|''f''(''x'', ''y'', ''z'')}}, усі три змінні можуть бути незалежними, і це позначення представляє функцію трьох змінних. З іншого боку, якщо {{math|''y''}} і {{math|''z''}} залежать від {{math|''x''}} (є ''залежними змінними'') тоді позначення представляє функцію однієї ''незалежної змінної'' {{math|''x''}}<ref>Edwards Art. 6</ref>.

=== Приклади ===
Визначмо функцію {{math|''f''}}, яка приймає і повертає [[Дійсне число|дійсні]] числа як
: <math>f(x) = x^2+\sin(x+4)</math>
тоді ''x'' є змінною, що представляє [[аргумент функції]], який може бути будь-яким дійсним числом.

В тотожності
: <math>\sum_{i=1}^n i = \frac{n^2+n}2</math>
змінна {{math|''i''}} є змінною підсумовування, яка по черзі позначає кожне з цілих чисел {{math|1, 2, ...,  ''n''}} (вона також називається '''індексом''' оскільки її варіація стосується дискретного набору значень), тоді як {{math|''n''}} є параметром (не змінюється в межах формули).

У теорії [[многочлен]]ів поліном 2 ступеня зазвичай позначається як {{math|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}}, де {{math|''a''}}, {{math|''b''}} і {{math|''c''}} називаються [[Коефіцієнт (математика)|коефіцієнтами]] (вони вважаються фіксованими, тобто параметрами задачі, що розглядається), а {{math|''x''}} називається змінною. Коли вивчають цей многочлен як частину [[Многочлен|поліноміальної функції]], {{math|''x''}} означає аргумент функції. Коли многочлен розглядається як окремий об'єкт, {{math|''x''}} вважається невизначеним і часто пишеться з великої літери, щоб підкреслити цей статус.

==== Приклад: закон ідеального газу ====
Розглянемо рівняння, що описує закон ідеального газу,
<math display=block>PV = Nk_\text{B}T.</math>
Це рівняння зазвичай інтерпретується як таке, що має чотири змінні та одну константу. Константою є {{math|''k''<sub>B</sub>}}, [[стала Больцмана]]. Одна зі змінних, {{math|''N''}}, кількість частинок, є додатним цілим числом (і, отже, дискретною змінною), тоді як інші три, {{math|''P''}}, {{math|''V''}} і {{math|''T''}}, які позначають тиск, об'єм та температуру, є безперервними змінними.

Можна змінити це рівняння, щоб отримати {{math|''P''}} як функцію інших змінних,
<math display=block>P(V, N, T) = \frac{Nk_\text{B}T}{V}.</math>
Тоді {{math|''P''}} як функція інших змінних, є залежною змінною, а її аргументи, {{math|''V''}}, {{math|''N''}} і {{math|''T''}}, є незалежними змінними. Можна підійти до цієї функції більш формально та розглянути її область визначення та діапазон: у нотації функції, тут {{math|''P''}}&nbsp;– це функція <math>P: \mathbb{R}_{>0} \times \mathbb{N} \times \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}</math>.

Проте в експерименті, щоб визначити залежність тиску від однієї з незалежних змінних, необхідно зафіксувати всі змінні, крім однієї, скажімо {{math|''T''}}. Це призводить до функції
<math display = block>P(T) = \frac{Nk_\text{B}T}{V},</math>
де {{math|''N''}} і {{math|''V''}} тепер також розглядаються як константи. Математично це є {{нп|Часткове застосування|частковим застосуванням|en|Partial application}} попередньої функції {{math|''P''}}.

Цей приклад ілюструє, як незалежні змінні та константи значною мірою залежать від прийнятої точки зору. Можна навіть розглядати {{math|''k''<sub>B</sub>}} як змінну щоб отримати функцію
<math display=block>P(V, N, T, k_\text{B}) = \frac{Nk_\text{B}T}{V}.</math>

== Простір модулів ==

{{See also |Простір модулів}}

Розгляд констант і змінних може привести до концепції просторів модулів. Для ілюстрації розглянемо рівняння [[Парабола|параболи]],
<math display = block>y = ax^2 + bx + c,</math>
де всі {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}}, {{math|''x''}} і {{math|''y''}} вважаються дійсними. Множина точок {{math|(''x'', ''y'')}} у двовимірній площині, що задовольняє це рівняння, окреслює графік параболи. Тут, {{math|''a''}}, {{math|''b''}} і {{math|''c''}} розглядаються як константи, які визначають параболу, тоді як {{math|''x''}} і {{math|''y''}} є змінними.

Замість того, щоб розглядати {{math|''a''}}, {{math|''b''}} і {{math|''c''}} як змінні, ми спостерігаємо, що кожен набір із 3-кортежів {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} відповідає різній параболі. Тобто вони вказують координати у «просторі парабол», відомому як '''простір модулів парабол'''.

== Див. також ==
* [[Шкала#Основні типи шкал|Основні типи шкал]]
* [[Категорійна змінна]]
* [[Лямбда-числення]]
* [[Латентна змінна]]
* [[Фізичні константи]]
* {{нп|Пропозиційна змінна|Пропозиційна змінна|en|Propositional variable}}

== Посилання ==
{{reflist}}

== Джерела ==
{{Refbegin}}
* Змінна в логіці // {{ФЕС}}
* {{Cite book |last=Edwards |first=Joseph |title=An Elementary Treatise on the Differential Calculus  |publisher= MacMillan and Co. |location=London | year=1892 |edition=2nd |url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.109607}}
* {{cite book |last=Foerster |first=Paul A. |title=Algebra and Trigonometry: Functions and Applications |edition=classics |year=2006 |isbn=    978-0-13-165711-3 |publisher=Prentice Hall |location=Upper Saddle River, NJ |url-access=registration |url=https://archive.org/details/algebratrigonome00paul_0 |ref={{sfnref|Foerster|2006}}}}
* {{cite book |last=Fraleigh |first=John B. |title=A First Course in Abstract Algebra |publisher=Addison-Wesley |edition=4th |year=1989 |location=United States |isbn=978-0-201-52821-3 |url=https://archive.org/details/firstcourseinabs0000fral |url-access=registration |ref={{sfnref|Fraleigh|1989}}}}
* {{Cite book |editor-last=Hosch |editor-first=William L. |title=The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry |publisher=Britannica Educational Publishing |year=2010 |isbn=978-1-61530-219-2 |url=https://books.google.com/books?id=ad0P0elU1_0C|ref={{sfnref|Hosch|2010}}}}
* {{Cite journal |last=Menger |first=Karl |title=On Variables in Mathematics and in Natural Science |journal=The British Journal for the Philosophy of Science |publisher=University of Chicago Press |volume=5 |issue=18 |pages=134–142 |year=1954 |doi=10.1093/bjps/V.18.134 |jstor=685170}}
* {{Cite book |last=Peregrin |first=Jaroslav |chapter-url=http://w.jarda.peregrin.cz/mybibl/PDFTxt/414.pdf |chapter=Variables in Natural Language: Where do they come from? |editor1-last=Böttner |editor1-first=Michael |editor2-last=Thümmel |editor2-first=Wolf |title=Variable-Free Semantics |year=2000 |pages=46–65 |publisher=Osnabrück Secolo |isbn=978-3-929979-53-4}}
* {{Cite journal |last=Quine |first=Willard V. |author-link=Віллард Ван Орман Квайн |url=https://voices.uchicago.edu/wittgenstein/files/2008/05/quine-variables-explained-away.pdf |title=Variables Explained Away |journal=Proceedings of the American Philosophical Society |publisher=American Philosophical Society |volume=104 |number=3 |pages=343–347 |year=1960 |jstor=985250}}
* {{Cite book |last=Sorell |first=Tom |title=Descartes: A Very Short Introduction |year=2000 |location=New York |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-285409-4 |url=https://books.google.com/books?id=EksSDAAAQBAJ |language=en |ref={{sfnref|Sorell|2000}}}}
* {{anchor|SW}}<!-- Якір для цитування -->{{Cite encyclopedia |last1=Stover |first1=Christopher |last2=Weisstein |first2=Eric W. |editor-last=Weisstein |editor-first=Eric W. |title=Variable |url=https://mathworld.wolfram.com/Variable.html |access-date=2021-11-22 |encyclopedia=Wolfram MathWorld |publisher=Wolfram Research |language=en}}
* {{cite book |last=Tabak |first=John |title=Algebra: Sets, Symbols, and the Language of Thought |date=2014 |publisher=Infobase Publishing |isbn=978-0-8160-6875-3 |url=https://books.google.com/books?id=h-zRieb7VbwC |language=en |ref={{sfnref|Tabak|2014}}}}
{{Refend}}

{{Математична логіка}}

[[Категорія:Математична термінологія]]
[[Категорія:Алгебра]]
[[Категорія:Числення]]
[[Категорія:Елементарна математика]]
[[Категорія:Синтаксис (логіка)]]
[[Категорія:Змінні (математика)| ]]
[[Категорія:Математична логіка]]