Перегляд вихідного коду сторінки Зміна базису

{{multiple image
   | align     = right
   | direction = vertical
   | footer    =
   | width1    = 290
   | image1    = 3d basis transformation.svg
   | caption1  = [[Лінійна комбінація|Лінійні комбінації]] однієї базисної множини векторів (фіолетові) формують нові вектори (червоні). Якщо вони [[лінійна незалежність|лінійно незалежні]], то вони утворюють нову базисну множину. Лінійні комбінації, що пов'язують першу множину і другу становлять [[лінійне відображення]], яке називається зміною базису.
   | width2    = 122
   | image2    = 3d two bases same vector.svg
   | caption2  = Вектор представлено в двох різних базисах (фіолетові і червоні стрілки).
  }}
У [[лінійна алгебра|лінійній алгебрі]], [[базис (математика)|базис]] для [[векторний простір|векторного простору]] це [[лінійно незалежні вектори|лінійно незалежна]] множина для якої цей простір є [[лінійна оболонка|лінійною оболонкою]].<ref>{{harvtxt|Anton|1987|p=171}}</ref><ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=93}}</ref><ref name=":0">{{harvtxt|Nering|1970|p=15}}</ref> Ця стаття здебільшого розглядає скінченно-вимірні векторні простори, але багато теорем мають місце для нескінченно-вимірних векторних просторів.<ref name=":0"/> Базис векторного простору розмірності ''n'' це множина з ''n'' векторів {{nowrap|(''&alpha;''<sub>1</sub>, …, ''&alpha;''<sub>''n''</sub>)}}, які називають '''базисними векторами''', з властивістю, що будь-який вектор цього простору можна представити як унікальну [[лінійна комбінація|лінійну комбінацію]] базисних векторів.<ref>{{harvtxt|Anton|1987|pp=74–76}}</ref><ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|pp=194–195}}</ref><ref name=":0"/> Матриці переходу [[лінійне відображення|операторів]] також визначені вибраним базисом. Через те, що часто бажано працювати з більше ніж одним базисом для векторного простору, у лінійній алгебрі засадничо важливо бути здатним легко переходити від координатних представлень векторів і операторів в одному базисі до їх тотожних представлень в іншому базисі. Такий перехід називається '''зміною базису'''.<ref>{{harvtxt|Anton|1987|pp=221–237}}</ref><ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|pp=240–243}}</ref><ref>{{harvtxt|Nering|1970|pp=50–52}}</ref>

Хоча символ '''R''', що ми його використовуємо нижче може позначати [[поле (алгебра)|поле]] [[дійсні числа|дійсних чисел]], результати дійсні і, якщо '''R''' замінено на будь-яке поле '''F'''. Хоча нижче використано термінологію векторних просторів, обговорені результати дійсні і тоді коли '''R''' це [[комутативне кільце]] а ''векторний простір'' повсюдно замінено на ''[[вільний модуль|вільний]] [[модуль над кільцем|R-модуль]]''.

== Матриця переходу ==

=== Означення ===
'''Матрицею переходу''' в <math>\ n</math>-вимірному просторі від [[базис (математика)|базису]] <math>\mathcal{A} = \langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n \rangle</math> до базису <math>\mathcal{B} = \langle \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n \rangle</math> називається [[квадратна матриця]], стовпці якої — координати розкладу [[вектор]]ів <math>\langle \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n \rangle</math> у базисі <math>\langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n \rangle</math>.

А саме нехай виконуються рівності (де всі коефіцієнти однозначно визначені, бо <math>\langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n \rangle</math> є базисом):
: <math>\mathbf{b}_1 = \alpha_{11}\mathbf{a}_1 + \alpha_{12}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{1n}\mathbf{a}_n  </math>
: <math>\mathbf{b}_2 = \alpha_{21}\mathbf{a}_1 + \alpha_{22}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{2n}\mathbf{a}_n  </math>
: <math>\cdots</math>.
: <math>\mathbf{b}_n = \alpha_{n1}\mathbf{a}_1 + \alpha_{n2}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{nn}\mathbf{a}_n.</math>

Тоді матриця переходу має вигляд:

: <math>B(\mathcal{A},\mathcal{B}) = 
\begin{pmatrix}
\alpha_{11} & \alpha_{21} & \ldots & \alpha_{n1} \\
\alpha_{12} & \alpha_{22} & \ldots & \alpha_{n2} \\
\vdots      & \vdots      & \ddots & \vdots \\
\alpha_{1n} & \alpha_{2n} & \ldots & \alpha_{nn}
\end{pmatrix}</math>

Якщо записувати базиси за допомогою вектор-рядків елементами яких є базисні вектори, то можна у матричній формі записати:

: <math>\langle \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n \rangle = \langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n \rangle \cdot B(\mathcal{A},\mathcal{B}) = \langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n \rangle
\begin{pmatrix}
\alpha_{11} & \alpha_{21} & \ldots & \alpha_{n1} \\
\alpha_{12} & \alpha_{22} & \ldots & \alpha_{n2} \\
\vdots      & \vdots      & \ddots & \vdots \\
\alpha_{1n} & \alpha_{2n} & \ldots & \alpha_{nn}
\end{pmatrix}.</math>

=== Властивості ===

* Матрицею переходу від довільного базису <math>\mathcal{A} = \langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n \rangle</math> до самого себе є [[одинична матриця]].
* Якщо <math>\mathcal{A} = \langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n \rangle</math>, <math>\mathcal{B} = \langle \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n \rangle</math> і <math>\mathcal{C} = \langle \mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2, \ldots, \mathbf{c}_n  \rangle</math> є трьома базисами одного векторного простору і <math>B(\mathcal{A},\mathcal{B}) </math> є матрицею переходу від <math>\mathcal{A}</math> до базису <math>\mathcal{B},</math> а <math>B(\mathcal{B},\mathcal{C}) </math> є матрицею переходу від базису <math>\mathcal{B}</math> до базису <math>\mathcal{C} </math>, то матриця переходу від <math>\mathcal{A}</math> до <math>\mathcal{C} </math> є [[Множення матриць|добутком цих матриць]]:
::<math>B(\mathcal{A},\mathcal{C}) = B(\mathcal{B},\mathcal{C})\cdot B(\mathcal{A},\mathcal{B}) </math>
* Зокрема із попереднього випливає, що матриця переходу між будь-якими матрицями є [[невироджена матриця|невиродженою]] і матриця зворотного переходу є [[обернена матриця|оберненою]] до даної матриці переходу:
::<math>B(\mathcal{B},\mathcal{A}) = (B(\mathcal{A},\mathcal{B}))^{-1} </math>.

* Якщо розглядається векторний простір над полем дійсних чисел і базис <math>\mathcal{A} = \langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n \rangle</math> є [[Ортонормований базис|ортонормованим]] щодо деякого [[Скалярний добуток|скалярного добутку]] на просторі, то базис <math>\mathcal{B} = \langle \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n \rangle</math> буде ортонормованим [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли матриця переходу <math>B(\mathcal{A},\mathcal{B}) </math> буде [[Ортогональна матриця|ортогональною]]. У випадку комплексних векторних просторів таке саме твердження справедливе для [[Унітарна матриця|унітарних матриць]] і [[Ермітів скалярний добуток|ермітових скалярних добутків]].

== Перетворення координат вектора при зміні базису ==
Нехай деякий довільний вектор <math>\mathbf{x}</math> виражається через вектори у базисах <math>\mathcal{A} = \langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n \rangle</math> і <math>\mathcal{B} = \langle \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n \rangle</math> як

: <math>\mathbf{x} = x_1 \mathbf{a}_1 + x_2 \mathbf{a}_2+ \dots + x_n \mathbf{a}_n = \sum_i x_i \, \mathbf{a}_i,</math>

і

: <math>\mathbf{x} = y_1 \mathbf{b}_1 + y_2 \mathbf{b}_2+ \dots + y_n \mathbf{b}_n = \sum_i y_i \, \mathbf{b}_i.</math>

Ці рівності дозволяють ввести координатні вектор-стовпці і за допомогою матричного добутку і означення матриці переходу записати:

:<math>\mathbf{x} = \langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n \rangle \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\  x_n \end{pmatrix} = \langle \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n \rangle \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\  y_n \end{pmatrix} = \langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n \rangle \cdot B(\mathcal{A},\mathcal{B})\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\  y_n \end{pmatrix}. </math>

Із однозначності запису вектора через базис звідси випливає формула [[Геометричне перетворення|перетворення координат]] при зміні базису:

:<math>\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\  x_n \end{pmatrix} =  B(\mathcal{A},\mathcal{B})\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\  y_n \end{pmatrix}. </math>

Тобто якщо координати деякого вектора у базисі <math>\mathcal{B} </math> утворюють вектор стовпець <math>y</math>, а у базисі <math>\mathcal{A} </math> утворюють вектор стовпець <math>x</math>, то 

:<math>x =  B(\mathcal{A},\mathcal{B})y. </math>

Важливо помітити зміну порядку у цій формулі. Якщо матриця <math>B(\mathcal{A},\mathcal{B}) </math> визначає перехід від базису <math>\mathcal{A} </math> до базису <math>\mathcal{B} </math>, то формула перетворення координат задає перехід навпаки від координат у базисі <math>\mathcal{B} </math> до координат у базисі <math>\mathcal{A} </math>. Тому матрицю <math>B(\mathcal{A},\mathcal{B}) </math> можна також називати матрицею переходу від координат у базисі  <math>\mathcal{B} </math> до координат у базисі <math>\mathcal{A} </math>.

У такій інтерпретації можна також дати означення матриці переходу через [[Матриця лінійного відображення|матриці лінійного відображення]]. Стовпцями такої матриці <math>M(T;\mathcal{A},\mathcal{B})</math> є координати <math>T(\mathbf{a}_i)</math> у базисі <math>\mathcal{B} </math>. Якщо вибрати тотожне лінійне перетворення то стовпцями матриці <math>M(I;\mathcal{B},\mathcal{A})</math> будуть координати розкладів векторів із <math>\mathcal{B} </math> у базисі <math>\mathcal{A} </math>. Тому

:<math>B(\mathcal{A},\mathcal{B}) = M(I;\mathcal{B},\mathcal{A}) </math>.

Зміна порядку базисів у правій і лівій частині не є помилково.

=== Приклади ===

====Два виміри====
У двовимірному просторі, двійка векторів отриманих обертанням [[Стандартний базис|стандартного базису]] проти годинникової стрілки на 45° є базисом простору. Матриця чиї стовпчики є координатами цих векторів у початковому базисі має вид:

:<math>M=\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}</math>

Якщо ми хочемо перевести будь-який вектор простору в цей базис, нам треба помножити зліва його компоненти на [[Обернена матриця|обернену]] до цієї матрицю,<ref>{{Cite web|url=https://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/changebasis/|title=Change of Basis - HMC Calculus Tutorial|website=www.math.hmc.edu|access-date=2017-08-22|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160716213428/https://math.hmc.edu/calculus/tutorials/changebasis/|archivedate=2016-07-16}}
і пояснення / доведення {{Cite web|url=https://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/changebasis/why.html|title=Why?|website=www.math.hmc.edu|access-date=2017-08-22|archive-date=22 серпня 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20170822181259/https://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/changebasis/why.html}}</ref> а щоб перевести вектор з координатами у новому базисі у координати стандартного потрібно нові координати помножити на саму матрицю.

====Три виміри====

Нехай R буде новим базисом заданим за допомогою [[Ейлерові кути|кутів Ейлера]]. Матриця цього базису в якості стовпців матиме компоненти кожного з векторів у стандартному базисі. Отже, ця матриця виглядає так (Див. статтю [[Ейлерові кути]]):

:<math>\mathbf{R} = \begin{bmatrix}
 \mathrm{c}_\alpha \, \mathrm{c}_\gamma - \mathrm{s}_\alpha \, \mathrm{c}_\beta \, \mathrm{s}_\gamma &
-\mathrm{c}_\alpha \, \mathrm{s}_\gamma - \mathrm{s}_\alpha \, \mathrm{c}_\beta \, \mathrm{c}_\gamma &  
 \mathrm{s}_\beta  \, \mathrm{s}_\alpha \\ 
 \mathrm{s}_\alpha \, \mathrm{c}_\gamma + \mathrm{c}_\alpha \, \mathrm{c}_\beta \, \mathrm{s}_\gamma &
-\mathrm{s}_\alpha \, \mathrm{s}_\gamma + \mathrm{c}_\alpha \, \mathrm{c}_\beta \, \mathrm{c}_\gamma &  
-\mathrm{s}_\beta  \, \mathrm{c}_\alpha  \\
 \mathrm{s}_\beta  \, \mathrm{s}_\gamma &
 \mathrm{s}_\beta  \, \mathrm{c}_\gamma &  
 \mathrm{c}_\beta
\end{bmatrix}
.</math>

Знов-таки, будь-який вектор простору можна перевести в цей новий базис домножуючи його зліва на обернену до цієї матриці.

== Перетворення матриці лінійного відображення при зміні базису ==
Нехай задані векторні простори  <math>V</math> і <math>W</math>  над одним полем і для простору <math>V</math> вибрані два базиси <math>\mathcal{A} = (\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n)</math> і <math>\mathcal{A}' = (\mathbf{a}'_1,\ldots,\mathbf{a}'_n),</math> а у просторі <math>W</math> вибрані два базиси <math>\mathcal{B} = (\mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_m)</math> і <math>\mathcal{B}' = (\mathbf{b}'_1,\ldots,\mathbf{b}'_m).</math> Нехай <math>B(\mathcal{A},\mathcal{A}') </math> і <math>B(\mathcal{B},\mathcal{B}') </math> є відповідними переходами між базисами у двох просторах.

Якщо тепер <math>T : V \to W</math> є лінійним відображенням то у відповідних базисах воно задається матрицями <math>M(T;\mathcal{A},\mathcal{B}) </math> і <math>M(T;\mathcal{A}',\mathcal{B}') </math>. Якщо <math>\mathbf{x} \in V</math> є довільним вектором, координати якого у базисах <math>\mathcal{A}</math> і <math>\mathcal{A}' </math> можна записати за допомогою вектор стовпців <math>\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\  x_n \end{pmatrix} </math> і <math>\begin{pmatrix} x'_1 \\ \vdots \\  x'_n \end{pmatrix} </math>, то <math>T(\mathbf{x})</math> є вектором простору <math>W</math> координати якого у базисах <math>\mathcal{B},\mathcal{B}' </math> можна записати  за допомогою вектор стовпців <math>\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\  y_m \end{pmatrix} </math> і <math>\begin{pmatrix} y'_1 \\ \vdots \\  y'_m \end{pmatrix} </math>.

У цих позначеннях у матричному записі враховуючи означення матриць переходу і лінійного відображення:

<math>\begin{pmatrix} y'_1 \\ \vdots \\  y'_m \end{pmatrix}  = B(\mathcal{B}',\mathcal{B}) \cdot \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\  y_m \end{pmatrix} = B(\mathcal{B}',\mathcal{B}) \cdot M(T;{\mathcal {A}},{\mathcal {B}}) \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\  x_n \end{pmatrix} 
= B(\mathcal{B}',\mathcal{B}) \cdot M(T;{\mathcal {A}},{\mathcal {B}}) \cdot B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}' }) \cdot \begin{pmatrix} x'_1 \\ \vdots \\  x'_n \end{pmatrix} .  </math>

Оскільки вказані рівності справедливі для координатних стовпців усіх векторів <math>\mathbf{x} \in V</math>, то <math>B(\mathcal{B}',\mathcal{B}) \cdot M(T;{\mathcal {A}},{\mathcal {B}}) \cdot B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}' }) </math> є однозначно визначеною матрицею відображення <math>T : V \to W</math> у базисах <math>\mathcal{A}' </math> і <math>\mathcal{B}' </math>:

: <math>M(T;\mathcal{A}',\mathcal{B}') = B(\mathcal{B}', \mathcal{B}) \cdot M(T;\mathcal{A},\mathcal{B})\cdot B(\mathcal{A}, \mathcal{A}') = (B(\mathcal{B}, \mathcal{B}')^{-1} \cdot M(T;\mathcal{A},\mathcal{B})\cdot B(\mathcal{A}, \mathcal{A}'). </math>

Зокрема якщо <math>V = W</math> і <math>T </math> є лінійним перетворенням, то його матриці  у базисах <math>\mathcal{A}</math> і <math>\mathcal{A}'</math> пов'язані співвідношенням:

: <math>M(T;\mathcal{A}') = (B(\mathcal{A}, \mathcal{A}'))^{-1}  \cdot M(T;\mathcal{A})\cdot B(\mathcal{A}, \mathcal{A}')  </math>.

У простіших позначеннях, якщо <math>A</math> є матрицею перетворення у базисі <math>\mathcal{A}</math>, а <math>A'</math> є матрицею перетворення у базисі <math>\mathcal{A}'</math> і <math>U = B(\mathcal{A}, \mathcal{A}')</math>, то:

: <math>A' = U^{-1}AU</math>.

== Матриця білінійної форми ==
''[[Білінійна форма]]'' на векторному просторі ''V'' над [[поле (алгебра)|полем]] '''R''' це відображення {{nowrap|''V'' × ''V'' → '''R'''}} [[лінійне відображення|лінійне]] щодо обох аргументів. Тобто, {{nowrap|''B'' : ''V'' × ''V'' → '''R'''}} білінійна, якщо відображення
:<math>\mathbf{x} \mapsto B(\mathbf{x}, \mathbf{y})</math>
:<math>\mathbf{y} \mapsto B(\mathbf{y}, \mathbf{x})</math>
лінійні для будь-якого '''''y''''' з ''V''. Це визначення також застосовне для [[модуль над кільцем|модуля]] над [[комутативне кільце|комутативним кільцем]] і [[гомоморфізм модуля|гомоморфізмом модуля]] в якості лінійного відображення.

[[Визначник Грама|Матриця Грама]] ''G'', що відповідає базису <math>\mathcal{A} = \langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n \rangle</math> визначена так

:<math>G_{i,j} = B(\mathbf{a}_i,\mathbf{a}_j) .</math>

Якщо <math>\mathbf{x} = \sum_i x_i \mathbf{a}_i</math> і <math>\mathbf{y} = \sum_i y_i \mathbf{a}_i</math> це представлення векторів '''''x'', ''y''''' у цьому базисі, тоді білінійна форма задана так

:<math>B(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \mathbf{x}^\mathsf{T} G \mathbf{y} .</math>

Матриця буде [[симетрична матриця|симетрична]] якщо білінійна форма ''B'' це [[симетрична білінійна форма]].

===Зміна базису===
Якщо задано два базиси <math>\mathcal{A} = \langle \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n \rangle</math> і <math>\mathcal{A}' = \langle \mathbf{a}'_1, \mathbf{a}'_2, \ldots, \mathbf{a}'_n \rangle</math>,  <math>G</math> є матрицею Грама у першому базисі, а <math>G'</math> є матрицею грама у другому базисі, то ці матриці пов'язана співвідношенням із матрицею переходу <math>B(\mathcal{A},\mathcal{A}') </math>:

:<math>G' = B(\mathcal{A},\mathcal{A}') ^\mathsf{T} \cdot G \cdot B(\mathcal{A},\mathcal{A}')  .</math>

== Джерела ==
* {{Гельфанд.Линейная алгебра}}
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* {{ citation | last1 = Anton | first1 = Howard | year = 1987 | isbn = 0-471-84819-0 | title = Elementary Linear Algebra | edition = 5th | publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | location = New York }}
* {{citation | last1 = Beauregard | first1 = Raymond A. | last2 = Fraleigh | first2 = John B. | title = A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields | location = Boston | publisher = [[Houghton Mifflin Company]] | year = 1973 | isbn = 0-395-14017-X | url-access = registration | url = https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau }}
* {{ citation | last1 = Nering | first1 = Evar D. | title = Linear Algebra and Matrix Theory | edition = 2nd | location = New York | publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | year = 1970 | lccn = 76091646 }}

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Лінійна алгебра}}
[[Категорія:Лінійна алгебра]]
[[Категорія:Теорія матриць]]