Перегляд вихідного коду сторінки Згинаний многогранник

'''[[Многогранник]]''' (точніше&nbsp;— многогранна [[поверхня]]) називається '''зги́наною''', якщо її просторову форму можна змінити такою безперервною в часі деформацією, за якої кожна грань не змінює своїх розмірів (тобто рухається як тверде тіло), а деформація здійснюється тільки за рахунок безперервної зміни [[двогранний кут|двогранних кутів]]. Така деформація називається '''безперервним згинанням''' многогранника.

== Властивості та приклади ==
У теорії зги́наних многогранників відомо чимало красивих і нетривіальних тверджень. Нижче наведено найважливіші зі встановлених на сьогодні фактів, дотримуючись хронологічного порядку:
# Ніякий [[опуклий многогранник]] не може згинатись. Це негайно випливає з [[Теорема Коші про многогранники|теореми Коші]] про однозначну визначеність опуклого многогранника, доведену в [[1813]] році.
# Перші приклади згинаних многогранників були побудовані бельгійським інженером і математиком {{Нп|Рауль Брікар|Раулем Брікаром||Raoul Bricard}} в [[1897]] році<ref>R. Bricard. [http://www-mathdoc.ujf-grenoble.fr/JMPA/PDF/JMPA_1897_5_3_A5_0.pdf ''Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110717152710/http://www-mathdoc.ujf-grenoble.fr/JMPA/PDF/JMPA_1897_5_3_A5_0.pdf |date=17 липня 2011 }}. {{Нп|Journal_de_Mathématiques_Pures_et_Appliquées|J. Math. Pures Appl.||}} 1897. '''3'''. P. 113—150 (див. також [http://math.unm.edu/~vageli/papers/bricard3_6.pdf англійський переклад] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160303173746/http://math.unm.edu/~vageli/papers/bricard3_6.pdf |date=3 березня 2016 }}).</ref>. Зараз їх називають {{Нп|Октаедр Брікара|октаедрами Брікара||Bricard octahedron}}. Вони не тільки неопуклі, але й мають самоперетини, що не дозволяє побудувати їх картонну модель, що рухається.
# У [[1976]] році американський математик [[Роберт Коннеллі]] вперше побудував згинаний многогранник без самоперетинів<ref>R. Connelly, ''The rigidity of polyhedral surfaces'', {{Нп|Mathematics_Magazine|Math. Mag.||}} '''52''' (1979), no. 5, 275—283.</ref>.
# З усіх відомих на сьогоднішній день згинаних многогранників без самоперетинів найменше число вершин (дев'ять) має многогранник, побудований німецьким математиком Клаусом Штеффеном ({{lang-de|Klaus Steffen}})<ref>{{Нп|Марсель Берже|М. Берже||Marcel Berger}}, ''Геометрия''. М.: Мир, 1984. Т. 1. С. 516—517.</ref>.
# Відомі приклади згинаних многогранників, які є реалізаціями [[Тор (геометрія)|тора]]<ref>В.&nbsp;А.&nbsp;Александров, [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN394039319_0036&DMDID=DMDLOG_0107 ''Новий приклад згинаного многогранника''], [[Сибирский математический журнал|Сиб. мат. журн.]] 1995. Т. 36, No 6. С. 1215—1224.</ref> або [[Пляшка Клейна|пляшки Клейна]], або взагалі двовимірної поверхні будь-якого топологічного роду.
# З [[формула Шлефлі|формули Шлефлі]] випливає, що будь згинаний многогранник в процесі згинання зберігає так звану інтегральну середню кривину, тобто число, рівне <math>\sum |\ell|(\pi-\alpha(\ell))</math>, де <math>|\ell|</math>&nbsp;— довжина ребра <math>~\ell</math>, <math>~\alpha(\ell)</math>&nbsp;— величина внутрішнього [[двогранний кут|двогранного кута]] при ребрі <math>~\ell</math>, а сума поширюється на всі ребра многогранника. Див також<ref name=autogenerated1>R. Alexander, ''Lipschitzian mappings and total mean curvature of polyhedral surfaces. I'', [[Transactions of the American Mathematical Society|Trans. Amer. Math. Soc.]] 1985. Vol. 288, no. 2, 661—678.</ref>.
# '''Теорема [[Сабітов Іджад Хакович|Сабітова]]'''<ref>[[Сабітов Іджад Хакович|І.&nbsp;Х.&nbsp;Сабітов]], ''Обсяг многогранника як функція довжин його ребер'', [[Фундаментальна та прикладна математика|Фундам. прикл. матем.]] 1996. Т. 2, №&nbsp;1. С. 305—307.</ref>: Будь-який згинаний многогранник в процесі згинання зберігає свій [[об'єм]], тобто він буде згинатися навіть якщо його заповнити нестисливої рідиною.
# У 2012 році, А. Гайфулліним доведено багатовимірний аналог теореми Сабітова&nbsp;— будь-який многогранник, що згинається, в розмірності <math>n\geq4</math> в процесі згинання зберігає свій [[об'єм]].<ref>{{Cite news|title=Generalization of Sabitov's Theorem to Polyhedra of Arbitrary Dimensions|url=http://arxiv.org/abs/1210.5408|work=arXiv:1210.5408 [math]|date=2012-10-19|accessdate=2023-02-28|first=Alexander A.|last=Gaifullin}}</ref>
{{center|
<gallery>
Файл:Br1-anim.gif|октаедр Брікара, що згинається, першого типу
Файл:Br2-anim.gif|октаедр Брікара, що згинається, другого типу
Файл:Ste-anim.gif|Згинаний многогранник Штеффена
Файл:Steffen's_flexor.jpg|[[Розгортка многогранника|Розгортка]] згинаного многогранника Штеффена
</gallery>
}}

== Гіпотези ==
Незважаючи на значний прогрес, в теорії згинаних многогранників залишається багато невирішених проблем. Ось кілька відкритих гіпотез:
# многогранник Штеффена має найменше число вершин серед усіх згинаних многогранників, що не мають самоперетинів<ref>И.&nbsp;Г.&nbsp;Максимов, [http://mech.math.msu.su/~fpm/ps/k06/k061/k06105.pdf ''Неизгибаемые многогранники с малым количеством вершин''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140825175337/http://mech.math.msu.su/~fpm/ps/k06/k061/k06105.pdf|date=25 серпня 2014}}, [[Фундаментальная и прикладная математика|Фундам. прикл. матем.]] 2006. Т. 12, No. 1. С. 143—165.</ref>;
# Якщо один многогранник, який не має самоперетинів, отриманий з іншого многогранника, який також не має самоперетинів, безперервним згинанням, то ці многогранники [[Рівноскладеність|рівноскладені]], тобто перший можна розбити на скінченне число [[тетраедр]]ів, кожен з цих тетраедрів незалежно від інших можна пересунути в просторі і отримати розбиття другого многогранника<ref> Див. с. 231 книги под ред. [[Колмогоров Андрій Миколайович|А.&nbsp;Н.&nbsp;Колмогорова]] і [[Новіков Сергій Петрович (математик)|С.&nbsp;П.&nbsp;Новикова]]: ''Исследования по метрической теории поверхностей''. М.: Мир. 1980. На англійський мові ця гіпотеза була уперше опублікована у статті R. Connelly, ''The rigidity of polyhedral surfaces'', [[Mathematics Magazine|Math. Mag.]] 1979. Vol. 52. P. 275—283. </ref>.

== Узагальнення ==
Все сказане вище відносилося до многогранників в тривимірному евклідовому просторі. Однак дане вище визначення згинаного многогранника можна застосувати і до багатовимірних просторів і до неевклідових просторів, таких як [[Сферична геометрія|сферичний простір]] і [[гіперболічний простір]]. Для них також відомі як нетривіальні теореми, так і відкриті запитання. Наприклад:
# Доведено, що в чотиривимірному евклідовому просторі, гіперболічному просторі розмірності 3 та 4, а також у сферичному просторі розмірності 3 та 4 є згинані многогранники<ref>[[Штахель, Хельмут|H. Stachel]], ''Flexible octahedra in the hyperbolic space'', у книзі под ред. A. Prékopa: ''Non-Euclidean geometries. János Bolyai memorial volume. Papers from the international conference on hyperbolic geometry, Budapest, Hungary, July 6—12, 2002''. New York, NY: Springer. Mathematics and its Applications '''581''', 209—225 (2006).</ref>, в той час як існування згинаних многогранників в евклідових просторах розмірності 5 і вище залишається відкритим питанням ;
# Доведено, що будь-який згинаний многогранник в евклідовому просторі розмірності 3 і вище зберігає свою інтегральну середню кривину в процесі згинання<ref name=autogenerated1 />, але невідомо чи всякий згинаний многогранник в евклідовому просторі розмірності 4 і вище зберігає свій об'єм в процесі згинання;
# Доведено, що в тривимірному сферичному просторі існує згинаний многогранник, обсяг якого непостійний у процесі згинання<ref>V. Alexandrov, ''An example of a flexible polyhedron with nonconstant volume in the spherical space,'' Beitr. Algebra Geom. '''38''', No.1, 11—18 (1997). ISSN 0138-4821.</ref>, але не відомо чи обов'язково зберігається обсяг згинаного многогранника в тривимірному гіперболічному просторі.

== Зроби сам ==
Зробити модель згинаного многогранника Штеффена зовсім не важко. Опишемо це процес крок за кроком.
* Збережіть файл з розгорткою многогранника Штеффена з наведеної вище «галереї зображень».
* Збільшите розгортку в 2-3 рази і роздрукуйте його на принтері (при цьому бажано використовувати щільний папір або напівкартон).
* Виріжте розгортку по контуру, що складається з червоних, синіх і чорних (суцільних і пунктирних) відрізків.
* Кілька разів перегніть папір по суцільним і пунктирним відрізкам, що залишилися на розгортці. Виконуючи наступні дії слід надавати поверхні таку форму, щоб суцільні відрізки були «гірськими хребтами» (тобто виступали з многогранника назовні), а пунктирні відрізки були «долинами» (тобто вдавалися б всередину многогранника).
* Зігніть поверхню в просторі і склейте між собою кожні два чорних відрізка, з'єднаних на розгортці зеленої дугою кола.
* Склейте між собою два синіх відрізка.
* Склейте між собою два червоних відрізка.
Модель многогранника Штеффена готова.

== Популярна література ==
* В.&nbsp;А.&nbsp;Александров, [http://old.pskgu.ru/ebooks/soros/9705_al.pdf ''Изгибаемые многогранные поверхности''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161109145445/http://old.pskgu.ru/ebooks/soros/9705_al.pdf |date=9 листопада 2016 }}, [[Соросовский Образовательный Журнал|Соросовский образовательный журнал]]. 1997. No. 5. С. 112—117. Ця ж стаття перевидана в книзі під редакцією [[Сойфер, Валерий Николаевич|В.&nbsp;Н.&nbsp;Сойфера]] и Ю.&nbsp;П.&nbsp;Соловьёва: ''Современное естествознание. Энциклопедия. Т. 3: Математика и механика'' М.: [[Наука (видавництво)|Наука]], М.: Флинта, 2000. ISBN 5-02-004299-4.
* М. Берже, ''[[Геометрія]]''. М.: Мир, 1984. Т. 1. С. 516—517.
* [[Залгаллер, Виктор Абрамович|В.&nbsp;А.&nbsp;Залгаллер]], [http://kvant.mccme.ru/1978/09/nepreryvno_izgibaemyj_mnogogra.htm ''Непрерывно изгибаемый многогранник''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140527213619/http://kvant.mccme.ru/1978/09/nepreryvno_izgibaemyj_mnogogra.htm |date=27 травня 2014 }}, [[Квант (журнал)|Квант]]. 1978. No. 9. С. 13—19.
* А.&nbsp;И.&nbsp;Медяник, [http://kvant.mccme.ru/1979/07/p39.htm ''Модель многогранника Коннелли''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110917095401/http://kvant.mccme.ru/1979/07/p39.htm |date=17 вересня 2011 }}, [[Квант (журнал)|Квант]]. 1979. No. 7. С. 39.
* {{книга |автор=И.Х. Сабитов, |заголовок = Объёмы многогранников|видавництво= М.:[[МЦНМО]] |рік=2002 |сторі=32 |посилання=http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.21.pdf |ISBN 5-94057-003-8}}
* {{книга
 |заголовок=Математичний квітник. Збірник статей і задач
 |автор=[[Девид А. Кларнер]]
 |відповідальний=Пер. с англ. [[Данилов, Юлий Александрович|Ю.&nbsp;А.&nbsp;Данилова]]; под ред., с предисл. и прилож. [[Яглом Ісаак Мойсейович|И. М. Яглома]]
 |місце=М
 |видавництво=Мир
 |рік=1983
 |сторіной=494
 |сторінки=105—117
 |оригінал=The Mathematical Gardner
}}

== Наукова література ==
* В.&nbsp;А.&nbsp;Александров, [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN394039319_0036&DMDID=DMDLOG_0107''Новый пример изгибаемого многогранника''], [[Сибирский математический журнал|Сиб. мат. журн.]] 1995. Т. 36, No 6. С. 1215—1224.
* {{Нп|Николаас Хендрик Кьойпер|Н. Х. Кьойпер||Nicolaas_Kuiper}}, ''Згинні поліедральні сфери в <math>~E^3</math>, по Роберту Коннеллі'', в кн. під ред. [[Колмогоров Андрій Миколайович|А.&nbsp;М.&nbsp;Колмогорова]] і [[Новіков Сергій Петрович (математик)|С.&nbsp;П.&nbsp;Новикова]]: Исследования по метрической теории поверхностей. М.: Мир. 1980. С. 210—227.
* [[Роберт Коннеллі|P. Коннеллі]], ''Про один підхід до проблеми незгинності''. Там же. С. 164—209.
* [[Роберт Коннеллі|Р. Коннеллі]], ''Деякі припущення і невирішені питання в теорії згинань''. Там же. С. 228—238.
* И.&nbsp;Г.&nbsp;Максимов, [http://mech.math.msu.su/~fpm/ps/k06/k061/k06105.pdf ''Неизгибаемые многогранники с малым количеством вершин''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140825175337/http://mech.math.msu.su/~fpm/ps/k06/k061/k06105.pdf |date=25 серпня 2014 }}, [[Фундаментальная и прикладная математика|Фундам. прикл. матем.]] 2006. Т. 12, No. 1. С. 143—165.
* С.&nbsp;Н.&nbsp;Михалёв, ''Некоторые необходимые метрические условия изгибаемости подвесок'', Вестник МГУ, Сер. I, 2001, No. 3, 15—21.
* [[Іджад Хакович Сабітов|И.&nbsp;Х.&nbsp;Сабитов]], [http://mech.math.msu.su/~fpm/ps/96/964/96419.zip ''Объём многогранника как функция его метрики''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130507100852/http://mech.math.msu.su/~fpm/ps/96/964/96419.zip |date=7 травня 2013 }}, [[Фундаментальная и прикладная математика|Фундам. прикл. матем.]] 1996. Т. 2, No. 4. С. 1235—1246.
* [[Іджад Хакович Сабітов|И.&nbsp;Х.&nbsp;Сабитов]], ''Обобщённая [[формула Герона|формула Герона&nbsp;— Тарталья]] и некоторые её следствия'', [[Математический сборник|Матем. сб.]] 1998. Т. 189, No. 10. С. 105—134.

== Примітки ==
{{примітки}}
{{Багатогранники}}
[[Категорія:Многогранники]]
[[Категорія:Дискретна геометрія]]