Перегляд вихідного коду сторінки Звичайні диференціальні рівняння

{{Диференціальні рівняння|Види рівнянь}}
'''Звичайні диференціальні рівняння'''&nbsp;— [[диференціальні рівняння]] вигляду

: <math>F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right) = 0, </math>

де <math>y = y(x) </math>&nbsp;— невідома [[Функція (математика)|функція]] (можливо, [[вектор-функція]]; в такому випадку часто говорять про систему диференціальних рівнянь), що залежить від змінної <math>x</math>, штрих означає [[Диференціювання (математика)|диференціювання]] по <math>x</math>. Число <math>n</math> називається ''порядком диференціального рівняння''.

Розв'язування диференціального рівняння називають ''інтегруванням'', а його розв'язок ''інтегралом диференціального рівняння''. Якщо розв'язок диференціального рівняння можна задати у вигляді аналітичного рівняння
: <math> G(x,y) =0 </math>,

то говорять, що диференціальне рівняння розв'язується в [[Квадратура (математика)|квадратурах]].

Задача розв'язування звичайного диференціального рівняння є знаходження невідомої функції. Загалом ця задача має нескінченно багато розв'язків. Кількість розв'язків обмежується накладанням на невідому функцію додаткових [[початкові умови|початкових]] або [[Граничні умови|граничних умов]].

== Звичайні диференціальні рівняння першого порядку ==

Звича́йним [[Диференціальні рівняння|диференціальним рівня́нням]] пе́ршого поря́дку називають рівняння вигляду 
:<math>F(x, y, y')=0,</math> 
де <math >x</math>&nbsp;— незалежна змінна, <math >y</math>&nbsp;— невідома функція від змінної'' <math>x</math>, <math>y'</math>''&nbsp;— похідна функції<math >y(x)</math>, а <math display="inline">F</math>&nbsp;— задана функція, яка визначена в деякій області <math display="inline">\Omega</math> простору <math display="inline">\mathbb{R}^3</math>.

Розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку називають функцію <math>y = \varphi(x)</math>'','' <math>x \in \langle a, b\rangle</math>, яка задовольняє такі умови:
# <math>\varphi \in C^1 (\langle a,b\rangle)</math> (<math display="inline">\varphi</math> неперервно диференційована на <math >\langle a, b\rangle</math>);
# <math>(x, \varphi(x), \varphi'(x)) \in \Omega, \quad \forall x \in \langle a, b\rangle</math>;
# <math>F(x, \varphi(x), \varphi'(x)) = 0,\quad \forall x \in \langle a, b\rangle</math>.

''Загальним розв'язком'' звичайного диференціального рівняння першого порядку називають функцію <math>y = \psi (x, C)</math> від незалежної змінної ''<math>x</math>'' та параметра ''<math display="inline">C</math>'', яка задовольняє умову:
* для будь-якого конкретного (допустимого) значення <math>C_0</math> параметра ''<math>C</math>'' функція <math>y = \psi(x, C_0)</math> від змінної ''<math>x</math>'', що пробігає допустимі значення з деякого [[Проміжок (математика)|числового проміжку]] (тобто, <math>x \in \langle c, d\rangle</math>), є розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Якщо загальний розв'язок звичайного диференціального рівняння першого порядку <math>y = \psi(x, C)</math> має таку властивість:
* який би не був розв'язок <math>y = \varphi(x)</math>'', <math>x \in \langle a, b\rangle</math>'', звичайного диференційного рівняння першого порядку знайдеться значення <math>C_\varphi</math> параметра ''<math>C</math>'' таке, що <math>\varphi(t) = \psi(x, C_\varphi)</math>'', <math>x \in \langle a, b\rangle</math>'',
то цей загальний розв'язок називають повним загальним розв'язком (у протилежному разі його ще називають неповним загальним розв'язком).

[[Інтеграл]]ом звичайного диференціального рівняння першого порядку називають співвідношення вигляду <math>\Phi(x, y) = 0</math>, якщо будь-яка неявно задана ним неперервно [[диференційовна функція]] є розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Диференціальне рівняння записане у вигляді у загальному вигляді <math>F(x, y, y')=0,</math> ще називають  ''неявним диференціальним рівнянням першого порядку''. Якщо ж у виразі, що задає рівняння явно виділено похідну <math>x'</math>, тобто рівняння записане як <math>y'=f(x,y)</math>, то таке рівняння називають ''явним''. Диференціальне рівняння першого порядку записане у вигляді
:<math>M(x, y)dx+N(x,y)dy=0,</math>
де <math>M(x, y), N(x, y)</math> задані [[Неперервна функція|неперервні функції]] двох змінних, які одночасно не тотожні нулю, називається диференціальним рівнянням записаним у ''симетричні формі''.

Найпоширенішими типами диференціальних рівнянь першого порядку, які інтегруються у квадратурах є наступні:

=== Рівняння з відокремлюваними змінними ===
Рівняння у симетричній формі або явне диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо воно може бути представлене у вигляді:
:<math>M_1(x)N_1(y)dx + M_2(x)N_2(y)dy = 0 \quad \text{або}\quad y'=f(x)g(y)</math>
відповідно. Такі рівняння завжди можна розв'язати у квадратурах.
=== Однорідні рівняння ===
Поняття однорідного диференціального рівняння першого порядку пов'язане з [[Однорідна функція|однорідними функціями]]. Рівняння у симетричній формі у випадку, коли функції <math>M(x, y), N(x, y)</math> є однорідними функціями одного порядку, та явне рівняння у випадку, коли <math>f(x, y)</math> є однорідною функцією нульового порядку називаються однорідними диференціальними рівняннями. 

Такі рівняння заміною змінних <math>y(x)=x\cdot u(x)</math> зводяться до рівняння з відокремлюваними змінними відносно невідомої функції <math>u(x)</math> 

===Лінійні рівняння першого порядку===
{{main|Лінійне диференціальне рівняння#Рівняння першого порядку}}
Диференціальне рівняння першого порядку у випадку коли <math>F(x, y, y')</math> є [[Лінійна функція|лінійною функцією]] за сукупністю змінних <math>y, y'</math>  називається ''лінійним однорідним рівнянням'' і може бути записане у вигляді
:<math>y'+p(x)y=0.</math>
Поряд з лінійним однорідним рівнянням розглядається також ''лінійне неоднорідне рівняння'', яке має вигляд
:<math>y'+p(x)y=f(x)</math>

Загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння записується формулою
:<math>y(x)=Ce^{-\int p(x)dx}+e^{-\int p(x)dx}\int f(x)e^{\int p(x)dx}dx,</math>
з якої, поклавши <math>f(x)=0</math>, отримуємо у загальний розв'язок лінійного однорідного рівняння.

=== [[Диференціальне рівняння Бернуллі]] ===
Явне диференціальне рівняння, записане у вигляді
:<math>y'+p(x)y=f(x)y^n, \quad n\neq 0,1,</math>
називається ''рівнянням Бернуллі''. Заміною змінних <math>u=y^{1-n}</math> рівняння Бернуллі зводиться до [[Лінійне рівняння|лінійного рівняння]] відносно <math>u=u(x)</math>.

{{Розширити розділ|дата=січень 2022}}

== Пониження порядку диференціальних рівнянь ==

Часто диференціальне рівняння високого порядку може бути розв'язане шляхом пониження порядку рівняння, зокрема і до рівняння першого порядку.

=== Зведення рівняння вищого порядку до системи рівнянь першого порядку ===

Вводячи змінні <math> y_1 = y' </math>, <math> y_2 = y'' </math>, <math> y^{(n-1)} = y_{n-1} </math>,
звичайне диференціальне рівняння можна записати у вигляді [[система звичайних диференціальних рівнянь|системи звичайних диференціальних рівнянь]] першого порядку
: <math> \left\{ \begin{matrix} F\left(x,y, y_1, y_2, \ldots, y_{n-1}, y^\prime_{n-1}\right) = 0, \\ 
y^\prime = y_1, \\ 
y^\prime_1 = y_2, \\
\ldots \\
y^\prime_{n-2} = y_{n-1}.
 \end{matrix} \right.</math>

== Методи розв'язання ==

=== Аналітичні ===
{{Розширити розділ|дата=вересень 2010}}

=== Чисельні ===
* [[Метод Ейлера]]
* [[Метод Рунге-Кутти]]
* [[Метод Адамса]]

== Див. також ==
* [[Задача Коші]]
* [[Крайова задача]]

== Література ==
* {{Самойленко.Перестюк.Парасюк.Диференціальні рівняння}}
* {{Кривошея.Перестюк.Бурим.Диференціальні та інтегральні рівняння}}
* {{Шкіль.Сотніченко.ODE}}
* {{cite book|last1=Pontryagin|first1=Lev|authorlink=Понтрягін Лев Семенович|title=Ordinary Differential Equations|publisher=Pergamon Press|series=Adiwes International Series in Mathematics|url=http://www.kryakin.site/am2/Pontryagin%201962-ode.pdf|year=1962|accessdate=13 липня 2020|archive-date=13 липня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200713140131/http://www.kryakin.site/am2/Pontryagin%201962-ode.pdf}} {{ref-en}}
* {{Понтрягін.ODE}}
* {{Арнольд.ODE}}
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}

{{math-stub}}

[[Категорія:Диференціальні рівняння]]