Перегляд вихідного коду сторінки Зв'язність Леві-Чивіти

В [[Ріманова геометрія|рімановій геометрії]], '''зв'язністю Леві-Чивіти''' називається особлива [[афінна зв'язність]] на [[Дотичне розшарування|дотичному розшаруванні]] [[Ріманів многовид|(псевдо)ріманового многовиду]]. Дана зв'язність не має кручень і узгоджується з (псевдо)рімановою метрикою. Для кожного (псевдо)ріманового многовиду існує єдина зв'язність Леві-Чивіти, що має багато важливих властивостей і є одним з основних об'єктів вивчення у рімановій геометрії. Названа на честь італійського математика [[Тулліо Леві-Чивіта|Тулліо Леві-Чивіти]].

== Визначення ==
Нехай ''g'' — псевдоріманова метрика класу <math>C^k</math> на [[Гладкий многовид|гладкому многовиді]] ''M'', тобто сім'я [[Симетрична білінійна форма|симетричних білінійних]] невироджених форм ''g''<sub>''x''</sub> на [[Дотичний простір|дотичних просторах]] <math>T_xM</math>, таких, що для довільних [[Векторне поле|векторних полів]] ''X'' і ''Y'' класу <math>C^k</math>, функція ''g''(''X'',''Y'') належить до класу <math>C^k</math>. [[Сигнатура]] ''g'' є локально сталою величиною. Якщо білінійна форма ''g''<sub>''x''</sub> є [[Додатньоозначеність|додатноозначеною]] в кожній точці ''x'' то ''g'' називається рімановою метрикою.

Нехай <math>\nabla</math> — афінна зв'язність, тобто оператор, що для довільних векторних полів ''X'' і ''Y'' класу <math>C^k</math> однозначно визначає векторне поле <math>\nabla_{X}Y</math> того ж класу, так що для <math>C^k</math>-поля <math>Z</math> і <math>C^k</math>-функції <math>f</math> виконуються умови:
:<math>\begin{align}&\nabla_X(Y + Z) = \nabla_XY + \nabla_XZ\\
&\nabla_{X + Y}Z = \nabla_{X}Z + \nabla_{Y}Z\\
&\nabla_{X}(fY) = f\nabla_XY + X(f)Y\\
&\nabla_{fX}Y = f\nabla_XY.\end{align}</math>
Дана [[афінна зв'язність]] <math>\nabla</math>  називається '''зв'язністю Леві-Чивіти''' якщо вона додатково задовольняє умови :
# <math>\nabla</math> є  зв'язністю без кручень, тобто її [[тензор кручення]] є нульовим: для всіх векторних полів <math>X</math> і <math>Y</math> відповідного класу,<center><math>\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]</math> ;</center>
# <math>g</math> є паралельною: для всіх векторних полів <math>X</math>, <math>Y</math> і <math>Z</math> відповідного класу, справедливою є рівність :
<center><math> Z\cdot g(X,Y)=g(\nabla_ZX,Y)+g(X,\nabla_ZY)</math>.

</center>

Одним із найважливіших результатів ріманової геометрії є твердження про існування і єдиність зв'язності Леві-Чивіти для всіх (псевдо)ріманових многовидів.

=== Доведення ===
*'''Єдиність''' : Припустимо існування зв'язності Леві-Чивіти і доведемо її єдиність. Нехай метрика ''g'' є паралельною для зв'язності Леві-Чивіти, для всіх векторних полів <math>X</math>, <math>Y</math> і <math>Z</math>, маємо :<center><math> X\cdot g(Y,Z)=g(\nabla_XY,Z)+g(Y,\nabla_XZ)</math>,</center><center><math> Y\cdot g(Z,X)=g(\nabla_YZ,X)+g(Z,\nabla_YX)</math>,</center><center><math> Z\cdot g(X,Y)=g(\nabla_ZX,Y)+g(X,\nabla_ZY)</math>.</center>Додавши перші дві рівності і віднявши третю отримуємо :<center><math>X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)=g(\nabla_XY+\nabla_YX,Z) +g(\nabla_XZ-\nabla_ZX,Y)+g(\nabla_YZ-\nabla_ZY,X).</math></center>Зважаючи на відсутність кручень, цей вираз можна спростити :<center><math>2g(\nabla_XY,Z)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)</math>.</center>Зважаючи на невиродженість ''g'', зв'язність <math>\nabla</math> є однозначно визначеною у всіх випадках.
*'''Існування''' : Для всіх векторних полів ''X'' і ''Y''  на ''M'' визначимо векторне поле <math>\scriptstyle\nabla_XY</math>, що є єдиним векторним полем на ''M'', яке задовольняє вище отриману рівність :<center><math>2g(\nabla_XY,Z)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)</math>.</center>Тоді оператор <math>\nabla</math> є афінною зв'язністю. Справді, для всіх функцій ''f'':<center><math>2g(\nabla_X(fY),Z)=X\cdot g(fY,Z)+(fY)\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,fY)+g([X,fY],Z)+g([Z,X],fY)-g([fY,Z],X)</math></center><center><math>=df(X).g(Y,Z)-df(Z).g(X,Y)+df(X).g(Y,Z)+df(Z).g(X,Y)+f.2g(\nabla_XY,Z)</math></center><center><math>=2g(df(X).Y+f\nabla_XY,Z)</math></center><center><math>2g(\nabla_{fX}Y,Z)=(fX)\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,fX)-Z\cdot g(fX,Y)+g([fX,Y],Z)+g([Z,fX],Y)-g([Y,Z],fX)</math></center><center><math>=df(Y).g(Z,X)-df(Z).g(X,Y)-df(Y).g(X,Z)+df(Z).g(X,Y)+f.2g(\nabla_XY,Z)</math></center><center><math>=2g(f\nabla_XY,Z)</math>.</center><math>\nabla</math> є зв'язністю без кручень:<center><math>2g(\nabla_XY-\nabla_YX,Z)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)</math></center><center><math>-Y\cdot g(X,Z)-X\cdot g(Z,Y)+Z\cdot g(Y,X)-g([Y,X],Z)-g([Z,Y],X)+g([X,Z],Y)</math></center><center><math>=2g([X,Y],Z)</math>.</center>Нарешті, ''g'' є паралельною метрикою для <math>\nabla</math>:<center><math>2g(\nabla_XY,Z)+2g(Y,\nabla_XZ)=X\cdot g(Y,Z)+Y\cdot g(Z,X)-Z\cdot g(X,Y)+g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X)</math></center><center><math>+X\cdot g(Z,Y)+Z\cdot g(Y,X)-Y\cdot g(X,Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,X],Z)-g([Z,Y],X)</math></center><center><math>=2X\cdot g(Y,Z)</math>.</center>Тобто <math>\nabla</math> задовольняє всі умови з визначення зв'язності Леві-Чивіти.

== Запис в локальних координатах ==
Розглянемо тепер [[Координати|локальні координати]] <math>x_1 \ldots x_n</math> у рімановому многовиді і відповідний локальний базис у дотичних просторах <math>e_i = \frac{\partial}{\partial x_i}</math> . 

Позначимо <math>g_{ij}=g(e_i,e_j)</math> компоненти [[Метричний тензор|метричного тензора]] ''g'' в цьому локальному базисі. Визначені властивості  зв'язності Леві-Чивіти можна подати через [[Символи Крістофеля|символи Крістоффеля]] <math>\Gamma_{ij}^k</math>, що визначаються з рівностей  :
: <math> \nabla_{e_i}e_j = \sum_{k=1}^n \Gamma_{ij}^k e_k</math>
Символи Крістофеля для                                                             :
: <math>\Gamma^k_{ij}=\frac{1}{2} \sum_{m=1}^n g^{km} \left(\frac{\partial g_{mi}}{\partial x^j} + \frac{\partial g_{mj}}{\partial x^i} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^m} \right).</math>
де <math>g^{km}</math> є відповідними елементами [[Матриця (математика)|матриці]] [[Обернена матриця|оберненої до матриці]] <math>g_{ij}</math>.

== Див. також ==
* [[Ріманова геометрія]]
* [[Афінна зв'язність]]
* [[Ріманів многовид]]

== Джерела ==
* {{cite book|first=William M.|last=Boothby|title=An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry |url=https://archive.org/details/introductiontodi0000boot|publisher=Academic Press|year=1986|isbn=0-12-116052-1}} {{ref-en}}
* {{citation|first=Noel|last=Hicks|title=Notes on Differential Geometry|publisher= Van Nostrand, Princeton, N. J., |year=1965|isbn=0442034105}} {{ref-en}}
* {{cite book|author1=Kobayashi, S. |author2=Nomizu, K.|title=Foundations of differential geometry|url=https://archive.org/details/foundationsofdif0001koba |publisher=John Wiley & Sons|year=1963|isbn=0-470-49647-9}} {{ref-en}}
* {{cite book|first=Michael|last=Spivak|title=A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume II)|publisher=Publish or Perish Press|year=1999|isbn=0-914098-71-3}} {{ref-en}}

[[Категорія:Ріманова геометрія]]