Перегляд вихідного коду сторінки Зв'язність (некомутативна геометрія)

'''Геометрія квантових систем''' (наприклад, некомутативна геометрія і [[супергеометрія]]) може бути сформульована в алгебричних термінах модулів і алгебр. Зв'язність на модулях узагальнює лінійну зв'язність на векторних розшаруваннях <math>E\to X</math>, записану як зв'язність на <math>C^\infty(X)</math>-модулі перетинів<math>E\to X</math>.<ref>Koszul (1950)</ref>

== Комутативна геометрія ==
Нехай <math>A</math>&nbsp;— комутативне кільце і <math>P</math>&nbsp;— <math>A</math>-модуль. Існують кілька еквівалентних означень зв'язності на <math>P</math>.<ref>Koszul (1950), Mangiarotti
(2000)</ref> Нехай <math>D(A)</math>&nbsp;— модуль диференціювань кільця <math>A</math>. Зв'язність на <math>A</math>-модулі <math>P</math> визначається як морфізм <math>A</math>-модулів

: <math> \nabla:D(A)\ni u\to \nabla_u\in \mathrm{Diff}_1(P,P),</math>

такий що диференціальні оператори першого порядку <math>\nabla_u</math> на <math>P</math> задовольняють [[Правило Лейбніца|правилу Лейбніца]]

: <math>\nabla_u(ap)=u(a)p+a\nabla_u(p), \quad a\in A, \quad p\in
P.</math>

Зв'язність на модулі над комутативним кільцем завжди існує. Кривина зв'язності <math>\nabla</math> визначається як диференційний оператор нульового порядку

: <math>R(u,u')=[\nabla_u,\nabla_{u'}]-\nabla_{[u,u']}. </math>

На модулі <math>P</math> для всіх <math>u,u'\in D(A)</math>.

Якщо <math>E\to X</math>&nbsp;— векторне розшарування, існує взаємно однозначна відповідність між лінійними зв'язністями <math>\Gamma</math> на <math>E\to X</math> і зв'язностями <math>\nabla</math> на
<math>C^\infty(X)</math>-модулі перетинів <math>E\to X</math>. При цьому, <math>\nabla</math> відповідає коваріантному диференціалу зв'язності на <math>E\to X.</math>

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* ''Koszul, J.'', Homologie et cohomologie des algebres de Lie, ''Bulletin de la Societe Mathematique'' '''78''' (1950) 65
* ''Koszul, J.'', Lectures on Fibre Bundles and Differential Geometry (Tata University, Bombay, 1960)
* ''Bartocci, C., Bruzzo, U., Hernandez Ruiperez, D.'', The Geometry of Supermanifolds (Kluwer Academic Publ., 1991) ISBN 0-7923-1440-9
* ''Dubois-Violette, M., Michor, P.'', Connections on central bimodules in noncommutative differential geometry, ''J. Geom. Phys.'' '''20''' (1996) 218. [http://arxiv.org/abs/q-alg/9503020 arXiv: q-alg/9503020v2] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200221010318/https://arxiv.org/abs/q-alg/9503020 |date=21 лютого 2020 }}
* ''Landi, G.'', An Introduction to Noncommutative Spaces and their Geometries, Lect. Notes Physics, New series m: Monographs, '''51''' (Springer, 1997) ArXiv [http://arxiv.org/abs/hep-th/9701078 eprint] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160825185942/http://arxiv.org/abs/hep-th/9701078 |date=25 серпня 2016 }}, iv+181 pages.

{{Ізольована стаття}}
[[Категорія:Диференціальна алгебра]]