Перегляд вихідного коду сторінки Заряд (теорія міри)

'''Зарядом''' (або '''знакозмінною мірою''') у математиці, зокрема [[Теорія міри|теорії міри]] називається узагальнення поняття [[Міра множини|міри множини]], що може набувати будь-яких дійсних значень, а не лише невід'ємних чисел.  

== Означення ==
Загалом у літературі існують різні означення терміна ''заряд''. Одним із поширених і досить загальних є таке:

'''зарядом''' називається скінченно адитивна функція множин, визначена на деякій [[Алгебра (теорія множин)|алгебрі множин]] із значеннями на [[Розширена дійсна пряма|розширеній дійсній прямій]] <math>\mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}.</math> Іншими словами для множини <math>X</math> і заданої на ній алгебри підмножин <math>\mathcal{A}</math> функція <math>\mu: \mathcal{A} \to \mathbb {R}\cup\{\infty,-\infty\}</math> називається зарядок якщо:

* <math>\mu(\varnothing) = 0,</math>
* Якщо <math>A, B \in \mathcal{A}</math> і <math>A \cap B = \varnothing</math>, то <math>\mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B).</math>

Оскільки вирази на зразок <math>\infty - \infty</math> є невизначеними то заряд для якого <math>\mu(A) = +\infty,</math> а <math>\mu(X \setminus A) = -\infty</math> є неприпустимим. Звідси якщо <math>\mu(A) = +\infty</math> то і <math>\mu(X) = +\infty</math>. Аналогічно якщо <math>\mu(B) = -\infty,</math> то і <math>\mu(X) = -\infty</math>. Відповідно заряд може набувати щонайбільше одного із значень <math>\{\infty,-\infty\}.</math> Оскільки для заряду <math>\mu</math> функція <math>-\mu</math> теж є зарядом основні властивості якого є аналогічним до <math>\mu</math> то у визначенні заряду іноді конкретизують, що він може приймати лише значення <math>+\infty,</math> тобто областю значень є множина <math>(-\infty ,+\infty ].</math>

'''Дійсним зарядом''' називається заряд значеннями якого є лише дійсні числа (тобто заряд жодної множини не є безмежним). Іноді термін заряд використовується лише для дійсних зарядів. Також важливим є поняття '''обмеженого заряду''', тобто заряду для якого <math>\sup_{A \in \mathcal{A}} |\mu(A)| < \infty.</math> '''Додатним зарядом''' називається заряд для якого <math>\mu(A) \geqslant 0</math> для всіх <math>A \in \mathcal{A} < \infty.</math>

Дуже часто в означенні заряду вимагається властивість [[Сигма-адитивність|σ-адитивності]]. 

'''Σ-адитивним зарядом''' називається заряд (у найзагальнішому означенні) для якого додатково виконується умова:

: <math>\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)</math>

для будь-якої послідовності множин <math>A_1</math>, <math>A_2,\ldots,A_n,\ldots</math> для якої <math display="inline">\bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal A</math> і <math>A_i \cap A_j = \varnothing</math> для <math>i \neq j</math>. Найчастіше у цьому випадку заряд розглядається на [[Сигма-алгебра|σ-алгебрі]].

== Приклади ==
* Нехай <math>\mu_1</math> і <math>\mu_2</math> є стандартними мірами на <math>(X, \mathcal{A})</math> і хоча б одна із цих мір є скінченною. Тоді <math>\mu = \mu_1 - \mu_2</math> є σ-адитивним зарядом на <math>(X, \mathcal{A})</math>. Якщо обидві міри є скінченними, то заряд є обмеженим. Якщо для <math>\mu_1</math> і <math>\mu_2</math> вимагати лише скінченну адитивність, то <math>\mu</math> буде (скінченно адитивним) зарядом.
* Нехай <math>X = \N</math> — множина [[Натуральні числа|натуральних чисел]] і <math>\mathcal{A}</math> є алгеброю елементами якої є множини, які або самі є [[Скінченна множина|скінченними]] або мають скінченні доповнення. Тоді функція задана як <math>\mu(A) = </math> кількості елементів ''A'', якщо ''A'' є скінченною і -(кількості елементів <math>X \setminus A
</math>), якщо <math>X \setminus A</math> є скінченною (зокрема <math>\mu(X) = 0</math>) є дійсним необмеженим зарядом.
* Нехай <math>X = [0,\ 1)</math> і <math>\mathcal{A}</math> є алгеброю породженою [[Напівкільце|напівалгеброю]] інтервалів виду <math>[a,\ b)</math> для <math>0 \leqslant a \leqslant b \leqslant 1.</math> Елементами <math>\mathcal{A}</math> є скінченні [[Диз'юнктне об'єднання|диз'юнктні об'єднання]]  інтервалів вказаного виду. Нехай <math>f : X \to \R</math>  — довільна дійснозначна функція. Тоді якщо визначити <math>\mu_f([a,\ b)) = f(b) - f(b)</math> і для всіх множин алгебри <math>\mathcal{A}</math> продовжити за адитивністю, то <math>\mu_f</math> є зарядом. 
:Вибираючи конкретні <math>f</math> можна одержати багато цікавих прикладів і контрприкладів зарядів. Нехай, наприклад, <math>f(x) = 0</math> якщо <math>x</math> є [[Ірраціональні числа|ірраціональним числом]] або <math>x = 0</math> і <math>f \left ( {m \over n }\right ) = n</math> для [[Раціональне число|раціональних чисел]] записаних через [[нескоротний дріб]] як <math>{m \over n }.</math> Тоді відповідний заряд <math>\mu_f</math> є дійсним але не обмеженим ні зверху ні знизу. Навіть більше для кожної множини <math>A \in \mathcal{A}</math> існують підмножини із зарядами більшими за будь-яке додатне число і підмножини із зарядами меншими за будь-яке від'ємне число. 
:Також <math>\mu_f</math> у цьому випадку є скінченно адитивном (за побудовою) але не [[Сигма-адитивність|σ-адитивним.]] Дійсно <math>\mu_f([0,\ 1)) = f(1) - f(0) = 1-0=1</math> і якщо <math>x_i,\  i \geqslant 0</math> є [[Монотонна послідовність|строго зростаючою послідовністю]] додатних ірраціональних чисел для яких <math display="inline">\lim_{i \to \infty} x_i = 1</math> і <math>x_0 =
0</math> то <math display="inline">[0,\ 1) = \bigcup_{i=0}^\infty [x_i,\ x_{i+1})</math> але 
::<math>\mu_f([,\ 1)) = 1 \neq 0 = \sum_{i=0}^\infty \mu_f([x_i,\ x_{i+1})).</math>
* Нехай (''X'', Σ) є [[вимірний простір|вимірним простором]], <math>\nu</math> — міра на ньому і ''f'': ''X'' → '''R''' — [[вимірна функція]] для якої

::<math>\int_X \! |f(x)| \, d\nu (x) < \infty.</math>

:Тоді на (''X'', Σ) можна ввести σ-адитивний заряд для якого

::<math>\mu (A) = \int_A \! f(x) \, d\nu (x)</math>

:для всіх ''A'' із Σ. Цей заряд є прикладом дійсного σ-адитивного заряду.

* Подібний приклад σ-адитивного заряду, що набуває значень +∞ можна одержати якщо послабити вимоги до функції ''f'' і замість [[Інтегровна за Лебегом функція|абсолютної інтегровності]] вимагати виконання умови:
::<math>\int_X \! f^-(x) \, d\nu (x) < \infty,</math>

:де ''f''<sup>−</sup>(''x'') = max(−''f''(''x''), 0).

== Властивості ==

=== Загальні вдастивості ===
Всюди нижче множини <math>A, B</math> належать деякій алгебрі <math>\mathcal{A}</math> підмножин множини ''X'' і <math>\mu</math> є зарядом на <math>\mathcal{A}</math>''.''

* Для довільної скінченної кількості множин <math>A_i \in \mathcal{A},\ i = 1,\ldots, n</math> для яких <math>A_i \cap A_j = \varnothing</math> для <math>i \neq j</math> виконується рівність (скінченна адитивність):
::<math display="inline">\mu \left ( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) =  \sum_{i=1}^n \mu( A_i).</math>
* Якщо  <math>A \subset B</math> і <math>-\infty < \mu(A) < \infty</math> тоді  <math>\mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A).</math>
* Якщо  <math>A \subset B</math>, то з того, що <math>\mu(B) < \infty</math> випливає, що і <math>\mu(A) < \infty</math>; аналогічно, якщо <math>\mu(B) > -\infty</math> то і <math>\mu(A) > -\infty.</math>
* <math>\mu(A) + \mu(B) = \mu(A \cup B) + \mu(A \cap B).</math> Більш загально для скінченної кількості множин <math>A_i \in \mathcal{A},\ i = 1,\ldots, n</math> :
::<math display="inline">\sum_{i=1}^n \mu( A_i) = \mu \left ( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) + \mu \left ( \bigcup_{i\neq j} A_i \cap A_j \right) + \mu \left ( \bigcup_{i < j < k} A_i \cap A_j \cap A_k \right) + \ldots + \mu \left (\bigcap_{i=1}^n A_i \right).</math>

* Заряд <math>\mu</math> є [[Сигма-адитивність|σ-адитивним]] тоді і тільки тоді коли для нього виконується умова неперервності знизу: для довільної неспадної послідовності <math>A_i\in \mathcal{A},\ i \geqslant 1</math>(тобто <math>A_i\subseteq A_j </math> при <math>i < j</math>) для якої  <math display="inline">A = \bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal A</math> виконується рівність: <math>\mu(A) = \lim_{i\to \infty} \mu(A_n). </math> 
* Якщо <math>\mu</math> є дійсним зарядом, то він є [[Сигма-адитивність|σ-адитивним]] тоді і тільки тоді коли виконується якась із двох еквівалентних умов:
*# Для довільної незростаючої послідовності <math>A_i\in \mathcal{A},\ i \geqslant 1</math>(тобто <math>A_i\supseteq A_j </math> при <math>i < j</math>) для якої  <math display="inline">A = \bigcap_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal A</math> виконується рівність: <math>\mu(A) = \lim_{i\to \infty} \mu(A_n). </math> 
*# Для довільної незростаючої послідовності <math>A_i\in \mathcal{A},\ i \geqslant 1</math> для якої  <math display="inline">\bigcap_{n=1}^\infty A_n = \varnothing</math> виконується рівність <math>\lim_{i\to \infty} \mu(A_n) = 0. </math>

* Якщо <math>\mu</math> і <math>\nu</math> є зарядами, а <math>a,\ b</math> — [[Дійсне число|дійсними числами]],  то <math>a\cdot\mu + b\cdot\nu</math> теж є зарядом. Тому на просторі всіх зарядів на <math>(X, \mathcal{A})</math> можна ввести структуру дійсного [[Векторний простір|векторного простору]]. Дійсні, обмежені, обмежені зверху чи знизу, σ-адитивні заряди утворюють [[Лінійний підпростір|векторні підпростори]] цього простору але множина додатних зарядів і множина мір не є векторними підпросторами. На множині зарядів на <math>(X, \mathcal{A})</math> також можна ввести [[відношення часткового порядку]] вважаючи, що <math>\mu \leqslant \nu</math> якщо <math>\mu(A) \leqslant \nu(A)</math> для всіх <math>A \in \mathcal{A}</math>. Це відношення узгоджується із векторною структурою простору: якщо <math>\mu \leqslant \nu</math> то <math>\mu + \rho \leqslant \nu + \rho</math> і <math>a \cdot \mu \leqslant a \cdot \nu</math> для будь-якого заряду <math>\rho</math> і додатного числа ''a''.  Іншими словами заряди на <math>(X, \mathcal{A})</math> утворюють впорядкований векторний простір. Це ж твердження є істинним і для його підпросторів.

=== Властивості обмежених зарядів ===
Нехай <math>\mathrm{ba}\;(X,\;\mathcal A)</math> позначає множину обмежених зарядів на <math>(X, \mathcal{A})</math> і <math>\mathrm{ca}\;(X,\;\mathcal A)</math> — множину σ-адитивних обмежених зарядів на <math>(X, \mathcal{A})</math>. Також для <math>\mu, \nu \in \mathrm{ba}\;(X,\;\mathcal A)</math> всюди нижче використовуються позначення 
:<math>(\mu \and \nu) (A) = \inf_{B \subset A} (\mu(B) + \nu(A \setminus B))</math>
:<math>(\mu \or \nu) (A) = \sup_{B \subset A} (\mu(B) + \nu(A \setminus B))</math>
:<math>\mu^+ = \mu \or 0,\ \mu^- = -\mu \or 0,\ |\mu| = \mu^+ + \mu^-.</math>
<math>\mu^+,\ \mu^-,\ |\mu|</math> називаються відповідно '''додатною, від'ємною і повною варіаціями''' заряду <math>\mu.</math>
* <math>\mu^+,\ \mu^-,\ |\mu|</math> є додатними обмеженими зарядами для яких  <math>\mu^+ \and \mu^- = 0</math> і <math>\mu=\mu^+ - \mu^-</math> (розклад Жордана). 
*Еквівалентно для додатної і від'ємної варіацій: 
*:<math>\mu^+ (A) = \sup_{B \subset A} (\mu(B))</math>
*:<math>\mu^- (A) = -\inf_{B \subset A} (\mu(B)).</math>
* Для повної варіації: 
*:<math>|\mu|(A) = \sup_{B \subset A} (\mu(B) - \mu(A \setminus B)) = \sup \left ( \sum_{i=1}^n |\mu(A_i)| \right)</math> де у останній рівності супремум береться по всіх розбиттях множини <math>A</math> як [[Диз'юнктне об'єднання|диз'юнктного об'єднання]] скінченної кількості множин <math>A_i\in \mathcal{A}.</math>
* Функції <math>\mu \and \nu</math> і <math>\mu \or \nu</math> є обмеженими зарядами і є відповідно [[Інфімум|інфімумом]] і [[Супремум|супремумом]] для множини <math>\{ \mu, \nu \}</math> у введеному вище відношенні часткового порядку. Таким чином <math>\mathrm{ba}\;(X,\;\mathcal A)</math> із введеними вище структурою векторного простору і відношенням часткового порядку є векторною [[Ґратка (порядок)|ґраткою]] (простором Ріса). Ця ґратка є обмежено повною, тобто кожна обмежена зверху множина зарядів має супремум, а обмежена знизу — інфімум.
* На просторі <math>\mathrm{ba}\;(X,\;\mathcal A)</math> можна ввести [[Норма (математика)|норму]]:  <math>\|\mu\| = |\mu|(X).</math> Із цією нормою <math>\mathrm{ba}\;(X,\;\mathcal A)</math> є [[Банахів простір|повним нормованим простором]].
* Якщо <math>\mu, \nu \in \mathrm{ca}\;(X,\;\mathcal A)</math> то також усі заряди <math>\mu^+,\ \mu^-,\ |\mu|</math> і <math>\mu \and \nu</math> з <math>\mu \or \nu</math> теж належать <math>\mathrm{ca}\;(X,\;\mathcal A).</math> Таким чином <math>\mathrm{ca}\;(X,\;\mathcal A)</math> є векторною підґраткою <math>\mathrm{ba}\;(X,\;\mathcal A).</math> Більше того ця підґратка є нормальною тобто, якщо деяка множина зарядів із <math>\mathrm{ca}\;(X,\;\mathcal A)</math> має супремум у <math>\mathrm{ba}\;(X,\;\mathcal A),</math> то він також є елементом <math>\mathrm{ca}\;(X,\;\mathcal A)</math> і якщо для <math>\mu, \nu \in \mathrm{ba}\;(X,\;\mathcal A)</math>виконується нерівність <math>|\mu| \leqslant |\nu| </math> і також <math>\nu \in \mathrm{ca}\;(X,\;\mathcal A)</math> то і <math>\mu \in \mathrm{ca}\;(X,\;\mathcal A).</math> Окрім того <math>\mathrm{ca}\;(X,\;\mathcal A)</math> є [[Замкнута множина|замкнутим підпростором]] <math>\mathrm{ba}\;(X,\;\mathcal A)</math> згідно відповідної норми. Відповідно <math>\mathrm{ca}\;(X,\;\mathcal A)</math> теж є обмежено повною ґраткою і повним нормованим простором.

=== Теореми про розклад ===
Для довільних зарядів <math>\mu, \nu</math> які або одночасно не приймають значення <math>\infty </math> або одночасно не приймають значення <math>- \infty</math> можна аналогічно ввести <math>\mu \and \nu</math> і <math>\mu \or \nu</math>. Також для довільного заряду <math>\mu</math> можна позначити <math>\mu^+</math> і <math>\mu^-</math> заряди одержані за означенням як <math>\mu^+ (A) = \sup_{B \subset A} (\mu(B))</math> і <math>\mu^- (A) = -\inf_{B \subset A} (\mu(B)).</math> Тоді <math>\mu^+</math> і <math>\mu^-</math> є додатними зарядами.

'''[[Теорема Гана про розклад|Теорема про розклад Жордана]]''' у загальному випадку стверджує, що якщо <math>\mu</math> не приймає значення <math>\infty </math> то <math>\mu^+ - \mu = \mu^-,</math>  якщо <math>\mu</math> не приймає значення <math>-\infty </math> то <math>\mu^- + \mu = \mu^+</math> і <math>\mu = \mu^- + \mu^+</math> якщо і тільки якщо <math>\mu</math> є обмеженим знизу або обмеженим зверху. Зокрема розклад Жордана <math>\mu=\mu^+ - \mu^-</math> існує для довільних обмежених зарядів і σ-адитивних зарядів на [[Сигма-алгебра|σ-алгебрі]]. В останньому випадку <math>\mu^+</math> і <math>\mu^-</math>  будуть [[Міра множини|мірами]]. 

Також розклад Жордана існує тоді і лише тоді, коли <math>\mu^+ \and \mu^- = 0</math> і якщо <math>\mu = \mu_1 - \mu_2</math> і <math>\mu_1 \and \mu_2 = 0</math> для додатних зарядів <math>\mu_1,\ \mu_2</math> то <math>\mu_1 = \mu^+,\ \mu_2 = \mu^-.</math>

'''[[Теорема Гана про розклад]]''' стверджує, що якщо <math>\mu</math> є обмеженим знизу або обмеженим зверху то для довільного додатного числа <math>\varepsilon > 0</math> існує така множина <math>A \in \mathcal{A},</math> що для довільних <math>B,C \in \mathcal{A},</math> якщо <math>B \subset A</math> то <math>\mu(B) < \varepsilon</math> і якщо <math>C \subset X \setminus A</math> то <math>\mu(C) > -\varepsilon.</math> 

Якщо додатково <math>\mu</math> є σ-адитивним зарядом на [[Сигма-алгебра|σ-алгебрі]] то існує така множина <math>A \in \mathcal{A},</math> що для довільних <math>B,C \in \mathcal{A},</math> якщо <math>B \subset A</math> то <math>\mu(B) \leqslant 0</math> і якщо <math>C \subset X \setminus A</math> то <math>\mu(C) \geqslant 0.</math> До того ж у цьому випадку якщо <math>A, A' \in \mathcal{A}</math> є двома такими множинами то для [[Симетрична різниця множин|симетричних різниць]] <math>A \triangle A' =0</math> і <math>(X \setminus A) \triangle (X \setminus A') =0.</math> Розклад Жордана у цьому випадку можна також отримати як <math>\mu^-(B) = \mu(B \cap A)</math> і <math>\mu^+(B) = \mu(B \setminus A).</math>

Заряд <math>\nu</math> на <math>(X, \mathcal{A})</math> називається '''абсолютно неперервним щодо заряду''' <math>\mu</math> на <math>(X, \mathcal{A})</math>, якщо для кожного <math>\varepsilon > 0</math> існує <math>\delta > 0</math>, таке, що для кожної множини <math>A\in \mathcal A </math>, якщо <math>|\mu|(A) < \delta</math> то <math>|\nu(A)| < \varepsilon.</math> Із цієї властивості випливає властивість слабкої абсолютної неперервності: <math>\nu</math> називається слабко абсолютно неперервним щодо <math>\mu</math>заряду <math>\mu</math>, якщо для кожної множини <math>A\in \mathcal A </math>, із того, що <math>|\mu|(A) = 0</math> випливає, що <math>\nu(A)= 0.</math> У випадку якщо <math>\mu</math> є додатним зарядом, то ці два поняття є еквівалентними. Нехай <math>\mu, \nu \in \mathrm{ba}\;(X,\;\Sigma)</math>.  Тоді заряд <math>\nu</math> єдиним чином можна подати у вигляді суми <math>\nu=\nu_{1}+\nu_{2}</math>, де <math>\nu_{1}</math> є [[абсолютна неперервність|абсолютно неперервним]] щодо <math>\mu </math> і <math>\nu_{2}</math> є [[Сингулярні міри|сингулярною із <math>\mu</math>]]. Такий розклад міри <math>\nu</math> прийнято назвати '''розкладом Лебега'''. 

Додатний заряд <math>\nu\in \mathrm{ba}\;(X,\;\Sigma)</math> називається '''чисто скінченно адитивним''', якщо для будь-якої додатної зліченно-адитивної міри <math>\mu</math> з <math>0\leqslant\mu\leqslant\nu</math> випливає, що <math>\mu=0</math>. Довільний заряд називається чисто скінченно адитивним, якщо такими є заряди <math>\nu^{+}</math> і <math>\nu^{-}</math>.

Будь-який заряд <math>\nu\in \mathrm{ba}\;(X,\;\Sigma)</math> єдиним чином записується у вигляді суми <math>\nu=\nu_{ca}+\nu_{ pfa}</math>, де <math>\nu_{ca}</math> — зліченно-адитивний заряд, а <math>\nu_{pfa}</math> — чисто скінченно адитивний заряд. Такий розклад також називається '''розкладом Йосиди — Г'юїта'''.

== Див. також ==
* [[Векторна міра]]
* [[Комплексна міра]]
* [[Міра множини]]
* [[Сигма-алгебра]]
* [[Теорема Гана про розклад]]

== Література ==
* {{Citation
  | last = Bartle
  | first = Robert G.
  | title = The Elements of Integration
  | place = New York
  | publisher =  [[John Wiley and Sons]]
  | year = 1966
  | zbl = 0146.28201
  }}
*{{Citation
  | last1 = Bhaskara Rao
  | first1 = K. P. S.
  | last2 = Bhaskara Rao
  | first2 = M.
  | title = Theory of Charges: A Study of Finitely Additive Measures
  | place = London
  | publisher = Academic Press
  | year = 1983
  | series = Pure and Applied Mathematics
  | issue = 109
  | url = https://books.google.com/books?id=mTNQvfe54CoC
  | zbl = 0516.28001
  | isbn = 0-12-095780-9
  | accessdate = 28 січня 2022
  | archive-date = 28 січня 2022
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20220128210821/https://books.google.com/books?id=mTNQvfe54CoC
  }}
*{{Citation
  | last = Cohn
  | first = Donald L.
  | title = Measure theory
  | place = Boston
  | publisher = Birkhäuser Verlag
  | year = 1997
  | url = https://books.google.com/books?id=vRxV2FwJvoAC&q=Measure+theory+Cohn
  | zbl = 0436.28001
  | isbn = 3-7643-3003-1
  | accessdate = 28 січня 2022
  | archive-date = 28 січня 2022
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20220128210821/https://books.google.com/books?id=vRxV2FwJvoAC&q=Measure+theory+Cohn
  }}

[[Категорія:Теорія міри]]