Перегляд вихідного коду сторінки Закон збереження імпульсу

{{unibox}}'''Закон збереження імпульсу'''&nbsp;— один із фундаментальних [[Науковий закон|законів]] [[фізика|фізики]], який стверджує, що у замкненій системі сумарний [[Імпульс (механіка)|імпульс]] усіх [[фізичне тіло|тіл]] зберігається.
Він звучить так:
: у замкненій системі геометрична сума імпульсів (повний імпульс системи) залишається сталою за будь-яких взаємодій тіл цієї системи між собою.

Замкненою системою називають систему тіл, на які не діють зовнішні сили або вони зрівноважені.

У [[Класична механіка|класичній механіці]] закон збереження імпульсу зазвичай виводиться як наслідок законів Ньютона. Із [[Закони Ньютона|законів Ньютона]] можна показати, що під час руху системи в порожньому просторі імпульс зберігається в часі, а за наявності зовнішнього впливу швидкість зміни імпульсу визначається сумою прикладених сил.

Як і будь-який із фундаментальних [[Закони збереження|законів збереження]], закон збереження імпульсу пов'язаний, згідно з [[Теорема Нетер|теоремою Нетер]], з однією з [[Симетрія (фізика)|фундаментальних симетрій]],&nbsp;— ''[[Однорідність простору|однорідністю простору]]''<ref name="ЛЛ">{{Книга
|автор = [[Ландау Лев Давидович|Ландау Л. Д.]], [[Ліфшиць Євген Михайлович|Лифшиц Е. М.]]
|заголовок = Теоретическая физика
|відповідальний = 
|посилання = 
|видання = 4-е изд., испр
|місце = {{М.}}
|видавництво = [[Наука (видавництво)|«Наука»]]
|рік = 1988
|том = I. Механика
|сторінок = 215
|сторінки = 26
|ISBN = 5-02-013850-9
|ref =
}}</ref>.

Закон збереження імпульсу вперше сформулював [[Рене Декарт|Р. Декарт]]{{Sfn|Готт|1972|с=222}}.

== Доведення ==
Розглянемо систему із N тіл, які взаємодіють між собою. Силу, яка діє на i-те тіло з боку j-ого тіла позначимо <math> \mathbf{F}_{ij} </math>.
[[Рівняння руху]] для кожного із N тіл записуються у вигляді:
: <math> \frac{d \mathbf{p}_i}{dt} = \sum_j \mathbf{F}_{ij} </math>,

де <math> \mathbf{p}_i </math>&nbsp;— імпульс i-ого тіла.

Просумувавши усі рівняння, й враховуючи те, що за [[Третій закон Ньютона|третім законом Ньютона]]
: <math> \mathbf{F}_{ij} = - \mathbf{F}_{ji} </math>,

отримуємо:
: <math> \frac{d}{dt} \sum_i \mathbf{p}_i = 0 </math>,

звідки
: <math> \sum_i \mathbf{p}_i  = \text{const} </math>,

Тобто сумарний імпульс системи з ''N'' частинок є сталою величиною&nbsp;— [[інтеграл руху|інтегралом руху]]. При ''N'' = 1 отримуємо вираз для випадку однієї частинки. Таким чином, випливає висновок<ref name="Тарг">{{Книга
|автор = [[Тарг Семен Михайлович|Тарг С. М.]]
|заголовок = Краткий курс теоретической механики
|відповідальний = 
|посилання = 
|місце = {{М.}}
|видавництво = Высшая школа
|рік = 1995
|том =
|сторінок = 416
|сторінки = 282
|ISBN = 5-06-003117-9
}}</ref>:

: якщо векторна сума всіх зовнішніх сил, які діють на систему, дорівнює нулю, імпульс системи зберігається, тобто не змінюється з часом.

Закон збереження імпульсу виконується не тільки для систем, на які не діють зовнішні сили, він справедливий і в тих випадках, коли сума всіх зовнішніх сил, які діють на систему, дорівнює нулю. Тобто відсутність зовнішніх сил, які діють на систему, достатня, але не необхідна для виконання закону збереження імпульсу.

Якщо проєкція суми зовнішніх сил на будь-який напрямок або координатну вісь дорівнює нулю, то в цьому випадку кажуть про закон збереження проєкції імпульсу на цей напрямок або координатну вісь.

== Зв'язок з однорідністю простору ==
{{Симетрія у фізиці}}
Згідно з [[Теорема Нетер|теоремою Нетер]] кожному закону збереження ставиться у відповідність якась [[симетрія]] рівнянь, що описують систему. Зокрема, закон збереження імпульсу еквівалентний однорідності [[Простір|простору]], тобто незалежності всіх законів, які описують систему, від положення системи в просторі. Найпростіше виведення цього твердження ґрунтується на застосуванні [[Механіка Лагранжа|лагранжевого підходу]] до опису системи.

=== Виведення із закону збереження енергії ===
Розглянемо систему декількох частинок, які зіштовхуються пружно ([[Удар|без перетворення частини механічної енергії в інші форми]]), з масами <math>m_{i}</math> і швидкостями <math>u_{i}</math> до зіткнень і <math>U_{i}</math> після зіткнень. Закон збереження енергії має вигляд

: <math>\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}u_{i}^{2}=\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}U_{i}^{2}.</math>

Перейдемо в систему відліку, яка рівномірно і прямолінійно рухається зі швидкістю <math>v</math>. Швидкості частинок з точки зору цієї [[Система відліку|системи відліку]] будуть <math>u_{i} - v</math> до зіткнень і <math>U_{i} - v</math> після зіткнень. Закон збереження енергії з точки зору цієї системи має вигляд

: <math>\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}{(u_{i} - v)}^{2}=\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}{(U_{i} - v)}^{2},</math> або

: <math>\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}{(u_{i}^{2} - 2vu_{i}+{v}^{2})}=\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}{(U_{i}^{2} - 2vU_{i}+{v}^{2})}.</math>

Отже, <math>\sum_{i} m_{i} v u_{i} = \sum_{i} m_{i} v U_{i}</math>, звідки випливає <math>v \sum_{i} m_{i} u_{i} = v \sum_{i} m_{i} U_{i}</math>. Оскільки швидкість <math>v</math> довільна, то остання рівність буде справедливою тільки в разі виконання закону збереження імпульсу

: <math>\sum_{i} m_{i} u_{i} = \sum_{i} m_{i} U_{i}.</math>{{Sfn|Кузнецов|1958|с=135}}

=== Виведення з формалізму Лагранжа ===
Розглянемо [[Лагранжіан|функцію Лагранжа]] вільного тіла <math>\mathcal L \equiv \mathcal L(q_i, \dot q_i, t),</math> залежну від узагальнених координат <math>q_i\,,</math> узагальнених швидкостей <math>\dot q_i</math> і часу <math>t</math>. Тут крапка над <math>q</math> позначає диференціювання за часом, <math>\dot q_i \equiv \frac{\partial q_i}{\partial t}.</math> Виберемо для розгляду прямокутну [[Декартова система координат|декартову систему координат]], тоді <math>q_i=\vec r_a, \ \dot q_i = \vec v_a</math> для кожної <math>a</math>-тої частки. Використовуючи однорідність простору, ми можемо дати всім радіус-векторам частинок однаковий приріст, який не впливатиме на рівняння руху: <math>\vec r_a \to \vec r_a + \vec{\xi}, </math> де <math>\vec{\xi} \equiv \overrightarrow {\mathrm{const}}.</math> У разі сталості швидкості функція Лагранжа зміниться так:

: <math>\delta \mathcal L = \sum_{a}\frac{\partial\mathcal L}{\partial \vec r_a} \delta \vec r_a = \vec{\xi}\ \sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a}, </math>

де підсумовування йде за всіма частинками системи. Оскільки приріст не впливає на рівняння руху, [[варіація функції]] Лагранжа має бути рівною нулю: <math>\delta \mathcal L =0.</math> З урахуванням того, що вектор <math>\vec \xi</math>&nbsp;— довільний, остання вимога виконується при:

: <math>\sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a}=0.</math>

Скористаємося [[Рівняння Лагранжа другого роду|рівнянням Лагранжа]] <math>\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i}=0:</math>

: <math>\sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a} = \sum_{a}\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} = \frac{d}{dt}\sum_{a}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} = 0 .</math>

Це означає, що сума, яка стоїть під знаком диференціала,&nbsp;— стала величина для даної системи. Сама сума і є сумарним імпульсом системи:

: <math>\vec P = \sum_{a}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} = \overrightarrow {\mathrm{const}}. </math>

Враховуючи, що лагранжіан [[Вільна частинка|вільної частинки]] має вигляд: <math>\mathcal L = \frac{mv^2}{2},</math> легко бачити, що останній вираз збігається з виразом у ньютоновому формалізмі:

: <math>\vec P = \sum_a m_a \vec v_a = \overrightarrow {\mathrm{const}}.</math>

Для релятивістської вільної частинки лагранжіан має дещо іншу форму: <math>\mathcal L = -mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},</math> що призводить до релятивістського визначення імпульсу

: <math>\vec P = \sum_a \frac{m_a \vec v_a}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \overrightarrow {\mathrm{const}}.</math>

Нині не існує будь-яких експериментальних фактів, що свідчать про невиконання закону збереження імпульсу.

== Закон збереження імпульсу в квантовій механіці ==
Закон збереження імпульсу в ізольованих системах виконується і в [[Квантова механіка|квантовій механіці]]<ref>{{книга|автор=''{{Не перекладено|Дональд Перкінс|Перкинс Д.||Donald Hill Perkins}}''|назва=Введение в физику высоких энергий|місце={{М.}}|видавництво=[[Мир (видавництво)|Мир]]|рік=1975|сторінки=94}}</ref>{{Sfn|Широков|1972|с=276}}. У тих явищах, де проявляються корпускулярні властивості частинок, їхній імпульс, як і в класичній механіці, дорівнює <math>p=mv</math>, а якщо проявляються хвильові властивості частинок, їхній імпульс дорівнює <math>p=\frac{\hbar}{\lambda}</math>, де <math>\lambda</math>&nbsp;— довжина хвилі{{Sfn|Фейнман|2004|с=194}}. У квантовій механіці закон збереження імпульсу є наслідком симетрії відносно зсувів за координатами{{Sfn|Ферми|1968|с=183}}.

== Закон збереження імпульсу в теорії відносності ==
Закон збереження імпульсу виконується і в теорії відносності. Відмінність від класичної механіки полягає лише в тому, що в теорії відносності залежність імпульсу від швидкості має вигляд

: <math>p=\frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.</math>{{Sfn|Фейнман|2004|с=193}}{{Sfn|Широков|1972|с=276}}

У [[Загальна теорія відносності|загальній теорії відносності]], аналогічно ситуації з [[закон збереження енергії|законом збереження енергії]], при переході до викривленого [[Простір-час|простору-часу]] закон збереження імпульсу, що виражається просторовими компонентами співвідношення для [[Тензор енергії-імпульсу|тензора енергії-імпульсу]]

: <math>T^\mu_{\nu;\mu}=0,</math>

де [[крапка з комою]] виражає [[Коваріантна похідна|коваріантну похідну]], призводить лише до величин, що зберігаються локально. Це пов'язано з відсутністю глобальної однорідності простору в просторі-часі загального вигляду.

Можна придумати такі визначення імпульсу гравітаційного поля, що глобальний закон збереження імпульсу буде виконуватися за руху в часі системи тіл і полів, але всі такі визначення містять елемент довільності, оскільки згаданий імпульс гравітаційного поля не може бути тензорною величиною за довільних перетворень координат.

== Див. також ==
* [[Теорема про зміну імпульсу системи]]
* [[Закон збереження маси]]
* [[Закон збереження енергії]]
* [[Нічого не виникає з нічого]]

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Література ==
* {{книга
|автор=Федорченко А.М.
|назва=Теоретична механіка
|дата=
|рік=1976
|видавництво=Вища школа
|місце=Київ
|сторінок=516}}
* {{Книга
|автор = [[Кузнецов Борис Григорович|Кузнецов Б. Г.]]
|місце = {{М.}}
|видавництво = АН СССР
|рік = 1958
|сторінок = 321
|ISBN =
|ref = Кузнецов
|назва = Принципы классической физики
}}
* {{Книга
|автор = [[Річард Філіпс Фейнман|Фейнман Р. Ф.]]
|місце = {{М.}}
|видавництво = Едиториал УРСС
|рік = 2004
|сторінок = 440
|ISBN = 5-354-00699-6
|ref = Фейнман
|назва = Фейнмановские лекции по физике. Вып. 1 Современная наука о природе. Законы механики.
}}
* {{Книга
|автор = [[Широков Юрій Михайлович|Широков Ю. М.]], [[Юдін Микола Прокофійович|Юдин Н. П.]]
|місце = {{М.}}
|видавництво = Наука
|рік = 1972
|сторінок = 670
|ISBN =
|ref = Широков
|назва = Ядерная физика
}}
* {{Книга
|автор = [[Готт Володимир Спиридонович|Готт В. С.]]
|місце = {{М.}}
|видавництво = Высшая школа
|рік = 1972
|сторінок = 416
|ISBN =
|ref = Готт
|назва = Философские вопросы современной физики
}}
* {{Книга
|автор = [[Енріко Фермі|Ферми Э.]]
|місце = {{М.}}
|видавництво = Мир
|рік = 1968
|сторінок = 367
|ISBN =
|ref = Ферми
|назва = Квантовая механика
}}

== Посилання ==
* [https://www.youtube.com/watch?feature=plpp&v=GdoZwHDYmp8 Досвід з кулями з демонстрації закону збереження імпульсу] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220109092229/https://www.youtube.com/watch?feature=plpp&v=GdoZwHDYmp8 |date=9 січня 2022 }} (відео)
{{Бібліоінформація}}
{{Physics-stub}}

[[Категорія:Механіка]]
[[Категорія:Фізичні закони і рівняння]]
[[Категорія:Закони збереження]]