Перегляд вихідного коду сторінки Закон випромінювання Планка

{{Випромінювання чорного тіла}}
[[Файл:Wiens_law.svg|thumb|Випромінювання [[Абсолютно чорне тіло|абсолютно чорних тіл]] різної температури за законом Планка]]
'''Формула Планка'''&nbsp;— вираз для спектральної густини [[Потік випромінювання|потоку випромінювання]] ([[Енергетична світність#Спектральна густина енергетичної світності|спектральної густини енергетичної світності]]) [[абсолютно чорне тіло|абсолютно чорного тіла]], виведений [[Макс Планк|Максом Планком]] для густини енергії випромінювання <math>u(\omega, T)</math>:

:<math>u(\omega,T) =\frac{ \omega^2}{\pi^2c^3}\frac{\hbar\omega}{ e^{\frac{\hbar\omega}{kT}}-1}</math>

Формула Планка («форма» залежності <math>u</math> від частоти та температури) спершу була «виведена» емпірично. Формула Планка була отримана після того, як стало зрозуміло, що формула [[закон Релея — Джинса|Релея—Джинса]], що походить з класичної теорії [[Електромагнітне поле|електромагнітного поля]], задовільно описує випромінювання тільки в області довгих хвиль. Зі спаданням [[Довжина хвилі|довжин хвиль]] формула Релея—Джинса сильно розходиться з емпіричними даними. Більш того, у граничному випадку коротких хвиль  вона дає розбіжність&nbsp;— нескінчену енергію випромінювання ([[ультрафіолетова катастрофа]]).

У зв'язку з цим Планк у 1900 році зробив припущення що суперечить класичній фізиці про те, що електромагнітне випромінення випромінюється у вигляді окремих порцій енергії ([[квант]]ів), величина яких пов'язана з частотою випромінювання виразом:
: <math>
\varepsilon = \hbar \omega
</math>
Коефіцієнт пропорційності <math>\hbar</math> згодом назвали [[Стала Планка|сталою Планка]], <math>\hbar</math> = 1,054 · 10<sup>−27</sup> ерг·с.
Це припущення дозволило пояснити спостережуваний [[Емісійний спектр|спектр випромінювання]] теоретично.

Правильність формули Планка підтверджується не тільки емпіричною перевіркою, але й наслідками з даної формули, зокрема з неї походить [[закон Стефана-Больцмана]], також підтверджений емпірично. Крім того, з неї виводяться також приблизні формули, отримані до формули Планка,&nbsp;— [[Закон зміщення Віна|формула Віна]] та формула Релея-Джинса.

== Формула ==
Формула Планка - вираз для спектрального розподілу випромінювання [[Абсолютно чорне тіло|абсолютно чорного тіла]] певної [[Температура|температури]]. Зустрічаються різні форми запису цієї формули. Можна дивитись на енергетичну яскравість, випромінювальну здатність або спектральну густину енергії, а спектр можна задавати частотою або довжиною хвилі. Відповідно нижче представлені шість різних варіантів запису формули Планка<ref name=":03">{{Cite web|language=en|url=https://www.britannica.com/science/Plancks-radiation-law|title=Planck’s radiation law|last=|website=[[Encyclopedia Britannica]]|date=|publisher=|accessdate=2020-12-18|archivedate=2020-12-13|archiveurl=https://web.archive.org/web/20201213042555/https://www.britannica.com/science/Plancks-radiation-law|deadurl=no}}</ref><ref name=":34">{{Книга
|автор = Масалов А. В.
|заголовок = [[Большая российская энциклопедия]]
|відповідальний = 
|рік = 2014
|частина = Планка закон излучения
|посилання частина = https://old.bigenc.ru/physics/text/3143472
|видання = 
|місце = 
|видавництво = [[Большая российская энциклопедия (издательство)|Издательство БРЭ]]
|том = 26
|сторінки = 
|сторінок = 767
|ISBN = 978-5-85270-363-7
}}</ref>.

=== Енергетична яскравість ===
Формула, що виражає спектральну густину [[Енергетична яскравість|енергетичної яскравості]], виглядає так{{Sfn|Karttunen et al.|2007|с=103}}:

<math>B_\nu (\nu, T) = \frac{2 h \nu^3}{c^2} \frac{1}{e^\frac{h \nu}{kT} - 1},</math>

де <math>\nu</math> - [[частота]] випромінювання, <math>T</math> - температура абсолютно чорного тіла, <math>h</math> - [[стала Планка]], <math>c</math> - [[швидкість світла]], <math>k</math> - [[стала Больцмана]]. У системі [[Міжнародна система одиниць (SI)|SI]] величина <math>B_\nu</math> у цій формулі має розмірність Вт·м<sup>−2</sup>·[[Герц|Гц]]<sup>−1</sup>·[[Стерадіан|ср]]<sup>−1</sup>. Її фізичний сенс – енергетична яскравість у малому діапазоні частот <math>(\nu; \nu + d \nu)</math>, поділена на <math>d \nu</math>. Можна використати аналогічну формулу, в якій енергетична яскравість буде функцією [[Довжина хвилі|довжини хвилі]] <math>\lambda</math>, а не частоти{{Sfn|Karttunen et al.|2007|с=103}}:

<math>B_\lambda (\lambda, T) = \frac{2 h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^\frac{hc}{\lambda k T} - 1}</math>.

В цьому випадку <math>B_\lambda</math> має розмірність Вт·м<sup>−2</sup>·м<sup>−1</sup>·[[Стерадіан|ср]]<sup>−1</sup> і відповідає енергетичній яскравості в малому діапазоні довжин хвиль <math>(\lambda; \lambda + d \lambda)</math>, поділеної на <math>d \lambda</math>{{Sfn|Karttunen et al.|2007|с=103}}.

=== Випромінювальна здатність ===
Випромінювальна здатність на частоті <math>\nu</math> або довжині хвилі <math>\lambda</math> - це потужність випромінювання на одиницю площі в інтервалі частот <math>(\nu; \nu + d \nu)</math> або довжин хвиль <math>(\lambda; \lambda + d \lambda)</math>, поділена, відповідно, на <math>d \nu</math> або <math>d \lambda</math>. Вона може бути виражена формулами{{Sfn|Кононович, Мороз|2004|с=181}}:

<math>\varepsilon_\nu (\nu, T) = \frac{2 \pi h \nu^3}{c^2} \frac{1}{e^\frac{h \nu}{kT} - 1}</math> ,

<math>\varepsilon_\lambda (\lambda, T) = \frac{2 \pi h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^\frac{hc}{\lambda k T} - 1}</math>.

Таким чином, випромінювальна здатність тіла чисельно в <math>\pi</math> разів більше яскравості, якщо [[тілесний кут]] вимірюється в [[стерадіан]]ах. Величини <math>\varepsilon_\nu</math> і <math>\varepsilon_\lambda</math> мають розмірності, відповідно, Вт·м<sup>−2</sup>·Гц<sup>−1</sup> і Вт·м<sup>−2</sup>·м<sup>−1</sup>{{Sfn|Кононович, Мороз|2004|с=181}}.

=== Спектральна густина енергії ===
Ще одна форма запису визначає спектральну об'ємну густину енергії випромінювання абсолютно чорного тіла. За аналогією з попередніми формулами, вона дорівнює [[Густина енергії|густині енергії]] в малому діапазоні частот або довжин хвиль, поділеної на ширину цього діапазону<ref name=":03"/><ref name=":34"/>:

<math>u_\nu (\nu, T) = \frac{8 \pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^\frac{h \nu}{kT} - 1}</math> ,

<math>u_\lambda (\lambda, T) = \frac{8 \pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{e^\frac{hc}{\lambda k T} - 1}</math>.

У системі СІ величини <math>u_\nu</math> і <math>u_\lambda</math> мають розмірності, рівні, відповідно, Дж·м<sup>−3</sup>·Гц<sup>−1</sup> і Дж·м<sup>−3</sup>·м<sup>−1</sup><ref name=":03"/><ref name=":34"/>. Крім того, спектральна щільність енергії пов'язана з випромінювальною здатністю співвідношенням <math display="inline">\varepsilon = \frac{c}{4} u</math><ref name=":16">{{Cite web|language=|url=http://fn.bmstu.ru/data-physics/library/physbook/tom5/ch1/texthtml/ch1_2.htm|title=1.2. Квантовая теория излучения|last=|website=Кафедра физики [[МГТУ им. Баумана]]|date=|publisher=|accessdate=2020-12-18|archivedate=2015-09-28|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150928214746/http://fn.bmstu.ru/data-physics/library/physbook/tom5/ch1/texthtml/ch1_2.htm|deadurl=no}}</ref>.

== Застосування ==
[[Файл:EffectiveTemperature_300dpi_e.png|thumb|Спектр Сонця (жовтий колір) та спектр абсолютно чорного тіла температурою 5777 [[Кельвін|K]] (сірий колір)]]
Формула Планка застосовується для випромінювання, яке знаходиться в [[Рівновага термодинамічної системи|тепловій рівновазі]] з речовиною за певної температури<ref name=":34"/>. Вона застосовна для [[Абсолютно чорне тіло|абсолютно чорних тіл]] будь-якої форми незалежно від складу і структури за умови, що розміри випромінюючого тіла і деталей його поверхні набагато більші за довжини хвиль, на яких тіло в основному випромінює{{Sfn|Karttunen et al.|2007|с=103}}<ref>{{Стаття|url=https://www.nature.com/articles/s41467-019-11287-6|author=Juan Carlos Cuevas|title=Thermal radiation from subwavelength objects and the violation of Planck’s law|date=2019|місяць=7|language=en|видання=[[Nature Communications]]|publisher=[[Nature Research]]|volume=10|issue=1|pages=3342|issn=2041-1723|doi=10.1038/s41467-019-11287-6|archivedate=2022-03-12|archiveurl=https://web.archive.org/web/20220312000556/https://www.nature.com/articles/s41467-019-11287-6}}</ref>.

Якщо тіло не є абсолютно чорним, то [[спектр]] його рівноважного [[Теплове випромінювання|теплового випромінювання]] не описується законом Планка, але пов'язаний з ним [[Закон Кірхгофа для теплового випромінювання|законом випромінювання Кірхгофа]]. Відповідно до цього закону, відношення випромінювальної та поглинальної здатностей тіла однаково для всіх довжин хвиль і залежить тільки від температури<ref>{{Cite web|language=|url=http://fn.bmstu.ru/data-physics/library/physbook/tom5/ch1/texthtml/ch1_1.htm|title=1.1. Законы теплового излучения|last=|website=Кафедра физики [[МГТУ им. Баумана]]|date=|publisher=|accessdate=2021-01-24|archivedate=2020-08-08|archiveurl=https://web.archive.org/web/20200808061531/http://fn.bmstu.ru/data-physics/library/physbook/tom5/ch1/texthtml/ch1_1.htm|deadurl=no}}</ref>. Так, наприклад, при одній температурі розподіл енергії в спектрі [[Абсолютно сіре тіло|абсолютно сірого тіла]] буде таким самим, як і в спектрі абсолютно чорного, але сумарна енергетична яскравість випромінювання буде меншою<ref>{{Cite web|language=|url=http://femto.com.ua/articles/part_2/3611.html|title=Серое тело|last=|website=Энциклопедия физики и техники|date=|publisher=|accessdate=2021-01-24|archivedate=2021-04-17|archiveurl=https://web.archive.org/web/20210417031905/http://femto.com.ua/articles/part_2/3611.html|deadurl=no}}</ref>.

Формула Планка також використовується для опису реальних тіл, спектр випромінювання яких відрізняється від планківського. Для цього вводиться поняття [[Ефективна температура|ефективної температури]] тіла: це та температура, за якої абсолютно чорне тіло випромінює стільки ж енергії на одиницю площі, скільки й дане тіло. Аналогічним чином визначається [[яскравісна температура]], рівна температурі абсолютно чорного тіла, що випромінює стільки ж енергії на одиницю площі на певній довжині хвилі, і [[колірна температура]], рівна температурі абсолютно чорного тіла з таким саме розподілом енергії в певній ділянці спектра<ref name=":34"/>{{Sfn|Кононович, Мороз|2004|с=193—194}}. Наприклад, для [[Сонце|Сонця]] ефективна температура становить близько 5780 [[Кельвін|K]], яскравісна температура на довжині хвилі 1500 [[Ангстрем|Å]] досягає свого мінімального значення 4200 K, а у [[Видиме світло|видимому діапазоні]] на довжині хвилі 5500 Å яскравісна температура становить близько 6400 K, у той час як для абсолютно чорного тіла всі визначення температури збігаються{{Sfn|Кононович, Мороз|2004|с=239—240}}.

== Істрія відкриття ==

=== Передісторія ===
Визначення закону [[Теплове випромінювання|теплового випромінювання]] представляло інтерес з 1859 року, коли [[Густав Роберт Кірхгоф|Густав Кірхгоф]] відкрив [[Закон Кірхгофа для теплового випромінювання|закон випромінювання Кірхгофа]], згідно з яким відношення випромінювальної та поглинальної здатностей універсальне для всіх тіл. Отже, функція випромінювання [[Абсолютно чорне тіло|абсолютно чорного тіла]], поглинальна здатність якого дорівнює одиниці для всіх довжин хвиль, повинна збігатися з функцією цього відношення{{Sfn|Джеммер|1985|с=14—16}}.

До кінця XIX століття спектр випромінювання абсолютно чорного тіла вже був відомий експериментально. В 1896 [[Вільгельм Він]] емпірично описав його [[Абсолютно чорне тіло|законом випромінювання Віна]], однак отримати його теоретичне доведення фізикам на той момент не вдавалося. Хоча Він у своїй роботі наводив обґрунтування закону, воно було недостатньо суворим, щоб ця проблема вважалася вирішеною<ref name=":16"/><ref name=":54">{{Cite web|language=en|url=https://physicsworld.com/a/max-planck-the-reluctant-revolutionary/|title=Max Planck: the reluctant revolutionary|last=|website=Physics World|date=2000-12-01|publisher=|accessdate=2020-12-19|archivedate=2022-07-06|archiveurl=https://web.archive.org/web/20220706194727/https://physicsworld.com/a/max-planck-the-reluctant-revolutionary/|deadurl=no}}</ref>{{Sfn|Джеммер|1985|с=21}}.

[[Макс Планк]] був одним із тих, хто намагався теоретично обґрунтувати закон випромінювання Віна. Він виходив з того, що випромінювачі є лінійними [[Гармонічний осцилятор|гармонічними осциляторами]], у яких встановилася рівновага між випромінюванням та поглинанням; визначивши зв'язок між [[Ентропія|ентропією]] та енергією осциляторів, він зміг підтвердити закон випромінювання Віна{{Sfn|Джеммер|1985|с=22—27}}.

Однак подальші експерименти показали, що закон випромінювання Віна неточно описує спектр теплового випромінювання в довгохвильовій області. У жовтні 1900 року Планк представив формулу, яка з точністю до [[Константа|констант]] збігалася із сучасним законом Планка. Того ж дня було з'ясовано, що формула добре описує експериментальні дані, але при цьому вона не мала під собою теоретичної основи. Планк вивів її лише на підставі того, що в граничному випадку для коротких хвиль вона повинна переходити в закон Віна, але, на відміну від нього, узгоджуватися з експериментальними даними для довгих хвиль{{Sfn|Джеммер|1985|с=27—30}}.

=== Відкриття ===
Менш як за два місяці після повідомлення про отримання формули Планк представив її теоретичний висновок на засіданні [[Німецьке фізичне товариство|Німецького фізичного товариства]]. У ньому використовувалося співвідношення для ентропії, введене [[Людвіг Больцман|Людвігом Больцманом]], в якому розглядається кількість можливих мікроскопічних станів системи. Планк, щоб мати можливість використовувати методи [[Комбінаторика|комбінаторики]] та оцінити таким чином ентропію, зробив припущення, що повна енергія складається з цілого числа скінченних елементів енергії [[квант]]ів<ref name=":54"/>{{Sfn|Джеммер|1985|с=30—33}}.

Незважаючи на те, що в цьому виводі з'явилися кванти і було введено і вперше використано [[Стала Планка|сталу Планку]], ні сам Планк, ні його колеги не зрозуміли всієї глибини відкриття. Наприклад, Планк вважав, що дискретність енергії немає ніякого фізичного сенсу і є лише математичним прийомом. Інші фізики також не надали цьому значення і не вважали, що це припущення суперечить [[Класична фізика|класичній фізиці]]. Лише після публікації [[Гендрік Антон Лоренц|Гендріка Лоренца]] у 1908 році наукова спільнота прийшла до думки, що кванти справді мають фізичний зміст. Сам Планк згодом називав введення квантів «актом розпачу», викликаним тим, що «теоретичне пояснення має бути знайдено за всяку ціну, наскільки високою вона не була б». Незважаючи на все це, день, коли формула Планка була обґрунтована,&nbsp;— 14 грудня 1900&nbsp;— вважається днем народження [[Квантова фізика|квантової фізики]]<ref name=":54"/>{{Sfn|Джеммер|1985|с=30—34}}.

Користуючись міркуваннями [[Класична фізика|класичної фізики]], в 1900 році [[Джон Вільям Стретт (лорд Релей)|лорд Релей]], а в 1905 [[Джеймс Гопвуд Джинс|Джеймс Джинс]] вивели [[закон Релея — Джинса]]. До такого ж результату, незалежно від них, приходив у своїх роботах і Планк. Виведення цього закону мало відрізнял від виведення закону Планка, за винятком того, що середня енергія випромінювання <math>\langle\varepsilon\rangle</math> була прийнята рівною <math>kT</math>, згідно з [[Закон рівнорозподілу|теоремою про рівнорозподіл енергії за ступенями свободи]]. З погляду класичної фізики хід виводу не викликав сумнівів, проте закон Релея — Джинса не лише серйозно розходився з експериментальними даними усюди, крім довгохвильової області, а й передбачав нескінченно велику потужність випромінювання на коротких хвилях. Цей парадокс вказав на те, що в класичній фізиці все ж таки є фундаментальні протиріччя, і став додатковим аргументом на користь квантової гіпотези. [[Пауль Еренфест]] в 1911 році вперше назвав його [[Ультрафіолетова катастрофа|ультрафіолетовою катастрофою]]<ref name=":16"/><ref name=":54"/>{{Sfn|Сивухин|2002|с=697}}.

В 1918 Макс Планк став лауреатом [[Нобелівська премія з фізики|Нобелівської премії з фізики]], і хоча офіційно він був нагороджений за відкриття квантів, це відкриття було тісно пов'язане з виведенням закону Планка<ref>{{Cite web|language=en|url=https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1918/planck/facts/|title=The Nobel Prize in Physics 1918|last=|website=NobelPrize.org|date=|publisher=[[Фонд Нобеля|Nobel Foundation]]|accessdate=2020-12-19|archivedate=2020-06-07|archiveurl=https://web.archive.org/web/20200607084632/https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1918/planck/facts/|deadurl=no}}</ref>.

== Виведення формули Планка ==

=== Виведення через розподіл Больцмана ===
Формула Планка виводиться так<ref name=":16"/>.

Розглядається [[абсолютно чорне тіло]] з температурою <math>T</math> у формі куба з ребром <math>l</math>, внутрішні стінки якого ідеально відбивають випромінювання. Розрахуємо спектральну [[Густина енергії|густину енергії]] <math>u_{\omega}(\omega, T)</math> - густину енергії на одиничний інтервал [[Кутова частота|кутових частот]] поблизу <math>\omega</math>.

При виборі малої площі <math>\Delta S</math> на поверхні абсолютно чорного тіла можна розрахувати, скільки енергії на неї падає. Щільність енергії, що падає під кутом <math>\theta</math> до [[Нормаль (геометрія)|нормалі]] з тілесного кута <math>d\Omega</math>, дорівнює <math display="inline">d\tilde{u} = u(T) \frac{d \Omega}{4 \pi}</math>, оскільки випромінювання рівномірно розподілено по всіх напрямках у тілесному куті <math>4 \pi</math> стерадіан. Світло рухається зі швидкістю <math>c</math>, а значить, за час <math>\Delta t</math> на поверхню падає енергія <math>dw</math>:

<math>dw = c \, d \tilde u \, \Delta t \, \Delta S \cos \theta = \frac{c}{4 \pi} u(T) \cos \theta \sin \theta \, d \theta \, d \varphi \, \Delta S \, \Delta t</math>.

Сумою енергій, що надходять з усіх напрямків, буде потік <math>\Phi</math>:

<math>\Phi = \frac{c}{4\pi} u(T) \int_0^{2\pi} d \varphi \int_0^{\pi / 2} \cos \theta \sin \theta \, d \theta = \frac{c}{4} u(T)</math>.

Таку саме кількість енергії випромінюватиме та сама одиниця площі абсолютно чорного тіла, а значить, як для всього потоку, так і для будь-якого діапазону частот або довжин хвиль буде справедливе співвідношення <math display="inline">\varepsilon = \frac{c}{4} u</math>.

Так як всередині куба одночасно присутні і випромінювані, і відбиті хвилі, поле теплового випромінювання повинно бути їх суперпозицією, тобто мати вигляд [[Стояча хвиля|стоячих електромагнітних хвиль]]. Для визначення їх параметрів вводяться декартова система координат уздовж ребер куба та відповідні [[Одиничний вектор|орти]] <math display="inline">\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z</math>. Для хвилі, яка поширюється строго вздовж осі <math>x</math>, має виконуватися <math display="inline">l = n_x \frac{\lambda}{2}</math>, де <math>n_x</math> - [[натуральне число]]: тобто напівціле число хвиль повинно мати сумарну довжину <math display="inline">l</math>. [[Хвильовий вектор]] такої хвилі дорівнює <math display="inline">\vec{k} = k_x \vec{e}_x</math>, де <math display="inline">k_x = \frac{2\pi}{\lambda}</math> - [[хвильове число]], обмеження для якого набуває вигляду <math display="inline">k_x = n_x \frac{\pi}{l}</math>. Для хвиль, що розповсюджуються вздовж осей <math>y</math> і <math>z</math>, міркування аналогічні.

Хвилю, яка поширюється в будь-якому іншому напрямку, можна представляти у вигляді суперпозиції хвиль, які поширюються вздовж осей: <math>\vec{k} = k_x \vec{e}_x + k_y \vec{e}_y + k_z \vec{e}_z</math>. Отже, <math display="inline">k_x = n_x \frac{\pi}{l}, k_y = n_y \frac{\pi}{l}, k_z = n_z \frac{\pi}{l}</math>, де <math>n_x, n_y, n_z</math> - незалежні один від одного натуральні числа або нулі. Тоді хвильове число будь-якої хвилі представляється як <math display="inline">k = \sqrt{k_x^2 + k_y^2 + k_z^2} = \frac{\pi}{l} \sqrt{n_x^2 + n_y^2 + n_z^2}</math>, а частота як <math display="inline">\omega = \frac{\pi c}{l} \sqrt{n_x^2 + n_y^2 + n_z^2}</math>. Кожній трійці цих параметрів відповідає одна стояча хвиля.

За допомогою безрозмірної величини <math display="inline">R = \frac{\omega l}{\pi c} </math> можна визначити кількість стоячих хвиль з частотою не більше <math>\omega </math>. Це число <math>\tilde{N}</math> дорівнює кількості комбінацій <math>n_x, n_y, n_z </math>, для яких <math>R^2 \geq n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 </math>. Тоді можна оцінити <math>\tilde{N}</math> як восьму частину об'єму кулі з радіусом <math display="inline">R </math> :

<math>\tilde{N} = \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{1}{6} \cdot \frac{\omega^3 l^3}{\pi^2 c^3} = \frac{1}{6} \cdot \frac{\omega^3}{\pi^2 c^3} V,</math>

де <math>V</math> — об'єм, в якому міститься випромінювання. Так як електромагнітні хвилі - поперечні, у кожному напрямку можуть поширюватися по дві хвилі, поляризованих взаємно перпендикулярно, і реальна кількість хвиль <math>N</math> збільшується ще вдвічі:

<math>N = 2 \tilde{N} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\omega^3}{\pi^2 c^3} V</math>.

Якщо продиференціювати цей вираз за частотою, вийде кількість стоячих хвиль із довжинами хвиль в інтервалі <math>(\omega; \omega + d \omega)</math>:

<math>dN = \frac{\omega^2 d \omega}{\pi^2 c^3} V</math>.

Можна взяти за <math>\langle\varepsilon\rangle</math> середню енергію стоячої електромагнітної хвилі з частотою <math>\omega</math>. Якщо помножити кількість стоячих хвиль <math>dN</math> на <math>\langle\varepsilon\rangle</math> і розділити отримане значення на <math>V</math> і на <math>d \omega</math>, вийде спектральна густина енергії випромінювання:

<math>u_{\omega} = \frac{\omega^2}{\pi^2 c^3} \langle\varepsilon\rangle</math>.

Для подальшого виведення закону Планка необхідно враховувати ефекти [[Квантова фізика|квантової фізики]], а саме те, що енергія випромінюється скінченними порціями, рівними <math>E = \hbar \omega</math> (<math display="inline">\hbar = \frac{h}{2\pi}</math> - стала Дірака). Відповідно, можливі значення енергії випромінювання дорівнюють <math>\varepsilon_n = n\hbar\omega</math>, де <math>n</math> - будь-яке [[натуральне число]]. Таким чином, середня енергія випромінювання <math>\langle\varepsilon\rangle</math> дорівнює:

<math>\langle\varepsilon\rangle = \sum_{n = 0}^\infty P_n \varepsilon_n,</math>

де <math>P_n</math> — ймовірність того, що випромінювання матиме енергію, рівну <math>\varepsilon_n</math>. Імовірність описується [[Розподіл Больцмана|розподілом Больцмана за енергіями]]) з деякою константою <math>A</math>:

<math>P_n = Ae^{-\frac{\varepsilon_n}{kT}}</math>.

З урахуванням <math display="inline">\sum_{n = 0}^\infty P_n = 1</math>, для <math>A</math> вірно:

<math>A = \left(\sum_{n = 0}^\infty e^{-\frac{\varepsilon_n}{kT}}\right)^{-1}</math>.

Таким чином, <math>\langle\varepsilon\rangle</math> виражається як:

<math>\langle \varepsilon \rangle = \frac{\sum_{n = 0}^{\infty} n\hbar\omega e^{-\frac{n\hbar\omega}{kT}}}{\sum_{n = 0}^{\infty} e^{-\frac{n\hbar\omega}{kT}}} = \hbar\omega \frac{\sum_{n = 0}^{\infty} n e^{-n\xi}}{\sum_{n = 0}^{\infty} e^{-n\xi}}</math>.

Тут <math display="inline">\xi = \frac{\hbar\omega}{kT}</math>. Знаменник розкладається за формулою суми [[Геометрична прогресія|геометричної прогресії]], а чисельник представляється як похідна знаменника за <math display="inline">\xi</math> :

<math>S = \sum_{n = 0}^{\infty} e^{-n \xi} = \frac{1}{1 - e^{-\xi}}</math> ,

<math>\sum_{n = 0}^{\infty} ne^{-n \xi} = -\frac{dS}{d\xi} = \frac{e^{-\xi}}{(1 - e^{-\xi})^2}</math>.

Виходить вираз для середньої енергії:

<math>\langle\varepsilon\rangle = \frac{\hbar\omega}{e^\frac{\hbar\omega}{kT} - 1}</math>.

Якщо підставити <math>\langle\varepsilon\rangle</math> у формулу для спектральної щільності енергії випромінювання, вийде один із остаточних варіантів формули Планка:

<math>u_{\omega} = \frac{\hbar \omega^3}{\pi^2 c^3} \frac{1}{e^\frac{\hbar\omega}{kT} - 1}</math>.

Співвідношення <math display="inline">\varepsilon = \frac{c}{4} u</math> дозволяє отримати формулу для випромінювальної здатності<ref name=":16"/>:

<math>\varepsilon_{\omega} = \frac{\hbar \omega^3}{4 \pi^2 c^2} \frac{1}{e^\frac{\hbar\omega}{kT} - 1}</math>.

Якщо поділити на <math>\pi</math>, вийде вираз для спектральної густини яскравості<ref name=":23">{{Cite web|language=|url=https://www.physics-in-a-nutshell.com/article/24/different-formulations-of-plancks-law|title=Different Formulations of Planck's Law|last=|website=www.physics-in-a-nutshell.com|date=|publisher=|accessdate=2020-12-19|archivedate=2020-12-14|archiveurl=https://web.archive.org/web/20201214111331/https://www.physics-in-a-nutshell.com/article/24/different-formulations-of-plancks-law|deadurl=no}}</ref>:

<math>B_{\omega} = \frac{\hbar \omega^3}{4 \pi^3 c^2} \frac{1}{e^\frac{\hbar\omega}{kT} - 1}</math>.

Ці величини можна виразити через інші параметри — наприклад, [[Частота|циклічну частоту]] <math>\nu</math> або [[Довжина хвилі|довжину хвилі]] <math>\lambda</math>. Для цього потрібно врахувати, що за визначенням виконуються співвідношення <math>B_\omega d \omega = B_\nu d \nu</math>, <math>B_\nu d \nu = -B_\lambda d \lambda</math> (мінус з'являється через те, що зі зростанням довжини хвилі зменшується частота) та аналогічні формули для випромінювальної здатності та густини енергії. Так, для переходу до циклічних частот потрібно замінити <math>\omega = 2\pi\nu</math>(при цьому <math display="inline">\hbar = \frac{h}{2\pi}</math>, так що <math>h\nu = \hbar\omega</math>) і домножити на <math display="inline">\frac{d \omega}{d \nu} = 2 \pi</math>, Тоді формули набудуть вигляду{{Sfn|Karttunen et al.|2007|с=103}}<ref name=":23"/>:

<math>u_\nu = \frac{8 \pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^\frac{h \nu}{kT} - 1}</math> ,

<math>\varepsilon_\nu = \frac{2 \pi h \nu^3}{c^2} \frac{1}{e^\frac{h \nu}{kT} - 1}</math> ,

<math>B_\nu = \frac{2 h \nu^3}{c^2} \frac{1}{e^\frac{h \nu}{kT} - 1}</math>.

Аналогічним чином отримують формули для довжин хвиль. Після заміни <math display="inline">\nu = \frac{c}{\lambda}</math> і множення на <math display="inline">\frac{d \nu}{d \lambda} = -\frac{c}{\lambda^2}</math>{{Sfn|Karttunen et al.|2007|с=103}}<ref name=":23"/>:

<math>u_\lambda = \frac{8 \pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{e^\frac{hc}{\lambda k T} - 1}</math> ,

<math>\varepsilon_\lambda = \frac{2 \pi h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^\frac{hc}{\lambda k T} - 1}</math> ,

<math>B_\lambda = \frac{2 h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^\frac{hc}{\lambda k T} - 1}</math>.

=== Виведення з розподілу Гіббса ===
У наслідок лінійності рівнянь електромагнітного поля будь-який їх розв'язок може бути надано у вигляді суперпозиції монохроматичних хвиль, кожна з певною частотою <math>\omega</math>. Енергія поля може бути представлена як сума енергій відповідних польових осциляторів. Як відомо із [[Квантова механіка|квантової механіки]], енергія осцилятора приймає дискретні значення згідно з наступної формулою:

<math>E_n=\hbar \omega (n+1/2)</math>

Оскільки розглядається рівноважне випромінювання, то використовуючи канонічний [[розподіл Ґіббса]], можна визначити ймовірність стану осцилятора з заданою енергією:

<math>W_n=1/Ze^{-E_n/kT}</math>

Статистична сума <math>Z</math>дорівнює

<math>Z=\sum e^{-\hbar \omega (n+1/2)/kT}=e^{-1/2(\hbar \omega /kT)} \sum (e^{-\hbar \omega /kT})^n= \frac {e^{-1/2(\hbar \omega /kT)}}{1-e^{-\hbar \omega /kT}}</math>

Вільна енергія дорівнює

<math>\Psi=-kT \ln Z=\frac {\hbar \omega } {2 }+kT \ln(1-e^{-\hbar \omega /kT})</math>

Для середньої ([[Математичне сподівання|математичне очікування]]) енергії скористаємося рівнянням Ґіббса—Гельмгольца

<math>\overline{\varepsilon}=\sum W_n E_n=\Psi-kT \frac {\partial \Psi}{\partial (kT)}=(kT)^2\frac {\partial \ln Z}{\partial (kT)}=(kT)^2 \left(\frac {\hbar \omega}{2 (kT)^2}+\frac{e^{-\hbar \omega /kT}\hbar \omega /(kT)^2 }{1-e^{-\hbar \omega /kT}}\right)</math>

Таким чином, середня енергія, що припадає на польовий осцилятор, дорівнює
{{EF|:|<math>
        \overline{\varepsilon} = \frac{\hbar \omega}
                                      {2}+\frac{\hbar \omega}
                                      {\mathrm{exp}( \hbar \omega / kT) -1}, \qquad\qquad
</math>|ref=1}}

де <math>\hbar</math>&nbsp;— [[стала Планка]], <math>k</math>&nbsp;— [[стала Больцмана]].

Кількість же стоячих хвиль в одиниці об'єму у тривимірному просторі в інтервалі від <math>(\omega, \omega+d \omega)</math> дорівнює<ref name="sivuhin"/><ref name="savelev"/>:

{{EF|:|<math>
        \mathrm{d}n_{\omega}= \frac{\omega^2 \mathrm{d} \omega}{\pi^2 c^3}   \qquad\qquad
</math>|ref=2}}

Отже, для спектральної щільності потужності електромагнітного випромінювання отримуємо:
: <math>
        u( \omega , T)=\overline{\varepsilon} \frac {\mathrm{d}n_{\omega}}{\mathrm {d} \omega} = \frac{\hbar {\omega}^3}
                                      {2\pi^2 c^3}+\frac{\hbar {\omega}^3}
                                      {\pi^2 c^3 (\mathrm{exp}( \hbar \omega / kT) -1)}, \qquad\qquad 
</math>

Перший доданок у цій формулі пов'язаний з енергією [[Нульові коливання|нульових коливань]], другий являє собою формулу Планка.

Формулу Планка також можна записати через довжину хвилі:

{{EF|:|<math>
        u_p( \lambda , T)=\frac{16 \pi^2 \hbar c}    {\lambda^5 (\mathrm{exp}(2\pi\hbar c / \lambda kT) -1)}, \qquad\qquad 
</math>|ref=5}}

=== Виведення через статистику Бозе - Ейнштейна ===
Якщо розглядати рівноважне випромінювання як фотонний газ, можна застосувати [[Статистика Бозе — Ейнштейна|статистику Бозе — Ейнштейна]]. Вона визначає середню кількість частинок <math>\langle n_i \rangle</math> в <math>i</math> -м квантовому стані з енергією <math>E_i</math>{{Sfn|Сивухин|2002|с=703—704}}:

<math>\langle n_i \rangle = \frac{1}{e^\frac{E_i - \mu}{kT} - 1}</math>.

У цій формулі <math>\mu</math> - [[хімічний потенціал]] газу. Для фотонного газу він дорівнює нулю, тому формула для нього набуває такого вигляду{{Sfn|Сивухин|2002|с=703—704}}:

<math>\langle n \rangle = \frac{1}{e^\frac{\hbar\omega}{kT} - 1}</math>.

Якщо помножити середню кількість фотонів <math>\langle n \rangle</math> на їхню енергію <math>\hbar \omega</math>, вийде та сама середня енергія <math>\langle \varepsilon \rangle</math> що виведена з розподілу Больцмана. При підстановці їх у формулу для спектральної щільності енергії <math display="inline">u_{\omega} = \frac{\omega^2}{\pi^2 c^3} \langle\varepsilon\rangle</math> вийде закон Планка{{Sfn|Сивухин|2002|с=703—704}}.

=== Виведення через спонтанне та вимушене випромінювання ===
Формула Планка також може бути виведена з розгляду механізмів [[Спонтанне випромінювання|спонтанного]] та [[Вимушене випромінювання|вимушеного випромінювань]] атомів{{Sfn|Сивухин|2002|с=704—706}}.

У цьому виведенні, запропонованому [[Альберт Ейнштейн|Ейнштейном]] у 1916 році, розглядаються <math>N_m</math> і <math>N_n</math> атомів на рівнях з енергією <math>E_m</math> і <math>E_n</math> відповідно. Тоді кількість переходів із вищого рівня <math>E_n</math> на нижчий <math>E_m</math> за одиницю часу пропорційна <math>N_n</math> і може бути записано як <math>A^m_n N_n</math>. При вимушеному випромінюванні кількість переходів за одиницю часу пропорційна <math>N_n</math> та спектральній густині випромінювання на частоті переходу <math>u(\omega_{mn})</math>, тобто може бути записано як <math>B^m_n N_n u(\omega_{mn})</math>. Кількість переходів в одиницю часу через поглинання пропорційно <math>N_m</math> і <math>u(\omega_{mn})</math> і записується як <math>B^n_m N_m u(\omega_{mn})</math>{{Sfn|Сивухин|2002|с=704—706}}.

Величини <math>A^m_n, B^m_n, B^n_m</math> - характеристики тільки самого атома й обраних енергетичних рівнів, звані [[Вимушене випромінювання|коефіцієнтами Ейнштейна]]. Якщо поле випромінювання рівноважне і має температуру <math>T</math>, то умова детальної рівноваги виглядає наступним чином{{Sfn|Сивухин|2002|с=704—706}}:

<math>A^m_n N_n + B^m_n N_n u(\omega_{mn}) = B^n_m N_m u(\omega_{mn})</math>.

У граничному випадку <math>T \rightarrow \infty</math> можна знехтувати спонтанним випромінюванням порівняно з вимушеним, і тоді умова рівноваги набуде вигляду <math>B^m_n N_n = B^n_m N_m</math>. Оскільки при <math>T \rightarrow \infty</math> буде виконуватися <math>N_n = N_m</math>, а коефіцієнти Ейнштейна не залежать від температури, то буде вірна рівність <math>B^m_n = B^n_m</math>, що справедливо для простих рівнів; для кратних рівнів необхідно додатково враховувати коефіцієнти кратності. Надалі можна розглядати лише прості рівні, оскільки густина енергії випромінювання не залежить від деталей будови речовини{{Sfn|Сивухин|2002|с=704—706}}.

Можна скористатися розподілом Больцмана{{Sfn|Сивухин|2002|с=704—706}}:

<math>\frac{N_n}{N_m} = e^\left(\frac{E_n - E_m}{kT}\right)</math>.

При застосуванні його до умови рівноваги виходить{{Sfn|Сивухин|2002|с=704—706}}:

<math>u(\omega_{mn}) = \frac{\alpha(\omega_{mn})}{e^\left(\frac{\hbar \omega_{mn}}{kT}\right) - 1},</math>

де <math display="inline">\alpha(\omega_{mn}) = \frac{A^m_n}{B^m_n}</math>. Ця величина не залежить від температури і може бути знайдена з умови, що для високих температур має бути справедлива [[Закон Релея — Джинса|формула Релея - Джинса]]{{Sfn|Сивухин|2002|с=704—706}}:

<math>u(\omega_{mn}) = \frac{\alpha(\omega_{mn}) kT}{\hbar{\omega_{mn}}}</math> ,

<math>\alpha(\omega_{mn}) = \frac{\hbar \omega^3_{mn}}{\pi^2 c^3}</math>.

Енергетичні рівні можуть бути взяті довільним чином, тому індекси <math>m</math> і <math>n</math> можна прибрати та використовувати формулу для довільних частот. При підстановці <math>\alpha(\omega)</math> у вихідну формулу для <math>u(\omega)</math> виходить формула Планка. Таким чином, важливим наслідком справедливості формули Планка є існування вимушених переходів, які необхідні для реалізації [[лазер]]ної генерації{{Sfn|Сивухин|2002|с=704—706}}.

== Зв'язок з іншими формулами ==

=== Закон Релея—Джинса ===
[[Файл:Blackbody-lg.png|thumb|Синім і чорним кольорами позначені спектри, що відповідають закону Планка та закону Релея – Джинса за однієї температури. Видно, що у другому випадку спостерігається необмежене зростання потужності при зменшенні довжини хвилі]]
[[Закон Релея — Джинса]] — наближення закону Планка, що добре працює для <math>h c \ll \lambda kT</math> (тобто в діапазоні великих довжин хвиль і малих частот), але сильно розходиться з ним для <math>h c</math>, порядку чи більше <math>\lambda kT</math>. У законі Релея-Джинса використовується наближення <math display="inline">e^{\frac{hc}{\lambda kT}} \approx 1 + \frac{hc}{\lambda kT}</math> справедливе для малих <math display="inline">\frac{hc}{\lambda kT}</math> тому наближення виглядає наступним чином{{Sfn|Кононович, Мороз|2004|с=182}}:

: <math>B_\lambda = \frac{2 h c^2}{\lambda^5} \frac{\lambda kT}{hc} = \frac{2ckT}{\lambda^4}</math>.
У рамках [[Класична фізика|класичної фізики]] в результаті виведення закону випромінювання виходить саме закон Релея Джинса. Однак за малих довжин хвиль закон Релея — Джинса не тільки розходиться з експериментом, а й передбачає необмежене зростання потужності випромінювання при наближенні довжини хвилі до нуля. Цей парадокс отримав назву [[Ультрафіолетова катастрофа|ультрафіолетової катастрофи]]<ref name=":16"/>{{Sfn|Karttunen et al.|2007|с=105}}.

=== Закон випромінювання Віна ===
[[Файл:RWP-comparison.svg|thumb|Спектри випромінювання за законом Планка (зелений), в наближенні Релея - Джинса (червоний) і в наближенні [[Абсолютно чорне тіло|Віна]] (синій). Осі мають [[Логарифмічна шкала|логарифмічний масштаб]]; температура тіла - 0,008 [[Кельвін|К]]]]
[[Абсолютно чорне тіло|Закон випромінювання Віна]] — наближення закону Планка, що добре працює при <math>h c \gg \lambda kT</math> - в області малих довжин хвиль і великих частот. Закон випромінювання Віна передбачає, що для <math>h c \gg \lambda kT</math> одиницею у знаменнику формули Планка можна знехтувати та вважати <math display="inline">e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1 \approx e^{\frac{hc}{\lambda kT}}</math>. Тоді формула набуває вигляду{{Sfn|Кононович, Мороз|2004|с=182}}:

<math>B_\lambda = \frac{2 h c^2}{\lambda^5} e^{-\frac{hc}{\lambda kT}}</math>.

=== Закон Стефана - Больцмана ===
[[Файл:PlankLawOmega.PNG|thumb|Потік енергії відповідає площі під графіком функції. За законом Стефана — Больцмана, вона пропорційна четвертому степеню температури.]]
[[Закон Стефана — Больцмана]] що описує випромінювання абсолютно чорного тіла у всьому електромагнітному діапазоні. Він виводиться із закону Планка [[Інтеграл|інтегруванням]] за частотою або, залежно від форми запису, за довжиною хвилі{{Sfn|Karttunen et al.|2007|сторінки=103—104}}:

<math>\varepsilon(T) = \int_0^\infty{\varepsilon_\nu} d\nu = \int_0^\infty{\varepsilon_\lambda} d\lambda</math> ,

<math>\varepsilon(T) = \frac{2\pi h}{c^2} \int_0^\infty \frac{\nu^3 d \nu}{e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1}</math>.

Введемо змінну <math display="inline">x = \frac{h\nu}{kT}</math>, тоді <math display="inline">d\nu = \frac{kT}{h}dx</math>{{Sfn|Karttunen et al.|2007|сторінки=103—104}}:

<math>\varepsilon(T) = \frac{2\pi h}{c^2} \frac{k^4}{h^4} T^4 \int_0^\infty \frac{x^3 d x}{e^x - 1}</math>.

Отриманий інтеграл зводиться до [[Дзета-функція Рімана|дзета-функції Рімана]], і має точне значення <math>~\pi^4 / 15 </math>. Підставивши його, отримаємо відомий [[закон Стефана — Больцмана]]{{Sfn|Karttunen et al.|2007|сторінки=103—104}}:

<math>\varepsilon(T)= \frac{2\pi^5 k^4}{15 c^2 h^3}T^4 = \sigma T^4</math>

Підстановка чисельних значень констант дає значення для <math> \sigma = 5,66961 \cdot 10^{-8}</math> Вт/(м<sup>2</sup><math>\cdot</math> K<sup>4</sup>), що добре узгоджується з експериментом.

=== Закон зміщення Віна ===
[[Файл:PlankLaw.PNG|thumb|За законом зміщення Віна довжина хвилі, на якій досягається максимальна випромінювальна здатність, обернено пропорційна температурі]]
[[Закон зміщення Віна]] пов'язує довжину хвилі, де випромінювальна здатність абсолютно чорного тіла максимальна, з його температурою. Він виводиться із закону Планка диференціюванням його за частотою чи довжиною хвилі, залежно від форми запису, та прирівнюванням похідної до нуля, що досягається у максимумі функції{{Sfn|Karttunen et al.|2007|сторінки=104—105}}:

<math>
         \frac{ \mathrm{d}u_p(\lambda, T)}{\mathrm{d} \lambda} = 
    \frac{
          4 \pi^2 \hbar c^2 
                             \left\{  
                                    \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda}
                                    \mathrm{exp} 
                                        \left( \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} 
                                        \right)
                                    - 5 \left[ 
                                              \mathrm{exp} \left( \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} \right) -1 
                                        \right]
                             \right\}
         }
         {\lambda^6 	\left[ \mathrm{exp} \left( \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} \right) -1  \right]^2} =0
</math>.
Значення <math>\lambda_m</math>, при якому функція досягає максимуму, перетворює на нуль вираз, що стоїть у фігурних дужках. Означимо <math> \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda_m} = x</math>, та отримаємо рівняння:

<math>
       ~xe^x-5(e^x-1)=0
</math>.
Розв'язок такого рівняння дає x=4,96511.Отже, <math> \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda_m} = 4,965</math>, звідси виходить:
<math>
        T \lambda_m = \frac{2 \pi \hbar c}{4.965 k} = b
</math>.
Чисельна підстановка констант дає значення для b=0,0028999 К·м, що збігається з експериментальним, а також зручну наближену формулу <math>\lambda_{\max}T \approx 3000 \quad </math> мкм·К. Так, сонячна поверхня має максимум інтенсивності у зеленій області (0,5 мкм), що відповідає температурі близько 6000 К.

Хоча для частот можна виконати аналогічну процедуру, частоту максимуму спектральної щільності не можна розрахувати за формулою <math display="inline">\nu_{max} = \frac{c}{\lambda_{max}}</math>, Так як зв'язок між частотою і довжиною хвилі нелінійна, а випромінювальна здатність розраховується за випромінюванням на одиничному інтервалі частот або довжин хвиль {{Sfn|Karttunen et al.|2007|сторінки=104—105}}.

== Див. також ==
* [[Абсолютно чорне тіло]]
* [[Ультрафіолетова розбіжність]]

== Примітки ==
{{примітки|refs=
<ref name="sivuhin">{{книга|автор=Сивухін Д. В. |частина= |посилання частина= |заголовок= |оригінал= |посилання= |відповідальний= |видання= |місце=Москва |видавництво= |рік=1980 |том=Том 4 (Оптика) |сторінки= |сторінок= |серія= |isbn= |тираж=}} §&nbsp;117, Формула Релея&nbsp;— Джинса, формула 117.7, с. 692—694{{ref-ru}}</ref>
<ref name="savelev">{{книга|автор=Савельев И. В. — М.: , 1967. — Т. III. Оптика, атомная физика, элементарные частицы. — 416 с.,  |частина= |посилання частина= |заголовок=Курс общей физики |оригінал= |посилання= |відповідальний= |видання= |місце=Москва |видавництво=Наука |рік=1967 |том=III |сторінки= |сторінок=416 |серія= |isbn= |тираж=}} §&nbsp;52, Формула Рэлея&nbsp;— Джинса, формула 52.7, с. 253—258{{ref-ru}}</ref>
}}

== Література ==
* ''Планк М.'' [https://web.archive.org/web/20070929110653/http://dbserv.ihep.su/~elan/planckdisk/src/pl1900/rus.pdf Об одном улучшении закона излучения Вина.] Избранные научные труды. Русский пер. из сборника под ред. А.&nbsp;П.&nbsp;Виноградова, стр.249
* ''Планк М.'' [https://web.archive.org/web/20070929102858/http://dbserv.ihep.su/~elan/planckdisk/src/pl1900b/rus.pdf К теории распределения энергии излучения нормального спектра.] Избранные научные труды. Русский пер. из сборника под ред. А.&nbsp;П.&nbsp;Виноградова, стр. 251

== Посилання ==
* {{YouTube|-cIT8oQ1nS4|Випромінювання абсолютно чорного тіла|logo=1}}, канал [[НДІ астрономії ХНУ]]
* [http://www.vias.org/simulations/simusoft_blackbody.html Симулятор випромінювання абсолютно чорного тіла] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151121055502/http://www.vias.org/simulations/simusoft_blackbody.html |date=21 листопада 2015 }}

[[Категорія:Статистична фізика]]
[[Категорія:Квантова фізика]]
[[Категорія:1900 у науці]]
[[Категорія:Макс Планк]]