Перегляд вихідного коду сторінки Закон Бенфорда

[[Файл:Logscale.svg|thumb|425px|[[Логарифмічна шкала]]. Випадкове число з координатою <math>x</math> у близько 30 % випадків матиме першу цифру «1» (найширший проміжок кожного [[степінь|степеня]] десяти).]]
[[Файл:Rozklad benforda.svg|thumb|right|Розподіл Бенфорда]]

'''Закон [[Френк Бенфорд|Бенфорда]]''' або '''закон першої цифри''' ('''''Закон Ньюкомба-Бенфорда''''')&nbsp;— [[статистика|статистичний]] закон, відповідно до якого перша цифра чисел із багатьох (але не всіх) типових джерел інформації у повсякденному житті вживається нерівномірно. Відповідно до цього закону, найчастіше першою цифрою чисел є одиниця, у той час, як наступні цифри з'являються в найвищому розряді все рідше й рідше.

Закон існує тоді, коли [[логарифм]]и множини чисел розподілені рівномірно, що наближено справджується для багатьох реальних показників. У чистому вигляді справдження цієї властивості означатиме, що цифра «1» стоїть на першій позиції у близько 30 % чисел, у той час, як «9» є першою в менш ніж одному з 21 випадків.

Закон використовується для визначення можливих фальсифікацій статистичної інформації, зокрема на [[вибори|виборах]].

Згідно із законом Бенфорда, перша цифра <math display="inline">d</math> (<math display="inline">d \in {1, ..., b - 1}</math>) з [[Позиційні системи числення|основою]] <math display="inline">b</math> (<math display="inline">b > 2</math>) трапляється з імовірністю 
:<math>P(d)=\log_b(d+1)-\log_b(d)=\log_b \left(1+\frac{1}{d}\right)</math>

Для [[десяткова система числення|десяткової системи числення]]
{| class="wikitable"
! {{nobold|{{mvar|d}}}} !! {{tmath|P(d)}} !! Відносний розмір {{tmath|P(d)}}
|-
| 1 || style="text-align:right;"| {{bartable|30,1|%|10}}
|-
| 2 || style="text-align:right;"| {{bartable|17,6|%|10}}
|-
| 3 || style="text-align:right;"| {{bartable|12,5|%|10}}
|-
| 4 || style="text-align:right;"| {{bartable| 9,7|%|10}}
|-
| 5 || style="text-align:right;"| {{bartable| 7,9|%|10}}
|-
| 6 || style="text-align:right;"| {{bartable| 6,7|%|10}}
|-
| 7 || style="text-align:right;"| {{bartable| 5,8|%|10}}
|-
| 8 || style="text-align:right;"| {{bartable| 5,1|%|10}}
|-
| 9 || style="text-align:right;"| {{bartable| 4,6|%|10}}
|}

== Приклади ==
[[Файл:Benfords law illustrated by world's countries population.png|thumb|right|Розподіл перших цифр (червоні стовпчики, %) у [[Список країн за населенням|населеннях 237 країн]] світу. Чорними цятками позначено розподіл Бенфорда.]]

У списку висот 58 [[Список найвищих будівель світу#Перелік_найвищих_будинків_світу_за_архітектурною_висотою|найвищих будівель світу у своїй категорії]] (станом на вересень [[2010]] р.) цифра «1» стоїть на першій позиції частіше ніж більшість інших цифр ''незалежно від одиниці вимірювання'', у той час, як цифра «9» вживається чи не найрідше:
{| class="wikitable"
|-
! rowspan=2 width="20%"| Перша цифра
! colspan=2 | [[Метр]]и
! colspan=2 | [[Фут]]и
|-
! width="20%" | Кількість
! width="20%" | Відсоток
! width="20%" | Кількість
! width="20%" | Відсоток
|-
| 1
| 27
| 47,4 %
| 13
| 22,8 %
|-
| 2
| 8
| 14,0 %
| 8
| 14,0 %
|-
| 3
| 7
| 12,3 %
| 8
| 14,0 %
|-
| 4
| 5
| 8,8 %
| 3
| 5,3 %
|-
| 5
| 2
| 3,5 %
| 14
| 24,6 %
|-
| 6
| 3
| 5,3 %
| 5
| 8,8 %
|-
| 7
| 2
| 3,5 %
| 3
| 5,3 %
|-
| 8
| 3
| 5,3 %
| 1
| 1,8 %
|-
| 9
| 0
| 0,0 %
| 2
| 3,5 %
|}

== Див. також ==
* [[Френк Бенфорд]]

== Джерела ==
* {{Cite journal
 |author1      = Arno Berger
 |author2      = Theodore P. Hill
 |title        = What is...Benford's law?
 |journal      = Notices of the AMS
 |volume       = 64
 |issue        = 2
 |year         = 2017
 |pages        = 132–134
 |url          = http://www.ams.org/publications/journals/notices/201702/rnoti-p132.pdf
 |doi          = 10.1090/noti1477
 |accessdate   = 5 січня 2021
 |archive-date = 24 лютого 2021
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20210224155422/https://www.ams.org/publications/journals/notices/201702/rnoti-p132.pdf
}}

== Посилання ==
* [http://www.hups.mil.gov.ua/periodic-app/article/19323/soi_2019_2_5.pdf ВИКОРИСТАННЯ ЗАКОНУ БЕНФОРДА (ЗАКОНУ ПЕРШОЇ ЦИФРИ, ЗАКОНУ АНОМАЛЬНИХ ВІДХИЛЕНЬ) ПІД ЧАС ПРОВЕДЕННЯ ФІНАНСОВОГО АУДИТУ] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200213055447/http://www.hups.mil.gov.ua/periodic-app/article/19323/soi_2019_2_5.pdf |date=13 лютого 2020 }} 2019
* [http://2000.net.ua/2000/svoboda-slova/42009 Закон Бенфорда определяет возможную фальсификацию на выборах — Еженедельник 2000, 23.05.2008]{{Недоступне посилання|date=липень 2019 |bot=InternetArchiveBot }}

{{математика-доробити}}

{{Розподіли ймовірності}}

[[Категорія:Статистика]]
[[Категорія:Комп'ютерна лінгвістика]]
[[Категорія:Теорія розподілів імовірності]]
[[Категорія:Статистичні закони]]