Перегляд вихідного коду сторінки Закон Ампера

[[Файл:18. Амперова сила.ogv|thumb|right|280px|]]
[[Файл:Ампера закон.jpg|міні|праворуч|200пкс]][[Файл:Взаимодействие двух элементарных токов.jpg|міні|праворуч|200пкс|Взаємодія двох елементарних струмів: а&nbsp;— паралельних, б&nbsp;— антипаралельних (всі відрізки (вектори) лежать в одній площині)]]

'''Закон Ампера'''&nbsp;— закон взаємодії постійних [[Електричний струм|струмів]], котрий установив [[Андре-Марі Ампер]] [[1820]] року. Із закону Ампера виходить, що паралельні [[Електричний провід|провідники]] з постійними струмами, які течуть в одному напрямі, притягуються, а в протилежному&nbsp;— відштовхуються. Законом Ампера називають також закон, що визначає силу, з якою [[магнітне поле]] діє на невеликий відрізок провідника зі струмом.

'''Сила Ампера'''&nbsp;— це сила, з якою магнітне поле діє на провідник зі струмом.

: <math>F=B I L \sin\alpha\!</math>

Сила Ампера залежить від [[сила струму|сили струму]] <math>I </math>, елемента (частини) довжини провідника <math>dl </math>, кута між напрямом струму і напрямком [[силова лінія|ліній магнітного поля]] <math> \alpha </math> та [[магнітна індукція|магнітної індукції]] <math>B </math>, і задається формулою

: <math>dF = B I dl \sin\alpha\!</math>

У векторній формі силу Ампера записують так:
: <math> d\mathbf{F} = I [\mathbf{dl}, \mathbf{B}] </math>.

== Фізичний зміст закону Ампера ==
Під законом Ампера мають на увазі сукупність тверджень і формул, що розкривають силовий вплив на провідник зі струмом з боку магнітного поля&nbsp;— можливо, створеного іншим провідником зі струмом. Закон визначає:

* силу дії малого відрізка провідника <math>dl_1</math> зі струмом <math>I_1</math> на інший малий відрізок <math>dl_2</math> зі струмом <math>I_2</math>:

:: <math>d^2\vec{F}_{12} = \frac{\mu_0I_1I_2}{4\pi}\cdot \frac{d\vec{l}_2\times [d\vec{l}_1\times(\vec{r}_2-\vec{r}_1)]}{|\vec{r}_1-\vec{r}_2|^3} = I_2 d\vec{l}_2\times d\vec{B}_1(\vec{r}_2)</math>,
: де <math>\vec{r}_1</math> і <math>\vec{r}_2</math>&nbsp;— [[радіус-вектор]]и елементів довжини провідників <math>d\vec{l}_1</math> і <math>d\vec{l}_2</math>, а <math>d^2\vec{F}_{12}</math>&nbsp;— сила дії елемента <math>d\vec{l}_1</math> (який створює поле <math>d\vec{B}_1(\vec{r}_2)</math> в точці <math>\vec{r}_2</math>) на елемент <math>d\vec{l}_2</math>; <math>\mu_0</math>&nbsp;— магнітна стала;

* силу взаємодії двох провідних замкнутих контурів форми <math>C_1</math> і <math>C_2</math> зі струмами <math>I_1</math> і <math>I_2</math>:

:: <math>\mathbf{F}_{12}={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\oint\limits_{\Complex_2}\oint\limits_{\Complex_1}\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1]]}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3} </math>,
: де <math>\mathbf{r}_1</math> і <math>\mathbf{r}_2</math>&nbsp;— [[радіус-вектор]]и, які пробігають усі точки контурів <math>C_1</math>, <math>C_2</math>, а <math>\mathbf{F}_{12}</math>&nbsp;— сила, з якою контур <math>C_1</math> діє на контур <math>C_2</math>. По суті, це інтегрування виразу з попереднього пункту;

* силу, з якою [[магнітне поле]] діє на відрізок провідника <math>dl</math> зі струмом <math>I</math> (A), плоску ділянку <math>dS</math> зі струмом <math>\vec{i}</math> (А/м) або малий об'єм <math>dV</math> зі струмом <math>\vec{j}</math> (А/м<sup>2</sup>):

:: <math>d\vec{F} = I d\vec{l} \times \vec{B},\qquad d\vec{F} = \vec{i} dS \times \vec{B},\qquad d\vec{F} = \vec{j} dV \times \vec{B}</math>.
: Напрямок сили <math>d\vec F</math> визначають за правилом обчислення [[Векторний добуток|векторного добутку]]. Її модуль у разі проводу знаходять як <math>dF = I B dl \sin\alpha</math>, де <math>\alpha</math>&nbsp;— кут між <math>\vec{B}</math> і напрямком струму. Сила найбільша, коли провідник перпендикулярний до ліній магнітної індукції (<math>\alpha = 90^\circ</math>). Інтегрування дозволяє отримати силу дії поля на об'єкт у цілому.

== Випадок двох паралельних провідників ==
[[Файл:MagneticWireAttraction.svg|міні|Два нескінченних рівнобіжних провідники зі струмами у вакуумі]]
Найвідомішим прикладом, що показує силу Ампера, є така задача. У вакуумі на відстані <math>r</math> один від одного розташовані два нескінченних паралельних провідника, в яких в одному напрямку течуть струми <math>I_1</math> і <math>I_2</math>. Потрібно знайти силу, яка діє на одиницю довжини провідника.

За [[Закон Біо — Савара — Лапласа|законом Біо&nbsp;— Савара&nbsp;— Лапласа]] нескінченний провідник зі струмом <math>I_1</math> у точці на відстані <math>r</math> створює магнітне поле з індукцією

: <math>\vec{B}_1(r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2I_1}{r}\,\vec{e}_{\varphi}</math>,

де <math>\mu_0 </math>&nbsp;— [[магнітна стала]], <math>\vec{e}_{\varphi}</math>&nbsp;— одиничний вектор уздовж кола, віссю симетрії якого є провід зі струмом <math>I_1</math>.

За законом Ампера знайдемо силу, з якою перший провідник діє на малу ділянку <math>d\vec{l}</math> другого:

: <math>d\vec F_{12} = I_2 d\vec l \times \vec B_1(r).</math>

За правилом лівої руки, <math>d\vec F_{12}</math> спрямована в бік першого провідника (так само, сила <math>d\vec F_{21}</math>, яка діє на перший провідник, спрямована в бік другого провідника). Отже, провідники притягуються.

Модуль цієї сили (<math>r</math>&nbsp;— відстань між провідниками):

: <math>dF_{12} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2 I_1 I_2}{r} dl.</math>

Інтегруємо за ділянкою провідника довжини <math>L</math> (межі інтегрування за <math>l</math> від 0 до <math>L</math>):

: <math>F_{12} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2 I_1 I_2}{r}\cdot L.</math>

Якщо <math>L</math>&nbsp;— одинична довжина, то цей вираз задає шукану силу взаємодії.

== Прояви закону Ампера ==

* Електродинамічне зрушення шин (струмопроводів) трифазного [[Змінний струм|змінного струму]] на підстанціях під дією струмів [[Коротке замикання|короткого замикання]].
* Розсування струмопроводів [[рейкотрон]]а під час пострілу.

== Застосування ==
Будь-які вузли в [[Електротехніка|електротехніці]], де під дією [[Електромагнітне поле|електромагнітного поля]] відбувається рух будь-яких елементів, використовують закон Ампера. Принцип роботи електромеханічних машин (рух частини обмотки [[ротор]]а відносно частини обмотки [[статор]]а) ґрунтується на використанні закону Ампера, і найбільш поширений пристрій&nbsp;— це [[електродвигун]], або, що конструктивно майже те саме&nbsp;— [[Електричний генератор|генератор]]. Саме під дією сили Ампера відбувається обертання ротора, оскільки на його обмотку діє магнітне поле статора, приводячи в рух. Будь-які транспортні засоби на електротязі для обертання валів, на яких розміщено колеса, використовують силу Ампера ([[Трамвай|трамваї]], електрокари, електропоїзди тощо).

Також магнітне поле рухає механізми електроприводів (електро-двері, розсувні ворота, двері [[Ліфт|ліфта]]). Іншими словами: будь-які пристрої, які працюють на електриці і мають рухомі вузли, засновані на використанні закону Ампера.

Також, він застосовується в багатьох інших видах [[Електротехніка|електротехніки]] — навушниках чи наприклад, у [[Електродинамічний гучномовець|динамічному гучномовці]] (динаміку): в ньому для збудження мембрани, яка виробляє звукові коливання, використовують постійний магніт, на нього під дією електромагнітного поля, створюваного розташованим поруч провідником зі струмом, діє сила Ампера, яка змінюється відповідно до потрібної звукової частоти.

Також:

* Електродинамічне стиснення [[Плазма (агрегатний стан)|плазми]]; наприклад, у [[токамак]]ах, установках [[Пінч-ефект|Z-пінч]].
* [[Магнітно-імпульсний прес|Електродинамічний метод пресування]].

== Сила Ампера і третій закон Ньютона ==
Нехай є два тонких провідники зі струмами <math>I_1</math> і <math>I_2</math>, що мають форму кривих <math>C_1</math> і <math>C_2</math>, які задані радіус-векторами <math>\mathbf{r}_1</math> і <math>\mathbf{r}_2</math>.

Для сил взаємодії нескінченно малих ділянок цих провідників [[третій закон Ньютона]] не виконується. А саме, сила Ампера для впливу елемента першого провідника на елемент другого <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12}</math> не дорівнює взятій із протилежним знаком силі, що діє з боку елемента другого провідника на елемент першого <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{21}</math>:

: <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12} = I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2 \times\mathrm{d}\mathbf B_1 (\mathbf{r}_2) \neq -\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{21} = -I_1\mathrm{d}\mathbf{r}_1 \times\mathrm{d}\mathbf B_2 (\mathbf{r}_1)</math>.

Тут <math>\mathrm{d}\mathbf B_1</math> і <math>\mathrm{d}\mathbf B_2</math>&nbsp;— поле, створюване ділянкою першого і ділянкою другого проводу, відповідно. Цей факт ні в якому разі не компрометує динаміки Ньютона, оскільки [[постійний струм]] може протікати тільки по замкнутому контуру&nbsp;— і, отже, третій закон Ньютона зобов'язаний діяти тільки для сил, з якими взаємодіють два замкнутих провідники зі струмом. На відміну від окремих елементів, для замкнутих контурів закон Ньютона виконується:

: <math>\mathbf{F}_{12} = \oint\limits_{\Complex_2}(I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2 \times\mathbf B_1 (\mathbf{r}_2)) = -\mathbf{F}_{21} = -\oint\limits_{\Complex_1}(I_1\mathrm{d}\mathbf{r}_1 \times\mathbf B_2 (\mathbf{r}_1))</math>,

де <math>\mathbf B_1</math> і <math>\mathbf B_2</math>&nbsp;— поле, створюване цілком першим і цілком другим проводом (а не їх окремими ділянками). Поле в кожному випадку знаходять з використанням [[Закон Біо — Савара — Лапласа|формули Біо&nbsp;— Савара&nbsp;— Лапласа]].

{{Hidden begin
|title = Детальніший виклад
|border     = 1px solid silver;
|titlestyle = background:#ccccff;
}}
Нехай є два тонких провідники зі струмами <math>I_1</math> і <math>I_2</math>, що мають форму кривих <math>C_1</math> і <math>C_2</math>, які задані радіус-векторами <math>\mathbf{r}_1</math> та <math>\mathbf{r}_2</math>. Силу, що діє на елемент струму одного дроту з боку елемента струму іншого дроту, знаходять за законом Біо&nbsp;— Савара&nbsp;— Лапласа: елемент струму <math>I_1\mathrm{d}\mathbf{r}_1</math>, розташований у точці <math>\mathbf{r}_1</math>, створює в точці <math>\mathbf{r}_2</math> елементарне магнітне поле
: <math>\mathrm{d}\mathbf B_1 (\mathbf{r}_2)= {\mu_0 \over 4\pi}\frac{I_1[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}</math>.
За законом Ампера сила, що діє з боку поля <math>\mathrm{d}\mathbf B_1 (\mathbf{r}_2)</math> на елемент струму <math>I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2</math>, розташований у точці <math>\mathbf{r}_2</math>, дорівнює
: <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12} = I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2 \times\mathrm{d}\mathbf B_1 (\mathbf{r}_2) = {\mu_0I_1I_2 \over 4\pi} \frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}.</math>

Елемент струму <math>I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2</math>, розташований у точці <math>\mathbf{r}_2</math>, створює в точці <math>\mathbf{r}_1</math> елементарне магнітне поле
: <math>\mathrm{d}\mathbf B_2 (\mathbf{r}_1) = {\mu_0 \over 4\pi}\frac{I_2[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}</math>.

Сила Ампера, що діє з боку поля <math>\mathrm{d}\mathbf B_2 (\mathbf{r}_1)</math> на елемент струму <math>I_1\mathrm{d}\mathbf{r}_1</math>, розташований у точці <math>\mathbf{r}_1</math>, дорівнює
: <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{21} = I_1\mathrm{d}\mathbf{r}_1 \times\mathrm{d}\mathbf B_2 (\mathbf{r}_1) = {\mu_0I_1I_2 \over 4\pi} \frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2]]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}.</math>

У загальному випадку для довільних <math>\mathbf{r}_1</math> і <math>\mathbf{r}_2</math> сили <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12}</math> і <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{21}</math> навіть не колінеарні, а отже, не підлягають третьому закону Ньютона: <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12}+\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{21} \neq 0</math>.

Цей результат, однак, не вказує на неспроможність динаміки Ньютона в цьому випадку. Загалом, постійний струм може текти лише по замкнутому контуру. Тому третій закон Ньютона має діяти тільки для сил, з якими взаємодіють два замкнуті провідники зі струмом. Можна переконатися, що для таких провідників третій закон Ньютона виконується.

Нехай криві <math>C_1</math> і <math>C_2</math> замкнуті. Тоді струм <math>I_1</math> створює в точці <math>\mathbf{r}_2</math> магнітне поле
: <math>\mathbf B_1 (\mathbf{r}_2) = {\mu_0I_1 \over 4\pi}\oint\limits_{\Complex_1} 
\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3},</math>
де інтегрування за <math>C_1</math> виконується в напрямку струму <math>I_1</math>. Сила Ампера, що діє з боку поля <math>\mathbf B_1 (\mathbf{r}_2)</math> на контур <math>C_2</math> зі струмом <math>I_2</math>, дорівнює
: <math>\mathbf{F}_{12} = \oint\limits_{\Complex_2}(I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2 \times\mathbf B_1 (\mathbf{r}_2)) = \oint\limits_{\Complex_2}(I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2 \times{\mu_0I_1 \over 4\pi}\oint\limits_{\Complex_1} \frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}) ={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}   \oint\limits_{\Complex_2}\oint\limits_{\Complex_1}\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3},</math>
де інтегрування за <math>C_2</math> виконується в напрямку струму <math>I_2</math>. Порядок інтегрування несуттєвий.

Аналогічно сила Ампера, що діє з боку поля <math>\mathbf B_2 (\mathbf{r}_1)</math>, створюваного струмом <math>I_2</math>, на контур <math>C_1</math> зі струмом <math>I_1</math>, дорівнює
: <math>\mathbf{F}_{21} = \oint\limits_{\Complex_1}(I_1\mathrm{d}\mathbf{r}_1 \times\mathbf B_2 (\mathbf{r}_1)) = {\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}   \oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2}\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2]]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}=\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2}\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{21}.</math>

Рівність <math>\mathbf{F}_{12}+\mathbf{F}_{21} = 0</math> еквівалентна рівності
: <math>\oint\limits_{\Complex_2}\oint\limits_{\Complex_1}\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}=\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2}\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}</math>.

Щоб довести цю останню рівність, зауважимо, що вираз для сили Ампера дуже схожий на вираз для циркуляції магнітного поля за замкнутим контуром, у якому зовнішній скалярний добуток замінили векторним добутком.

Користуючись тотожністю Лагранжа, подвійний векторний добуток у лівій частині рівності, що доводиться, можна записати так:
: <math>[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]]=\mathrm{d}\mathbf{r}_1(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)-(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1).</math>

Тоді ліва частина рівності, що доводиться, набуде вигляду:

: <math>\oint\limits_{\Complex_2}\oint\limits_{\Complex_1}\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1]]}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}=\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_1(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}-\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2}\frac{(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}.</math>

Розглянемо окремо інтеграл <math>\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_1(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}</math>, який можна переписати в такому вигляді:

: <math>\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_1(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}=\oint\limits_{\Complex_1}\mathrm{d}\mathbf{r}_1\oint\limits_{\Complex_2}\frac{(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1,\mathrm{d}(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1))}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}.</math>

Виконавши заміну змінної у внутрішньому інтегралі на <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1</math>, де вектор <math>\mathbf{r}</math> змінюється за замкнутим контуром <math>C_2'</math>, виявимо, що внутрішній інтеграл є циркуляцією градієнтного поля за замкнутим контуром. Отже, він дорівнює нулю:

: <math>\oint\limits_{\Complex_2}\frac{(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1,\mathrm{d}(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1))}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}=\oint\limits_{\Complex_2'}\frac{(\mathbf{r},\mathrm{d}\mathbf{r})}{|\mathbf r|^3}=-\oint\limits_{\Complex_2'}(\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|}),\mathrm{d}\mathbf{r})=0.</math>

Отже, і весь подвійний криволінійний інтеграл дорівнює нулю. У такому разі для сили <math>\mathbf{F}_{12}</math> можна записати:

: <math>\mathbf{F}_{12}={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2}\frac{(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2)(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}.</math>

Вираз для сили <math>\mathbf{F}_{21}</math> можна отримати з виразу для сили <math>\mathbf{F}_{12}</math>, просто з міркувань симетрії. Для цього проведемо заміну індексів: 2 міняємо на 1, а 1&nbsp;— на 2. У такому разі для сили <math>\mathbf{F}_{21}</math> можна записати:

: <math>\mathbf{F}_{21}={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2}\frac{(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}.</math>

Теперь цілком очевидно, що <math>\mathbf{F}_{12}=-\mathbf{F}_{21}</math>. Отже, сила Ампера в разі замкнутих провідників підпорядкована третьому закону Ньютона.
{{hidden end}}

== Деякі історичні аспекти ==

=== Виявлення ефекту ===
1820 року [[Ганс Крістіан Ерстед]] відкрив, що провід, яким іде струм, створює магнітне поле і змушує відхилятися стрілку [[Компас|компаса]]. Він помітив, що магнітне поле перпендикулярне до струму, а не паралельне йому, як можна було б очікувати. Ампер, натхненний демонстрацією досліду Ерстеда, виявив, що два паралельні провідники, якими тече струм, притягуються або відштовхуються залежно від того, в одному чи різних напрямках по них тече струм. Таким чином, струм не лише створює магнітне поле, але й магнітне поле діє на струм. Вже через тиждень після оголошення Ерстедом про свій дослід, Ампер запропонував пояснення: провідник діє на магніт, через те що в магніті тече струм по безлічі маленьких замкнутих траєкторій<ref>{{Книга-ру|автор = Etienne Klein, Marc Lachieze-Rey|заглавие = The Quest for Unity: The Adventure of Physics|ссылка = https://archive.org/details/questforunityadv0000klei|ответственный = |издание = |место = New York|издательство = Oxford University Press|год = 1999|страницы = [https://archive.org/details/questforunityadv0000klei/page/43 43]-44|страниц = |isbn = 0-19-512085-X}}</ref><ref>{{Книга-ру|автор = Roger G Newton|заглавие = From Clockwork to Crapshoot: A History  of Physics|ссылка = https://archive.org/details/fromclockworktoc0000newt|ответственный = |издание = |место = |издательство = The Belknap Press of Harward University Press|год = 2007|страницы = [https://archive.org/details/fromclockworktoc0000newt/page/137 137]|страниц = |isbn = 978-0-674-03487-7}}</ref>.

=== Підбір формули для сили ===
Закон взаємодії двох елементарних електричних струмів, відомий як закон Ампера, насправді пізніше запропонував [[Герман Грассман]] (тобто його було б правильніше називати законом Грассмана).

Оригінальний закон Ампера мав дещо іншу форму: сила, що діє з боку елемента струму <math>I_1\mathrm{d}\mathbf{r}_1</math>, розташованого в точці <math>\mathbf{r}_1</math>, на елемент струму <math>I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2</math>, розташований у точці <math>\mathbf{r}_2</math>, дорівнює
: <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12}={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\frac{(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}\left(2(\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)-3\frac{(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^2}\right)</math>.

Силу, що діє з боку елемента струму <math>I_2\mathrm{d}\mathbf{r}_2</math>, розташованого в точці <math>\mathbf{r}_2</math>, на елемент струму <math>I_1\mathrm{d}\mathbf{r}_1</math>, розташований у точці <math>\mathbf{r}_1</math>, <!-- равна

: <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{21}={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\frac{(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}(2(\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)-3\frac{(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^2}).</math>

Формула силы <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{21}</math> --> можна отримати з формули сили <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12}</math> просто з міркувань симетрії, замінивши індекси: 2 на 1, а 1 на 2.

При цьому <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{21} = -\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12}</math>, тобто, оригінальний закон Ампера задовольняє третьому закону Ньютона вже в диференціальній формі. Ампер, перепробувавши низку виразів, зупинився саме на такому.

Якщо при розгляді якоїсь задачі розрахунку сили взаємодії (на ділі, несталих) незамкнутих струмів із порушенням третього закону Ньютона миритися не можна, є варіант використати оригінальний закон Ампера. У разі закону Грассмана при цьому доводиться включати до розгляду додаткову фізичну сутність&nbsp;— магнітне поле, щоб компенсувати недотримання третього закону.

Можна довести, що в інтегральній формі оригінального закону Ампера сили, з якими взаємодіють два замкнені провідники з постійними струмами, виходять тими самими, що й у законі Грассмана.

{{hidden begin
|title=Доведення
|border     = 1px solid silver;
|titlestyle = background:#ccccff;
}}
Щоб довести це, запишемо силу <math>\mathbf{F}_{21}</math> в такому вигляді:

: <math>\mathbf{F}_{21}={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2}\frac{(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)(\mathrm{d}\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}+{\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2}\frac{(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_2 - \mathbf{r}_1|^3}((\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)-3\frac{(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^2}).</math>

Очевидно, щоб сила вийшла тією ж, що й у законі Грассмана, достатньо довести, що другий доданок дорівнює нулю. Далі другий доданок будемо розглядати без жодних коефіцієнтів перед знаками інтегралів, оскільки ці коефіцієнти в загальному випадку нулю не дорівнюють, і тому нулю має дорівнювати сам подвійний криволінійний інтеграл.

Отже, позначимо <math>\mathbf{P}=\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2}\frac{(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}((\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)-3\frac{(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^2})</math>. А довести слід, що <math>\mathbf{P}=0</math>

Припустимо, що в <math>\mathbf{P}</math> інтегрування проводиться спочатку за контуром <math>C_2</math>. В цьому випадку можна зробити заміну змінної: <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1</math>, де вектор <math>\mathbf{r}</math> змінюється за замкнутим контуром <math>C_2'</math>. Тоді можна записати

: <math>\mathbf{P}=\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2'}\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf r|^3}((\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r})-3\frac{(\mathbf{r},\mathrm{d}\mathbf{r}_1)(\mathbf{r},\mathrm{d}\mathbf{r})}{|\mathbf r|^2}).</math>

Тепер при інтегрированні за контуром <math>C_2'</math> отримаємо деяку векторну функцію від <math>\mathbf{r}_1</math>, яку потім проінтегруємо за контуром <math>C_1</math>.

Можна довести, що <math>\mathbf{P}</math> можна подати у вигляді <math>\mathbf{P}=-\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2'}\mathbf{r}(\mathrm{grad}(\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|}),\mathrm{d}\mathbf{r}),\mathrm{d}\mathbf{r}_1)</math>, де обидва градієнти беруться за змінною <math>\mathbf{r}</math>. Доведення тривіальне, достатньо провести процедуру взяття градієнтів.

Далі за тотожністю Лагранжа можна записати:

: <math>\begin{align}
&\mathrm{grad}(\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|}),\mathrm{d}\mathbf{r})=\nabla(\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|}),\mathrm{d}\mathbf{r})=[\mathrm{d}\mathbf{r},[\nabla,\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})]]+(\mathrm{d}\mathbf{r},\nabla)\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})=\\
&=0+{\partial\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})\over\partial x}\mathrm{d}x+{\partial\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})\over\partial y}\mathrm{d}y+{\partial\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})\over\partial z}\mathrm{d}z=\mathrm{d}(\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|}))\\
\end{align}. </math>

Тут нуль вийшов як ротор градієнтного поля. У результаті вийшов повний диференціал векторної функції

<math>\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|}) </math>. Значит, теперь <math>\mathbf{P}</math> можно представить в виде <math>\mathbf{P}=-\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2'}\mathbf{r}(\mathrm{d}(\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})),\mathrm{d}\mathbf{r}_1)</math>. Цей інтеграл можна взяти, проінтегрувавши окремо кожну проєкцію. Наприклад проінтегруємо проєкцію x.

: <math>P_x=-\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2'}x(\mathrm{d}(\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})),\mathrm{d}\mathbf{r}_1)=
-\oint\limits_{\Complex_1}(\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\oint\limits_{\Complex_2'}\mathrm{d}(x\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|}))-\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})\mathrm{d}x).</math>

Інтеграл від повного диференціала за будь-яким замкнутим контуром дорівнює нулю: <math>\oint\limits_{\Complex_2'}\mathrm{d}(x\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|}))=0</math>, тому <math>P_x</math> набуде вигляду:

: <math>P_x=\oint\limits_{\Complex_1}(\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\oint\limits_{\Complex_2'}\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})\mathrm{d}x)=
\oint\limits_{\Complex_1}(\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\oint\limits_{\Complex_2}\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|^3}\mathrm{d}x_2).
</math>

Цього разу потрібно інтегрувати спочатку за контуром <math>C_1</math>. Зробимо заміну змінної: <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2</math>, де вектор <math>\mathbf{r}</math> змінюється за замкнутим контуром <math>C_1'</math>. Тоді можна записати

: <math>P_x=\oint\limits_{\Complex_2}\mathrm{d}x_2\oint\limits_{\Complex_1'}(\mathrm{d}\mathbf{r},\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3})
=-\oint\limits_{\Complex_2}\mathrm{d}x_2\oint\limits_{\Complex_1'}(\mathrm{d}\mathbf{r},\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|}))=0
,</math>
де градієнт знову береться за змінною <math>\mathbf{r}</math>.

Оскільки у виразі знову з'явилася циркуляція градієнтного поля за замкнутим контуром, то <math>P_x=0</math>.

Аналогічно можна записати для інших двох проєкцій:

: <math>P_y=-\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2'}y(\mathrm{d}(\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})),\mathrm{d}\mathbf{r}_1)=
-\oint\limits_{\Complex_1}(\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\oint\limits_{\Complex_2'}\mathrm{d}(y\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|}))-\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})\mathrm{d}y)=0,</math>

: <math>P_z=-\oint\limits_{\Complex_1}\oint\limits_{\Complex_2'}z(\mathrm{d}(\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})),\mathrm{d}\mathbf{r}_1)=
-\oint\limits_{\Complex_1}(\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\oint\limits_{\Complex_2'}\mathrm{d}(z\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|}))-\mathrm{grad}(\frac{1}{|\mathbf{r}|})\mathrm{d}z)=0.</math>

Отже, <math>\mathbf{P}=0</math>.
{{hidden end}}

[[Джеймс Клерк Максвелл|Максвелл]] запропонував найзагальнішу форму закону взаємодії двох елементарних провідників зі струмом, у якій є коефіцієнт k (його не можна визначити без деяких припущень, що ґрунтуються на дослідах, у яких активний струм утворює замкнутий контур)<ref>{{Книга
|автор = Maxwell, James Clerk
|заголовок = Treatise on Electricity and Magnetism
|відповідальний = 
|видання = 
|місце = Oxford
|видавництво = 
|рік = 1904
|сторінки = 173
|сторінок = 
|ISBN = 
}}</ref>:

: <math>\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12}=\frac{1}{2}{\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\left(
\begin{align}
&(3-k)\frac{(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2)(\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}-3(1-k)\frac{(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2)(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^5}-\\
&-(1+k)\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_1(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}-(1+k)\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_2(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}\\
\end{align}\right). </math>

У власній теорії [[Андре-Марі Ампер|Ампер]] узяв <math>k=-1</math>, [[Карл Фрідріх Гаусс|Гаус]] прийняв <math>k=+1</math>, як [[Герман Грассман|Грассман]] і [[Рудольф Клаузіус|Клаузіус]]. У неефірних електронних теоріях [[Вільгельм Едуард Вебер|Вебер]] прийняв <math>k=-1</math>, а [[Бернгард Ріман|Ріман]] прийняв <math>k=+1</math>. [[Вальтер Ріц|Ріц]] у своїй теорії залишив <math>k</math> невизначеним.

Для сили взаємодії двох замкнутих контурів <math>C_1</math> і <math>C_2</math> з <math>k=+1</math> виходить стандартний вираз.

{{hidden begin
|title=Подробиці розрахунку
|border     = 1px solid silver;
|titlestyle = background:#ccccff;
}}
: <math>\begin{align}
&\mathrm{d}^2\mathbf{F}_{12}={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\left(\frac{(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2)(\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}-\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_1(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_2)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}-\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_2(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}\right)=\\
&={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\left(\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1]]}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}-\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_2(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}\right)\\
\end{align}. </math>

Тут перші два доданки об'єднано за тотожністю Лагранжа, третій доданок при інтегруванні за замкнутим контуром <math>C_1</math> і <math>C_2</math> дасть нуль. Справді,

: <math>\oint\limits_{\Complex_2}\oint\limits_{\Complex_1}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_2(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2,\mathrm{d}\mathbf{r}_1)}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}=
\left[\begin{align}
&\mathbf{r}=\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\\
&C_1\rightarrow C_1'\\
\end{align}
\right]=
\oint\limits_{\Complex_2}\mathrm{d}\mathbf{r}_2\oint\limits_{\Complex_1'}\frac{(\mathbf{r},\mathrm{d}\mathbf{r})}{|\mathbf r|^3}=
\oint\limits_{\Complex_2}\mathrm{d}\mathbf{r}_2\oint\limits_{\Complex_1'}(\mathrm{grad}\frac{1}{|\mathbf{r}|},\mathrm{d}\mathbf{r})=0
.</math>

Таким чином, отримуємо форму закону Ампера, дану Максвеллом:

: <math>\mathbf{F}_{12}={\mu_0I_1I_2 \over 4\pi}\oint\limits_{\Complex_2}\oint\limits_{\Complex_1}\frac{[\mathrm{d}\mathbf{r}_2,[\mathrm{d}\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1]]}{|\mathbf r_1 - \mathbf{r}_2|^3}
.</math>
{{hidden end}}

Хоча сила завжди однакова за різних <math>k</math>, [[момент сили]] може відрізнятися. Наприклад, при взаємодії двох нескінченних проводів, які перетинаються під прямим кутом, сила взаємодії дорівнюватиме нулю. Якщо розрахувати моменти сил, що діють на кожен із проводів, за формулою Грассмана, жоден з них не буде рівним нулю (хоча їх сума буде рівною нулю). Якщо ж розрахувати моменти сил за оригінальним законом Ампера, кожен з них дорівнюватиме нулю.

== Закон Ампера як релятивістський ефект ==
Електричний струм у провіднику це рух зарядів відносно інших зарядів. Цей рух приводить в [[Спеціальна теорія відносності|СТО]] до ефектів, які в класичній фізиці пояснюють окремою фізичною сутністю&nbsp;— магнетизмом. У СТО ці ефекти не вимагають уведення магнетизму, і, в першому наближенні, достатньо розгляду кулонівських взаємодій. Для розкриття закону Ампера в межах СТО [[провідник]] описують прямою з деякою лінійною густиною додатних зарядів і прямою з рухомими зарядами. Заряд [[Інваріант (фізика)|інваріантний]], тому ефект [[Лоренцеве укорочення|лоренцевого скорочення довжини]] створює різницю між густиною додатних і від'ємних зарядів у спочатку, нейтральному металевому проводі. Звідси і виникнення сили притягання або відштовхування між двома провідниками зі струмом.<ref>{{Cite web |url=http://lms.physics.spbstu.ru/pluginfile.php/524/mod_resource/content/1/lect_01_m.pdf |title=Лекция 1. Магнитостатика. Релятивистский характер магнитного поля. // Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (СПбПУ) |accessdate=10 січня 2022 |archive-date=28 грудня 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181228035257/http://lms.physics.spbstu.ru/pluginfile.php/524/mod_resource/content/1/lect_01_m.pdf }}</ref><ref>Савельев И.&nbsp;В.&nbsp;Курс общей физики: Учеб. пособие. В 3-х т. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика.&nbsp;— 3-е изд., испр.&nbsp;— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.&nbsp;— 496 с. С.120</ref>

== Див. також ==
* [[Сила Лоренца]]
* [[Закон Ампера для циркуляції магнітного поля]]

== Література ==
{{примітки|2}}

== Джерела ==
* [http://bse.sci-lib.com/article046577.html Закон Ампера] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081229233407/http://bse.sci-lib.com/article046577.html |date=29 грудня 2008 }} у [[Велика радянська енциклопедія|Великій радянській енциклопедії]] {{ref-ru}}
{{Бібліоінформація}}
[[Категорія:Магнітостатика]]
[[Категорія:Електротехніка]]
[[Категорія:Електродинаміка]]
[[Категорія:Сила]]