Перегляд вихідного коду сторінки Задача Кеплера в загальній теорії відносності

'''[[Задача Кеплера]]''' загалом є задачею відшукання руху двох [[Список груп сферичної симетрії|сферично-симетричних]] тіл, що взаємодіють [[Гравітація|гравітаційно]]. В класичній теорії тяжіння розв'язок цієї проблеми знайшов сам Ісаак Ньютон: виявилося, що тіла будуть рухатися по конічних перетинах, залежно від початкових умов&nbsp;— по еліпсах, параболах або гіперболах. У рамках загальної теорії відносності (ЗТВ) з [[Мовний пуризм|пуристичної]] точки зору ця задача видається погано поставленою, оскільки [[Абсолютно тверде тіло|модель абсолютно твердого тіла]] неможлива в релятивістській фізиці (див. [[Парадокс Белла]], [[Твердість за Борном]]), а не абсолютно тверді тіла не будуть під час взаємодії сферично-симетричними. Інший підхід включає перехід до точкових тіл, правомірний в ньютонівській фізиці, але викликає проблеми в ЗТВ. Крім цього, крім положень і швидкостей тіл необхідно задати також і початкове гравітаційне поле (метрику) у всьому просторі&nbsp;— [[проблема початкових умов]] у ЗТВ. В силу зазначених причин точного [[Аналітичний розв'язок|аналітичного розв'язку]] задачі Кеплера в ЗТВ не існує (аналогічно [[Задача трьох тіл|задачі трьох тіл]] в ньютонівській теорії тяжіння), але є комплекс методів, що дозволяють розрахувати поведінку тіл у рамках цієї задачі з необхідною точністю: наближення пробного тіла, [[постньютонівський формалізм]], [[чисельна відносність]].

== Історичний контекст ==
[[Файл:Precessing_Kepler_orbit_280frames_e0.6_smaller.gif|праворуч|міні|345x345пкс| За відсутності додаткових зовнішніх сил частинка, що обертається навколо центрального тіла під дією ньютонівської сили гравітації, постійно рухається по одному й тому ж еліпсу. Присутність збурень (наприклад, гравітаційної дії інших планет) змінює траєкторію частинки, яку можна вважати еліпсом, але з постійно змінними параметрами. Обертання цього еліпса, називане прецесією орбіти, можна виміряти з високою точністю, а також передбачити теоретично, виходячи з відомих величин і напрямків збурювальних сил. Хоча теорія гравітації Ньютона може пояснити 99,26&nbsp;% спостережуваного [[Зсув перигелію Меркурія|зсуву перигелію Меркурія]], залишок величиною приблизно 40" на століття неможливо пояснити в її рамках, як це відкрито Левер'є в 1859 році.]]
1859 року французький астроном, директор Паризької обсерваторії [[Урбен Левер'є]] виявив, що прецесія орбіти [[Меркурій (планета)|Меркурія]], визначена зі спостережень, не зовсім збігається з теоретично передбаченою&nbsp;— [[перигелій]] орбіти рухається трохи швидше, ніж випливає з теорії Ньютона після урахування всіх міжпланетних збурень<ref>{{Стаття|title=Sur la théorie de Mercure et sur le mouvement du périhélie de cette planète|видання={{Нп3|Comptes rendus de l'Académie des Sciences|Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences||Comptes rendus de l'Académie des Sciences}}|том=49|pages=379—383|url=https://archive.org/stream/comptesrendusheb49acad#page/379/mode/1up|language=fr|тип=magazine|author=[[Урбен Левер'є|Le Verrier, U. J. J.]]|date=1859}}</ref>. Ефект був малим&nbsp;— 38" на століття, але значно перевищував похибки вимірювань&nbsp;— приблизно 1". Значення відкриття було великим і багато фізиків, астрономи і небесні механіки XIX століття займалися цим питанням. Запропоновано безліч рішень у рамках класичної фізики, найвідомішими були: наявність невидимої хмари міжпланетного пилу поблизу Сонця, сплюснутістю ([[квадрупольний момент]]) Сонця, незнайдений супутник Меркурія або нова, ближча до Сонця, планета [[Вулкан (планета)|Вулкан]]<ref name="pais_1982">Pais 1982</ref><ref name="tonnella">''{{нп|Марі-Антуанетт Тоннела||fr|Marie-Antoinette Tonnelat}}'' '''ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА И ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ''' МОСКВА: ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ, 1962. Глава II, §&nbsp;1.2.</ref>. Оскільки жодне з цих пояснень не витримало перевірки спостереженнями, деякі фізики почали висувати радикальніші гіпотези, що необхідно змінювати сам закон тяжіння, наприклад, міняти в ньому показник степеня або додавати в потенціал члени, залежні від швидкості тіл<ref name="Bog">''А.&nbsp;Ф.&nbsp;Богородский'' '''Всемирное тяготение''' Киев: Наукова думка, 1971. Глава 2.</ref>.

Однак більшість таких спроб виявилися суперечливими. У працях з небесної механіки<ref>''P. S. Laplace'' '''Mecanique celeste, 4, livre X''' Paris, 1805.</ref> [[П'єр-Симон Лаплас|Лаплас]] показав, що якщо гравітаційна взаємодія між двома тілами не діє миттєво (що еквівалентно введенню потенціалу, який залежить від швидкостей), то в системі рухомих планет не буде зберігатися імпульс&nbsp;— частина імпульсу буде передаватися гравітаційному полю, аналогічно тому, як це відбувається за електромагнітної взаємодії зарядів в електродинаміці. З ньютонової точки зору, якщо гравітаційний вплив передається зі скінченною швидкістю і не залежить від швидкостей тіл, то всі точки планети мають притягатися до точки, де Сонце було дещо раніше, а не до теперішнього його розташування. На цій підставі Лаплас показав, що ексцентриситет і великі півосі орбіт у задачі Кеплера зі скінченною швидкістю гравітації повинні рости з часом&nbsp;— зазнавати вікових змін. З верхніх меж на зміни цих величин, що випливають зі стійкості Сонячної системи і руху Місяця, Лаплас показав, що швидкість поширення гравітаційної ньютонової взаємодії не може бути нижчою від {{Число|50|млн}} швидкостей світла<ref name="pais_1982"/><ref name="Bog"/>.{{Початок цитати}}Чи передається тяжіння від одного тіла до іншого миттєво? Час передавання, якби він був для нас помітним, виявився б переважно віковим прискоренням у русі Місяця. Я пропонував цей засіб для пояснення прискорення, поміченого в згаданому русі, і знайшов, що для задоволення спостереженнями слід приписати притягальній силі швидкість у сім мільйонів разів більшу, ніж швидкість світлового променя. А оскільки нині причина вікового рівняння&nbsp;— Місяця добре відома, то ми можемо стверджувати, що тяжіння передається зі швидкістю, що принаймні в п'ятдесят мільйонів разів перевищує швидкість світла. Тому, не побоюючись будь-якої помітної похибки, ми можемо вважати передавання тяжіння миттєвим. {{oq|ru|Сообщается ли притяжение от одного тела к другому мгновенно? Время передачи, если бы оно было для нас заметно, обнаружилось бы преимущественно вековым ускорением в движении Луны. Я предлагал это средство для объяснения ускорения, замеченного в упомянутом движении, и нашёл, что для удовлетворения наблюдениям должно приписать притягательной силе скорость в семь миллионов раз большую, чем скорость светового луча. А так как ныне причина векового уравнения — Луны хорошо известна, то мы можем утверждать, что притяжение передаётся со скоростью, по крайней мере в пятьдесят миллионов раз превосходящей скорость света. Поэтому, не опасаясь какой либо заметной погрешности, мы можем принимать передачу тяготения за мгновенную.}}{{Кінець цитати|джерело=''П. С. Лаплас'' '''Викладення системи Світу''' Париж, 1797.<ref>Цитується за книгою: ''Борис Николаевич Воронцов-Вельяминов'' '''Лаплас''' Москва: Жургазоб'единение, 1937.</ref>}}
Метод Лапласа коректний для прямих узагальнень ньютонової гравітації, але може бути не застосовним до складніших моделей. Так, наприклад, в електродинаміці рухомі заряди притягуються/відштовхуються не від видимих положень інших зарядів, а від положень, які вони займали б у даний час, якби рухалися від видимих положень рівномірно і прямолінійно&nbsp;— це є властивістю [[Потенціал Ліенара — Віхерта|потенціалів Ліенара&nbsp;— Віхерта]]<ref>Фейнман разбирает эту проблему в 6 томе '''Фейнмановских лекций по физике''', глава 21, §&nbsp;1.</ref>. Аналогічний розгляд у рамках загальної теорії відносності призводить до такого ж результату з точністю до членів порядку <math>(v/c)^3</math><ref>''А.&nbsp;Ф.&nbsp;Богородский'' '''Ibid.''' Глава 5, параграф 15.</ref>.

У спробах уникнути викладених проблем між 1870 і 1900 роками багато вчених намагалися використовувати закони гравітаційної взаємодії, засновані на електродинамічних потенціалах [[Вільгельм Едуард Вебер|Вебера]], [[Карл Фрідріх Гаусс|Гаусса]], [[Бернгард Ріман|Рімана]] і [[Джеймс Клерк Максвелл|Максвелла]]<ref>
{{Книга
|автор = {{нп|Ганс Юрґен Тредер|Тредер Г.-Ю.|de|Hans-Jürgen Treder}}
|частина = Глава I
|заголовок = Относительность инерции
|оригінал = Hans-Jürgen Treder. Die Relativität der Trägheit. Berlin, 1972
|посилання = 
|відповідальний = Пер. с нем. К. А. Бронникова. Под редакцией проф. К. П. Станюковича
|видання = 
|місце = М.
|видавництво = [[Атомиздат]]
|рік = 1975
|том = 
|сторінки = 
|сторінок = 128
|серія = 
|ISBN = 
|тираж = 6600
}}</ref>. У [[1890|1890 році]] Леві вдалося отримати стабільні орбіти і потрібну величину зсуву перигелію шляхом комбінації законів Вебера і Рімана. Іншу успішну спробу зробив [[Пауль Гербер|П. Гербер]] у [[1898|1898 році]]. Проте, оскільки вихідні електродинамічні потенціали виявилися неправильними (наприклад, закон Вебера не ввійшов до остаточної теорії електромагнетизму Максвелла), ці гіпотези відкинули як довільні<ref>{{Стаття|title=Gravitation|видання=[[Математична енциклопедія Кляйна|Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen]]|том=5|pages=25—67|url=http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?did=D189514|language=de|author={{Нп3|Джонатан Зеннек|Zenneck, J.||Jonathan Zenneck}}|date=1903|accessdate=2020-11-18|archivedate=2021-03-12|archiveurl=https://web.archive.org/web/20210312062322/http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?did=D189514}}</ref>. Деякі інші спроби, такі як теорія [[Гендрік Антон Лоренц|Г. Лоренца]] ([[1900|1900 рік]]), які вже використовували теорію Максвелла, давали занадто малу прецесію<ref name="pais_1982"/><ref name="vizgin1">
{{Книга
|автор = Визгин В. П.
|частина = Глава I, раздел 2.
|заголовок = Релятивистская теория тяготения (истоки и формирование. 1900—1915 гг.)
|оригінал = 
|посилання = 
|відповідальний = 
|видання = 
|місце = Москва
|видавництво = Наука
|рік = 1981
|том = 
|сторінки = 
|сторінок = 352
|серія = 
|ISBN = 
|тираж = 2000
}}</ref>.

Близько 1904—1905 років роботи [[Гендрік Антон Лоренц|Г. Лоренца]], [[Анрі Пуанкаре|А. Пуанкаре]] і [[Альберт Ейнштейн|А. Ейнштейна]] заклали фундамент [[Спеціальна теорія відносності|спеціальної теорії відносності]], виключивши можливість поширення будь-яких взаємодій швидше, ніж зі [[Швидкість світла|швидкістю світла]]. Таким чином, постало завдання замінити ньютонівський закон гравітації іншим, сумісним з принципом відносності, але таким, що дає за малих швидкостей і гравітаційних полів майже ньютонівські ефекти. Такі спроби зробив [[Анрі Пуанкаре|А. Пуанкаре]] (1905 і 1906), [[Герман Мінковський|Г. Мінковський]] (1908) і [[Арнольд Зоммерфельд|А. Зоммерфельд]] (1910). Однак усі розглянуті моделі давали занадто малу величину зсуву перигелію<ref name="vizgin1"/><ref>{{Citation|author=Walter, S.|year=2007|editor=Renn, J.|contribution=[http://www.univ-nancy2.fr/DepPhilo/walter/ Breaking in the 4-vectors: the four-dimensional movement in gravitation, 1905–1910]|journal=The Genesis of General Relativity|pages=193–252|volume=3|place=Berlin|publisher=Springer}}</ref>.

1907 року Ейнштейн прийшов до висновку, що для опису гравітаційного поля необхідно узагальнити тодішню теорію відносності, зараз звану спеціальною. Від 1907 до 1915 року Ейнштейн послідовно йшов до нової теорії, використовуючи як дороговказ [[Принцип відносності|свій принцип відносності]]. Згідно з цим принципом однорідне гравітаційне поле діє однаково на всю матерію і, отже, не може бути знайдене спостерігачем, який вільно падає. Відповідно, всі локальні гравітаційні ефекти є відтворюваними в системі відліку, що рухається з прискореням, і навпаки. Тому гравітація діє як [[сила інерції]], що виникає через прискорення системи відліку,&nbsp;— така як [[відцентрова сила]] або [[сила Коріоліса]]; подібно до всіх цих сил гравітаційна сила пропорційна [[Маса|інертній масі]]. Наслідком цієї обставини є те, що в різних точках простору-часу інерціальні системи відліку мають прискорення одна відносно іншої. Це можливо описати, тільки якщо пожертвувати класичним припущенням про те, що наш простір описується евклідовою геометрією, і перейти до викривленого простору ріманової геометрії. Більше того, викривленим виявляється зв'язок простору і часу, який і проявляється як сила гравітації за звичайних умов<ref>Ньютоновскую теорию тяготения можно сформулировать как искривление этой связи, см. ''Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж.'' Гравитация. М.: Мир, 1977. [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/MiznerTornUiler_t1_1977ru.djvu Том 1.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160409064438/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/MiznerTornUiler_t1_1977ru.djvu |date=9 квітня 2016 }} Глава 12.</ref>. Після восьми років роботи (1907—1915) Ейнштейн знайшов закон, який показує, як простір-час викривляється наявною в ньому матерією&nbsp;— [[рівняння Ейнштейна]]. Гравітація відрізняється від сил інерції тим, що викликається кривиною простору-часу, яку можна виміряти інваріантно. Перші ж розв'язки отриманих рівнянь, знайдені Ейнштейном (наближено) і Шварцшильдом (точно), пояснили аномальну прецесію Меркурія і передбачили подвоєну величину [[Гравітаційне відхилення світла|відхилення світла]] порівняно з попередніми евристичними оцінками. Це пророцтво теорії підтвердили в 1919 році англійські астрономи.

== Наближення пробного тіла ==
[[Файл:Newton.vs.schwarzschild.thumbnail.png|праворуч|міні|Орбіта пробної частинки за початкової швидкості, що дорівнює 126&nbsp;% від кругової швидкості, і початковій відстані, рівній 10 [[Гравітаційний радіус|радіусам Шварцшильда]].<br/>''Зліва:'' згідно з ньютонівською механікою, ''праворуч:'' згідно з метрикою Шварцшильда.<br/>''Натисніть, щоб побачити анімацію.'']]
В цьому підході вважається, що маса одного тіла ''m'' знехтовно мала порівняно з масою другого ''M''; це непогане наближення навіть для планет, що обертаються навколо Сонця, і практично ідеальне для космічних апаратів. У такому випадку можна вважати, що перше тіло є пробним, тобто воно не вносить збурень у гравітаційне поле другого тіла, а лише рухається по [[Геодезична лінія|геодезичних лініях]] сформованого другим тілом простору-часу. Оскільки зазвичай задача двох тіл розглядається в масштабах, значно менших від космологічних, то впливом лямбда-члена на метрику можна знехтувати і гравітаційне поле будь-якого сферично-симетричного тіла буде даватися розв'язком Шварцшильда. Рух легкого тіла, званого далі частинкою, таким чином відбувається по геодезичних лініях простору Шварцшильда, якщо знехтувати припливними силами і реакцією гравітаційного випромінювання.

Саме в цьому наближенні Ейнштейн вперше обчислив аномальну прецесію перигелію Меркурія, що стало першим підтвердженням загальної теорії відносності й розв'язало одну з найвідоміших на той момент проблем небесної механіки. Це ж наближення досить точно описує [[Гравітаційне відхилення світла|відхилення світла]], інше знамените явище, [[Передбачення загальної теорії відносності|передбачене загальною теорією відносності]]. Разом з тим його не достатньо для опису процесу релятивістського скорочення орбіт через гравітаційне випромінювання.

=== Геометричний вступ ===
У звичайній [[Евклідова геометрія|евклідовій геометрії]] виконується [[теорема Піфагора]], яка стверджує, що квадрат відстані ''ds''<sup>2</sup> між двома нескінченно близькими точками простору дорівнює сумі квадратів диференціалів координат

: <math>
ds^{2} = dx^{2} + dy^{2} + dz^{2}, \,\!
</math>

де ''dx'', ''dy'' і ''dz''&nbsp;— нескінченно малі різниці між координатами точок по осях ''x'', ''y'' і ''z'' [[Декартова система координат|декартової системи координат]]. Тепер уявімо собі світ, в якому це вже неправильно, а відстані задаються співвідношенням

: <math>
ds^{2} = F(x, y, z) dx^{2} + G(x, y, z) dy^{2} + H(x, y, z)dz^{2}, \,\!
</math>

де ''F'', ''G'' і ''H''&nbsp;— деякі функції положення. Це неважко уявити, оскільки ми живемо в такому світі: поверхня Землі зігнута, так що її не можна без спотворень подати на плоскій карті. Недекартові координатні системи також можуть бути прикладом: у сферичних координатах (''r'', ''θ'', ''φ'') евклідова відстань записується як

: <math>
ds^{2} = dr^{2} + r^{2} d\theta^{2} + r^{2} \sin^{2} \theta d\varphi^{2}. \,\!
</math>

Нарешті, в загальному випадку ми маємо допустити, що лінійки можуть змінювати свою координатну довжину не тільки під час зміни положення, але й при поворотах. Це призводить до появи перехресних членів у виразі для довжини

: <math>
ds^{2} = g_{xx} dx^{2} + g_{xy} dx dy + g_{xz} dx dz + g_{yy} dy^{2} + g_{yz} dy dz + g_{zz} dz^{2} \,\!
</math>

де 6 функцій ''g''<sub>xx</sub>, ''g''<sub>xy</sub> і так далі перетворюються при зміні координат як компоненти тензора, званого [[Метричний тензор|метричним]] (або просто метрикою), який визначає всі характеристики простору в цій узагальненій [[Ріманова геометрія|рімановій геометрії]]. У сферичних координатах, наприклад, у метриці немає перехресних членів, а єдині її ненульові компоненти&nbsp;— це ''g''<sub>rr</sub> = 1, ''g''<sub>θθ</sub> = ''r''2 і ''g''<sub>φφ</sub> = ''r''2 sin2 θ.

Зазначимо окремо, що після задання метричного тензора в якійсь системі координат вся геометрія ріманового простору виявляється жорстко заданою, і не змінюється при перетвореннях координат. Простіше кажучи, координати&nbsp;— це довільні числа, які лише вказують на точку простору, а відстань, виміряна фізичною лінійкою між двома зафіксованими точками, не залежить від того, які координати ми присвоюємо їм&nbsp;— є інваріантом при зміні координатних сіток.

У [[Спеціальна теорія відносності|спеціальній теорії відносності]] [[Альберт Ейнштейн]] показав, що відстань ''ds'' між двома точками в просторі не є інваріантом, а залежить від руху спостерігача. Ця відстань виявляється проєкцією на одночасний простір істинно інваріантної величини&nbsp;— [[Просторово-часовий інтервал|інтервалу]], що не залежить від руху спостерігача, але включає крім просторових також і часову координату точок [[Простір-час|простору-часу]], званих при цьому [[Подія (теорія відносності)|подіями]]

: <math>
ds^2 = c^{2} dt^{2} - dx^{2} - dy^{2} - dz^{2}. \,\!
</math>

Аналогічно можна переписати інтервал у сферичних координатах

: <math>
ds^2 = c^{2} dt^{2} - dr^{2} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2} \sin^{2} \theta d\varphi^{2}. \,\!
</math>

Ця формула являє собою природне узагальнення [[Теорема Піфагора|теореми Піфагора]] і справедлива за відсутності кривини простору-часу. У [[Загальна теорія відносності|загальній же теорії відносності]] простір-час викривлено, так що «відстань» виражається загальною формулою

: <math>
ds^2 = g_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu}, \,\!
</math>

де застосоване правило підсумовування Ейнштейна&nbsp;— за індексом, що зустрічається вгорі і внизу, мається на увазі підсумовування за всіма його значеннями, в цьому випадку&nbsp;— чотирма (трьома просторовими і однією часовою координатою). Точні значення компонент метрики визначаються розподілом гравітуючої речовини, її маси, енергії та імпульсу, через [[рівняння Ейнштейна]]. Ейнштейн вивів ці рівняння, виходячи з відомих законів збереження енергії та імпульсу; однак розв'язки цих рівнянь передбачили явища, які раніше не спостерігались, на зразок [[Гравітаційне відхилення світла|відхилення світла]], підтверджені пізніше.

=== Метрика Шварцшильда ===
Єдиним розв'язком [[Рівняння Ейнштейна|рівнянь Ейнштейна]] (без космологічної сталої) для зовнішнього гравітаційного поля сферично-симетрично розподіленої матерії (енергії-імпульсу) є метрика Шварцшильда.

: <math>
{ds}^{2} = 
\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} dt^{2} - \frac{dr^{2}}{1 - \frac{r_{s}}{r}} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2} \sin^{2} \theta \, d\varphi^{2}
</math>

де

: ''c''&nbsp;— [[швидкість світла]] в метрах на секунду,
: ''t''&nbsp;— часова координата в секундах (що збігається з часом, відлічуваним нескінченно віддаленим нерухомим годинником),
: ''r''&nbsp;— радіальна координата в метрах (визначається як довжина кола з центром у точці симетрії поділена на 2π),
: ''θ'' і ''φ''&nbsp;— кути в системі сферичних координат у радіанах,
: ''r''<sub>s</sub>&nbsp;— [[Гравітаційний радіус|радіус Шварцшильда]] (в метрах), що характеризує тіло масою ''M'' і дорівнює

:: <math>
r_{s} = \frac{2GM}{c^{2}}
</math>
: де ''G''&nbsp;— [[гравітаційна стала]].<ref name="landau_1975">Landau 1975.</ref>

Класична теорія гравітації Ньютона є граничним випадком за малих ''r''<sub>s</sub>/''r''. На практиці це відношення майже завжди дуже мале. Наприклад, для Землі радіус Шварцшильда становить приблизно 9 [[міліметр]]ів, тоді як супутник на [[Геостаціонарна орбіта|геостаціонарній орбіті]] міститься на <math>r\simeq42 164</math> [[Кілометр|км]]. Для Сонячної системи це відношення не перевершує 2 мільйонних, і лише для ділянок поблизу [[Чорна діра|чорних дір]] і [[Нейтронна зоря|нейтронних зір]] воно стає істотно більшим (до декількох десятих).

=== Рівняння геодезичних ===
Згідно з загальною теорією відносності, частинки знехтовно малої маси рухаються по [[Геодезична лінія|геодезичних лініях]] простору-часу<ref>Это справедливо для частиц пылевидной материи и для не слишком быстро вращающихся тел, как показано в §§&nbsp;4 и 7 IV главы книги Дж. Л. Синга '''Общая теория относительности''', Москва, ИЛ, 1963.</ref>. В невикривленому просторі далеко від будь-яких притягувальних тіл ці геодезичні являють собою прямі лінії. В присутності джерел гравітації це вже не так, і рівняння геодезичних записуються так<ref>Weinberg 1972.</ref>:

: <math>
\frac{d^2x^{\mu}}{d q^2} + \Gamma^{\mu}_{\nu\lambda} \frac{dx^{\nu}}{d q} \frac{dx^{\lambda}}{dq} = 0
</math>

де Γ&nbsp;— [[символи Крістофеля]], а змінна ''q'' параметризує шлях частинки крізь [[простір-час]]&nbsp;— її [[Світова лінія|світову лінію]], і називається канонічним параметром геодезичної лінії. Символи Крістофеля залежать тільки від метричного тензора ''g''<sub>μν</sub>, точніше від того, як він змінюється від точки до точки. Для часоподібних геодезичних, по яких рухаються масивні частинки, параметр ''q'' збігається з [[Світова лінія|власним часом]] ''τ'' з точністю до сталого множника, який зазвичай беруть рівним 1. Для часоподібних світових ліній безмасових частинок (таких як [[фотон]]и) параметр ''q'' не можна взяти рівним власному часу, оскільки він дорівнює нулю, але форма геодезичних все одно описується цим рівнянням. Крім того, світлоподібні геодезичні можна отримати як граничний випадок часоподібних при прямуванні маси частинки до 0 (якщо зберігати сталою енергію частинки).

Можна спростити задачу, скориставшись її симетрією&nbsp;— так ми виключимо з розгляду одну змінну. В будь-якому сферично-симетричному випадку рух відбувається в площині, яку можна вибрати за площину ''θ'' = π/2. Метрика в цій площині має вигляд

: <math>
ds^{2} = 
\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} dt^{2} - \frac{dr^{2}}{1 - \frac{r_{s}}{r}} - r^{2} d\varphi^{2}.
</math>

Оскільки вона не залежить від <math>\varphi</math> і <math>t</math>, то існують два [[Інтеграл руху|інтеграли руху]] (див. висновок [[Задача Кеплера в загальній теорії відносності#З рівнянь Лагранжа|нижче]])

: <math>
r^{2} \frac{d\varphi}{d\tau} = \frac{L}{m},
</math>

: <math>
\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} = \frac{E}{mc^{2}}.
</math>

Підставивши ці інтеграли в метрику, маємо

: <math>
c^{2} = \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} \left( \frac{dt}{d\tau} \right)^{2} - 
\frac{1}{1 - \frac{r_{s}}{r}} \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} - 
r^{2} \left( \frac{d\varphi}{d\tau} \right)^{2},
</math>

так що рівняння руху частинки стають такими

: <math>
\left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} = \frac{E^{2}}{m^{2}c^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( c^{2} + \frac{L^{2}}{m^{2} r^{2}} \right).
</math>

Залежність від власного часу можна виключити, скориставшись інтегралом ''L''

: <math>
\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = 
\left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} \left( \frac{d\tau}{d\varphi} \right)^{2} =
\left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} \left( \frac{m r^{2}}{L} \right)^{2},
</math>

тому рівняння орбіт стає таким

: <math>
\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = \frac{r^{4}}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{r^{4}}{a^{2}} + r^{2} \right),
</math>

де для стислості введено дві характерні довжини ''a'' і ''b''

: <math>
a = \frac{L}{mc},
</math>

: <math>
b = \frac{cL}{E}.
</math>

Те ж рівняння можна вивести з [[Лагранжіан|лагранжевого підходу]]<ref>Whittaker 1937.</ref> або скориставшись [[Рівняння Гамільтона — Якобі|рівнянням Гамільтона&nbsp;— Якобі]]<ref name="ll_1975_HJ">Landau and Lifshitz (1975), pp. 306—309.</ref> (див. [[Задача Кеплера в загальній теорії відносності#Виведення рівняння орбіт|далі]]). Розв'язок рівняння орбіт дається виразом

: <math>
\varphi = \int \frac{dr}{r^{2} \sqrt{\frac{1}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{r^{2}} \right)}}.
</math>

[[Файл:1919_eclipse_negative.jpg|праворуч|міні|321x321пкс|Відхилення світла зір гравітаційним полем Сонця, виміряне астрономічною експедицією [[Артур Еддінгтон|Еддінгтона]] ([[1919|1919 рік]]) і, як виявилося, узгоджене із загальною теорією відносності, поклало початок широкомасштабному визнанню теорії Ейнштейна.]]

==== Наближена формула для відхилення світла ====
В границі маси частинки ''m'', що прямує до нуля (або, еквівалентно, <math>a\rightarrow\infty</math>), рівняння орбіти переходить у

: <math>
\varphi = \int \frac{dr}{r^{2} \sqrt{\frac{1}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{1}{r^{2}}}}.
</math>

Розкладаючи цей вираз за степенями відношення ''r''<sub>s</sub>/''r'', у першому наближенні отримуємо відхилення δ''φ'' безмасової частинки при прольоті повз гравітуючий центру:

: <math>
\delta \varphi \approx \frac{2r_{s}}{b} = \frac{4GM}{c^{2}b}.
</math>

Константу ''b'' тут можна інтерпретувати як [[Прицільна віддаль|прицільний параметр]]&nbsp;— відстань найбільшого наближення. Наближення, використане при виведенні цієї формули, досить точне для більшості практичних застосувань, зокрема для вимірювання [[Гравітаційна лінза|гравітаційного лінзування]]. Для світла, що проходить поблизу сонячної поверхні, відхилення становить близько 1,75 [[Градус (геометрія)|кутової секунди]].

==== Зв'язок з класичною механікою і прецесія еліптичних орбіт ====
[[Файл:Schwarzschild_effective_potential.svg|праворуч|міні|304x304пкс|Ефективний потенціал для різних значень моменту імпульсу. За малих ''r'' потенціал зменшується (на відміну від класичної задачі Кеплера), дозволяючи частинці падіння на центр. Проте, при <math>a/r_s = L/mcr_s > \sqrt3</math> народжена зовні частинка не може подолати потенціальний бар'єр і уникає захоплення. При граничному нормованому кутовому моменті <math>a/r_s = \sqrt3</math> існує метастабільна колова орбіта, позначена зеленим колом, і є нескінченно накручувана на неї і скручувна з неї спіральні орбіти. За малих <math>a/r_s</math> частинка захоплюється і падає на центр.]]
Рівняння руху частинки в полі Шварцшильда

: <math>
\left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} = 
\frac{E^{2}}{m^{2}c^{2}} - c^{2} + \frac{r_{s}c^{2}}{r} - 
\frac{L^{2}}{m^{2} r^{2}} + \frac{r_{s} L^{2}}{m^{2} r^{3}}
</math>

можна переписати, використовуючи визначення [[Гравітаційний радіус|гравітаційного радіуса]] ''r''<sub>s</sub>:

: <math>
\frac{1}{2} m \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} = 
\left[ \frac{E^{2}}{2mc^{2}} - \frac{1}{2} mc^{2} \right]
+ \frac{GMm}{r} - \frac{L^{2}}{2m r^{2}} + \frac{GM L^{2}}{c^{2} m r^{3}}
</math>

що еквівалентно руху ''нерелятивістської'' частинки з енергією <math>\frac{E^{2}}{2mc^{2}} - \frac{1}{2} mc^{2}</math> в одновимірному [[Ефективний потенціал|ефективному потенціалі]]

: <math>
V(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{L^{2}}{2m r^{2}} - \frac{GM L^{2}}{c^{2} m r^{3}}.
</math>

Перші два члени відповідають відомим класичним: гравітаційному потенціалу тяжіння Ньютона і відцентровому потенціалу відштовхування, і тільки третій член не має аналога в класичній задачі Кеплера. Як показано нижче, і в [[Вектор Лапласа — Рунге — Ленца|іншій статті]], такий член приводить до прецесії еліптичних орбіт на кут δφ за кожен оборот

: <math>
\delta \varphi \approx \frac{6\pi G M}{c^{2} A \left( 1- e^{2} \right)}
</math>

де ''A''&nbsp;— [[велика піввісь]] орбіти, а ''e''&nbsp;— її [[ексцентриситет]].

Третій член має характер притягання та змінює поведінку потенціалу за малих ''r''&nbsp;— замість того, щоб йти в <math>+\infty</math>, перешкоджаючи падінню частинки на центр (як це було в класичній задачі Кеплера), потенціал йде на <math>-\infty</math>, дозволяючи частинці падати (див. детальніше [[падіння в чорну діру]]).

==== Колові орбіти і їх стійкість ====
[[Файл:Schwarzschild_circular_radii.svg|праворуч|міні|316x316пкс|Радіуси стійких (синя крива) і нестійких (червона крива) орбіт в залежності від нормованого кутового моменту ''a''/''r''<sub>s</sub> = ''L''/''mcr''<sub>s</sub>. Графіки зустрічаються в єдиній точці (обведеній зеленим колом), де <math>a/r_s = L/mcr_s = \sqrt3</math>. Для порівняння наведено також радіуси завжди стійких орбіт класичної задачі Кеплера (чорна крива).]]
Ефективний потенціал ''V'' можна переписати через параметри довжини ''a'' і ''b''

: <math>
V(r) = \frac{mc^{2}}{2} \left[ - \frac{r_{s}}{r} + \frac{a^{2}}{r^{2}} - \frac{r_{s} a^{2}}{r^{3}} \right].
</math>

Кругові орбіти можливі за ефективної сили, що дорівнює нулю

: <math>
F = -\frac{dV}{dr} = -\frac{mc^{2}}{2r^{4}} \left[ r_{s} r^{2} - 2a^{2} r + 3r_{s} a^{2} \right] = 0,
</math>

тобто коли дві притягальні сили&nbsp;— ньютонова гравітація (перший член) і її релятивістська поправка (третій член)&nbsp;— точно збалансовані відцентровою силою відштовхування (другий член). Існують два радіуси, на яких досягається ця компенсація

: <math>
r_{\mathrm{outer}} = \frac{a^{2}}{r_{s}} \left( 1 + \sqrt{1 - \frac{3r_{s}^{2}}{a^{2}}} \right),
</math>

: <math>
r_{\mathrm{inner}} = \frac{a^{2}}{r_{s}} \left( 1 - \sqrt{1 - \frac{3r_{s}^{2}}{a^{2}}} \right) = \frac{3a^{2}}{r_{\mathrm{outer}}},
</math>

які прямо виводяться з [[Квадратне рівняння|квадратного рівняння]] вище. Внутрішній радіус ''r''<sub>inner</sub> виявляється нестійким за будь-яких значеннях ''a'', оскільки сила тяжіння там росте швидше, ніж сила відштовхування, тому будь-яке збурення призводить до падіння частинки на центр. Орбіти зовнішнього радіуса стійкі&nbsp;— там релятивістське тяжіння невелике, і їх характер майже збігається з траєкторіями нерелятивістської задачі Кеплера.

Коли ''a'' набагато більше за ''r''<sub>s</sub> (класичний випадок), розміри орбіт прямують до

: <math>
r_{\mathrm{outer}} \approx \frac{2a^{2}}{r_{s}},
</math>

: <math>
r_{\mathrm{inner}} \approx \frac{3}{2} r_{s}.
</math>

Підставляючи визначення ''a'' і ''r''<sub>s</sub> в ''r''<sub>outer</sub>, отримуємо класичну формулу для частинки на коловій орбіті навколо гравітуючого центра масою ''M''

: <math>
r_{\mathrm{outer}}^{3} \approx \frac{GM}{\omega_{\varphi}^{2}},
</math>

де ''ω''<sub>φ</sub>&nbsp;— орбітальна кутова швидкість частинки.

Коли ''a''<sup>2</sup> прямує до 3''r''<sub>s</sub><sup>2</sup> (зверху), зовнішній і внутрішній радіуси змикаються до

: <math>
r_{\mathrm{outer}} \rightarrow r_{\mathrm{inner}} \rightarrow 3 r_{s}.
</math>

Розв'язок квадратного рівняння гарантує, що ''r''<sub>outer</sub> завжди більше 3''r''<sub>s</sub>, а ''r''<sub>inner</sub> лежить між {{Дріб|3|2}} ''r''<sub>s</sub> і 3''r''<sub>s</sub>. Кругові орбіти з радіусом менше {{Дріб|3|2}} ''r''<sub>s</sub> неможливі. Сама орбіта ''r''<sub>inner</sub> = {{Дріб|3|2}} ''r''<sub>s</sub> є граничним випадком для безмасових частинок, коли <math>a\rightarrow\infty</math>, тому сферу цього радіуса іноді називають [[Чорна діра|фотонною сферою]].

==== Прецесія еліптичних орбіт ====
[[Файл:Relativistic_precession.svg|праворуч|міні|300x300пкс|В нерелятивістській [[Задача Кеплера|задачі Кеплера]] частинка рухається завжди по одному й тому ж ідеальному [[еліпс]]у (червона орбіта). [[Загальна теорія відносності]] змінює силу, що діє на частинку, так що тяжіння зростає швидше, ніж у теорії Ньютона (в шварцшильдових координатах). Це збурення викликає обертання майже еліптичної орбіти (блакитна)&nbsp;— [[Прецесія|прецесію]] в напрямку обертання планети; цей ефект надійно виміряний для [[Меркурій (планета)|Меркурія]], [[Венера (планета)|Венери]] і [[Земля|Землі]]. Жовта точка являє собою центр тяжіння, наприклад, [[Сонце]].]]
Швидкість прецесії орбіти можна вивести з ефективного потенціалу ''V''. Мале відхилення за радіусом від орбіти-кола ''r=r''<sub>outer</sub> буде осцилювати з частотою

: <math>
\omega_{r}^{2} = \frac{1}{m} \left[ \frac{d^{2}V}{dr^{2}} \right]_{r=r_{\mathrm{outer}}} = \left( \frac{c^{2} r_{s}}{2 r_{\mathrm{outer}}^{4}} \right) \left( r_{\mathrm{outer}} - r_{\mathrm{inner}} \right) = 
\omega_{\varphi}^{2} \sqrt{1 - \frac{3r_{s}^{2}}{a^{2}}}. 
</math>

Розкладання в ряд дає

: <math>
\omega_{r} = \omega_{\varphi} \left( 1 - \frac{3r_{s}^{2}}{4a^{2}} + \cdots \right).
</math>

Множення на період обертання ''T'' приводить до прецесії на одному обороті

: <math>
\delta \varphi = T \left( \omega_{\varphi} - \omega_{r} \right) \approx 2\pi \left( \frac{3r_{s}^{2}}{4a^{2}} \right) = 
\frac{3\pi m^{2} c^{2}}{2L^{2}} r_{s}^{2},
</math>

де ''ω<sub>φ</sub>T'' = 2''п'' і використано визначення ''a''. Підставляючи ''r''<sub>s</sub>, отримуємо

: <math>
\delta \varphi \approx \frac{3\pi m^{2} c^{2}}{2L^{2}} \left( \frac{4G^{2} M^{2}}{c^{4}} \right) = \frac{6\pi G^{2} M^{2} m^{2}}{c^{2} L^{2}}.
</math>

Використовуючи велику піввісь орбіти ''A'' і ексцентриситет ''e'', пов'язані [[Вектор Лапласа — Рунге — Ленца|співвідношенням]]

: <math>
\frac{L^{2}}{GMm^{2}} = A \left( 1 - e^{2} \right),
</math>

ми приходимо до найвідомішої формули прецесії

: <math>
\delta \varphi \approx \frac{6\pi G M}{c^{2} A \left( 1 - e^{2} \right)}.
</math>

=== Точний розв'язок для орбіти в еліптичних функціях ===
Вводячи безрозмірну змінну

: <math>
\zeta = \frac{r_{s}}{4r} - \frac{1}{12}
</math>

рівняння орбіти

: <math>
\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = \frac{r^{4}}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{r^{4}}{a^{2}} + r^{2} \right)
</math>

можна звести до спрощеного вигляду

: <math>
\left( \frac{d\zeta}{d\varphi} \right)^{2} = 4 \zeta^{3} - g_{2} \zeta - g_{3},
</math>

де сталі безрозмірні коефіцієнти ''g''<sub>2</sub> і ''g''<sub>3</sub> визначені як

: <math>
\begin{align}
g_{2} &= \frac{1}{12} - \frac{r_{s}^{2}}{4 a^{2}},\\
g_{3} &= \frac{1}{216} + \frac{r_{s}^{2}}{24 a^{2}} - \frac{r_{s}^{2}}{16 b^{2}}.
\end{align}
</math>

Розв'язок цього рівняння для орбіти задається у вигляді невизначеного інтеграла

: <math>
\varphi - \varphi_{0} = \int \frac{d\zeta}{\sqrt{4\zeta^{3} - g_{2} \zeta - g_{3}}}.
</math>

Звідси випливає, що з точністю до фазового зсуву, <math>\zeta = \wp(\varphi - \varphi_{0})</math>, де <math>\wp</math>&nbsp;— [[Еліптичні функції Веєрштрасса|еліптична функція Веєрштрасса]] з параметрами ''g''<sub>2</sub> і ''g''<sub>3</sub>, і φ<sub>0</sub>&nbsp;— [[стала інтегрування]] (можливо [[Комплексні числа|комплексна]]).

==== Якісний характер можливих орбіт ====
Повний якісний аналіз можливих орбіт у полі Шварцшильда вперше провів Ю. Хагихара в 1931 році.

Траєкторії в полі Шварцшильда описуються рівнянням руху

: <math>
\left( \frac{d\zeta}{d\varphi} \right)^{2} = 4 \zeta^{3} - g_{2} \zeta - g_{3}.
</math>

Якщо дискримінант <math>\Delta = g_{2}^{3} - 27 g_{3}^{2}</math> більший від 0, то [[кубічне рівняння]]

: <math>
G(\zeta) = 4 \zeta^{3} - g_{2} \zeta - g_{3} = 0\,
</math>

має три різних дійсних корені ''e''<sub>1</sub>, ''e''<sub>2</sub> і ''e''<sub>3</sub>, які можна впорядкувати за спаданням

: <math>
e_{1} > e_{2} > e_{3}.
</math>

У такому разі розв'язок <math>\zeta = \wp(\varphi - \varphi_{0})</math> є еліптичною функцією з двома півперіодами, одним чисто дійсним

: <math>
\omega_{1} = \int_{e_{1}}^{\infty} \frac{dz}{\sqrt{4z^{3} - g_{2}z - g_{3}}},
</math>

і другим&nbsp;— чисто уявним

: <math>
\omega_{3} = i \int_{-e_{3}}^{\infty} \frac{dz}{\sqrt{4z^{3} - g_{2}z - g_{3}}}.
</math>

Проміжний корінь, що залишився, визначає [[Комплексне число|комплексний]] півперіод ω<sub>2</sub> = —ω<sub>1</sub>&nbsp;— ω<sub>3</sub>. Ці величини пов'язані з відповідними коренями рівнянням <math>\wp(\omega_{i}) = e_{i}</math> (''i''= 1, 2, 3). Отже, при <math>\varphi-\varphi_0=n\omega_i</math> (''n''&nbsp;— ціле число) похідна ζ обертається в 0, тобто траєкторія досягає [[періастр]]у або [[апоастр]]у&nbsp;— точки найбільшого наближення і віддалення, відповідно:

: <math>
\frac{d\zeta}{d\phi} = 0 \ \mathrm{when} \ \zeta = \wp(-\omega_{i}) = e_{i}
</math>

оскільки

: <math>
\left( \frac{d\zeta}{d\varphi} \right)^{2} = G(\zeta) = 4 \zeta^{3} - g_{2} \zeta - g_{3} = 
4 \left( \zeta - e_{1} \right) \left( \zeta - e_{2} \right) \left( \zeta - e_{3} \right).
</math>

Якісний характер орбіти залежить від вибору φ<sub>0</sub>. Розв'язки із φ<sub>0</sub> = ω<sub>2</sub> відповідають або орбітам, що коливаються від ζ=''e''<sub>2</sub> до ζ=''e''<sub>3</sub>, або траєкторіями, що йдуть у нескінченність (ζ=-1/12). Навпаки, розв'язки з φ<sub>0</sub>, рівним ω<sub>1</sub> або будь-якому іншому дійсному числу, описують орбіти, що сходяться до центру, оскільки дійсне ζ не може бути меншим від ''e''<sub>1</sub> і тому буде неминуче зростати до нескінченності.

===== Квазіеліптичні орбіти =====
Розв'язки <math>\zeta = \wp(\phi - \phi_{0})</math>, в яких φ<sub>0</sub> = ω<sub>2</sub>, дають дійсні значення ζ за умови, що енергія ''E'' задовольняє нерівності ''E''<sup>2</sup> < ''m''<sup>2</sup>''c''<sup>4</sup>. В такому разі ζ приймає значення в інтервалі ''e''<sub>3</sub> ≤ ''ζ'' ≤ ''e''<sub>2</sub>. Якщо обидва корені більші від −<sup>1</sup>⁄<sub>12</sub>, то ζ не може набути цього значення, яке відповідає відходу частинки на нескінченність, тому тіло буде здійснювати фінітний рух, який можна уявити як рух по прецесуючому еліпсу. Радіальна координата тіла буде нескінченно коливатися між

: <math>
r_{min} = \frac{3r_{s}}{1 + 12e_{2}}
</math>

і

: <math>
r_{max} = \frac{3r_{s}}{1 + 12e_{1}},
</math>

які відповідають екстремальним значенням ''ζ''. Дійсний період еліптичної функції Веєрштрасса становить 2ω<sub>1</sub>; таким чином, частинка повертається до того ж радіуса, коли кутова координата зростає на 2ω<sub>1</sub>, що, взагалі кажучи, відрізняється від 2π. Тому орбіта як правило прецесує, однак при <math>r_{min}\ll r_g</math> кут прецесії за один оборот (2ω<sub>1</sub> − 2π) досить малий.

====== Стабільні колові орбіти ======
Особливий випадок 2''e''<sub>2</sub> = 2''e''<sub>3</sub> = −''e''<sub>3</sub> відповідає розв'язку з ''ζ'' = ''const'' = ''e''<sub>2</sub> = ''e''<sub>3</sub>. Виходить колова орбіта з ''r'' = ''r''<sub>outer</sub>, не меншим 3''r''<sub>s</sub>. Такі орбіти стійкі, оскільки малі збурення параметрів призводять до розщеплення коренів, приводячи до квазіеліптичних орбіт. Наприклад, якщо частинку трохи «підштовхнути» в радіальному напрямку, то вона стане коливатися поблизу незбуреного радіуса, описуючи прецесуючий еліпс.

====== Інфінітні орбіти ======
При ''r'', що прямує до нескінченності, ''ζ'' прямує до −<sup>1</sup>⁄<sub>12</sub>. Тому орбіти, що необмежено віддаляються або наближаються з нескінченності до центрального тіла, відповідають періодичним розв'язкам, у яких −<sup>1</sup>⁄<sub>12</sub> потрапляє в доступний ''ζ'' інтервал, тобто при ''e''<sub>3</sub> ≤ −<sup>1</sup>⁄<sub>12</sub> ≤ ''ζ'' ≤ ''e''<sub>2</sub>.

====== Асимптотично кругові орбіти ======
Інший особливий випадок відповідає −''e''<sub>3</sub> = 2''e''<sub>2</sub> = 2''e''<sub>1</sub>, тобто два корені ''G''(''ζ'') додатні і дорівнюють один одному, а третій&nbsp;— від'ємний. Орбіти в такому випадку є спіралями, які скручуються або накручуються при прямуванні ''φ'' до нескінченності (не важливо, додатної чи від'ємної) на коло радіуса ''r'', яке визначається співвідношенням

: <math>
\frac{r_{s}}{4r} - \frac{1}{12} = e.
</math>

Позначивши повторюваний корінь ''e'' = ''n''<sup>2</sup>/3, отримаємо рівняння орбіти, яке легко перевірити безпосередньою підстановкою:

: <math>
\zeta = \frac{r_{s}}{4r} - \frac{1}{12} = e - \frac{n^{2}}{\cosh^{2} n\varphi}.
</math>

В таких випадках радіальна координата частинки укладена між 2''r''<sub>s</sub> і 3''r''<sub>s</sub>.

Рівняння таких орбіт можна отримати з виразу [[Еліптичні функції Веєрштрасса|еліптичної функції Веєрштрасса]] через [[еліптичні функції Якобі]]

: <math>
\zeta = \wp(\phi - \phi_{0}) = e_{1} + \left(e_{1} - e_{3}\right) \frac{\mathrm{cn}^{2} w}{\mathrm{sn}^{2} w},
</math>

де <math>w = (\phi - \phi_{0})\sqrt{e_{1} - e_{3}}</math> і модуль

: <math>
k = \sqrt{\frac{e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}.
</math>

В границі збігу ''e''<sub>2</sub> і ''e''<sub>1</sub>, модуль прямує до одиниці, а ''w'' переходить в ''n''(φ − φ<sub>0</sub>). Вибираючи φ<sub>0</sub> уявним, рівним <math>iK^{\prime}</math> (чверть періоду), приходимо до наведеної вище формули.

===== Падіння на центр =====
У [[Дійсне число|дійсних]] розв'язках <math>\zeta = \wp(\phi - \phi_{0})</math>, в яких φ<sub>0</sub> дорівнює ω<sub>1</sub> або деяким іншим дійсним числам, ''ζ'' не може стати меншим від ''e''<sub>1</sub>. Через рівняння руху

: <math>
\left( \frac{d\zeta}{d\varphi} \right)^{2} = 4 \zeta^{3} - g_{2} \zeta - g_{3} = 
4 \left( \zeta - e_{1} \right) \left( \zeta - e_{2} \right) \left( \zeta - e_{3} \right)
</math>

''ζ'' безмежно зростає, що відповідає падінню на центр ''r'' = 0 після нескінченного числа обертів навколо нього.

=== Виведення рівняння орбіт ===

==== З [[рівняння Гамільтона — Якобі]] ====
Перевага цього виведення полягає в тому, що воно застосовне і до руху частинок, і до поширення хвиль, що легко приводить до виразу для відхилення світла в гравітаційному полі при використанні [[Принцип Ферма|принципу Ферма]]. Основна ідея полягає в тому, що завдяки [[Гравітаційне уповільнення часу|гравітаційному уповільненню часу]] частини хвильового фронту, розташовані ближче до гравітуючої маси, рухаються повільніше, ніж розташовані далі, що призводить до викривлення поширення хвильового фронту.

В силу [[Загальна коваріантність|загальної коваріантності]], [[рівняння Гамільтона — Якобі]] для однієї частинки в довільних координатах можна записати у вигляді

: <math>
g^{\mu\nu} \frac{\partial S}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial S}{\partial x^{\nu}} = m^{2} c^{2}.
</math>

У [[Метрика Шварцшильда|метриці Шварцшильда]] це рівняння набуде вигляду

: <math>
\frac{1}{c^{2} \left(1 - \frac{r_{s}}{r} \right)} \left( \frac{\partial S}{\partial t} \right)^{2} - 
\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{\partial S}{\partial r} \right)^{2} -
\frac{1}{r^{2}} \left( \frac{\partial S}{\partial \varphi} \right)^{2} = m^{2} c^{2},
</math>

де площина відліку <math>\theta</math> сферичної системи координат розташована в площині орбіти. Час ''t'' і довгота ''φ''&nbsp;— [[Циклічна координата|циклічні координати]], тому розв'язок для функції [[Дія (фізика)|дії]] ''S'' запишеться у вигляді

: <math>
S = -Et + L\varphi + S_{r}(r) \,,
</math>

де ''E''&nbsp;— [[енергія]] частинки, ''L''&nbsp;— її [[Момент імпульсу|кутовий момент]]. [[Рівняння Гамільтона — Якобі]] приводить до інтегрального розв'язку для радіальної частини ''S<sub>r</sub>(r)''

: <math>
S_{r}(r) = \int \frac{L dr}{1 - \frac{r_{s}}{r}} \sqrt{\frac{1}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{r^{2}} \right)}.
</math>

Диференціюючи функцію ''S'' звичайним чином

: <math>
\frac{\partial S}{\partial L} = \varphi + \frac{\partial S_{r}}{\partial L} = \mathrm{constant},
</math>

приходимо до рівняння орбіти, отриманого раніше

: <math>
\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = \frac{r^{4}}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{r^{4}}{a^{2}} + r^{2} \right).
</math>

Цей підхід можна використовувати для елегантного виведення швидкості прецесії орбіти<ref name="LL2-101">Ландау Л. Д., Лифшиц Е.&nbsp;М.&nbsp;Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. II. Теория поля.&nbsp;— 8-е изд., стереот.&nbsp;— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.&nbsp;— 536 с.&nbsp;— ISBN 5-9221-0056-4 (Т. II). §&nbsp;101.</ref>.

В границі нульової маси ''m'' (або, що еквівалентно, нескінченного ''a''), радіальна частина дії ''S'' стає рівною

: <math>
S_{r}(r) = \frac{E}{c} \int dr \sqrt{\frac{r^{2}}{\left( r - r_{s} \right)^{2}} - \frac{b^{2}}{r \left( r - r_{s} \right)}},
</math>

з цього виразу виводиться рівняння для відхилення променя світла<ref name="LL2-101"/>.

==== З рівнянь Лагранжа ====
В загальній теорії відносності вільні частинки зі знехтовно малою масою ''m'', підкоряючись [[Принцип еквівалентності|принципу еквівалентності]], рухаються по [[Геодезична лінія|геодезичних]] у [[Простір-час|просторі-часі]], створюваному масами, що тяжіють. Геодезичні простору-часу визначаються як криві, малі [[Варіаційний принцип|варіації]] яких&nbsp;— за фіксованих початковій і кінцевій точках&nbsp;— не змінюють їх довжини ''s''. Це можна виразити математично за допомогою [[Варіаційне числення|варіаційного числення]]

: <math>
0 = \delta s = \delta \int ds = \delta \int \sqrt{g_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{d\tau} \frac{dx^{\nu}}{d\tau} } d\tau = \delta \int \sqrt{2T} d\tau,
</math>

де ''τ''&nbsp;— [[Світова лінія|власний час]], ''s''=''cτ''&nbsp;— довжина в просторі-часі, і величина ''T'' визначена як

: <math>
2T = c^{2} = \left( \frac{ds}{d\tau} \right)^{2} = g_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{d\tau} \frac{dx^{\nu}}{d\tau} = 
\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} \left( \frac{dt}{d\tau} \right)^{2} - 
\frac{1}{1 - \frac{r_{s}}{r}} \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} - 
r^{2} \left( \frac{d\varphi}{d\tau} \right)^{2},
</math>

за аналогією з [[Кінетична енергія|кінетичною енергією]]. Якщо похідну за власним часу для стислості позначити крапкою

: <math>
\dot{x}^{\mu} = \frac{dx^{\mu}}{d\tau},
</math>

то ''T'' можна записати у вигляді

: <math>
2T = c^{2} = 
\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} \left( \dot{t} \right)^{2} - 
\frac{1}{1 - \frac{r_{s}}{r}} \left( \dot{r} \right)^{2} - 
r^{2} \left( \dot{\varphi} \right)^{2}.
</math>

Сталі величини, такі як ''c'' або корінь квадратний з двох, не впливають на відповідь варіаційної задачі, і таким чином, переносячи варіацію під інтеграл, приходимо до [[Принцип найменшої дії|варіаційного принципу Гамільтона]]

: <math>
0 = \delta \int \sqrt{2T} d\tau = \int \frac{\delta T}{\sqrt{2T}} d\tau = \frac{1}{c} \delta \int T d\tau.
</math>

Розв'язок варіаційної задачі дають [[Рівняння Ейлера — Лагранжа|рівняння Лагранжа]]

: <math>
\frac{d}{d\tau} \left(\frac{\partial T}{\partial \dot{x}^{\sigma}} \right) = \frac{\partial T}{\partial x^{\sigma}}.
</math>

Коли вони застосовуються до ''t'' і ''φ'', ці рівняння приводять до існування величин, які [[Інтеграл руху|зберігаються]]

: <math>
\frac{d}{d\tau} \left[ r^{2} \frac{d\varphi}{d\tau} \right] = 0,
</math>

: <math>
\frac{d}{d\tau} \left[ \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \right] = 0,
</math>

що можна записати як рівняння для ''L'' і ''E''

: <math>
r^{2} \frac{d\varphi}{d\tau} = \frac{L}{m},
</math>

: <math>
\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} = \frac{E}{mc^{2}}.
</math>

Як показано [[Задача Кеплера в загальній теорії відносності#Рівняння геодезичних|вище]], підстановка цих рівнянь у визначення [[Метрика Шварцшильда|метрики Шварцшильда]] приводить до рівняння орбіт.

==== З принципу Гамільтона ====
Інтеграл [[Дія (фізика)|дії]] для частинки в гравітаційному полі має вигляд

: <math>
S = \int{ - m c^2 d\tau} = - m c \int{ c \frac{d\tau}{dq} dq} = - m c \int{ \sqrt{g_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{dq} \frac{dx^{\nu}}{dq} } dq},
</math>

де ''τ''&nbsp;— [[Світова лінія|власний час]] і ''q''&nbsp;— гладка параметризація світової лінії частинки. Якщо застосувати [[варіаційне числення]], то з цього виразу негайно випливають рівняння для геодезичних. Обчислення можна спростити, якщо взяти варіацію від квадрата підінтегрального виразу. В полі Шварцшильда цей квадрат дорівнює

: <math>
\left(c \frac{d\tau}{dq}\right)^2 = g_{\mu\nu} \frac{dx^{\mu}}{dq} \frac{dx^{\nu}}{dq} = 
\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} \left( \frac{dt}{dq} \right)^{2} - 
\frac{1}{1 - \frac{r_{s}}{r}} \left( \frac{dr}{dq} \right)^{2} - 
r^{2} \left( \frac{d\varphi}{dq} \right)^{2}.
</math>

Порахувавши варіацію, отримаємо

: <math>
\delta \left(c \frac{d\tau}{dq}\right)^2 = 2 c^{2} \frac{d\tau}{dq} \delta \frac{d\tau}{dq} = 
\delta \left[ \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} \left( \frac{dt}{dq} \right)^{2} - 
\frac{1}{1 - \frac{r_{s}}{r}} \left( \frac{dr}{dq} \right)^{2} - 
r^{2} \left( \frac{d\varphi}{dq} \right)^{2} \right].
</math>

Взявши варіацію тільки за довготою ''φ''

: <math>
2 c^{2} \frac{d\tau}{dq} \delta \frac{d\tau}{dq} = 
- 2 r^{2} \frac{d\varphi}{dq} \delta \frac{d\varphi}{dq} 
</math>

поділимо на <math>2 c \frac{d\tau}{dq}</math>, щоб отримати варіацію підінтегрального виразу

: <math>
c \, \delta \frac{d\tau}{dq} = - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \delta \frac{d\varphi}{dq} 
= - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \frac{d \delta \varphi}{dq}. 
</math>

Таким чином

: <math>
0 = \delta \int { c \frac{d\tau}{dq} dq } = \int { c \delta \frac{d\tau}{dq} dq } = 
\int { - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \frac{d \delta \varphi}{dq} dq },
</math>

і інтегрування частинами приводить до

: <math>
0 = - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \delta \varphi 
- \int { \frac{d}{dq} \left[ - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \right] \delta \varphi dq }.
</math>

Варіація за довготою зникає в граничних точках і перший доданок занулюється. Інтеграл можна зробити рівним нулю при довільному виборі δφ тільки якщо інші множники під інтегралом завжди дорівнюють нулю. Таким чином ми приходимо до рівняння руху

: <math>
\frac{d}{dq} \left[ - \frac{r^{2}}{c} \frac{d\varphi}{d\tau} \right] = 0.
</math>

При варіації за часом ''t'' отримаємо

: <math>
2 c^{2} \frac{d\tau}{dq} \delta \frac{d\tau}{dq} = 
2 \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) c^{2} \frac{dt}{dq} \delta \frac{dt}{dq},
</math>

що після поділу на <math>2 c \frac{d\tau}{dq}</math> дає варіацію підінтегрального вираження

: <math>
c \delta \frac{d\tau}{dq} = 
c \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \delta \frac{dt}{dq}
= c \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \frac{d \delta t}{dq}.
</math>

Звідси

: <math>
0 = \delta \int { c \frac{d\tau}{dq} dq }
= \int { c \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \frac{d \delta t}{dq} dq }
</math>

і знову інтегрування частинами приводить до виразу

: <math>
0 = c \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \delta t 
- \int { \frac{d}{dq} \left[ c \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \right] \delta t dq },
</math>

з якого випливає рівняння руху

: <math>
\frac{d}{dq} \left[ c \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} \right] = 0.
</math>

Якщо проінтегрувати ці рівняння руху і визначити сталі інтегрування, ми знову прийдемо до рівняння

: <math>
r^{2} \frac{d\varphi}{d\tau} = \frac{L}{m},
</math>

: <math>
\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \frac{dt}{d\tau} = \frac{E}{mc^{2}}.
</math>

Ці два рівняння для інтегралів руху ''L'' і ''E'' можна поєднати в одне, яке буде працювати навіть для [[фотон]]а та інших безмасових частинок, для яких власний час уздовж геодезичної дорівнює нулю:

: <math>
\frac{r^{2}}{bc} \frac{d\varphi}{dt} = 1 - \frac{r_{s}}{r}.
</math>

== Постньютонівські підходи ==
Оскільки в реальних задачах наближення пробного тіла іноді має недостатню точність, то існують підходи для його уточнення, одним з яких є застосування [[Постньютонівський формалізм|постньютонівського формалізму]] (ПН-формалізму), розвиненого в працях Еддінгтона, Фока, Дамура та інших вчених-релятивістів. Дещо спрощено, можна сказати, що в цьому підході відбувається розкладання рівнянь руху тіл, одержуваних з рівнянь Ейнштейна, в ряди за малим ПН-параметром <math>1/c^2</math>, та врахування членів лише до певного степеня цього параметра. Вже застосування 2,5ПН рівня <math>(1/c^5)</math> приводить до прогнозу гравітаційного випромінювання і відповідного зменшення періоду обертання гравітаційно пов'язаної системи. Поправки більш високого порядку також проявляються в русі об'єктів, наприклад, подвійних пульсарів. Рух планет та їх супутників, астероїдів, а також космічних апаратів Сонячної системи зараз розраховується в першому ПН-наближенні.

=== Поправки до геодезичного розв'язку ===

==== Випромінювання гравітаційних хвиль і втрата енергії і моменту імпульсу ====
[[Файл:PSR_1913+16_orbital_decay.png|ліворуч|міні|333x333пкс|Експериментально виміряне зменшення [[Сидеричний період|періоду обертання]] [[Подвійний пульсар|подвійного пульсара]] [[PSR B1913+16]] (сині точки) з високою точністю відповідає прогнозам [[Загальна теорія відносності|ЗТВ]] (чорна крива)]]
Відповідно до [[Загальна теорія відносності|загальної теорії відносності]], два тіла, що обертаються одна навколо одної, випускають [[Гравітаційна хвиля|гравітаційні хвилі]], що призводить до відмінності орбіт геодезичних, розрахованих вище. Для планет [[Сонячна система|Сонячної системи]] цей ефект надзвичайно малий, але він може відігравати істотну роль в еволюції тісних [[Подвійні зорі|подвійних зір]].

Змінення орбіт спостерігається в декількох системах, найвідомішою з них є [[подвійний пульсар]], відомий під назвою [[PSR B1913+16]], за дослідження якого [[Рассел Галс|Алан Галс]] і [[Джозеф Тейлор молодший|Джозеф Тейлор]] отримали [[Нобелівська премія з фізики|Нобелівську премію з фізики]] [[1993]] року. Дві [[Нейтронна зоря|нейтронні зорі]] в цій системі розташовані дуже близько одна від одної і здійснюють оберт за {{Nobr|465 хв}}. Їх орбіта&nbsp;— витягнутий еліпс з [[ексцентриситет]]ом 0,62. Відповідно до загальної теорії відносності короткий [[Сидеричний період|період обертання]] і високий ексцентриситет робить систему чудовим джерелом гравітаційних хвиль, що спричиняє втрати енергії і зменшення періоду обертання. Спостережувані зміни періоду протягом тридцяти років добре узгоджуються з [[Передбачення загальної теорії відносності|передбаченнями загальної теорії відносності]] з найкращого досяжною зараз точністю (близько 0,2&nbsp;% станом на [[2009|2009 рік]]).
[[Файл:Wavy.gif|праворуч|міні|300x300пкс|Дві нейтронні зорі, що швидко обертаються одна навколо одної, втрачають енергію шляхом випускання гравітаційного випромінювання. Через втрату енергії вони все більше зближуються і частота обертання зростає]]
Формулу, що описує втрату енергії та кутового моменту через гравітаційне випромінювання від двох тіл у задачі Кеплера, отримано в [[1963|1963 році]]<ref>{{Стаття|author=Peters P. C., Mathews J.|title=Gravitational Radiation from Point Masses in a Keplerian Orbit|видання=[[Physical Review]]|date=1963|том=131|pages=435—440|doi=10.1103/PhysRev.131.435|language=en}}</ref>. Швидкість втрати енергії (усереднена за період) задається у вигляді<ref>Landau and Lifshitz, p. 356—357.</ref>

: <math>
-\left\langle \frac{dE}{dt} \right\rangle = 
\frac{32G^{4}m_{1}^{2}m_{2}^{2}\left(m_{1} + m_{2}\right)}{5c^{5} a^{5} \left( 1 - e^{2} \right)^{7/2}} 
\left( 1 + \frac{73}{24} e^{2} + \frac{37}{96} e^{4} \right),
</math>

де {{Math|''e''}}&nbsp;— [[ексцентриситет]], а {{Math|''a''}}&nbsp;— [[велика піввісь]] еліптичної орбіти. Кутові дужки в лівій частині виразу означають усереднення за однією орбітою. Аналогічно для втрати кутового моменту можна записати

: <math>
-\left\langle \frac{dL_{z}}{dt} \right\rangle = 
\frac{32G^{7/2}m_{1}^{2}m_{2}^{2}\sqrt{m_{1} + m_{2}}}{5c^{5} a^{7/2} \left( 1 - e^{2} \right)^{2}} 
\left( 1 + \frac{7}{8} e^{2} \right).
</math>

Втрати енергії та кутового моменту значно зростають, якщо ексцентриситет прямує до 1, тобто якщо еліпс є дуже витягнутим. Інтенсивність випромінювання збільшується при зменшенні розміру {{Math|''a''}} орбіти. Втрата моменту імпульсу при випромінюванні така, що з часом ексцентриситет орбіти зменшується, і вона прямує до колової з постійно зменшуваним радіусом.

Потужність гравітаційного випромінювання планетних систем мізерно мала, наприклад для Сонячної системи&nbsp;— {{Nobr|5 кВт}}, з яких близько 90&nbsp;% припадає на систему Сонце-Юпітер. Це мізерно мало, порівняно з кінетичною енергією планет (очікуваний час життя Сонячної системи на {{Nobr|13 порядков}} більший від віку Всесвіту). Значно більше випромінювання тісних подвійних зір, наприклад згаданий подвійний пульсар Галса&nbsp;— Тейлора ([[PSR B1913+16]]), компоненти якого розділені відстанню порядку радіуса Сонця випромінює гравітаційні хвилі потужністю {{Nobr|7,35 × 10<sup>24</sup> Вт}}, що становить 2&nbsp;% потужності Сонця. Через втрати енергії відстань між компонентами цієї подвійної системи зменшується на {{Nobr|3,5 м/рік}}, і через {{Nobr|300 млн років}} зорі зіллються в одну. В міру зближення компонентів подвійної зорі, потужність гравітаційного випромінювання зростає обернено пропорційно п'ятому степеню відстані між ними, і безпосередньо перед злиттям потужність досягає значних величин: енергія, еквівалентна кільком масам Сонця, випромінюється протягом десятих часток секунди, що відповідає потужності {{Nobr|10<sup>47</sup> Вт}}. Це на {{Nobr|21 порядок}} більше світності Сонця і в мільярди разів більше світності нашої Галактики (саме така велика потужність дозволяє реєструвати гравітаційні хвилі під час злиття нейтронних зір на відстані сотень мільйонів світлових років). Потужність гравітаційних хвиль злиття чорних дір ще більша: в останні мілісекунди перед злиттям вона в десятки разів перевищує світність усіх зір у спостережуваній частині Всесвіту.

== Чисельна відносність ==
{{Докладніше|Чисельна відносність}}
Якщо тіла є настільки компактними, що можуть рухатися окремо, навіть коли орбітальна швидкість доходить до істотної частки швидкості світла, постньютонівське розкладання перестає працювати надійно. Це можливо на останніх стадіях еволюції подвійних систем, що складаються з [[Нейтронна зоря|нейтронних зір]] або [[Чорна діра|чорних дір]]&nbsp;— через гравітаційне випромінювання компоненти опускаються все ближче і ближче одне до одного, і врешті-решт зливаються. В цьому випадку тіла вже неможливо уявляти точковими або сферично-симетричними, і потрібно застосовувати методи точного тривимірного чисельного розв'язування рівнянь Ейнштейна і, в разі нейтронних зір&nbsp;— релятивістської магнітогідродинаміки, що носять найменування [[Чисельна відносність|чисельної відносності]]. Першою експериментальною перевіркою, яка з точністю до 94&nbsp;% підтвердила передбачення загальної теорії відносності та методів чисельної відносності, стало [[відкриття гравітаційних хвиль]] у вересні 2015 року.

== Див. також ==
* [[Задача Кеплера]]
* [[Метрика Шварцшильда]]
* [[Передбачення загальної теорії відносності]]
* [[Вектор Лапласа — Рунге — Ленца]]
* [[Гравітаційна задача N тіл]]

== Примітки та посилання ==
{{reflist}}

== Література ==

* {{Книга
|рік = 1965
|заголовок = Introduction to General Relativity
|видавництво = [[S&P Global|McGraw-Hill Education]]
|місце = New York
|ISBN = 978-0-07-000420-7
|сторінки = 177—193
|ref = Adler
|автор = Adler, R; Bazin M., and Schiffer M.
}}
* {{Книга
|рік = 1956
|заголовок = 
|видання = 5th
|видавництво = [[Princeton University Press]]
|місце = Princeton, NJ
|сторінки = 92—97
|ISBN = 978-0-691-02352-6
|ref = Einstein
|автор = [[Альберт Ейнштейн|Albert Einstein]]
|назва = The Meaning of Relativity
}}
* {{Стаття|title=Theory of the relativistic trajectories in a gravitational field of Schwarzschild|видання=Japanese Journal of Astronomy and Geophysics|том=8|pages=67—176|issn=0368-346X|language=en|тип=journal|author=[[Хаґіхара Юсуке|Hagihara, Y]]|date=1931}}
* {{Книга
|заголовок = 
|видання = 4th
|видавництво = [[Dover Publications]]
|місце = New York
|ISBN = 978-0-486-65067-8
|сторінки = 330—338
|рік = 1986
|ref = Lanczos
|автор = {{Нп3|Корнеліус Ланчос|Lanczos, C|en|Cornelius Lanczos}}
|назва = The Variational Principles of Mechanics
}}
* {{Книга
|автор = [[Ландау Лев Давидович|Ландау Л. Д.]], [[Ліфшиць Євген Михайлович|Лифшиц Е. М.]]
|рік = 2003
|заголовок = 
|видання = 8-е изд., стереот.
|видавництво = ФИЗМАТЛИТ
|місце = М.
|ISBN = 5-9221-0056-4
|сторінок = 536
|мова = ru
|назва = Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. II. Теория поля
}}''&nbsp;— §&nbsp;101.''
* {{Книга
|заголовок = 
|місце = San Francisco
|видавництво = {{Нп3|W. H. Freeman and Company|W. H. Freeman|en|W. H. Freeman and Company}}
|рік = 1973
|ISBN = 978-0-7167-0344-0
|сторінки = Chapter 25 (pp.&nbsp;636—687), §&nbsp;33.5 (pp.&nbsp;897—901), and §&nbsp;40.5 (pp.&nbsp;1110—1116)
|ref = Misner
|автор = [[Чарлз Мізнер|Misner, CW]], [[Кіп Торн|Kip S. Thorne]], and [[Джон Арчибальд Вілер|Wheeler, JA]]
|назва = Gravitation
}} (Див. [[Гравітація (книга)|Гравітація]]).
* {{Книга
|рік = 1982
|заголовок = Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein
|видавництво = [[Издательство Оксфордского университета|Oxford University Press]]
|ISBN = 0-19-520438-7
|сторінки = 253—256
|ref = Pais
|мова = en
|автор = [[Абрахам Пайс|Pais, A.]]
}}
* {{Книга
|рік = 1958
|заголовок = Theory of Relativity
|видавництво = [[Dover Publications]]
|місце = New York
|ISBN = 978-0-486-64152-2
|сторінки = 40—41, 166—169
|ref = Pauli
|автор = [[Вольфганг Паулі|Pauli, W]]
}}
* {{Книга
|рік = 1977
|заголовок = Essential Relativity: Special, General, and Cosmological
|видання = revised 2nd
|видавництво = [[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
|місце = New York
|ISBN = 978-0-387-10090-6
|сторінки = 143—149
|ref = Rindler
|автор = [[Вольфганг Ріндлер|Rindler, W]]
}}
* {{Книга
|автор = Роузвер Н. Т.
|частина = 
|заголовок = Перигелий Меркурия. От Леверье до Эйнштейна
|оригінал = Roseveare N. T. Mercury's perigelion from Le Verrier to Einstein
|посилання = http://bourabai.kz/articles/roseveare/
|відповідальний = Пер. с англ. А. С. Расторгуева под ред. В. К. Абалакина
|видання = 
|місце = Москва
|видавництво = Мир
|рік = 1985
|том = 
|сторінки = 
|сторінок = 246
|серія = 
|ISBN = 
|тираж = 10 000
|назва = 
|archivedate = 1 жовтня 2020
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20201001204015/http://bourabai.kz/articles/roseveare/
}}

* {{Книга
|рік = 1960
|заголовок = Relativity: The General Theory
|видавництво = [[Elsevier|North-Holland Publishing]]
|місце = Amsterdam
|ISBN = 978-0-7204-0066-3
|сторінки = 289—298
|ref = Synge
|автор = [[Джон Лайтон Сінг]]
}}
* {{Книга
|рік = 1984
|заголовок = General Relativity
|видавництво = [[University of Chicago Press|The University of Chicago Press]]
|місце = Chicago
|ISBN = 978-0-226-87032-8
|сторінки = 136—146
|ref = Wald
|автор = {{нп|Роберт Волд|Robert Wald||Robert Wald}}
}}
* {{Книга
|рік = 2007
|частина = Breaking in the 4-vectors: the four-dimensional movement in gravitation, 1905–1910
|заголовок = The Genesis of General Relativity
|сторінки = 193—252
|том = 3
|місце = Berlin
|видавництво = Springer
|посилання частина = http://www.univ-nancy2.fr/DepPhilo/walter/
|автор = Walter, S.
|відповідальний = Renn, J.
}}

* {{Книга
|рік = 1972
|заголовок = Gravitation and Cosmology
|видавництво = [[John Wiley & Sons|John Wiley and Sons]]
|місце = New York
|ISBN = 978-0-471-92567-5
|сторінки = 185—201
|ref = Weinberg
|автор = [[Стівен Вайнберг|Weinberg, S]]
}}
* {{Книга
|рік = 1937
|заголовок = A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, with an Introduction to the Problem of Three Bodies
|видання = 4th
|видавництво = [[Dover Publications]]
|місце = New York
|сторінки = 389—393
|ISBN = 978-1-114-28944-4
|посилання = https://archive.org/details/treatisanalytdyn00whitrich
|ref = Whittaker
|мова = en
|автор = [[Едмунд Тейлор Віттекер|Whittaker, ET]]
}}
{{Теорія відносності}}

[[Категорія:Розв'язки рівнянь Ейнштейна]]