Перегляд вихідного коду сторінки Елементарна алгебра

'''Елемента́рна а́лгебра''' ({{lang-en|Elementary algebra}})&nbsp;— [[алгебра]], що подається у вигляді навчальної дисципліни, орієнтованої на вивчення у загальноосвітній школі. Разом з [[арифметика|арифметикою]], [[геометрія|елементарною геометрією]] та [[тригонометрія|плоскою тригонометрією]] належить до [[елементарна математика|елементарної математики]], яка вивчається у рамках шкільної програми{{sfn|Туманов С. И.|1970|с=5}}. Дисципліна розглядає: основні поняття алгебри, основи [[комбінаторика|комбінаторики]], [[Алгебраїчний вираз|алгебраїчні вирази]], раціональні та [[Ірраціональне рівняння|ірраціональні]] [[рівняння]], системи рівнянь, функції та їх графіки, числові послідовності тощо.

== Основні поняття ==
В алгебрі прийнято записувати математичні вирази ([[формула|формули]]) в узагальненому виді, замінюючи конкретні числа на літерні символи, завдяки чому при вирішенні однотипних задач досягається максимальна узагальненість результату. Основним змістом алгебри є правила ''тотожних перетворень'' формул, що є необхідними для вирішення рівнянь, аналізу залежностей, оптимізації системи, що розглядається та інших практичних задач{{sfn |Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И.|1976|с=70.}}.

Крім літер і чисел, у формулах елементарної алгебри використовуються арифметичні операції: ([[додавання]], [[віднімання]], [[множення]], [[ділення]], [[піднесення до степеня]], [[Корінь (математика)|добування кореня]]) та [[елементарні функції]] ([[логарифм]], [[тригонометричні функції]]). Дві формули, об'єднані знаком рівності, називаються [[рівняння]]м.

Алгебраїчна нотація визначає загальні особливості запису алгебраїчних виразів. Тут є певні правила, домовленості та спеціальна термінологія. Наприклад у виразі <math style="margin-bottom:8px">3x^2 - 2xy + c</math> є наступні компоненти:
{{center|
[[Файл:algebraic equation notation.svg|256px]]<br/>
1 : [[Піднесення до степеня|Показник степеня]], 2 : [[Коефіцієнт]], 3 : [[Доданок]], 4 : [[Операція (математика)|Оператор]], 5. [[Константа]], <math>x, y</math> : [[змінна|змінні]]
}}

Якщо символ операції між двома виразами не вказаний, то мається на увазі операція множення:
: <math>ab = a \cdot b; \;1{,}2\ x=1{,}2\cdot x; \; \pi(a^2+b^2)= \pi\cdot (a^2+b^2)</math>
Приклад формули: [[площа трикутника]] <math>S</math> так виражається через довжину однієї із сторін <math>a</math> і величину висоти <math>h</math>, опущеної на сторону <math>a</math>:
: <math>S = {1 \over 2} a h</math>

Найпростіший алгебраїчний вираз&nbsp;— це [[одночлен]], що складається з числового множника, помноженого на один або більше літерних символів{{sfn |Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И.|1976|с=73. }}. Приклади:
: <math>1{,}2\ x; \; \sqrt{2}abc^2; \; x^2w</math>
Алгебраїчні суми (тобто суми та/або різниці) одночленів називають [[многочлен]]ами. Вирази, що мають вид частки від ділення одного многочлена на інший, називається ''алгебраїчним дробом''. Дії з алгебраїчними дробами є аналогічними до дій із [[дріб|звичайними дробами]]&nbsp;— розкладання чисельника й знаменника на множники, приведення декількох дробів до спільного знаменника, скорочення чисельника й знаменника на спільний множник тощо.

== Закони елементарної алгебри ==

=== Обчислення значення виразу ===
Порядок виконання операцій вказується [[дужки|дужками]]. Якщо дужки відсутні, то пріоритетність у порядку зменшення є наступною:
# Піднесення до степеня.
# Обчислення функції.
# Множення та ділення.
# Додавання та віднімання.

Приклади:
* <math>a^{b^{c}} = a^{(b^{c})}</math>
* <math>\sin x^2 = \sin (x^2)</math>
* <math>\sin a + b = (\sin a) + b</math>

При обчисленні значення виразу замість літерних символів підставляють їхні числові значення, виходячи з умови конкретної задачі. Множина числових значень, при яких вираз має зміст, називається ''областю допустимих значень'' цього виразу{{sfn |Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И.|1976|с=71. }}. Приклад: для виразу <math>~\frac{a+b}{a-b}</math> область допустимих значень&nbsp;— усе пари <math>a, b</math>, у яких <math>a \ne b</math>.

=== Властивості операцій ===
* [[Комутативність]] (властивість перестановки) [[додавання]]:
:: <math>a + b = b + a. \ </math>
:* [[Віднімання]] є дією, оберненою до додавання.
:* Віднімання числа ''b'' є рівнозначним додаванню числа протилежного знаку:
::: <math> a - b = a + (-b). \ </math>
* [[Комутативність]] (властивість перестановки) [[Множення|множення]]:
:: <math> a \cdot b = b \cdot a \ </math>
:* [[Ділення]] є дією, оберненою до множення.
:* Ділення на нуль є неможливим.
:* Ділення на число ''b'' є рівнозначним множенню на число, [[обернене число|обернене]] до ''b'':
::: <math> {a \over b} = a \left( {1 \over b} \right). </math>
* [[Піднесення до степеня]] не є комутативним. Тому у нього є дві обернені операції: [[корінь (математика)|добування кореня]] й [[Логарифм|логарифмування]].
** Приклад: якщо <math>3^x = 10</math>, то <math>x = \log_3 10 .</math> Якщо <math>x^{2} = 10</math>, то <math>~x=\sqrt{10}.</math>
* Корінь парного степеня з від'ємного числа не існує (серед дійсних чисел).
* [[Асоціативність|Асоціативна]] (сполучна) властивість додавання: <math>(a + b) + c = a + (b + c).</math>
* [[Асоціативність|Асоціативна]] (сполучна) властивість множення: <math>(ab)c = a(bc).</math>
* [[Дистрибутивність|Дистрибутивна]] (розподільна) властивість множення: <math>c(a + b) = ca + cb.</math>
* [[Дистрибутивність|Дистрибутивна]] (розподільна) властивість для піднесення до степеня: <math>(a b)^c = a^c b^c .</math>
* Додавання показників степеня: <math> a^b a^c = a^{b+c}.</math>
* Множення показників степеня: <math> (a^b)^c = a^{bc}.</math>

=== Властивості рівності ===
* Якщо <math>a = b</math> і <math>b = c</math>, то <math>a = c</math> ([[транзитивне відношення|транзитивність]] рівності).
* <math>a = a</math> ([[рефлексивне відношення|рефлексивність]]).
* Якщо <math>a = b</math>, то <math>b = a</math> ([[Симетричне відношення|симетричність]]).

=== Інші закони ===
* Якщо <math>a = b</math> і <math>c = d</math>, то <math>a + c = b + d.</math> ([[адитивність]] рівності)
** Якщо <math>a = b</math>, то <math>a + c = b + c</math> для будь-якого ''c''
* Якщо <math>a = b</math> і <math>c = d</math>, то <math>ac</math> = <math>bd.</math> ([[мультиплікативна функція|мультиплікативність]] рівності)
** Якщо <math>a = b</math>, то <math>ac = bc</math> для будь-якого ''c''
* Якщо значення двох символів збігаються, то замість одного можна підставити інший (принцип підстановки).
* Якщо <math>a > b</math> і <math>b > c</math>, то <math>a > c</math> ([[транзитивне відношення|транзитивність]] порядку).
* Якщо <math>a > b</math>, то <math>a + c > b + c</math> для будь-якого ''c''.
* Якщо <math>a > b</math> і <math>c > 0</math>, то <math>ac > bc.</math>
* Якщо <math>a > b</math> і <math>c < 0</math>, то <math>ac < bc.</math>

=== Деякі алгебраїчні тотожності ===
: {{seealso|Біном Ньютона}}
: <math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math>
: <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2; \; (a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>
: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3; \; (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3</math>
: <math>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2); \; a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)</math>

== Розв'язування рівнянь ==
{{main|Рівняння}}
[[Рівняння]]&nbsp;— це [[відношення рівності|рівність]] виду:
: <math>f(x_1, x_2 \dots) = g(x_1, x_2 \dots)</math>
[[Розв'язування рівняння]]&nbsp;— сукупність дій стосовно рівності, для знаходження таких значень аргументів, при яких ця рівність забезпечується. На можливі значення аргументів можуть бути накладені додаткові умови (цілочисельності, дійсності тощо). Розв'язування рівнянь&nbsp;— одна з головних задач алгебри зокрема і математики взагалі. У ході історичного розвитку науки були розроблені різноманітні методи ([[алгоритм]]и) розв'язування для великої кількості різновидів цієї задачі.

== Див. також ==
* [[Алгебра]]
* [[Таблиця математичних символів]]
* [[Історія математичних позначень]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{книга |автор=Завало С. Т. |заголовок=Елементарна математика. Алгебра |видання= |видавництво=Вища школа |місце=К. |рік=1971 |сторінок=356 |ref=Завало}}
* {{книга |автор=Выгодский М. Я. |заголовок=Справочник по элементарной математике |ref=Справочник по элементарной математике |місце = М. |видавництво=Астрель |рік=2001 |сторінок = 509|isbn=5-17-009554-6}}
* {{книга |автор=Зайцев В. В., Рыжков В. В., [[Сканаві Марк Іванович|Сканави М. И.]]
  |заголовок=Элементарная математика. Повторительный курс |видання=Издание третье, стереотипное |видавництво=Наука |місце=М. |рік=1976 |сторінок=592 |ref=Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И.}}
* {{книга |автор=Глейзер Г. И. |заголовок=История математики в школе  |посилання = http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/school.htm  |видавництво=Просвещение |місце=М. |рік=1964 |сторінок=376}}
* {{книга | автор= Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. | заголовок = Избранные задачи и теоремы элементарной математики |частина=1: Арифметика и алгебра|видання=5-е издание |видавництво=Наука| місце=М.|рік=1976| сторінок=384}}
* {{книга | автор=Туманов С. И.| заголовок = Элементарная алгебра: пособие для самообразования |частина= |видання=3-е изд., перераб. и доп.|видавництво=Просвещение| місце=М.|рік=1970| сторінок=864|ref=Туманов С. И.}}

{{ Математика-footer}}

[[Категорія:Алгебра]]
[[Категорія:Елементарна математика]]
[[Категорія:Елементарна алгебра]]