Перегляд вихідного коду сторінки Екстремум

[[Файл:Extrema example es.svg|thumb|]]
'''Екстре́мум'''&nbsp;— найбільше або найменше значення [[Функція (математика)|функції]] на заданій множині. 

Розрізняють:
* '''лока́льний'''&nbsp;— екстремум у певному довільно малому [[окіл|околі]] даної точки;
* '''глоба́льний'''&nbsp;— екстремум в усій розглядуваній області значень функцій.

Задачі знаходження екстремуму виникають у всіх галузях людського знання: 

[[Теорія автоматичного керування|теорії автоматичного керування]], [[:Категорія:Економічні проблеми|економіці]], [[Біологія|біології]], [[Фізика|фізиці]] тощо.{{Sfn|Пшеничный|1969|с=7}}

== Визначення ==
Нехай дано функцію <math>f:M \subset \R \to \R,</math> і <math>x_0 \in M^0</math>&nbsp;— внутрішня точка області визначення <math>f.</math> Тоді

* <math>x_0</math> називається точкою локального максимуму функції <math>f,</math> якщо існує проколотий окіл <math>\dot{U}(x_0)</math> такий, що
*: <math>\forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \leqslant f(x_0);</math>
* <math>x_0</math> називається точкою локального мінімуму функції <math>f,</math> якщо існує проколотий окіл <math>\dot{U}(x_0)</math> такий, що
*: <math>\forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \geqslant f(x_0).</math>

* <math>x_0</math> називається точкою глобального (абсолютного) максимуму, якщо
*: <math>\forall x\in M\quad f(x) \leqslant f(x_0);</math>
* <math>x_0</math> називається точкою глобального (абсолютного) мінімуму, якщо
*: <math>\forall x\in M\quad f(x) \geqslant f(x_0).</math>

Якщо нерівності вище строгі, то <math>x_0</math> називається точкою строгого локального або глобального максимуму або мінімуму відповідно.

Значення функції <math>f(x_0)</math> називають відповідно (строгим) локальним або глобальним максимумом або мінімумом. Точки, які є точками (локального) максимуму або мінімуму, називають точками (локального) екстремуму.

== Зауваження ==
Функція <math>f,</math> визначена на множині <math>M,</math> може не мати на ньому жодного локального або глобального екстремуму. Наприклад, <math>f(x) = x,\; x\in (-1,1).</math>

== Необхідні умови існування локальних екстремумів ==

З [[Теорема Ферма|леми Ферма]] випливає таке<ref name=":0">{{Книга
|автор = Кудрявцев Л. Д.
|заголовок = Математический анализ
|том = 1
|відповідальний = 
|видання = 2-е изд
|місце = {{М.}}
|видавництво = [[Высшая школа]]
|рік = 1973
|сторінки =
|сторінок =
|ISBN =
}}</ref>:

: Нехай точка <math>x_0</math> є точкою екстремуму функції <math>f</math>, визначеної в деякому околі точки <math>x_0</math>.
: Тоді або похідна <math>f'(x_0)</math> не існує, або <math>f'(x_0) = 0</math>.

Ці умови не є достатніми, так, функція може мати нуль похідної в точці, але ця точка може не бути точкою екстремуму, а бути, скажімо, [[Точка перегину|точкою перегину]], як точка (0,0) у функції <math>f(x)=x^3</math>.

== Достатні умови існування локальних екстремумів ==

* Нехай функція <math>f\in C(x_0)</math> неперервна в <math>x_0\in M^0,</math> і існують скінченні або нескінченні односторонні похідні <math>f'_+(x_0), f'_-(x_0)</math>. Тоді за умови
: <math>f'_+(x_0) < 0,\; f'_-(x_0) > 0</math>
<math>x_0</math> є точкою строгого локального максимуму. А якщо
: <math>f'_+(x_0) > 0,\; f'_-(x_0) < 0,</math>
то <math>x_0</math> є точкою строгого локального мінімуму.

Зауважимо, що при цьому функція не обов'язково [[Диференційовна функція|диференційовна]] в точці <math>x_0</math>.

* Нехай функція <math>f</math> неперервна і двічі диференційовна в точці <math>x_0</math>. Тоді за умови
: <math>f'(x_0)=0</math> і <math>f''(x_0) < 0</math>
<math>x_0</math> є точкою локального максимуму. А якщо
: <math>f'(x_0)=0</math> і <math>f''(x_0) > 0</math>
то <math>x_0</math> є точкою локального мінімуму.

* Нехай функція <math>f</math> диференційовна <math>n</math> разів у точці <math>x_0</math> і <math>f'(x_0)=f''(x_0)=\dots =f^{(n-1)}(x_0)=0</math>, а <math>f^{(n)}(x_0)\ne 0</math>.

Якщо <math>n</math> парне і <math>f^{(n)}(x_0)<0</math>, то <math>x_0</math>&nbsp;— точка локального максимуму. Якщо <math>n</math>&nbsp;— парне і <math>f^{(n)}(x_0)>0</math>, то <math>x_0</math>&nbsp;— точка локального мінімуму. Якщо <math>n</math>&nbsp;— непарне, то екстремуму немає.

== Теорема Ферма ==
{{Докладніше|Теорема Ферма}}
Нехай <math>x_{0}</math>&nbsp;— точка екстремуму функції <math>f\colon D\to R</math>. Якщо <math>x_{0}</math>&nbsp;— внутрішня точка для <math>D</math> і <math>f(x)</math>&nbsp;— диференційовна в точці <math>x_{0}~(\exists f'(x_{0}))</math>, то <math>f'(x_{0}) = 0</math>.

== Теорема Ролля ==
{{Докладніше|Теорема Ролля}}
Якщо <math>f\colon [a;b]\to R</math> неперервна на <math>[a;b]</math>, диференційовна на <math>(a;b)</math> і <math>f(a)=f(b)</math>, то <math>\exists \xi \in (a;b):~f'(\xi) = 0</math>

== Див. також ==
* [[Критична точка (математика)|Критична точка]]
* [[Задача оптимізації]]
* [[Похідна]]
* [[Умовний екстремум]]

== Примітки ==
{{примітки}}

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{МГЕ|nocat=1}}

== Посилання ==
* [https://vue.gov.ua/Абсолютний_екстремум_(у_математиці) Абсолютний екстремум (у математиці)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220225073518/https://vue.gov.ua/Абсолютний_екстремум_(у_математиці) |date=25 лютого 2022 }} // [[ВУЕ]]
* {{Клепко_ВМ|частина=Означення максимуму та мінімуму функції|сторінки=300}}
[[Категорія:Математичний аналіз]]
[[Категорія:Теорія оптимізації]]