Перегляд вихідного коду сторінки Експоненційний розподіл

{{Розподіл ймовірностей |
  name       =Показниковий розподіл|
  type       =pdf|
  pdf_image  =[[Файл:Exponential pdf.svg|325px|Probability density function]]|
  cdf_image  =[[Файл:Exponential distribution cdf.svg|325px|Cumulative distribution function]]|
  parameters =<math>\lambda > 0 \,</math> - інтенсивність або зворотність [[коефіцієнт масштабу]]|
  support    =<math>x \in [0;\infty)\!</math>|
  pdf        =<math>\lambda e^{-\lambda x}\,</math>|
  cdf        =<math>1 - e^{-\lambda x}\,</math>|
  mean       =<math>\lambda^{-1}\,</math>|
  median     =<math>\ln(2)/\lambda\,</math>|
  mode       =<math>0\,</math>|
  variance       =<math>\lambda^{-2}\,</math>|
  skewness   =<math>2\,</math>|
  kurtosis   =<math>6\,</math>|
  entropy    =<math>1 - \ln(\lambda)\,</math>|
  mgf        =<math>\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,</math>|
  char       =<math>\left(1 - \frac{it}{\lambda}\right)^{-1}\,</math>|
  fisher     =<math>\frac{1}{\lambda^2}</math>
}}
'''Показниковий''' (або '''експоненційний''') '''розподіл'''&nbsp;— [[Розподіл ймовірностей|абсолютно неперервний розподіл]], що моделює час між двома послідовними завершеннями однієї і тієї ж події.

== Визначення ==

[[Випадкова величина]] <math>X</math> має експоненційний розподіл з параметром <math>\lambda > 0</math>, якщо її [[Густина імовірності|густина]] має вигляд
: <math>f_X(x) = \left\{\begin{matrix}
\lambda \,e^{-\lambda x} &,\; x \ge 0, \\
0 &,\; x < 0.
\end{matrix}\right.</math>.
Часто можна бачити експоненційний розподіл зі зсувом (параметр зсуву <math>x_0</math>)
: <math>f_X(x) = \left\{\begin{matrix}
\lambda \,e^{-\lambda (x - x_0)} &,\; x \ge x_0, \\
0 &,\; x < x_0.
\end{matrix}\right.</math>.
Інколи сімейство експоненційних розподілів параметризують зворотнім параметром <math>1/\lambda</math>:
: <math>f_X(x) = \left\{\begin{matrix}
{1 \over \lambda} \,e^{-{ (x-x_0) \over \lambda}} &,\; x \ge x_0, \\
0 &,\; x < x_0.
\end{matrix}\right.</math>.
Обидва способи однаково природні, і необхідна лише домовленість, який з них використовується.

'''Приклад.''' Хай є магазин, в який час від часу заходять покупці. При визначених допущеннях, час між появами двох послідовних покупців буде випадковою величиною з експоненційним розподілом. Середній час очікування нового покупця (див. нижче) рівний <math>1/\lambda</math>. Сам параметр <math>\lambda</math> може бути інтерпретований як середнє число нових покупців за одиницю часу.

У цій статті, для визначеності, передбачатимемо, що щільність експоненційної випадкової величини <math>X</math> задана першим рівнянням, і писатимемо: <math>X \sim \mathrm{Exp}(\lambda)</math>.

== Функція розподілу ==

Інтегруючи щільність, отримаємо [[функція розподілу|функцію експоненційного розподілу]]: <math>
F_X(x) = \left\{\begin{matrix}
1-e^{-\lambda x}&,\; x \ge 0, \\
0 &,\; x < 0.
\end{matrix}\right.</math>

== Моменти ==

За допомогою нескладного інтегрування знаходимо, що [[Моменти випадкової величини|функція моментів]] для експоненційного розподілу має такий вигляд:
: <math>\mathrm{M}_x(t)= \left(1 - {t \over \lambda}\right)^{-1}</math>,
звідки отримуємо всі моменти:
: <math>\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{n!}{\lambda^n}</math>.
: <math>\mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda}</math>,
: <math>\mathrm{var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}</math>.

== Властивості ==

=== Відсутність пам'яті ===
Експоненційно розподілена випадкова змінна ''T'' підкоряється рівності

:<math>\Pr \left (T > s + t | T > s \right ) = \Pr(T > t), \qquad \forall s, t \ge 0</math>.

Якщо ''T'' інтерпретувати як час очікування на настання події відносно деякого початкового часу, це відношення говорить, що якщо ''T'' [[умовна ймовірність|обумовлена]] неможливістю спостерегти подію протягом певного початкового періоду часу ''s'', розподіл часу очікування, що залишився - такий самий, як і початковий розподіл без умови. Наприклад, якщо подія не трапилась після 30 секунд, [[умовна ймовірність]] того, що вона трапиться через щонайменше 10 секунд, дорівнює безумовній ймовірності, що вона трапиться через 10 секунд, не залежно від того чи вона трапилась в перші 30 секунд.

Наприклад, якщо час очікування на дощ - експоненційно розподілена випадкова величина, то ймовірність того, що дощу не буде в наступні дві години, за умови того, що дощ не падав останню годину, дорівнює ймовірності того, що дощу не буде в наступні дві години, якщо немає ніякої інформації про те, падав він до того чи ні. 

Експоненційний та [[геометричний розподіл]]и - це єдині розподіли з відсутністю пам'яті.

=== Квантилі ===
[[Квантиль|Квантильна функція]] (обернена функція розподілу) для експоненційного розподілу, <math>E(\lambda)</math> записується:

:<math>F^{-1}(p;\lambda) = \frac{-\ln(1-p)}{\lambda}, \!</math>

для <math>0\le p<1</math>.
Отже, квантилі:

; перший (25% процентиль) : <math>\ln(4/3)/\lambda</math>
; [[медіана]] : <math>\ln(2)/\lambda</math>
; третій (75% процентиль): <math>\ln(4)/\lambda</math>

===Розподіл мінімуму експоненційно розподілених випадкових величин===
Нехай <math>X_1,\dots,X_n</math> — [[Незалежність (імовірність)|незалежні]] випадкові величини розподілені за експоненційним розподілом з параметрами <math>\lambda_1,\dots,\lambda_n</math>.  Тоді

:<math>
\min\{\,X_1,\dots,X_n\,\}
</math>

також експоненційна випадкова величина з параметром

:<math>
\lambda = \lambda_1+\cdots+\lambda_n.\,
</math>

В цьому можна переконатися розглянувши доповнювальну функцію розподілу:

:<math>
\begin{align}
\Pr(\min\{\,X_1,\dots,X_n\,\} > x) & = \Pr\left(X_1 > x \text{,}\dots\text{,}X_n > x\right) \\
= \prod_{i=1}^n \Pr(X_i > x) & = \prod_{i=1}^n \exp(-x\lambda_i) = \exp\left(-x\sum_{i=1}^n \lambda_i\right).
\end{align}
</math>

Індекс змінної, що є мінімумом, розподілений згідно з законом

:<math>\Pr(X_k=\min\{\,X_1,\dots,X_n\,\})=\frac{\lambda_k}{\lambda_1+\cdots+\lambda_n}.</math>

Зауважте, що

:<math>
\max\{\,X_1,\dots,X_n\,\}
</math>

не є експоненційно розподілена.

=== Інші властивості ===

Якщо розглядати порядкові статистики <math> \xi_{(1)}, \xi_{(2)}, ...  \xi_{(n)} </math>, з експоненціальним розподілом генеральної сукупності <math>\xi\sim\mathrm{Exp}(1/\lambda,x_0)</math>, то випадкові величини <math> n\xi_{(1)}, (n-i+1)(\xi_{(i)}-\xi_{(i-1)}), i = 2..n </math> є незалежними.{{джерело}}

== Експоненційний розподіл у статистиці ==

Розглянемо генеральну сукупність <math>\xi\sim\mathrm{Exp}(1/\lambda)</math>.

Статистика вигляду <math>\hat{\theta}(\xi_{1},\ldots, \xi_{n}) = \bar{\xi} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \xi_{i}</math> є незміщеною, конзистентною та ефективною оцінкою параметру
<math>\lambda</math> розподілу генеральної сукупності. Незміщеність є наслідком того, що вибіркове середнє є незміщеною оцінкою для математичного сподівання випадкової величини, розподіл якої має генеральна сукупність. 

Конзистентність. Використаємо критерій конзистентності для незміщених точкових оцінок.
<math>\mathrm{D}[\bar{\xi}] = \frac{1}{n^2}\mathrm{D}[\sum\limits_{i=1}^n \xi_{i}] =\frac{1}{n}\mathrm{D}[\xi] = \frac{\lambda^2}{n} \to 0,  </math> при <math>n \to \infty </math>.
Або можна використати те, що вибіркове середнє є конзистентною оцінкою математичного сподівання.

Для перевірки ефективності запишемо функцію правдоподібності: <math>L(\lambda, x_1, \dots, x_n)=\prod\limits_{i=1}^n f_X(\lambda, x_i) = \frac{1}{\lambda^n}e^{-\frac{1}{\lambda} \sum\limits_{i=1}^n x_i}  </math>. Звідси логарифмічна функція правдоподібності: <math>\ln L(\lambda, x_1, \dots, x_n) = -n \ln(\lambda)-\frac{1}{\lambda} \sum\limits_{i=1}^n x_i</math>

<math>\frac{\partial}{\partial \lambda} \ln L(\lambda, x_1, \dots, x_n) = -\frac{n}{\lambda} +\frac{1}{\lambda^2}\sum\limits_{i=1}^n x_i</math>. Переходимо до випадкової вибірки, маємо:
<math>\frac{\partial}{\partial \lambda} \ln L(\lambda, \xi_{1}, \dots, \xi_{n}) = -\frac{n}{\lambda} +\frac{n}{\lambda^2}\bar{\xi} = \frac{n}{\lambda^2}(\bar{\xi}-\lambda)</math>.
А так як вибіркове середнє - незміщена оцінка параметра <math>\lambda</math>, то за нерівністю Рао-Крамера для незміщених точкових оцінок отримуємо бажаний результат, тобто вибіркове середнє є ефективною оцінкою параметра  <math>\lambda</math>.

=== Показниковий закон розподілу ===
У найпростішому потоці подій випадкова величина T - інтервал часу між двома послідовними подіями - розподілена за допомогою показникового закону.

;Визначення
Неперервна випадкова величина розподілена за показниковим законом, якщо її густина розподілу має вигляд:

<math>f(t) = \begin{cases} 0, & t<0; \\ {\lambda e^{-\lambda t}}, & t\geq0, \end{cases}</math>

де λ&nbsp;— інтенсивність подій, тобто кількість подій в одиницю часу. Показниковий закон розподілу має тільки один параметр λ.

Таким чином, якщо випадкова величина Х має показниковий закон розподілу з параметром λ>0, це можна записати у вигляді <math>X \in E_\lambda.</math>

Показниковий розподіл є неперервним аналогом дискретного геометричного розподілу.

== Див. також ==
* [[Геометричний розподіл]]

== Джерела ==
* {{Карташов.Імовірність процеси статистика}}
* {{Гнеденко.Курс теории вероятностей}}
* {{Гіхман.Скороход.Ядренко}}
* [https://web.archive.org/web/20120316132129/http://www.stud.feec.vutbr.cz/~xvapen02/vypocty/ex.php?language=english Online calculator of Exponential Distribution] {{ref-en}}
* Козлов М.В., Прохоров А.В. Введение в математическую статистику. - М.:Изд-во МГУ, 1987. - 264 с.

{{Перекласти|en|Exponential distribution}}
{{Статистика-доробити}}

{{Список розподілів ймовірності}}

[[Категорія:Неперервні розподіли]]
[[Категорія:Показникові функції]]
[[Категорія:Спряжені апріорні розподіли]]
[[Категорія:Розподіли експоненційного сімейства]]
[[Категорія:Безмежно подільні розподіли ймовірності]]
[[Категорія:Аналіз виживаності]]
[[Категорія:Пуассонівські точкові процеси]]