Перегляд вихідного коду сторінки Експериментальна математика

'''Експериментальна математика'''&nbsp;— галузь [[Математика|математики]], що відрізняється використанням різних прийомів, зокрема прийомів підстановки, переміщення, доведень від супротивного, зокрема з використанням електронно-обчислювальних засобів для перевірки, підтвердження старих і одержання нових фактів ([[Теорема|теорем]]). Всі результати, отримані в експериментальній математиці, є строго доведеними твердженнями математики. Строго кажучи, будь-які [[доведення]], розрахунки, обчислення тощо є експериментами з метою отримання нових законів (теорем). Однак в експериментальній математиці для проведення експериментів використовується сучасна [[Комп'ютинг|обчислювальна техніка]], що дозволяє здійснювати [[експеримент]]и, недоступні за ручних обчислень. Основним [[метод]]ом експериментальної математики є [[доказові обчислення]], в ході яких результати обчислень використовуються для строгого доведення математичних [[факт]]ів.

[[Пол Річард Халмош]] писав: «Математика не є [[Металогіка|дедуктивною наукою]]&nbsp;— це кліше. Якщо ви намагаєтеся довести теорему, вам недостатньо перерахувати [[Засновок|засновки]], а потім почати міркування. Ви робите [[Метод проб і помилок|проби і помилки]], експериментуєте і вгадуєте. Вам потрібно виявити, що це за факт, і те, що ви робите, схоже на роботу експериментатора в лабораторії.»{{Sfn|Halmos|1985|с=321}}

== Історія ==
Математики завжди практикували експериментальну математику. Існують записи ранніх математиків, таких як [[Вавилонська математика|вавилонські]], що зазвичай складаються зі списку числових прикладів, які ілюструють алгебричну тотожність. Однак сучасні математики, починаючи з [[XVII століття]], розвинули традицію друку результатів у кінцевому, формальному поданні. Числові приклади, які могли привести математика до формулювання теореми, не публікувалися, і, як правило, забуті.

Експериментальна математика, як окрема галузь вивчення, відродилася в [[XX століття|XX столітті]], коли винайдення електронних комп'ютерів значно розширило обсяги здійсненних обчислень зі швидкістю й точністю, яка була недоступна попереднім поколінням математиків. Суттєвою віхою і досягненням експериментальної математики було відкриття 1995 року [[Формула Бейлі — Борвейна — Плуффа|формули Бейлі&nbsp;— Борвейна&nbsp;— Плуффа]] для двійкових цифр числа π. Формулу відкрито не формальним шляхом, а після пошуків за допомогою комп'ютера. Тільки після цього знайдено строге доведення<ref>[http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/pi-quest.pdf The Quest for Pi] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110927044106/http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/pi-quest.pdf |date=27 вересня 2011 }} {{нп|Девід Гарольд Бейлі|Девіда Г. Бейлі||David H. Bailey}}, [[Джонатан Борвейн|Джонатана Борвейна]], {{нп|Пітер Джонатан Борвейн|Пітера Дж. Борвейна||Peter Borwein}} і {{нп|Симон Плуфф|Симона Плуффа||Simon Plouffe}}</ref>.

== Цілі і використання ==
Метою експериментальної математики є «отримати розуміння і проникнення в сутність понять, підтвердити або спростувати гіпотези, зробити математику помітнішою, яскравішою і цікавішою як для професійних математиків, так і для аматорів»{{Sfn|Borwein, Bailey|2004|с=''VII''}}.

Використання експериментальної математики{{Sfn|Borwein, Bailey|2004|с=2}}:

# Отримання розуміння та інтуїції.
# Відкриття нових моделей і зв'язків.
# Використання графічного відображення для розуміння принципів, що лежать в основі.
# Перевірка і спростування гіпотез.
# Дослідження можливих результатів для з'ясування, чи є вони вартісними формальними доведеннями.
# Відшукання підходів для формального доведення.
# Заміна довгих ручних виведень виведеннями за допомогою комп'ютера.
# Підтвердження результатів, отриманих аналітично.

== Апарат і техніки ==
Експериментальна математика використовує [[чисельні методи]] для обчислення наближених значень інтегралів і сум нескінченних рядів. Для обчислень часто використовується [[Довга арифметика|арифметика довільної точності]]&nbsp;— зазвичай 100 значущих цифр і більше. Потім для пошуку зв'язків між цими значеннями і математичними константами використовується [[алгоритм цілочисельних відношень]]. Робота з високою точністю зменшує можливість прийняття [[Математичний збіг|математичного збігу]] за справжній зв'язок. Потім шукається формальне доведення передбачуваного зв'язку&nbsp;— часто простіше знайти доведення, якщо гіпотетичний зв'язок відомий.

Якщо шукається [[контрприклад]] або потрібно провести доведення, що потребує перебору великого обсягу, можна скористатись [[Розподілені обчислення|розподіленням обчислень]] між багатьма комп'ютерами.

Часто використовуються загальні [[Система комп'ютерної алгебри|системи комп'ютерної алгебри]], такі як [[Mathematica]], хоча пишуться і специфічні для конкретної галузі програми, щоб атакувати проблеми, для вирішення яких потрібна висока ефективність. Програмне забезпечення експериментальної математики зазвичай включає механізми [[виявлення та виправлення помилок]], перевірки цілісності і надлишкові обчислення для мінімізації можливості одержання помилкового результату за програмних помилок або збоїв процесора.

== Застосування і приклади ==

* Пошук контрприкладу
** Роджер Фрай використовував техніку експериментальної математики для пошуку найменшого контрприкладу до [[Гіпотеза Ейлера|гіпотези Ейлера]].
** Проєкт {{Не перекладено|ZetaGrid|||ZetaGrid}} ініційовано для пошуку контрприкладу до [[Гіпотеза Рімана|гіпотези Рімана]].
** [https://web.archive.org/web/20130318045112/http://www.ieeta.pt/~tos/3x+1.html Цей проєкт] мав на меті пошук контрприкладу до [[Гіпотеза Коллатца|гіпотези Коллатца]] (контрприкладу не знайдено).
* Пошук нових прикладів чисел або об'єктів з певними властивостями
** [[GIMPS|Great Internet Mersenne Prime Search]]&nbsp;— широкомасштабний проєкт з пошуку [[Просте число|простих]] [[Число Мерсенна|чисел Мерсенна]].
** Проєкт OGR спільноти [[distributed.net]]&nbsp;— пошук оптимальних [[Лінійка Голомба|лінійок Голомба]].
** Проєкт [[PrimeGrid#The_Riesel_Problem_Sieve|Riesel Sieve]]&nbsp;— пошук найменшого [[числа Різеля]].
** Проєкт [[Seventeen or Bust]] («Сімнадцять чи провал»)&nbsp;— пошук найменшого [[числа Серпінського]].
* Пошук випадкових числових схем
** [[Едвард Лоренц]] знайшов [[Дивний атрактор Лоренца|атрактор Лоренца]], ранній приклад хаотичної [[Динамічна система|динамічної системи]], досліджуючи аномальні поведінки у числовій моделі погоди.
** [[Скатертина Уляма|Спіраль Уляма]] знайдено випадково.
** Відкриття [[Мітчелл Фейгенбаум|Мітчеллом Фейгенбаумом]] [[Константи Фейгенбаума|сталих Фейгенбаума]] ґрунтувалися на початковому числовому спостереженні з подальшою ретельною перевіркою.
* Використання комп'ютерних програм для перевірки великого, але кінцевого числа випадків для завершення [[Доказові обчислення|за допомогою комп'ютера]] {{Не перекладено|доведення повним перебором варіантів||en|proof by exhaustion}}
** Доведення {{Не перекладено|Томас Каллістер Гейлз|Томасом Каллістером Гейлзом|en|Thomas Callister Hales}} [[Гіпотеза Кеплера|гіпотези Кеплера]].
** Різні доведення [[Проблема чотирьох фарб|проблеми чотирьох фарб]].
** Доведення {{Не перекладено|Клемент Лам|Клементом Ламом|en|Clement Lam}}, що не існує [[Проєктивна площина|скінченної проєктивної площини]] порядку 10{{Sfn|Lam|1991|с=305–318}}.
* Символьна перевірка (за допомогою [[Символьні обчислення|комп'ютерної алгебри]]) гіпотез для заохочення пошуку аналітичного доведення
** Розв'язання особливого випадку квантової [[Задача трьох тіл|задачі трьох тіл]], відомої як задача про [[молекулярний іон водню]]&nbsp;— знайдено базові розв'язки на основі [[Квантова хімія|квантової хімії]], ще до розуміння, що всі вони приводять до одного і того самого аналітичного розв'язку в термінах ''узагальнення'' [[W-функція Ламберта|W-функції Ламберта]]. Пов'язана з цією роботою ізоляція невідомого раніше зв'язку між теорією гравітації і [[Квантова механіка|квантовою механікою]] в малих розмірностях (див. статтю «<nowiki/>[[Квантова гравітація]]<nowiki/>»).
** У галузі релятивістської [[Гравітаційна задача N тіл|механіки декількох тіл]], а саме, [[Зворотність|симетричної за часом]] [[Теорія поглинання Вілера – Фейнмана|теорії поглинання Вілера&nbsp;— Фейнмана]]&nbsp;— еквівалентність між випереджальним [[Потенціал Ліенара — Віхерта|потенціалом Ліенара&nbsp;— Віхерта]] частинки ''j'', що діє на частинку ''i,'' і відповідним потенціалом частинки ''i'', що діє на частинку ''j'', продемонстровано аж до порядку <math> 1/c^{10} </math>, перш ніж факт довели математично. Інтерес до теорії Вілера&nbsp;— Фейнмана відновився внаслідок {{Не перекладено|Квантова нелокальність|квантової нелокальності|en|quantum nonlocality}}.
** В галузі лінійної оптики&nbsp;— перевірка розкладання в ряд {{Не перекладено|Повільно змінюване наближення обвідної|обвідної|en|Slowly varying envelope approximation}} електричного поля для [[Лазери надкоротких імпульсів|ультракоротких світлових імпульсів у неізотропних середовищах]]. Попереднє розкладання в ряд було неповним&nbsp;— результат залежав від додаткового члена, правомірність якого підтверджено ''експериментально''.
* Обчислення сум [[Ряд (математика)|нескінченних рядів]], [[Нескінченний добуток|нескінченних добутків]] та [[інтеграл]]ів (див. також «<nowiki/>[[Символьне інтегрування]]<nowiki/>»), як правило, шляхом розрахунків з високою точністю, а потім використання [[Алгоритм цілочисельних відношень|алгоритму цілочисельних відношень]] (такого як «{{Не перекладено|Inverse Symbolic Calculator|||Inverse Symbolic Calculator}}» (Зворотний символьний калькулятор) для пошуку лінійної комбінації математичних констант, яка дає це значення. Наприклад, цю рівність спочатку передбачив Енріко Ау-Ян, студент [[Джонатан Борвейн|Джонатана Борвейна]] з використанням комп'ютера та [[Алгоритм цілочисельних відношень|алгоритму PSLQ]] у 1993: {{Sfn|Bailey|1997}}.

:: <math>
\begin{align}
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{k}\right)^2 = \frac{17\pi^4}{360}.
\end{align}</math>

* Візуальні дослідження
** У книзі [[Девід Мамфорд|Девіда Мамфорда]] зі співавторами {{Не перекладено|Перли Індри (книга)|«Indra's Pearls»|en|Indra's Pearls (book)}} досліджуються різні властивості [[перетворення Мебіуса]] і {{Не перекладено|Група Шоткі|групи Шоткі|en|Schottky group}} за допомогою генерування комп'ютерних візуальних образів груп, ''наведено переконливі свідчення для багатьох гіпотез і пропозиції продовжити дослідження''{{Sfn|Mumford, Series, Wright|2002|с=VIII}}.

== Правдоподібні, але неправильні приклади ==
Деякі правдоподібні зв'язки виконуються з високим ступенем точності, але залишаються неправильними. Один з прикладів:

: <math>
\int_{0}^{\infty}\cos(2x)\prod_{n=1}^{\infty}\cos\left(\frac{x}{n}\right)\mathrm{d}x \approx \frac{\pi}{8}.</math>

Ліва й права частини цього виразу відрізняються лише 42-м знаком{{Sfn|Bailey, Borwein|2005}}.

Інший приклад&nbsp;— найбільша [[Висота многочлена|висота]] (найбільше абсолютне значення коефіцієнтів) усіх множників ''x''<sup>''n''</sup> − 1 виявляється тією ж самою, що й висота [[Многочлен поділу кола|колового многочлена]] ''n''-го степеня. Комп'ютерні обчислення показали, що це виконується для ''n'' < 10000 і очікували, що це правильно для всіх ''n''. Однак повніший пошук показав, що рівність порушується для ''n'' = 14235, коли висота колового многочлена ''n''-го степеня дорівнює 2, а найбільша висота множників ''x''<sup>''n''</sup> − 1 дорівнює 3<ref>Висота Φ<sub>4745</sub> дорівнює 3 і 14235 = 3 x 4745. Див. послідовності Слоана {{OEIS2C|id=A137979}} і {{OEIS2C|id=A160338}}.</ref>.

== Дослідники ==
Істотний внесок у галузі експериментальної математики зробили такі [[математик]]и і інформатики:{{Div col}}
* [[Фабріс Беллар]]
* {{Не перекладено|Девід Гарольд Бейлі|Девід Г. Бейлі|en|David H. Bailey}}
* [[Джонатан Борвейн]]
* {{Не перекладено|Девід Бернард Альпер Епштейн|Дэвид Епштейн|en|David Epstein (mathematician)}}
* {{Не перекладено|Гілемен Фергюсон||en|Helaman Ferguson}}
* [[Рональд Грем]]
* {{Не перекладено|Томас Каллістер Гейлз||en|Thomas Callister Hales}}
* [[Дональд Кнут]]
* {{Не перекладено|Клемент Лам||en|Clement Lam}}
* [[Орен Паташник]]
* {{Не перекладено|Симон Плуфф||en|Simon Plouffe}}
* [[Ерік Вольфганг Вайсстайн]]
* [[Дорон Цейльбергер]]
* {{Не перекладено|А.Дж. Ган Вінк||en|A.J. Han Vinck}}
{{Div col end}}

== Див. також ==
* [[Інтеграл Борвейна]]
* [[Доказові обчислення]]
* {{Не перекладено|Experimental Mathematics (журнал)|Журнал «Experimental Mathematics»||Experimental Mathematics (journal)}}
* {{Не перекладено|Інститут експериментальної математики||en|Institute for Experimental Mathematics}}

== Примітки ==
{{Reflist|2}}

== Література ==
{{Refbegin|colwidth=30em}}
* {{Книга
|заголовок = I Want to be a Mathematician: An Automathography
|рік = 1985
|автор = Paul R. Halmos
|ref = Halmos
|видавництво = Springer-Verlag
|ISBN = 9780387964706
}}
* {{Книга
|заголовок = Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century
|автор = Jonathan Borwein, David Bailey
|ref = Borwein, Bailey
|рік = 2004
|видавництво = A.K. Peters
|ISBN = 1-56881-211-6
|сторінки = 2
}}
* {{Стаття|author=David H. Bailey, Jonathan M. Borwein|ref=Bailey, Borwein|url=http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/math-future.pdf|title=Future Prospects for Computer-Assisted Mathematics|date=2005|accessdate=11 січня 2021|archivedate=20 липня 2011|archiveurl=https://web.archive.org/web/20110720013038/http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/math-future.pdf}}
* {{Стаття|author=Clement W. H. Lam|ref=Lam|title=The Search for a Finite Projective Plane of Order 10|видання=[[American Mathematical Monthly]]|том=98|issue=4|date=1991|url=http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/lam/|doi=10.2307/2323798|accessdate=11 січня 2021|archivedate=27 вересня 2011|archiveurl=https://web.archive.org/web/20110927112713/http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/lam/}}
* {{Книга
|автор = David Mumford, Caroline Series, David Wright
|ref = Mumford, Series, Wright
|заголовок = Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein
|видавництво = Cambridge
|рік = 2002
|ISBN = 0-521-35253-3
}}
* {{Стаття|author=David Bailey|ref=Bailey|title=New Math Formulas Discovered With Supercomputers|видання=NAS News|date=1997|том=2|issue=24|url=https://www.nas.nasa.gov/About/Gridpoints/PDF/nasnews_V02_N24_1997.pdf|accessdate=11 січня 2021|archivedate=25 січня 2017|archiveurl=https://web.archive.org/web/20170125234907/https://www.nas.nasa.gov/About/Gridpoints/PDF/nasnews_V02_N24_1997.pdf}}
* {{Книга
|автор = Арнольд В.И.
|заголовок = Экспериментальная математика
|місце = М.
|видавництво = Фазис
|рік = 2005
|сторінок = 64
|ISBN = 5-7036-0105-3
}}
* {{Стаття|author=Бабенко К.И., Петрович В.Ю., Рахманов А.И.|title=О доказательном эксперименте в теории поверхностных волн конечной амплитуды|видання=Докл. АН|date=1988|том=303|номер=5|pages=1033-1037}}
{{Refend}}

== Посилання ==
* {{Книга
|автор = [[Імре Лакатош|Имре Лакатос]]
|заголовок = 
|місце = М.
|видавництво = «Наука»
|рік = 1967
|оригінал = Proofs and Refutations
|відповідальний = Пер. с англ. И. Н. Веселовского.
|посилання = http://www.bim-bad.ru/docs/lakatos_proofs__and_refutations.pdf
|назва = Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы.
|archivedate = 27 лютого 2021
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20210227063101/http://www.bim-bad.ru/docs/lakatos_proofs__and_refutations.pdf
}}
* [http://www.tandfonline.com/loi/uexm20 Experimental Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210226181040/https://www.tandfonline.com/loi/uexm20 |date=26 лютого 2021 }} (Журнал)
* [http://www.cecm.sfu.ca/ Centre for Experimental and Constructive Mathematics (CECM)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20051201050927/http://www.cecm.sfu.ca/organics/vault/expmath/expmath/html/expmath.html |date=1 грудня 2005 }} в [[Університет Саймона Фрейзера|Університеті Саймона Фрейзера]]
* [https://web.archive.org/web/20071229010931/http://www.crme.soton.ac.uk/ Collaborative Group for Research in Mathematics Education] at [[Саутгемптонський університет|University of Southampton]]
* [https://web.archive.org/web/20080422084455/http://oldweb.cecm.sfu.ca/organics/papers/bailey/paper/html/paper.html Recognizing Numerical Constants] {{Не перекладено|Девід Гарольд Бейлі|Девіда Г. Бейлі|en|David H. Bailey}} і {{Не перекладено|Симон Плуфф|Симона Плуффа|en|Simon Plouffe}}
* [https://archive.today/20121223084303/http://www.soton.ac.uk/~crime/research/expmath/ Psychology of Experimental Mathematics]
* [http://www.experimentalmath.info/ Experimental Mathematics Website] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210121074123/https://www.experimentalmath.info/ |date=21 січня 2021 }} (посилання на ресурси)
* [https://www.nersc.gov/news-publications/news/science-news/2000/an-algorithm-for-the-ages/ An Algorithm for the Ages: PSLQ, A Better Way to Find Integer Relations] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131124023811/https://www.nersc.gov/news-publications/news/science-news/2000/an-algorithm-for-the-ages/ |date=24 листопада 2013 }} (альтернативне [http://www.lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-algorithm.html посилання] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210213222154/http://www2.lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-algorithm.html |date=13 лютого 2021 }})
* [http://www.mathrix.org/experimentalAIT/ Experimental Algorithmic Information Theory] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200109092631/http://www.mathrix.org/experimentalAIT/ |date=9 січня 2020 }}
* [http://www.experimentalmath.info/books/expmath-probs.pdf Sample Problems of Experimental Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210121084655/https://www.experimentalmath.info/books/expmath-probs.pdf |date=21 січня 2021 }} {{Не перекладено|Девід Гарольд Бейлі|Девіда Г. Бейлі|en|David H. Bailey}} і [[Джонатан Борвейн|Джонатана Борвейна]]
* [http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/tenproblems.pdf Ten Problems in Experimental Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110610051846/http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/tenproblems.pdf |date=10 червня 2011 }} {{Не перекладено|Девід Гарольд Бейлі|Девіда Г. Бейлі|en|David H. Bailey}}, [[Джонатан Борвейн|Джонатана Борвейна]], Вішала Капуро і [[Ерік Вайсстайн|Еріка Вайсстайна]]
* [http://www.iem.uni-due.de/ Institute for Experimental Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150210195137/http://www.iem.uni-due.de/ |date=10 лютого 2015 }} [[Університет Дуйсбург-Ессен|Університету Дуйсбург-Ессен]]
{{Розділи математики}}
[[Категорія:Філософія математики]]