Перегляд вихідного коду сторінки Екзотичні структури R4

'''Екзотична <math>\R^4</math>-структура''' — це [[Диференційовний многовид|диференційований многовид]], який є [[Гомеоморфізм|гомеоморфним]] (має таку ж форму), але не [[Дифеоморфізм|дифеоморфним]] (тобто не гладко еквівалентним) до [[Евклідів простір|евклідового простору]] <math>\R^4.</math> Перші приклади таких структур були знайдені в 1982 році [[Майкл Фрідман|Майклом Фрідманом]] та іншими, на основі контрасту між теоремами Фрідмана про топологічні 4-многовиди та теоремами [[Саймон Дональдсон|Саймона Дональдсона]] про гладкі 4-многовиди. <ref>Kirby (1989), p. 95</ref> <ref>Freedman and Quinn (1990), p. 122</ref> Існує континуум різних недифеоморфних {{нп|Диференційована структура|диференційованих структур|en|Differential structure}} <math>\R^4,</math> як було показано вперше Кліффордом Таубсом. <ref>Taubes (1987), Theorem 1.1</ref>

До введення цієї конструкції вже було відомо про існування недифеоморфних гладких структур на сферах (див. [[Екзотична сфера|екзотичні сфери]]), хоча питання про існування таких структур для конкретного випадку [[Гіперсфера|4-сфери]] залишалося відкритим (і залишається відкритим станом на 2024 рік). 

При цьому відомо, що для будь-якого натурального числа ''n,'' відмінного від 4, не існує екзотичних гладких структур <math>\R^n;</math> іншими словами, якщо ''n'' ≠ 4, то будь-який гладкий многовид, гомеоморфний <math>\R^n</math> є дифеоморфним <math>\R^n.</math> <ref>Stallings (1962), in particular Corollary 5.2</ref>

== Маленькі екзотичні структури ℝ<sup>4</sup> ==
Екзотична <math>\R^4</math>-структура називається '''малою''', якщо її можна гладко вкласти в якості відкритої підмножини стандартної гладкої структури <math>\R^4.</math>

Маленьку екзотичну структуру <math>\R^4</math> можна побудувати починаючи з нетривіального гладкого 5-вимірного ''h''-[[Бордизм|кобордизму]] (який існує завдяки доведенню Дональдсона, що [[H-Кобордизм|теорема ''h''-кобордизму]] не виконується в розмірності 5) і використовуючи теорему Фрідмана про те, що топологічна теорема ''h''-кобордизму виконується в цій розмірності.

== Великі екзотичні структури ℝ<sup>4</sup> ==
Екзотична <math>\R^4</math>-структура називається '''великою''', якщо її не можна гладко вкласти в якості відкритої підмножини стандартної гадкої структури <math>\R^4.</math>

Приклади великої екзотичної структури <math>\R^4</math> можна побудувати користуючись фактом, що компактні 4-многовиди часто можна розкласти як топологічну суму (за роботою Фрідмана), але не можна розкласти як гладку суму (за роботою Дональдсона).

Фрідман та Тейлор<ref> Freedman and Taylor (1986), Theorem 1 </ref> показали, що існує максимальна екзотична структура <math>\R^4,</math> в яку всі інші <math>\R^4</math> можуть бути вкладені як відкриті підмножини.

== Пов'язані екзотичні структури ==
{{нп|Ручки Кассона|Ручки Кассона|en|Casson handle}} є гомеоморфними <math>\mathbb{D}^2 \times \R^2</math> за теоремою Фрідмана (<math>\mathbb{D}^2</math> це замкнутий одиничний диск), але з теореми Дональдсона випливає, що не всі вони є дифеоморфними <math>\mathbb{D}^2 \times \R^2.</math> Іншими словами, деякі ручки Кассона — це екзотичні структури на <math>\mathbb{D}^2 \times \R^2.</math>

Невідомо (станом на 2022 рік), чи існують екзотичні 4-сфери; така екзотична 4-сфера була б контрприкладом гладкої {{нп|узагальненої гіпотези Пуанкаре|узагальненої гіпотези Пуанкаре|en|Generalized Poincaré conjecture}} у розмірності 4. Деякі вірогідні кандидати надаються [[Екзотична сфера|поворотами Глюка]].

== Див. також ==

* {{нп|Пробка Акбулута|Пробка Акбулута|en|Akbulut cork}} - інструмент для конструювання екзотичної структури на <math>\R^4</math> з класів в <math>H^3(S^3,\mathbb{R})</math> <ref name=":0">{{Cite arXiv |arxiv=0904.1276 |class=hep-th |first=Torsten |last=Asselmeyer-Maluga |first2=Jerzy |last2=Król |title=Abelian gerbes, generalized geometries and foliations of small exotic R^4 |date=2014-08-28}}</ref>
* [[Атлас (математика)|Атлас (топологія)]]
* [[Екзотична сфера]]

== Примітки ==
<references />

== Список літератури ==

* {{Cite book
|url=https://archive.org/details/topologyof4manif0000free
|title=Topology of 4-manifolds
|last=Freedman
|first=Michael H.
|last2=Quinn
|first2=Frank
|year=1990
|series=Princeton Mathematical Series
|publisher=Princeton University Press
|volume=39
|location=Princeton, NJ
|isbn=0-691-08577-3
|url-access=registration
}}
* {{Cite journal|last=Freedman|first=Michael H.|last2=Taylor|first2=Laurence R.|year=1986|title=A universal smoothing of four-space|url=https://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214440258|journal=Journal of Differential Geometry|volume=24|issue=1|pages=69–78|doi=10.4310/jdg/1214440258|issn=0022-040X|mr=857376|doi-access=free}}
* {{Cite book
|title=The topology of 4-manifolds
|last=Kirby
|first=Robion C.
|year=1989
|series=Lecture Notes in Mathematics
|publisher=Springer-Verlag
|volume=1374
|location=Berlin
|isbn=3-540-51148-2
}}
* {{Cite book
|title=The wild world of 4-manifolds
|last=Scorpan
|first=Alexandru
|year=2005
|publisher=American Mathematical Society
|location=Providence, RI
|isbn=978-0-8218-3749-8
}}
* {{cite journal|last=Stallings|first=John|year=1962|title=The piecewise-linear structure of Euclidean space|url=http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=2053736&fulltextType=RA&fileId=S0305004100036756|journal=Proc. Cambridge Philos. Soc.|volume=58|issue=3|pages=481–488|bibcode=1962PCPS...58..481S|doi=10.1017/s0305004100036756|s2cid=120418488}}{{MathSciNet|id=0149457}}.
* {{Cite book
|title=4-manifolds and Kirby calculus
|last=Gompf
|first=Robert E.
|last2=Stipsicz
|first2=András I.
|year=1999
|series=Graduate Studies in Mathematics
|publisher=American Mathematical Society
|volume=20
|location=Providence, RI
|isbn=0-8218-0994-6
}}
* {{Cite journal|last=Taubes|first=Clifford Henry|year=1987|title=Gauge theory on asymptotically periodic 4-manifolds|url=http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214440981|journal=Journal of Differential Geometry|volume=25|issue=3|pages=363–430|doi=10.4310/jdg/1214440981|mr=882829|id={{Project Euclid|1214440981}}|doi-access=free}}
[[Категорія:Чотиривимірні многовиди]]
[[Категорія:Диференціальна топологія]]
[[Категорія:Многовиди]]