Перегляд вихідного коду сторінки Евклідів простір

{{unibox}}
'''Евклідів простір'''&nbsp;— [[Скінченновимірний простір|скінченновимірний]] дійсний [[векторний простір]] <math>E</math> зі [[скалярний добуток|скалярним добутком]]
<ref name="kostr">{{cite book|автор=А. И. Кострикин, Ю. И. Манин |назва=Линейная алгебра и геометрия}}</ref>. Названий на честь [[Давньогрецька математика|давньогрецького математика]] [[Евклід|Евкліда з Александрії]].<ref>{{cite book|last=Ball|first=W.W. Rouse|authorlink=W. W. Rouse Ball|title = A Short Account of the History of Mathematics|origyear=1908|url=https://archive.org/details/shortaccountofhi0000ball|edition=4th|year=1960|publisher= Dover Publications
|isbn=0-486-20630-0|pages =[https://archive.org/details/shortaccountofhi0000ball/page/50 50]–62}}</ref> Кожна точка тривимірного Евклідового простору визначається трьома координатами (див. рис.). Розширює двовимірну евклідову [[Площина|площину]] до [[Тривимірний опис об'єкта|тривимірного простору]], і є поняттям [[Евклідова геометрія|Евклідової геометрії]]. Термін «евклідовий» дає змогу відрізняти ці простори від інших типів просторів, що можуть розглядатися в сучасній геометрії. Евклідів простір узагальнюють і до [[Розмірність простору|більшої кількості вимірів]].

В класичній [[Історія геометрії|давньогрецькій геометрії]] існує визначення евклідової площини та тривимірного евклідового простору, що ґрунтується на певних [[Аксіома|постулатах]], водночас інші властивості цих просторів виведені як [[Теорема|теореми]]. {{Джерело?|Використовувалися також геометричні побудови для визначення [[Раціональні числа|раціональних чисел]], що є відношеннями {{нп|Співмірні величини|співмірних довжин|en|commensurability (mathematics)}}}}{{сумнівно}}. Коли [[алгебра]] і [[математичний аналіз]] набули достатнього розвиту, цей зв'язок зберігся і тепер більш загальним стало визначення Евклідового простору на основі [[Векторний простір|векторних просторів]], що дозволяють використовувати [[Декартова система координат|декартові координати]] і методи [[алгебра|алгебри]] та [[Диференціальне та інтегральне числення|диференціального та інтегрального числення]]. Це означає, що [[Точка|точки]] визначають за допомогою [[Кортеж (інформатика)|трійок]] [[Дійсне число|дійсних чисел]], які називають координатними векторами, а [[Геометрична фігура|геометричні фігури]] описують [[рівняння]]ми і [[Нерівність|нерівностями]], які визначають співвідношення цих координат. Цей підхід дає змогу також легко узагальнити w. геометрію до евклідових просторів до просторів більшої розмірності.

Евклідів простір визначено за допомогою аксіом, які не вказують, як саме мають бути представлені точки цього простору.<ref>{{cite web|last1=Gabi|first1=Aalex|title=What is the difference between Euclidean and Cartesian spaces?|url=https://math.stackexchange.com/q/112076|website=Mathematics Stack Exchange|publisher=Mathematics Stack Exchange}}</ref> Евклідів простір може бути побудований за допомогою декартової системи координат як одного з можливих способів його подання. В такому випадку Евклідів простір моделюють застосовуючи дійсний простір координат (<math>\mathbb{R}^n</math>), що має таку ж розмірність. Для одного виміру це була б шкала дійсних чисел; для двох вимірів він подається [[Декартова система координат|декартовою системою координат]] на площині; а для більшої кількості вимірів це є {{нп|координатний простір||en|coordinate space}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:coordinate space]] (→ [[:en:Vector space#Coordinate space]]) перекладена як [[Векторний простір]], хоча хотіли [[координатний простір]] (SashkoR0B0T)--> із трьома або більше координатами, що представлені дійсними числами. Математики позначають <math>n</math>[[Розмірність простору|-вимірний]] Евклідів простір як <math>\mathbb{E}^n</math>, якщо вони хочуть наголосити на його природі та властивостях, однак також використовують позначення <math>\mathbb{R}^n</math>, оскільки ці дві [[Математичні структури|структури]] мають подібні властивості і їх зазвичай не розрізняють. Евклідові простори мають скінченну кількість вимірів.<ref name="mathen">{{cite web|title=Euclidean space.|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Euclidean_space|work=Encyclopedia of Mathematics|publisher=Springer|accessdate=1 травня 2014|author=E.D. Solomentsev|date=7 лютого 2011|archive-date=2 травня 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20140502001924/http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Euclidean_space}}</ref>

== Евклідова метрика ==

Нехай [[декартові координати]] в тривимірному просторі такі, що якщо точці <math>P</math> відповідають три її координати <math>(x_1,x_2,x_3)</math>, а точці <math>Q</math>&nbsp;— координати <math>(y_1,y_2,y_3)</math>. Тоді, якщо квадрат довжини прямолінійного [[відрізок|відрізку]], що з'єднує <math>P</math> та <math>Q</math> дорівнює: <math>l^2=(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2</math>, то такий простір називають ''евклідовим простором'', а декартові координати з такими властивостями називають ''евклідовими координатами''.

Узагальнюючи на випадок n вимірів, отримаємо <math>l^2=(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\dots (x_n-y_n)^2 = \sum_{k=1}^n (x_k-y_k)^2</math>.

Функція відстані між двома точками має назву [[метричний простір|метрики]], а поданий вище вид такої функції для евклідового простору має назву [[евклідова метрика|евклідової метрики]].

== Вектори в евклідовому просторі ==

З точками евклідового простору зручно зіставити [[вектор]]и. Назвемо вектор, направлений від [[початок координат|початку координат]] у точку <math>P</math> [[радіус-вектор]]ом цієї точки. Декартові координати <math>(x_1,x_2,x_3)</math> точки <math>P</math> будемо називати координатами радіус-вектора. Два вектори, які направлені з початку координат до точок <math>P</math> та <math>Q</math> з координатами <math>\mathbf{p}=(x_1,x_2,x_3)</math> та <math>\mathbf{q}=(y_1,y_2,y_3)</math> можна складати покоординатно. Тобто отримати вектор <math>\mathbf{p}+\mathbf{q}</math> з координатами <math>(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)</math>.

Можна також помножити вектор на число (скаляр). Одиничні вектори <math>\mathbf{e}_1=(1,0,0)</math>, <math>\mathbf{e}_2=(0,1,0)</math>, <math>\mathbf{e}_3=(0,0,1)</math> мають довжину, яка дорівнює <math>1</math>, а самі вектори взаємно перпендикулярні.

Будь-який вектор <math>\mathbf{v}=(x_1,x_2,x_3)</math> може бути розкладений по одиничних векторах: <math>\mathbf{v}=\mathbf{e}_1x_1+\mathbf{e}_2x_2+\mathbf{e}_3x_3</math>. Тут простір тривимірний. Для <math>n</math>-вимірного простору все аналогічно. Тому евклідів простір визначається також як лінійний (векторний) простір, в якому квадрат відстані між точками (кінцями радіус-векторів) визначається за формулою <math>l^2= \sum_{k=1}^n (x_k-y_k)^2</math>

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Гіперболічна геометрія]]
* [[Гіперболічний простір]]
* [[Планіметрія]]
* [[Стереометрія]]

== Примітки ==
{{примітки}}

== Джерела ==
* {{Гельфанд.Линейная алгебра}}
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}

{{Багатовимірність}}
[[Категорія:Евклідова геометрія]]
[[Категорія:Лінійна алгебра]]
[[Категорія:Топологічні простори]]
[[Категорія:Топологічні векторні простори]]