Перегляд вихідного коду сторінки Дія Ейнштейна — Гільберта

'''Дія Ейнштейна — Гільберта'''&nbsp;— [[Дія (фізика)|дія]], яка дозволяє виводити [[рівняння Ейнштейна]] у [[Загальна теорія відносності|загальній теорії відносності]] через [[принцип найменшої дії]]. Гравітаційна частина дії дається формулою<ref>{{Cite book
|url=https://archive.org/details/feynmanlectureso0000feyn_g4q1
|title=Feynman Lectures on Gravitation
|last=Feynman
|first=Richard P.
|year=1995
|publisher=Addison-Wesley
|at=p. 136, eq. (10.1.2)
|isbn=0-201-62734-5
}}</ref>

: <math>S = {1 \over 2\kappa} \int R \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4x,</math>

де <math>g=\det(g_{\mu\nu})</math>&nbsp;— визначник [[Метричний тензор|метричного тензора]], <math>R</math>&nbsp;— [[Скалярна кривина|скаляр Річі]], а <math>\kappa = 8\pi Gc^{-4}</math>&nbsp;— гравітаційна стала Ейнштейна (<math>G</math>&nbsp;— [[гравітаційна стала]], <math>c</math>&nbsp;— [[швидкість світла]] у вакуумі). Застосування [[рівняння Ейлера — Лагранжа]] до дії Ейнштейна&nbsp;— Гільберта дає [[рівняння Ейнштейна]].

Вперше цю дію запропонував [[Давид Гільберт]] у 1915 році<ref>{{Citation|author-link=David Hilbert|title=Die Grundlagen der Physik|trans_title=Foundations of Physics|journal=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse|volume=3|number=|pages=395–407|year=1915|language=German|url=|doi=|jfm=}}</ref>.

== Виведення рівнянь поля Ейнштейна ==
Виведення рівнянь руху з [[Дія (фізика)|дії]] має кілька переваг. По-перше, це дозволяє легко поєднати загальну теорію відносності з іншими класичними теоріями поля (наприклад, [[Рівняння Максвелла|теорією Максвелла]]), які також сформульовані в термінах дії. Крім того, симетрії дії дозволяють легко ідентифікувати збережувані величини за допомогою [[Теорема Нетер|теореми Нетер]].

Рівняння Ейнштейна в присутності матерії отримують додаванням дії матерії до дії Ейнштейна&nbsp;— Гільберта. Припустимо, що повна дія задана членом Ейнштейна&nbsp;— Гільберта плюс член <math>\mathcal{L}_\mathrm{M}</math>, який описує будь-які поля матерії, наявні в теорії:{{NumBlk|:|<math>S = \int \left[ \frac{1}{2\kappa} R + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x </math>.|{{EquationRef|1}}}}Тоді [[принцип найменшої дії]] говорить, що для виведення фізичного закону ми повинні вимагати, щоб варіація цієї [[Дія (фізика)|дії]] зі змінами оберненої метрики дорівнювала нулю, що дає

: <math>\begin{align}
0 &= \delta S \\
 &= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \frac{\delta \left(\sqrt{-g}R\right)}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{\delta \left(\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M}\right)}{\delta g^{\mu\nu}}
 \right] \delta g^{\mu\nu} \, \mathrm{d}^4x \\
 &= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \left( \frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu}}
 \right) + \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \left(\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M}\right)}{\delta g^{\mu\nu}} \right] \delta g^{\mu\nu} \sqrt{-g}\, \mathrm{d}^4x
\end{align}</math>.

Оскільки це рівняння має виконуватися для будь-якої варіації <math>\delta g^{\mu\nu}</math>, то{{NumBlk|:|<math>\frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu}} = -2\kappa \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}}</math>|{{EquationRef|2}}}}Права частина цього [[рівняння руху]] (за визначенням) пропорційна [[Тензор енергії-імпульсу|тензору енергії-імпульсу]]<ref>{{Citation|last=Blau|first=Matthias|author-link=|title=Lecture Notes on General Relativity|journal=|volume=|url=http://www.blau.itp.unibe.ch/newlecturesGR.pdf|pages=196|date=27 липня 2020}}</ref>,

: <math>T_{\mu\nu} := \frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} = -2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{M}</math>.

Щоб обчислити ліву частину рівняння, нам потрібні варіації скаляра Річі <math>R</math> і визначника метрики. Їх можна отримати за допомогою стандартних розрахунків, таких як наведені нижче розрахунки на основі підручника Керролла (2004)<ref>{{Citation|last=Carroll, Sean M.|author-link=Шон Керролл|title=Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity|place=San Francisco|publisher=Addison-Wesley|date=2004|isbn=978-0-8053-8732-2}}</ref>.

=== Варіація скаляра Річі ===
Варіація [[Скалярна кривина|скаляра Річі]] випливає з варіації [[Тензор кривини|тензора кривини Рімана]], а потім [[Тензор Річчі|тензора кривини Річі]].

Перший крок фіксується {{не перекладено|рівність Палатіні|рівністю Палатіні|en|Palatini identity}}

: <math>
 \delta R_{\sigma\nu} \equiv \delta {R^\rho}_{\sigma\rho\nu} =
 \nabla_\rho \left( \delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma} \right) - \nabla_\nu \left( \delta \Gamma^\rho_{\rho\sigma} \right)</math>.

Використовуючи правило добутку, варіація [[Скалярна кривина|скаляра Річі]] <math>R = g^{\sigma\nu} R_{\sigma\nu}</math> перетворюються на

: <math>\begin{align}
\delta R &= R_{\sigma\nu} \delta g^{\sigma\nu} + g^{\sigma\nu} \delta R_{\sigma\nu}\\
     &= R_{\sigma\nu} \delta g^{\sigma\nu} + \nabla_\rho \left( g^{\sigma\nu} \delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - g^{\sigma\rho} \delta \Gamma^\mu_{\mu\sigma} \right),
\end{align}</math>

де ми також використали [[Метрична зв'язність|метричну зв'язність]] <math>\nabla_\sigma g^{\mu\nu} = 0</math> і перейменували індекси підсумовування <math>(\rho,\nu) \rightarrow (\mu,\rho)</math> в останньому члені.

При множенні на <math>\sqrt{-g}</math>, член <math>\nabla_\rho \left( g^{\sigma\nu} \delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - g^{\sigma\rho}\delta\Gamma^\mu_{\mu\sigma} \right)</math> стає [[Повна похідна|повною похідною]], оскільки для будь-якого вектора <math>A^\lambda</math> і будь-якої тензорної густини <math>\sqrt{-g}\,A^\lambda</math>, ми маємо

: <math>
    \sqrt{-g} \, A^\lambda_{;\lambda} =
 \left(\sqrt{-g} \, A^\lambda\right)_{;\lambda} =
 \left(\sqrt{-g} \, A^\lambda\right)_{,\lambda}
</math> або <math>
 \sqrt{-g} \, \nabla_\mu A^\mu =
  \nabla_\mu\left(\sqrt{-g} \, A^\mu\right) =
 \partial_\mu\left(\sqrt{-g} \, A^\mu\right)
</math>.

За [[Теорема Стокса|теоремою Стокса]], така повна похідна при інтегруванні дає лише граничний член. Цей граничний член в загальному випадку не дорівнює нулю, оскільки підінтегральна функція залежить не тільки від <math>\delta g^{\mu\nu},</math> а й від його часткових похідних <math>\partial_\lambda\, \delta g^{\mu\nu} \equiv \delta\, \partial_\lambda g^{\mu\nu}</math>. Подробиці наведені в статті {{не перекладено|Граничний член Гіббонса — Гокінга — Йорка|Граничний член Гіббонса&nbsp;— Гокінга&nbsp;— Йорка|en|Gibbons–Hawking–York boundary term}}. Однак коли варіація метрики <math>\delta g^{\mu\nu}</math> зникає в околицях границі або коли границі немає, цей член не дає внеску у варіацію дії. Таким чином, ми можемо забути про цей член і просто отримати{{NumBlk|:|<math>\frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} = R_{\mu\nu}</math>.|{{EquationRef|3}}}}для [[Подія (теорія відносності)|подій]] не на [[Замикання (топологія)|замиканні]] границі.

=== Варіація визначника ===
{{не перекладено|Формула Якобі|Формула Якобі|en|Jacobi's formula}}, правило диференціювання [[визначник]]а, дає:

: <math>\delta g = \delta \det(g_{\mu\nu}) = g g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu}</math> ,

тобто можна перейти в систему координат, де <math>g_{\mu\nu}</math> діагональна, а потім застосувати правило добутку, щоб продиференціювати добуток членів на головній діагоналі. Використовуючи це, ми отримуємо

: <math>\delta \sqrt{-g} = -\frac{1}{2\sqrt{-g}}\delta g = \frac{1}{2} \sqrt{-g} \left( g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu} \right) = -\frac{1}{2} \sqrt{-g} \left( g_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} \right)</math>.

В останній рівності ми використали той факт, що

: <math>g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} = -g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu}</math>,

що випливає з правила диференціювання оберненої матриці

: <math>\delta g^{\mu\nu} = - g^{\mu\alpha} \left( \delta g_{\alpha\beta} \right) g^{\beta\nu}</math>.

Таким чином робимо висновок{{NumBlk|:|<math>\frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu} } = -\frac{1}{2} g_{\mu\nu}</math>.|{{EquationRef|4}}}}

=== Рівняння руху ===
Тепер, коли ми маємо в своєму розпорядженні всі необхідні варіації, ми можемо підставити ({{EquationNote|3}}) і ({{EquationNote|4}}) в рівняння руху ({{EquationNote|2}}) для метричного поля, отримуючи{{NumBlk|:|<math>R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu}</math>,|{{EquationRef|5}}}}яке є [[Рівняння Ейнштейна|рівнянням поля Ейнштейна]], а

: <math>\kappa = \frac{8\pi G}{c^4}</math>

було обрано таким чином, щоб нерелятивістський граничний випадок давав звичайну форму ньютонівського [[Закон всесвітнього тяжіння|закону всесвітнього тяжіння]], де <math>G</math> є [[Гравітаційна стала|гравітаційною сталою]].

== Космологічна стала ==
Коли в [[лагранжіан]] включена [[космологічна стала]] Λ, дія стає

: <math>S = \int \left[ \frac{1}{2\kappa} (R-2 \Lambda ) + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x </math>.

Беручи варіації за зворотною метрикою, отримуємо

: <math>\begin{align} 
 \delta S
  &= \int \left[ \frac{\sqrt{-g}}{2\kappa} \frac{\delta R}{\delta g^{\mu \nu}} + \frac{R}{2\kappa} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu}} - \frac{\Lambda}{\kappa} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu}} + \sqrt{-g}\frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu \nu}} + \mathcal{L}_\mathrm{M} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu}} \right] \delta g^{\mu \nu} \mathrm{d}^4 x \\
  &= \int \left[ \frac{1}{2\kappa} \frac{\delta R}{\delta g^{\mu \nu}} + \frac{R}{2\kappa} \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu}} - \frac{\Lambda}{\kappa} \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu}} + \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu \nu}} + \frac{\mathcal{L}_\mathrm{M}}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu}} \right] \delta g^{\mu \nu} \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x 
\end{align}</math>

За [[Принцип найменшої дії|принципом найменшої дії]],

: <math>
 0 = \delta S =
 \frac{1}{2\kappa} \frac{\delta R}{\delta g^{\mu \nu}} + \frac{R}{2\kappa} \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu}} - 
 \frac{\Lambda}{\kappa} \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu}} + \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu \nu}} + 
 \frac{\mathcal{L}_\mathrm{M}}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu}}
</math>

Комбінуючи цей вираз із результатами, отриманими раніше:

: <math>\begin{align}
 \frac{\delta R}{\delta g^{\mu \nu}} &= R_{\mu \nu} \\
 \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu}} &= \frac{-g_{\mu \nu}}{2} \\
 T_{\mu \nu} &= \mathcal{L}_\mathrm{M} g_{\mu \nu} - 2 \frac{\delta\mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu \nu}}
\end{align}</math>

ми можемо отримати

: <math>\begin{align}
 \frac{1}{2\kappa} R_{\mu \nu} + \frac{R}{2\kappa} \frac{-g_{\mu \nu}}{2} - \frac{\Lambda}{\kappa} \frac{-g_{\mu \nu}}{2} + \left(\frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu \nu}} + \mathcal{L}_\mathrm{M}\frac{-g_{\mu \nu}}{2} \right) &= 0 \\
 R_{\mu \nu} - \frac{R}{2} g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} + \kappa \left(2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu \nu}} - \mathcal{L}_\mathrm{M}g_{\mu \nu} \right) &= 0 \\
 R_{\mu \nu} - \frac{R}{2} g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} - \kappa T_{\mu \nu} &= 0
\end{align} </math>

З <math display="inline">\kappa = \frac{8 \pi G}{c^4} </math> вираз стає рівнянням поля з [[Космологічна стала|космологічною сталою]]:

: <math>R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}.</math>

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Література ==

* {{Citation|first=Charles W.|last=Misner|author-link=Чарлз Мізнер|first2=Kip. S.|last2=Thorne|author2-link=Кіп Торн|first3=John A.|last3=Wheeler|author3-link=Джон Арчибальд Вілер|title=Gravitation|publisher=W. H. Freeman|date=1973|isbn=978-0-7167-0344-0}}
* {{Citation|last=Wald|first=Robert M.|author-link=Роберт Волд|title=General Relativity|publisher=University of Chicago Press|date=1984|isbn=978-0-226-87033-5}}
* {{Citation|last=Carroll, Sean M.|author-link=Шон Керролл|title=Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity|place=San Francisco|publisher=Addison-Wesley|date=2004|isbn=978-0-8053-8732-2}}
* [[Давид Гільберт|Hilbert, D.]] (1915) [http://einstein-annalen.mpiwg-berlin.mpg.de/related_texts/relativity_rev/hilbert '' Die Grundlagen der Physik'' (German original for free)] [[doi:10.1007/978-1-4020-4000-9_44|(English translation for $25)]], Konigl. Gesell. d. Wiss. Göttingen, Nachr. Math.-Phys. Kl. 395—407
* {{SpringerEOM|title=Cosmological constant}}
* {{Citation|last=Feynman|first=Richard P.|year=1995|author-link=Річард Філіпс Фейнман|title=Feynman Lectures on Gravitation|publisher=Addison-Wesley|isbn=0-201-62734-5|url=https://archive.org/details/feynmanlectureso0000feyn_g4q1}}
* Christopher M. Hirata [http://www.tapir.caltech.edu/~chirata/ph236/2011-12/lec33.pdf Lecture 33: Lagrangian formulation of GR] (27 April 2012).
[[Категорія:Гравітація]]
[[Категорія:Альберт Ейнштейн]]
[[Категорія:Загальна теорія відносності]]