Перегляд вихідного коду сторінки Діаграми Коксетера — Динкіна

[[Файл:Finite coxeter.svg|400пкс|right|thumb|Діаграми Коксетера&nbsp;— Динкіна для фундаментальних скінченних груп Коксетера]]
[[Файл:Affine coxeter.svg|400пкс|right|thumb|Діаграми Коксетера&nbsp;— Динкіна для фундаментальних афінних груп Коксетера]]
{{вичитати|дата=серпень 2019}}
{{Також|Коксетер}}
В [[Геометрія|геометрії]] '''діаграма Коксетера&nbsp;— Динкіна''' (або '''діаграма Коксетера''', '''граф Коксетера''', '''схема Коксетера'''<ref>{{книга-ру
|автор=В.О. Бугаенко
|заглавие=Правильные многогранники
|серия=Математическое просвещение Сер.3
|выпуск=7
|страницы=107-115
}}</ref>)&nbsp;— це [[Граф (математика)|граф]] з позначеними числами ребрами (так званими '''гілками'''), що представляють просторові зв'язки між набором [[Відбиття (геометрія)|дзеркальних симетрій]] (або [[Гіперплощина|гіперплощин]] дзеркальних відображень). Діаграма описує [[калейдоскоп]]ічну побудову&nbsp;— кожна «вершина» графу це дзеркало (грань фундаментальної області), а мітки гілок задають величину [[Двогранний кут|двогранного кута]] між двома дзеркалами (на гребені фундаментальної області, тобто на межі з розмірністю <math>n-2</math>). Непомічені гілки неявно припускають ступінь 3.Кожна діаграма&nbsp;— це [[група Коксетера]].

[[Діаграма Динкіна|Діаграми Динкіна]] тісно пов'язані з діаграмами Коксетера і відрізняються від них тим, що:

по-перше, гілки з міткою «4» і вище є [[Орієнтований граф|орієнтованими]], в той час як в діаграмах Коксетера&nbsp;— неорієнтовані; 

по-друге, діаграми Динкіна повинні задовольняти додатковому (кристалографічному) обмеженню, а саме, мітки дозволені тільки 2, 3, 4 і 6. Діаграми Динкіна відповідають [[Система коренів|системі коренів]] і використовуються для їх класифікації, тому відповідають [[Напівпроста група Лі|напівпростим групам Лі]]<ref>{{книга-ру
|автор=Brian C. Hall 
|заглавие=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction 
|издательство=Springer 
|год=2003 
|isbn=0-387-40122-9
}}</ref>.

== Опис ==
Гілки діаграми Коксетера&nbsp;— Динкіна позначаються [[Раціональне число|раціональними числами]] ''p'', відповідними [[Двогранний кут|двогранним кутами]] 180° / ''p''. Якщо ''p'' = 2, кут дорівнює 90° і дзеркала не впливають одне на одного, гілка може бути виключена з діаграми. Якщо гілка не позначена, домовляються, що ''p'' = 3, що відповідає куту 60°. Два паралельних дзеркала мають гілку, позначену знаком «∞». У загальному випадку, ''n'' відображень можуть бути представлені [[Повний граф|повним графом]], в якому всі ''n''(''n'' − 1) / 2 гілок намальовані. На практиці, майже всі цікаві комбінації відображень містять деяку кількість прямих кутів, так що відповідні гілки можуть бути виключені.

Діаграми можуть бути позначені відповідно до структури графу. Першими формами, які вивчав [[Людвіг Шлефлі]], були симплекси, що визначаються сукупністю взаємнопенпердикулярних ребер. Ці симплекси Шлефлі назвав ортосхемами. [[Ортосхема|Ортосхеми]] виникають в різних ситуаціях, особливо при розгляді [[Політоп|правильних політопів]] і правильних стільників. '''Плагіосхеми'''&nbsp;— це симплекси, представлені розгалуженими графами, а '''циклосхеми'''&nbsp;— симплекси, представлені циклічними графами.

== Матриця Грама (Шлефлі) ==
Будь-яка діаграма Коксетера має відповідну '''матрицю [[Людвіг Шлефлі|Шлефлі]]''' з елементами <math>a_{i,\;j} = a_{j,\;i}= -2 \cos \left( \frac{\pi}{p} \right)</math>, де <math>p</math>&nbsp;— порядок гілки між парами віддзеркалень. Як ''матриця косинусів'', вона також називається [[визначник грама|матрицею Грама]]. Всі матриці Грама [[Група Коксетера|групи Коксетера]] симетричні, оскільки їх кореневі вектора нормалізовані. Вони близько пов'язані з [[Матриця Картана|матрицями Картана]], які використовуються у схожому контексті, але для орієнтованих графів [[Діаграма Динкіна|діаграм Динкіна]] для випадків p = 2,3,4 і 6, в загальному випадку, НЕ симетричні.

Визначник матриці Шлефлі називається '''шлефіаном''' (він же '''граміан'''), його знак визначає, чи є група скінченною (додатний визначник), афінною (нульовий) або невизначеною (від'ємний). Це правило називається '''критерієм Шлефлі'''<ref>{{книга-ру
|автор=Coxeter, 
|заглавие={{не переведено 5|''Regular Polytopes'' (книга)|''Regular Polytopes''||Regular Polytopes (book)}}
|издание=3rd
|год=1973
|издательство=Dover edition
|ISBN=0-486-61480-8
|часть=7.7. Schläfli's Criterion
|страницы=133
}}</ref>.

[[Власний вектор|Власні значення]] матриці Грама визначають, чи є група Коксетера ''скінченного типу'' (всі значення додатні), ''афінного типу'' (всі невід'ємні, щонайменше одне значення дорівнює нулю) або '' невизначеного типу'' (всі інші випадки). Невизначений тип іноді розбивається на підтипи, наприклад, на гіперболічні й інші групи Коксетера. Однак є багато не еквівалентних визначень гіперболічних груп Коксетера. Ми використовуємо наступне визначення: Група Коксетера з відповідною діаграмою є ''гіперболічною'', якщо вона ні скінченного, ні афінного типів, але будь-яка зв'язкова піддіаграма має або скінченний, або афінний тип. Гіперболічна група Коксетера '''компактна''', якщо всі її підгрупи скінченні (тобто мають додатні визначники) і '''паракомпактна''', якщо всі її підгрупи скінченні або афінні (тобто мають невід'ємні визначники)<ref>{{статья
|автор=В. О. Бугаенко
|заглавие=Классификация многогранников Коксетера
|издание=Матем. просв.
|год=2003
|выпуск=7
|страницы=82-106
}}</ref>.

Скінченні і афінні групи також називаються ''еліптичними'' і ''параболічними'' відповідно. Гіперболічні групи називаються також групами Ланнера, який перерахував компактні гіперболічні групи в 1950-м<ref>{{книга-ру
|автор= F.Lannér
|заглавие=On complexes with transitive groups of automorphisms
|серия=Medd. Lunds Univ. Mat. Sem. [Comm. Sem. Math. Univ. Lund]
|том=11
|год=1950
|страницы=1–71}}</ref>, а паракомпактні групи&nbsp;— групами Козуля (або квазіланнеровими групами). Зустрічаються й інші назви. Так, в статті Максвелла скінченні групи називаються додатними, а афінні&nbsp;— евклідові.

=== Групи Коксетера рангу 2 ===
Для рангу 2 тип групи Коксетера повністю визначений визначником матриці Грама, оскільки він просто дорівнює добутку його власних значень: скінченний тип (додатний визначник), афінний тип (нульовий визначник) або гіперболічний тип (від'ємний визначник). Коксетер використовує еквівалентну дужкову нотацію, яка перераховує послідовності порядків гілок замість графічних діаграм вузол-гілка.
{| class=wikitable
!Тип
!colspan=5|Скінченна
!Афінна
!colspan=2|Гіперболічна
|- align=center
!Геометрія
|[[Файл:Dihedral_symmetry_domains_1.png|80пкс]]
|[[Файл:Dihedral_symmetry_domains_2.png|80пкс]]
|[[Файл:Dihedral_symmetry_domains_3.png|80пкс]]
|[[Файл:Dihedral_symmetry_domains_4.png|80пкс]]
|…
|[[Файл:Dihedral_symmetry_domains_infinity.png|80пкс]]
|[[Файл:Horocycle_mirrors.png|80пкс]]
|[[Файл:Dihedral_symmetry_ultra.png|80пкс]]
|- align=center
!Коксетер
|{{ДКД|node_c1}}<BR/>[ ]
|{{ДКД|node_c1|2|node_c3}}<BR/>[2]
|{{ДКД|node_c1|3|node_c1}}<BR/>[3]
|{{ДКД|node_c1|4|node_c3}}<BR/>[4]
|{{ДКД|node|p|node}}<BR/>[p]
|{{ДКД|node_c1|infin|node_c3}}<BR/>[∞]
|{{ДКД|node_c2|infin|node_c3}}<BR/>[∞]
|{{ДКД|node_c2|ultra|node_c3}}<BR/>[iπ/λ]
|-
![[Степінь елемента|степінь]]
!2
!4
!6
!8
!2''p''
!colspan=3|∞
|- align=center
|colspan=9|Прямі відображення розфарбовані відповідно вузлів діаграми Коксетера. <BR/> Фундаментальні області пофарбовані в альтернативні кольори.
|}
{| class="wikitable" style="width:720px;"
|+ Діаграми групи Коксетера рангу 2
|-
!rowspan=2|[[Степінь елемента|степінь]]<br/>''p''
!rowspan=2|Група
!rowspan=2 colspan=2|Діаграма Коксетера
!colspan=2|Матриця Грама
|-
!<math>\left [\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}\right ]</math>
!Визначник<br/>(4-a<sub>21</sub>*a<sub>12</sub>)
|- align=center
!colspan=7|Скінченна (Визначник>0)
|- align=center
!2
!I<sub>2</sub>(2) = A<sub>1</sub>xA<sub>1</sub>
|{{ДКД|node|2|node}}||[2]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|4
|- align=center
!3
!I<sub>2</sub>(3) = A<sub>2</sub>
|{{ДКД|node|3|node}}||[3]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|3
|- align=center
!4
!I<sub>2</sub>(4) = B<sub>2</sub>
|{{ДКД|node|4|node}}||[4]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\sqrt{2}\\-\sqrt{2}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|2
|- align=center
!5
!I<sub>2</sub>(5) = H<sub>2</sub>
|{{ДКД|node|5|node}}||[5]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\phi\\-\phi&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>4\sin^2(\pi/5)</math><br/>=<math>(5-\sqrt{5})/2</math>

~1.38196601125
|- align=center
!6
!I<sub>2</sub>(6) = G<sub>2</sub>
|{{ДКД|node|6|node}}||[6]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\sqrt{3}\\-\sqrt{3}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|1
|- align=center
!8
!I<sub>2</sub>(8)
|{{ДКД|node|8|node}}||[8]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi/8)\\-2\cos(\pi/8)&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>2-\sqrt{2}</math><br/>
~0.58578643763
|- align=center
!10
!I<sub>2</sub>(10)
|{{ДКД|node|10|node}}||[10]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi/10)\\-2\cos(\pi/10)&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>4\sin^2(\pi/10)</math><br/>=<math>(3-\sqrt{5})/2</math>

~0.38196601125
|- align=center
!12
!I<sub>2</sub>(12)
|{{ДКД|node|12|node}}||[12]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi/12)\\-2\cos(\pi/12)&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>2-\sqrt{3}</math><br/>
~0.26794919243
|- align=center
!''p''
!I<sub>2</sub>(p)
|{{ДКД|node|p|node}}||[p]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi/p)\\-2\cos(\pi/p)&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>4\sin^2(\pi/p)</math>
|- align=center
!colspan=6|Афінна (Визначник=0)
|- align=center
!∞
!I<sub>2</sub>(∞) = <math>{\tilde{I}}_1</math> = <math>{\tilde{A}}_1</math>
|{{ДКД|node|infin|node}}||[∞]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|0
|- align=center
!colspan=6|Гіперболічна (Визначник≤0)
|- align=center
!∞
!
|{{ДКД|node|infin|node}}||[∞]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|0
|- align=center
!∞
!
|{{ДКД|node|ultra|node}}||[iπ/λ]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2cosh(2\lambda)\\-2cosh(2\lambda)&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>-4\sinh^2(2\lambda) \le 0</math>
|}

=== Геометричне уявлення ===
Діаграму Коксетера&nbsp;— Динкіна можна розглядати як графічний опис [[Фундаментальна область|фундаментальної області]] відображень. Дзеркалом (безліччю нерухомих точок відображення) є гіперплощина в заданому сферичному, евклідовому або [[гіперболічний простір|гіперболічному просторі]]. (У двовимірному просторі дзеркалом є пряма, а в тривимірному&nbsp;— площина).

Нижче показані фундаментальні області двовимірних і тривимірних евклідових груп, а також двовимірних сферичних груп. Для кожної групи діаграма Коксетера може бути виведена шляхом визначення гіперплощин і розмітки їх зв'язків, ігноруючи двогранні кути в 90 градусів (порядок 2).

{| class=wikitable

|-
!rowspan=2|Група Коксетера
!<math>{\tilde{C}}_{2}</math>
!<math>{\tilde{I}}_1</math>x<math>{\tilde{I}}_1</math>
!<math>{\tilde{G}}_{2}</math>
!<math>{\tilde{A}}_{2}</math>
|-
![4,4]
![∞4,∞]
![6,3]
![(3,3,3)] = [3<sup>[3]</sup>]
|- align=center
!Фундаментальна область
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain.png|140пкс]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain Q1.png|140пкс]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain T22.png|140пкс]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain T32.png|140пкс]]
|-
!Диаграма<BR/> Коксетера&nbsp;— Динкіна
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain DT11.svg.png|140пкс]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain DQ2.png|140пкс]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain DT23.png|140пкс]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain DT34.png|140пкс]]
|}

Групи Коксетера на евклідовій площині з відповідними діаграмами. Дзеркала позначені як вузли графу ''R''1, ''R''2, і&nbsp;т.&nbsp;д. та розфарбовані відповідно до порядку відображення. Відображення на 90 градусів нічого не змінюють, а тому видалені з діаграми. Паралельні відображення відзначені символом ∞. Призматична група <math>{\tilde{I}}_1</math>x<math>{\tilde{I}}_1</math> зображена як подвоєння <math>{\tilde{C}}_2</math>, але вона також може бути створена як прямокутні області, отримані з подвоєння трикутників <math>{\tilde{G}}_2</math>. <math>{\tilde{A}}_2</math> є подвоєнням трикутника <math>{\tilde{G}}_2</math>.

{| class=wikitable
|+ Деякі гіперболічні калейдоскопи
|-
!Група Коксетера
![n,4]
![∞n,∞]
![n,3]
![(n,3,3)]
|- align=center
!Фундаментальна область
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain HT11.png|140пкс]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain HQ2.png|140пкс]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain HT23.png|140пкс]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain HT34.svg.png|140пкс]]
|-
!Двоїстий граф (повна схема Коксетера)
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain UT111.png|140пкс]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain UQ12.svg.png|140пкс]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain UT213.png|140пкс]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain UT314.png|140пкс]]
|-
!Диаграма<BR/> Коксетера&nbsp;— Динкіна
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain DU121.png|140пкс]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain DUQ22.png|140пкс]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain DU223.svg.png|140пкс]]
|[[Файл:Coxeter-Dynkin Domain DU3.24.png|140пкс]]
|-
!
!n=5,6…
!n=3,4…
!n=7,8…
!n=4,5
|}

<br/> Багато груп Коксетера на [[Гіперболічна площина|гіперболічній площині]] можуть бути поширені з евклідового випадку як серії гіперболічних рішень.

{| class="wikitable" style="width:720пкс;"
|- valign=top
|- valign=top
|[[Файл:Coxeter-Dynkin 3-space groups.png|360пкс]]<br/>Групи Коксетера в тривимірному просторі з відповідними діаграмами. Дзеркала (трикутні грані) позначені протилежними вершинами 0..3. Гілки пофарбовані відповідно до порядку відображень. <br/><math>{\tilde{C}}_3</math> заповнює 1/48 частин куба. <math>{\tilde{B}}_3</math> заповнює 1/24 частин куба. <math>{\tilde{A}}_3</math> заповнює 1/12 частин куба.
|[[Файл:Coxeter-Dynkin sphere groups.png|360px]]<br/>Групи Коксетера на сфері з відповідними діаграмами. Одна фундаментальна область виділена жовтим кольором. Вершини області (і гілки графу) пофарбовані відповідно до порядку відображення.
|}

== Скінченні групи Коксетера ==
Див. також [[сімейства многогранників]] для таблиці однорідних многогранників, пов'язаних з цими групами.
* Для кожної групи наведені три різних позначення&nbsp;— буквено-цифрове позначення, набір цифр в дужках і діаграма Коксетера.
* Розгалужені групи D<sub>''n''</sub> є ''половинними'' або ''знакозмінними'' версіями звичайних груп C<sub>''n''</sub>.
* Для розгалужених груп D<sub>''n''</sub> і E<sub>''n''</sub> наведені позначення з верхніми індексами [3<sup>''a'',''b'',''c''</sup>], де числа ''a'',''b'' і ''c'' задають кількість сегментів у кожній з трьох гілок.

{| class="wikitable"
|+ Зв'язані графи Динкіна з рангами від 1 до 9
|- align=center
!rowspan=2|Ранг
!colspan=3|[[Проста група Лі|Прості групи Лі]]
!colspan=3|[[Виключні прості групи Лі|Виключні групи Лі]]
!colspan=2|
|-
!height=35|<math>{A}_{1+}</math>
!<math>{BC}_{2+}</math>
!<math>{D}_{2+}</math>
![[En (Алгебра Ли)|<math>{E}_{3-8}</math>]]
![[F4 (математика)|<math>{F}_{3-4}</math>]]
![[G2 (математика)|<math>{G}_{2}</math>]]
!<math>{H}_{2-4}</math>
!<math>{I}_{2}(p)</math>
|- align=center
!1
|A<sub>1</sub>=[]<br/>{{ДКД|node}}
|
|
|
|
|- align=center
!2
|A<sub>2</sub>=[3]<br/>{{ДКД|node|3|node}}
|B<sub>2</sub>=[4]<br/>{{ДКД|node|4|node}}
|D<sub>2</sub>=A<sub>1</sub>xA<sub>1</sub><br/>{{ДКД|nodes}}
|
|
|G<sub>2</sub>=[6]<br/>{{ДКД|node|6|node}}
|H<sub>2</sub>=[5]<br/>{{ДКД|node|5|node}}
|I<sub>2</sub>[p]<br/>{{ДКД|node|p|node}}
|- align=center
!3
|A<sub>3</sub>=[3<sup>2</sup>]<br/>{{ДКД|node|3|node|3|node}}
|B<sub>3</sub>=[3,4]<br/>{{ДКД|node|4|node|3|node}}
|D<sub>3</sub>=A<sub>3</sub><br/>{{ДКД|nodes|split2|node}}
|E<sub>3</sub>=A<sub>2</sub>A<sub>1</sub><br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea}} {{ДКД|nodeb}}
|F<sub>3</sub>=B<sub>3</sub><br/>{{ДКД|node|3|node|4|node}}
|rowspan=8|
|H<sub>3</sub> <br/>{{ДКД|node|5|node|3|node}}
|- align=center
!4
|A<sub>4</sub>=[3<sup>3</sup>]<br/>{{ДКД|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>4</sub>=[3<sup>2</sup>,4]<br/>{{ДКД|node|4|node|3|node|3|node}}
|D<sub>4</sub>=[3<sup>1,1,1</sup>]<br/>{{ДКД|nodes|split2|node|3|node}}
|E<sub>4</sub>=A<sub>4</sub><br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
|F<sub>4</sub><br/>{{ДКД|node|3|node|4|node|3|node}}
|H<sub>4</sub> <br/>{{ДКД|node|5|node|3|node|3|node}}
|- align=center
!5
|A<sub>5</sub>=[3<sup>4</sup>]<br/>{{ДКД|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>5</sub>=[3<sup>3</sup>,4]<br/>{{ДКД|node|4|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>5</sub>=[3<sup>2,1,1</sup>]<br/>{{ДКД|nodes|split2|node|3|node|3|node}}
|E<sub>5</sub>=D<sub>5</sub><br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}
|rowspan=6|
|- align=center
!6
|A<sub>6</sub>=[3<sup>5</sup>]<br/>{{ДКД|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>6</sub>=[3<sup>4</sup>,4]<br/>{{ДКД|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>6</sub>=[3<sup>3,1,1</sup>]<br/>{{ДКД|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node}}
|E<sub>6</sub>=[3<sup>2,2,1</sup>]<br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|- align=center
!7
|A<sub>7</sub>=[3<sup>6</sup>]<br/>{{ДКД|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>7</sub>=[3<sup>5</sup>,4]<br/>{{ДКД|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>7</sub>=[3<sup>4,1,1</sup>]<br/>{{ДКД|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|E<sub>7</sub>=[3<sup>3,2,1</sup>]<br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|- align=center
!8
|A<sub>8</sub>=[3<sup>7</sup>]<br/>{{ДКД|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>8</sub>=[3<sup>6</sup>,4]<br/>{{ДКД|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>8</sub>=[3<sup>5,1,1</sup>]<br/>{{ДКД|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|E<sub>8</sub>=[3<sup>4,2,1</sup>]<br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|- align=center
!9
|A<sub>9</sub>=[3<sup>8</sup>]<br/>{{ДКД|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>9</sub>=[3<sup>7</sup>,4]<br/>{{ДКД|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>9</sub>=[3<sup>6,1,1</sup>]<br/>{{ДКД|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|rowspan|
|- align=center
!10+
|..
|..
|..
|..
|}

== Застосування до однорідних політопів ==
[[Файл:Coxeter node markup (ru).png|міні|thumb| При побудові однорідних многогранників вузли маркуються як ''активні'' шляхом додавання кола, якщо генеруюча точка знаходиться поза дзеркалом (гіперплощини, щодо якої проводиться відображення), тим самим утворюючи нове ребро між генеруючою точкою та її відображенням. Вузли без кола це ''неактивні'' відображення, які не генерують нових точок.]]
Діаграми Коксетера&nbsp;— Динкіна можуть перерахувати майже всі класи однорідних многогранників та однорідних мозаїк. Кожен однорідний многогранник з простою дзеркальною симетрією (всі вони, за винятком декількох спеціальних випадків, мають просту дзеркальну симетрію) можуть бути представлені діаграмами Коксетера&nbsp;— Динкіна з перестановками ''міток''. Кожен однорідний многогранник можна отримати, використовуючи такі дзеркала й одну генеруючу точку&nbsp;— відображення створюють у результаті симетрії нової точки, потім можна визначити [[Ребро (математика)|ребра]] многогранника між точками і їх дзеркальними відображеннями. [[Грань (геометрія)|Грані]] можна побудувати при отриманні циклу з ребер і&nbsp;т.&nbsp;д. Для завдання генеруючої вершини один або більше вузлів позначаються колами, що означає, що вершина ''не'' знаходиться на дзеркалі, представлених поміченими колами вузлами. (Якщо два або більше дзеркала позначені, вершина розташовується на рівновіддалених відстані від них.) Дзеркало ''активно'' (створює відображення), тільки для точок, які не лежать на ньому. Діаграма повинна мати щонайменше один активний вузол для подання многогранника.

Усі [[правильні багатовимірні многогранники]], представлені [[Символ Шлефлі|символом Шлефлі]] ((''p'', ''q'', ''r'', …), можуть мати [[Фундаментальна область|фундаментальні області]], представлені набором ''n ''дзеркал з відповідною діаграмою Коксетера&nbsp;-Динкіна у вигляді послідовності вузлів і гілок, помічених ''p'', ''q'', ''r'', … з першим обведеним колом вузлом.

Однорідні многогранники з одним колом відповідають генеруючим точкам у кутах симплекса фундаментальної області. Два гуртка відповідають ребрам симплекса й мають свободу вибору, але тільки середина призводить до однорідного рішенням з однаковими довжинами ребер. У загальному випадку генератори з k-колами є (k-1)-вимірним гранями симплекса. Якщо всі вузли позначені колами, генеруюча точка знаходиться всередині симплекса.

Інший елемент розмітки висловлює спеціальний випадок недзеркальної симетрії однорідних многогранників. Ці випадки існують як альтернації дзеркальної симетрії многогранників. У цьому елементі розмітки відсутня центральна точка позначеного колом вузла, який тоді називається ''діркою'', і означає такий вузол віддалену альтернуючу вершину. Отриманий многогранник матиме підсімметрії вихідної [[Група Коксетера|групи Коксетера]]. Усічена альтернація називається ''відрізком''.
* Окремий вузол це окреме дзеркало. Відповідна група позначається A<sub>1</sub>. Коло навколо вузла призводить до утворення [[Відрізок|відрізка]], перпендикулярного дзеркала, і він позначається як {}.
* Два незв'язаних вузла представляють два [[Перпендикулярність|перпендикулярних]] дзеркала. Якщо обидва вузла обведені колом, може бути створений [[прямокутник]], або [[квадрат]], якщо точки розташовані на однаковій відстані від обох дзеркал.
* Два вузла, з'єднаних гілкою порядку ''n'', можуть створити [[Багатокутник|''n''&nbsp;— кутник]], якщо точка знаходиться на одному з дзеркал, і 2''n ''&nbsp;— кутник, якщо крапка не лежить ні на одному з дзеркал. Ці два вузла утворюють групу I<sub>1</sub>(n).
* Два паралельних дзеркала можуть представляти групу нескінченного багатокутника I<sub>1</sub>(∞), що позначається також Ĩ<sub>1</sub>.
* Три дзеркала у вигляді трикутника утворюють образи, які спостерігаються в традиційному [[калейдоскоп]]і і така конфігурація може бути представлена трьома вузлами, з'єднаними в трикутник. Періодичні приклади матимуть гілки, помічені як (3 3 3), (2 4 4) і (2 3 6), хоча останні два можуть побут намальовані як прямі (видаливши гілки ''2''). Вони генерують однорідні мозаїки.
* Три дзеркала можуть створити однорідний многогранник, наприклад, [[Трикутник Шварца|трикутники Шварца]], одержувані з раціональних чисел.
* Три дзеркала, де одне дзеркало перпендикулярно двом іншим, можуть створити [[Призма (геометрія)|однорідні призми]].

{| class=wikitable width=800
|- valign=top
|[[Файл:Wythoffian construction diagram.png|400px]]<BR/>Є 7 дзеркальних однорідних конструкцій для загального трикутника, заснованих на 7 топологічних позиціях генератора всередині фундаментальної області. Будь-яке одиничне активне дзеркало має генератор в куті та утворює ребро, для двох дзеркал генератор знаходиться на одній зі сторін трикутника, а три активних дзеркала мають генератор всередині трикутника. Один або два ступені свободи можна звести до однієї позиції для досягнення однакових довжин ребер результуючого многогранника або мозаїки.
|[[Файл:Polyhedron truncation example3.png|400px]]<BR/>Приклад семи генераторів при октаедричної симетрії з фундаментальним трикутником (4 3 2) і восьмим генератором обрізка
|}

Подвійні однорідні многогранники іноді позначаються вертикальними рисками замість позначених кіл вузлів, а перекреслений порожній вузол (без внутрішньої точки) означає відсікання. Наприклад, {{ДКД|node_1|2|node_1}} представляє [[прямокутник]] (як два активних ортогональних дзеркала), а {{ДКД|node_f1|2|node_f1}} представляє його двоїстий багатокутник ([[ромб]]).

=== Приклади многогранників і мозаїк ===
Як приклад [[група Коксетера]] B <sub>3</sub> має схему {{ДКД|node|4|node|3|node}}. Вона також називається октаедричною симетрією.

Є 7 опуклих однорідних многогранників, які можна побудувати за допомогою цієї групи симетрії та 3 з її альтернаційних підсиметрій, кожна з єдиною схемою Коксетера&nbsp;— Динкіна. {{нп|Символ Вітгофа|||Wythoff symbol}} це спеціальний випадок схеми Коксетера для графів рангу 3 з усіма трьома гілками без видалення гілок порядку 2. Символ Вітгофа здатний працювати з ''обрізками'', але не з загальними альтернаціями, коли не всі вузли позначені колами.

{| class="wikitable"
|+Однорідні октаедричні многогранники
|- style="text-align:center;"
!colspan=7|Симетрії: [4,3], *432
![4,3]<sup>+</sup>, (432)
![3<sup>+</sup>,4], (3*2)
|- style="text-align:center;"
|[[Файл:Uniform polyhedron-43-t0.svg|50пкс]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-43-t01.svg|50пкс]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-43-t1.svg|50пкс]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-43-t12.svg|50пкс]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-43-t2.svg|50пкс]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-43-t02.png|50пкс]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-43-t012.png|50пкс]]
|[[Файл:Uniform polyhedron-43-s012.png|50пкс]]
|[[Файл:Uniform_polyhedron-43-h01.svg|50пкс]]

|- style="text-align:center;"
|{{ДКД|node_1|4|node|3|node}}
|{{ДКД|node_1|4|node_1|3|node}}
|{{ДКД|node|4|node_1|3|node}}
|{{ДКД|node|4|node_1|3|node_1}}
|{{ДКД|node|4|node|3|node_1}}
|{{ДКД|node_1|4|node|3|node_1}}
|{{ДКД|node_1|4|node_1|3|node_1}}
|{{ДКД|node_h|4|node_h|3|node_h}}
|{{ДКД|node_h|3|node_h|4|node}}
|- style="text-align:center;vertical-align:top;"
|[[Куб|{4,3}]]
|[[Зрізаний куб|t{4,3}]]
|[[Кубооктаедр|r{4,3}]]
|[[Зрізаний октаедр|t{3,4}]]
|[[Октаедр|{3,4}]]
|[[Ромбокубооктаедр|rr{4,3}]]
|[[Зрізаний кубооктаедр|tr{4,3}]]
|[[Кирпатий куб|sr{4,3}]]
|[[Правильний ікосаедр|s{3,4}]]

|- style="text-align:center;"
!colspan=11|Двоїсті многогранники

|- style="text-align:center;"
|[[Файл:Octahedron.svg|50пкс]]
|[[Файл:Triakisoctahedron.jpg|50пкс]]
|[[Файл:Rhombicdodecahedron.jpg|50пкс]]
|[[Файл:Tetrakishexahedron.jpg|50пкс]]
|[[Файл:hexahedron.svg|50пкс]]
|[[Файл:Deltoidalicositetrahedron.jpg|50пкс]]
|[[Файл:Disdyakisdodecahedron.jpg|50пкс]]
|[[Файл:Pentagonalicositetrahedronccw.jpg|50пкс]]
|[[Файл:POV-Ray-Dodecahedron.svg|50пкс]]

|- style="text-align: center;"
!{{ДКД|node_f1|4|node|3|node}}
!{{ДКД|node_f1|4|node_f1|3|node}}
!{{ДКД|node|4|node_f1|3|node}}
!{{ДКД|node|4|node_f1|3|node_f1}}
!{{ДКД|node|4|node|3|node_f1}}
!{{ДКД|node_f1|4|node|3|node_f1}}
!{{ДКД|node_f1|4|node_f1|3|node_f1}}
!{{ДКД|node_fh|4|node_fh|3|node_fh}}
!{{ДКД|node_fh|3|node_fh|4|node}}
|- style="text-align:center;"
|[[Октаедр|V4<sup>3</sup>]]
|[[Триакісоктаедр|V3.8<sup>2</sup>]]
|[[Ромбододекаедр|V(3.4)<sup>2</sup>]]
|[[Тетракісгексаедр|V4.6<sup>2</sup>]]
|[[Куб|V3<sup>4</sup>]]
|[[Тетрагонтриоктаедр|Дельтоїдальний ікосітетраедр|V3.4<sup>3</sup>]]
|V4.6.8
||V3<sup>4</sup>.4
|[[Правильний додекаедр|V3<sup>5</sup>]]
|}
Ті ж побудови можна виконати з незв'язними (ортогональними) групами Коксетера, на зразок групи однорідних [[Призма (геометрія)|призм]], і можуть розглядатися з більшою ясністю як мозаїки [[діедр]] і [[осоедр]] на сфері, на зразок сімейств [6]×[] або [6,2]:
{| class="wikitable"
|+ Однорідні шестикутні діедричні сферичні многогранники
|- align=center
!colspan=7|Симетрія|: [[Діедрична група|[6,2]]], (*622)
![6,2]<sup>+</sup>, (622)
![6,2<sup>+</sup>], (2*3)
|- align=center
| [[Файл:Hexagonal dihedron.png|50пкс]]
| [[Файл:Dodecagonal dihedron.png|50пкс]]
| [[Файл:Hexagonal dihedron.png|50пкс]]
| [[Файл:Spherical hexagonal prism.png|50пкс]]
| [[Файл:Spherical hexagonal hosohedron.svg|50пкс]]
| [[Файл:Spherical truncated trigonal prism.png|50пкс]]
| [[Файл:Spherical dodecagonal prism2.png|50пкс]]
| [[Файл:Spherical hexagonal antiprism.svg|50пкс]]
| [[Файл:Spherical trigonal antiprism.svg|50пкс]]
|- align=center
!{{ДКД|node_1|6|node|2|node}}
!{{ДКД|node_1|6|node_1|2|node}}
!{{ДКД|node|6|node_1|2|node}}
!{{ДКД|node|6|node_1|2|node_1}}
!{{ДКД|node|6|node|2|node_1}}
!{{ДКД|node_1|6|node|2|node_1}}
!{{ДКД|node_1|6|node_1|2|node_1}}
!{{ДКД|node_h|6|node_h|2x|node_h}}
!{{ДКД|node|6|node_h|2x|node_h}}
|- align=center
|[[Діедр|{6,2}]]
|[[Діедр|t{6,2}]]
|[[Діедр|r{6,2}]]
|[[Шестикутна призма|t{2,6}]]
|[[Осоедр|{2,6}]]
|[[Шестикутна призма|rr{2,6}]]
|tr{6,2}
|[[Шестикутна антипризма|sr{6,2}]]
|[[Октаедр|s{2,6}]]

|-
!colspan=10|Двоїсті їм многогранники
|- align=center
| [[Файл:Spherical hexagonal hosohedron.svg|50пкс]]
| [[Файл:Spherical dodecagonal hosohedron.svg|50пкс]]
| [[Файл:Spherical hexagonal hosohedron.svg|50пкс]]
| [[Файл:Spherical hexagonal bipyramid.svg|50пкс]]
| [[Файл:Hexagonal dihedron.png|50пкс]]
| [[Файл:Spherical hexagonal bipyramid.svg|50пкс]]
| [[Файл:Spherical dodecagonal bipyramid.svg|50пкс]]
| [[Файл:Spherical hexagonal trapezohedron.svg|50пкс]]
| [[Файл:Spherical trigonal trapezohedron.svg|50пкс]]
|- align=center
|[[Осоедр|V6<sup>2</sup>]]
|[[Осоедр|V12<sup>2</sup>]]
|[[Осоедр|V6<sup>2</sup>]]
|V4.4.6
|[[Діедр|V2<sup>6</sup>]]
|V4.4.6
|[[Біпіраміда|V4.4.12]]
|V3.3.3.6
|[[Куб|V3.3.3.3]]
|}
У порівнянні з [6,3], сімейство {{ДКД|node|6|node|3|node}} породжує два паралельних сімейства 7 однорідних мозаїк евклідової площини і їх двоїстих мозаїк. Знову маємо 3 альтернації і кілька напівсиметричних версій.

Є вісім однорідних мозаїк, які базуються на правильних шестикутних мозаїках (або подвійних [[Трикутний паркет|трикутних мозаїках]]). Якщо намалювати мозаїку, розмальовуючи елементи мозаїки в червоний для граней, в жовтий для вершин і в блакитний для ребер, отримаємо 8 видів мозаїки, 7 з яких топологічно різні. ''Усічена трикутна мозаїка'' топологічно ідентична шестикутній.
{| class="wikitable"
|+ Однорідні шестикутні/трикутні мозаїки]]
|- style="vertical-align:top;"
!colspan=7|Симетрія: [[Шаблон:Таблица симметрии 632|[6,3], (*632)]]
![6,3]<sup>+</sup><BR/>(632)
![6,3<sup>+</sup>]<BR/>(3*3)

|- style="text-align:center;vertical-align:top;"
|{6,3}
|t{6,3}
|r{6,3}
|t{3,6}
|{3,6}
|rr{6,3}
|tr{6,3}
|sr{6,3}
|s{3,6}

|- style="text-align:center;vertical-align:top;"
|{{ДКД|node_1|6|node|3|node}}
|{{ДКД|node_1|6|node_1|3|node}}
|{{ДКД|node|6|node_1|3|node}}
|{{ДКД|node|6|node_1|3|node_1}}
|{{ДКД|node|6|node|3|node_1}}
|{{ДКД|node_1|6|node|3|node_1}}
|{{ДКД|node_1|6|node_1|3|node_1}}
|{{ДКД|node_h|6|node_h|3|node_h}}
|{{ДКД|node|6|node_h|3|node_h}}

|- style="text-align:center;vertical-align:top;"
|[[Файл:Uniform tiling 63-t0.svg|60пкс]]
|[[Файл:Uniform tiling 63-t01.png|60пкс]]
|[[Файл:Uniform tiling 63-t1.png|60пкс]]
|[[Файл:Uniform tiling 63-t12.svg|60пкс]]
|[[Файл:Uniform tiling 63-t2-red.svg|60пкс]]
|[[Файл:Uniform tiling 63-t02.png|60пкс]]
|[[Файл:Uniform tiling 63-t012.png|60пкс]]
|[[Файл:Uniform tiling 63-snub.png|60пкс]]
|[[Файл:Uniform_tiling_63-h12.svg|60пкс]]
|- style="text-align:center;vertical-align:top;"
|[[Шестикутний паркет|6<sup>3</sup>]]
|3.12<sup>2</sup>
|(3.6)<sup>2</sup>
|[[Шестикутний паркет|6.6.6]]
|[[Трикутний паркет|3<sup>6</sup>]]
|3.4.12.4
|4.6.12
|3.3.3.3.6
|[[Трикутний паркет|3.3.3.3.3.3]]

|- style="vertical-align:top;"
!colspan=11|Двоїсті їм однорідні мозаїки
|- style="text-align:center;vertical-align:top;"
|[[Файл:1-uniform 1 dual.svg|60пкс]]
|[[Файл:1-uniform 4 dual.svg|60пкс]]
|[[Файл:1-uniform 7 dual.svg|60пкс]]
|[[Файл:1-uniform 11 dual.svg|60пкс]]
|[[Файл:1-uniform 1 dual.svg|60пкс]]
|[[Файл:1-uniform 6 dual.svg|60пкс]]
|[[Файл:1-uniform 3 dual.svg|60пкс]]
|[[Файл:1-uniform 10 dual.svg|60пкс]]
|[[Файл:1-uniform 11 dual.svg|60пкс]]
|- style="text-align:center;vertical-align:top;"
|[[Трикутний паркет|V6<sup>3</sup>]]
|V3.12<sup>2</sup>
|V(3.6)<sup>2</sup>
|[[Трикутний паркет|V6<sup>3</sup>]]
|[[Шестикутний паркет|V3<sup>6</sup>]]
|V3.4.12.4
|V.4.6.12
|V3<sup>4</sup>.6
|[[Шестикутний паркет|V3<sup>6</sup>]]
|}
На гіперболічній площині [7,3] сімейство {{ДКД|node|7|node|3|node}} породжує дві паралельні множини однорідних мозаїк евклідової площині і двоїстих їм мозаїк. Є тільки одна [[Альтернація (геометрія)|альтернація]] (обрізок), оскільки всі гілки непарні. Багато інших гіперболічних сімейств однорідних мозаїк можна побачити серед однорідних мозаїк на гіперболічної площині.

{{Таблиця семикутних мозаїк}}

== Афінні групи Коксетера ==
Сімейства опуклих однорідних евклідових мозаїк визначаються афінною групою Коксетера. Ці групи ідентичні скінченним групам з додаванням одного вузла. У літерних позначеннях у них та ж буква, що і у тильди, знак «~» над буквою. Індекс стосується скінченної групи, так що ранг дорівнює індексу + 1. (Символи Вітта для афінних груп дані з позначкою ''також'')
# <math>{\tilde{A}}_{n-1}</math>: діаграми цього типа це цикли. (Також P<sub>n</sub>)
# <math>{\tilde{C}}_{n-1}</math> асоційована з родиною гіперкубічних правильних мозаїк||hypercubic honeycomb}} (3, …., 4). (Також R<sub>n</sub>)
# <math>{\tilde{B}}_{n-1}</math> зв'язана з С видаленням одного мінору.(Також S<sub>n</sub>)
# <math>{\tilde{D}}_{n-1}</math> зв'язана з С видаленням двох мінорів. (Також Q<sub>n</sub>)
# <math>{\tilde{E}}_6</math>, <math>{\tilde{E}}_7</math>, <math>{\tilde{E}}_8</math>. (Також T<sub>7</sub>, T<sub>8</sub>, T<sub>9</sub>)
# <math>{\tilde{F}}_4</math> утворює {3,4,3,3} правильну мозаїку. (Також U<sub>5</sub>)
# <math>{\tilde{G}}_2</math> утворює 30-60-90 трикутні фундаментальні області. (Також V<sub>3</sub>)
# <math>{\tilde{I}}_1</math> складається з двох паралельних дзеркал. (= <math>{\tilde{A}}_1</math> = <math>{\tilde{C}}_1</math>) (Also W<sub>2</sub>)

Складові групи можна визначити як ортогональні системи. Найбільш часто використовується<math>{\tilde{A}}_1</math>. Таким чином, наприклад, <math>{\tilde{A}}_1^2</math> {{ДКД|node|infin|node|2|node|infin|node}} представляє квадратні або прямокутні області на евклідовій площині, а <math>{\tilde{A}}_1 {\tilde{G}}_2</math> {{ДКД|node|infin|node|2|node|split1|branch}} представляє фундаментальну область у вигляді [[Трикутна призма|трикутної призми]] в евклідовому тривимірному просторі.

{| class="wikitable"
|+ Афінні групи Коксетера (від 2 до 10 вузлів)
!Ранг
!<math>{\tilde{A}}_{1+}</math> (P<sub>2+</sub>)
!<math>{\tilde{B}}_{3+}</math> (S<sub>4+</sub>)
!<math>{\tilde{C}}_{1+}</math> (R<sub>2+</sub>)
!<math>{\tilde{D}}_{4+}</math> (Q<sub>5+</sub>)
! <math>{\tilde{E}}_n</math> (T<sub>n+1</sub>) / <math>{\tilde{F}}_4</math> (U<sub>5</sub>) / <math>{\tilde{G}}_2</math> (V<sub>3</sub>)
|- align=center valign=top
!2
|<math>{\tilde{A}}_1</math>=[∞]<br/>{{ДКД|node|infin|node}}
|rowspan=2|
|<math>{\tilde{C}}_1</math>=[∞]<br/>{{ДКД|node|infin|node}}
|rowspan=2|
|
|- align=center valign=top
!3
|<math>{\tilde{A}}_{2}</math>=[3<sup>[3]</sup>]<br/>[[:Файл:DynkinA2Affine.svg|*]] {{ДКД|branch|split2|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{2}</math>=[4,4]<br/>[[:Файл:DynkinC2Affine.svg|*]] {{ДКД|node|4|node|4|node}}
|<math>{\tilde{G}}_{2}</math>=[6,3]<br/>[[:Файл:DynkinG2Affine1.svg|*]] {{ДКД|node|6|node|3|node}}
|- align=center valign=top
!4
|<math>{\tilde{A}}_{3}</math>=[3<sup>[4]</sup>]<br/>[[:Файл:DynkinA3Affine.svg|*]] {{ДКД|node|split1|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{3}</math>=[4,3<sup>1,1</sup>]<br/>[[:Файл:DynkinB3Affine.svg|*]] {{ДКД|nodes|split2|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{3}</math>=[4,3,4]<br/>[[:Файл:DynkinC3Affine.svg|*]] {{ДКД|node|4|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{3}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>−1</sup>,3<sup>1,1</sup>]<BR/>{{ДКД|node|split1|nodes|split2|node}} = <math>{\tilde{A}}_{3}</math>
|
|- align=center valign=top
!5
|<math>{\tilde{A}}_{4}</math>=[3<sup>[5]</sup>]<br/>[[:Файл:DynkinA4Affine.svg|*]] {{ДКД|branch|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{4}</math>=[4,3,3<sup>1,1</sup>]<br/>[[:Файл:DynkinB4Affine.svg|*]] {{ДКД|nodes|split2|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{4}</math>=[4,3<sup>2</sup>,4]<br/>[[:Файл:DynkinC4Affine.svg|*]] {{ДКД|node|4|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{4}</math>=[3<sup>1,1,1,1</sup>]<br/>[[:Файл:DynkinD4Affine.svg|*]] {{ДКД|nodes|split2|node|split1|nodes}}
|<math>{\tilde{F}}_{4}</math>=[3,4,3,3]<br/>[[:Файл:DynkinF4Affine.svg|*]] {{ДКД|node|3|node|4|node|3|node|3|node}}
|- align=center valign=top
!6
|<math>{\tilde{A}}_{5}</math>=[3<sup>[6]</sup>] <br/>[[:Файл:DynkinA5Affine1.svg|*]] {{ДКД|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{5}</math>=[4,3<sup>2</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br/>[[:Файл:DynkinB5Affine.svg|*]] {{ДКД|nodes|split2|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{5}</math>=[4,3<sup>3</sup>,4]<br/>[[:Файл:DynkinC5Affine.svg|*]] {{ДКД|node|4|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{5}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>1,1</sup>]<br/>[[:Файл:DynkinD5Affine.svg|*]] {{ДКД|nodes|split2|node|3|node|split1|nodes}}
|
|- align=center valign=top
!7
|<math>{\tilde{A}}_{6}</math>=[3<sup>[7]</sup>]<br/>[[:Файл:AffineA6.svg|*]] {{ДКД|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{6}</math>=[4,3<sup>3</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br/>{{ДКД|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{6}</math>=[4,3<sup>4</sup>,4]<br/>{{ДКД|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{6}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>2</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br/>{{ДКД|nodes|split2|node|3|node|3|node|split1|nodes}}
|<math>{\tilde{E}}_{6}</math>=[3<sup>2,2,2</sup>]<br/>{{ДКД|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node}}
|- align=center valign=top
!8
|<math>{\tilde{A}}_{7}</math>=[3<sup>[8]</sup>]<br/>[[:Файл:AffineA7.svg|*]] {{ДКД|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{7}</math>=[4,3<sup>4</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br/>[[:Файл:AffineB7.svg|*]] {{ДКД|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{7}</math>=[4,3<sup>5</sup>,4]<br/>{{ДКД|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{7}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>3</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br/>[[:Файл:AffineD7.svg|*]] {{ДКД|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|split1|nodes}}
|<math>{\tilde{E}}_{7}</math>=[3<sup>3,3,1</sup>]<br/>[[:Файл:AffineE7.svg|*]] {{ДКД|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|- align=center valign=top
!9
|<math>{\tilde{A}}_{8}</math>=[3<sup>[9]</sup>]<br/>[[:Файл:AffineA8.svg|*]] {{ДКД|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{8}</math>=[4,3<sup>5</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br/>{{ДКД|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{8}</math>=[4,3<sup>6</sup>,4]<br/>{{ДКД|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{8}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>4</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br/>{{ДКД|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|split1|nodes}}
|<math>{\tilde{E}}_{8}</math>=[3<sup>5,2,1</sup>]<br/>[[:Файл:E9-AffineE8.svg|*]] {{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|- align=center valign=top
!10
|<math>{\tilde{A}}_{9}</math>=[3<sup>[10]</sup>]<br/>[[:Файл:AffineA9.svg|*]] {{ДКД|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{9}</math>=[4,3<sup>6</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br/>{{ДКД|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{9}</math>=[4,3<sup>7</sup>,4]<br/>{{ДКД|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{9}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>5</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br/>{{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|split1|nodes}}
|- align=center valign=top
!11
|…
|…
|…
|…
|}

== Гіперболічні групи Коксетера ==
Є нескінченно багато нескінченних гіперболічних [[Група Коксетера|груп Коксетера]]. Гіперболічні групи діляться на компактні й некомпактні, де компактні групи мають обмежені фундаментальні області. Компактні групи гіперболічних симплексів ('''симплекси Ланнера''') існують для рангів від 3 до 5. Паракомпланарні групи симплексів ('''симплекси Козуля''') існують аж до рангу 10. Гіперкомпланарні ('''многогранники Вінберга''') групи досліджувалися, але повністю ще не вивчені. У 2006 Алкок (Allcock) довів, що є нескінченно компактних многогранників Винберга для просторів розмірності аж до 6 і нескінченно багато многогранників Вінберга для розмірностей аж до 19, так що повне перерахування неможливо. Всі ці фундаментальні області відображень, як симплексів, так і не симплексів, часто називають '''[[політоп|політопами Коксетера]]''', або, іноді, що менш точно, '''[[многогранник]]ами Коксетера '''.

=== Гіперболічні групи Коксетера в H<sup>2</sup> ===
{{Further|Однорідні мозаїки на гіперболічній площині}}

{| class="wikitable" style="float:right;"
|+ [[Модель Пуанкаре]] фундаментальної області [[Група трикутника|трикутників]]
|-
!colspan=5|Приклади прямокутних трикутників [p, q]
|- align=center
|[[Файл:H2checkers 237.png|80пкс]]<br/>[3,7]
|[[Файл:H2checkers 238.png|80пкс]]<br/>[3,8]
|[[Файл:Hyperbolic domains 932 black.png|80пкс]]<br/>[3,9]
|[[Файл:H2checkers 23i.png|80пкс]]<br/>[3,∞]
|- align=center
|[[Файл:H2checkers 245.png|80пкс]]<br/>[4,5]
|[[Файл:H2checkers 246.png|80пкс]]<br/>[4,6]
|[[Файл:H2checkers 247.png|80пкс]]<br/>[4,7]
|[[Файл:H2checkers 248.png|80пкс]]<br/>[4,8]
|[[Файл:H2checkers 24i.png|80пкс]]<br/>[∞,4]
|- align=center
|[[Файл:H2checkers 255.png|80пкс]]<br/>[5,5]
|[[Файл:H2checkers 256.png|80пкс]]<br/>[5,6]
|[[Файл:H2checkers 257.png|80пкс]]<br/>[5,7]
|[[Файл:H2checkers 266.png|80пкс]]<br/>[6,6]
|[[Файл:H2checkers 2ii.png|80пкс]]<br/>[∞,∞]
|- align=center
!colspan=5|Приклади трикутників загального виду [(p, q, r)]
|- align=center
|[[Файл:H2checkers 334.png|80пкс]]<br/>[(3,3,4)]
|[[Файл:H2checkers 335.png|80пкс]]<br/>[(3,3,5)]
|[[Файл:H2checkers 336.png|80пкс]]<br/>[(3,3,6)]
|[[Файл:H2checkers 337.png|80пкс]]<br/>[(3,3,7)]
|[[Файл:H2checkers 33i.png|80пкс]]<br/>[(3,3,∞)]
|- align=center
|[[Файл:H2checkers 344.png|80пкс]]<br/>[(3,4,4)]
|[[Файл:H2checkers 366.png|80пкс]]<br/>[(3,6,6)]
|[[Файл:H2checkers 3ii.png|80пкс]]<br/>[(3,∞,∞)]
|[[Файл:H2checkers 666.png|80пкс]]<br/>[(6,6,6)]
|[[Файл:H2checkers iii.png|80пкс]]<br/>[(∞,∞,∞)]
|}
Двовимірні гіперболічні [[Група трикутника|групи трикутників]] це схеми Коксетера рангу 3, визначині трикутником (p q r):
: <math>\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}<1.</math>

Існує нескінченно багато компактних трикутних гіперболічних груп Коксетера, включаючи лінійні і трикутні графи. Лінійні графи існують для прямокутних трикутників (з r = 2).

{| class="wikitable"
|+Компактні гіперболічні групи Коксетера
|-
! valign=top|Лінійні
! valign=top|Циклічні
|-
| valign=top|'''Регулярні гіперболічні мозайки|∞|''' [p, q], {{ДКД|node|p|node|q|node}}: <br/>2(p+q)&lt;pq<br/>
{{ДКД|node|7|node|3|node}}<br/>{{ДКД|node|8|node|3|node}}<br/>{{ДКД|node|9|node|3|node}}<br/>…<br/>{{ДКД|node|5|node|4|node}}<br/>{{ДКД|node|6|node|4|node}}<br/>…<br/>{{ДКД|node|5|node|5|node}}<br/>{{ДКД|node|6|node|5|node}}<br/>…<br/>
| valign=top|∞ [(p, q, r)], {{CDD|pqr}}: p+q+r&gt;9<br/>
{| class=wikitable
|- valign=top
|
{{ДКД|3|node|4|node|3|node|3}}<br/>  {{ДКД|3|node|4|node|4|node|3}}<br/>  {{ДКД|3|node|4|node|4|node|4}}<br/>
|
{{ДКД|3|node|5|node|3|node|3}}<br/> {{ДКД|3|node|5|node|4|node|3}}<br/> {{ДКД|3|node|5|node|4|node|4}}<br/> {{ДКД|3|node|5|node|5|node|3}}<br/> {{ДКД|3|node|5|node|5|node|4}}<br/> {{ДКД|3|node|5|node|5|node|5}}
|
{{ДКД|3|node|6|node|3|node|3}}<br/> {{ДКД|3|node|6|node|4|node|3}}<br/> {{ДКД|3|node|6|node|4|node|4}}<br/> {{ДКД|3|node|6|node|5|node|3}}<br/> {{ДКД|3|node|6|node|5|node|4}}<br/> {{ДКД|3|node|6|node|5|node|5}}<br/> {{ДКД|3|node|6|node|6|node|3}}<br/> {{ДКД|3|node|6|node|6|node|4}}<br/> {{ДКД|3|node|6|node|6|node|5}}<br/> {{ДКД|3|node|6|node|6|node|6}}
|
{{ДКД|3|node|7|node|3|node|3}}<br/> …
|}
|}

Паракомпактні групи Коксетера рангу 3 існують як межі компактних.

{| class=wikitable
|-
!Лінійні графи
!Циклічні графи
|- valign=top
|
* [p,∞] {{ДКД|node|p|node|infin|node}}
* [∞,∞] {{ДКД|node|infin|node|infin|node}}
|
* [(p, q,∞)] {{ДКД|3|node|p|node|q|node|infin|3}}
* [(p,∞,∞)] {{ДКД|3|node|p|node|infin|node|infin|3}}
* [(∞,∞,∞)] {{ДКД|3|node|infin|node|infin|node|infin|3}}
|}Скінченною підмножиною гіперболічних [[Група трикутника|груп трикутників]] є арифметичні групи. Повний список таких груп знайшов за допомогою комп'ютера [[Кісао Такеучі]] (Kisao Takeuchi) й опублікував у статті «Арифметичні групи трикутників» у 1977 році. Таких груп 85, з них 76 компактних і 9 паракомпактних.

{| class=wikitable
|-
!Прямокутні трикутники (p q 2)
!Трикутники загального виду (p q r)
|-
|Компактні групи: (76)
: {{ДКД|node|3|node|7|node}}, {{ДКД|node|3|node|8|node}}, {{ДКД|node|3|node|9|node}}, {{ДКД|node|3|node|10|node}}, {{ДКД|node|3|node|11|node}}, {{ДКД|node|3|node|12|node}}, {{ДКД|node|3|node|14|node}}, {{ДКД|node|3|node|16|node}}, {{ДКД|node|3|node|18|node}}, {{ДКД|node|3|node|2x|4|node}}, {{ДКД|node|3|node|3x|0x|node}}
: {{ДКД|node|4|node|5|node}}, {{ДКД|node|4|node|6|node}}, {{ДКД|node|4|node|7|node}}, {{ДКД|node|4|node|8|node}}, {{ДКД|node|4|node|10|node}}, {{ДКД|node|4|node|12|node}}, {{ДКД|node|4|node|18|node}}
: {{ДКД|node|5|node|5|node}}, {{ДКД|node|5|node|6|node}}, {{ДКД|node|5|node|8|node}}, {{ДКД|node|5|node|10|node}}, {{ДКД|node|5|node|20|node}}, {{ДКД|node|5|node|3x|0x|node}}
: {{ДКД|node|6|node|6|node}}, {{ДКД|node|6|node|8|node}}, {{ДКД|node|6|node|12|node}}, {{ДКД|node|7|node|7|node}}, {{ДКД|node|7|node|14|node}}
: {{ДКД|node|8|node|8|node}}, {{ДКД|node|8|node|16|node}}, {{ДКД|node|9|node|18|node}}, {{ДКД|node|10|node|10|node}}, {{ДКД|node|12|node|12|node}}, {{ДКД|node|12|node|2x|4|node}}, {{ДКД|node|15|node|3x|0x|node}}, {{ДКД|node|18|node|18|node}}
Паракомпактні прямокутні трикутники: (4)
: {{ДКД|node|3|node|infin|node}}, {{ДКД|node|4|node|infin|node}}, {{ДКД|node|6|node|infin|node}}, {{ДКД|node|infin|node|infin|node}}
|Трикутники загального виду: (39)
: {{ДКД|3|node|3|node|3|node|4}}, {{ДКД|3|node|3|node|3|node|5}}, {{ДКД|3|node|3|node|3|node|6}}, {{ДКД|3|node|3|node|3|node|7}}, {{ДКД|3|node|3|node|3|node|8}}, {{ДКД|3|node|3|node|3|node|9}}, {{ДКД|3|node|3|node|3|node|12}}, {{ДКД|3|node|3|node|3|node|15}}
: {{ДКД|3|node|3|node|4|node|4}}, {{ДКД|3|node|3|node|4|node|6}}, {{ДКД|3|node|3|node|4|node|12}}, {{ДКД|3|node|3|node|5|node|5}}, {{ДКД|3|node|3|node|6|node|6}}, {{ДКД|3|node|3|node|6|node|18}}, {{ДКД|3|node|3|node|8|node|8}}, {{ДКД|3|node|3|node|8|node|2x|4}}, {{ДКД|3|node|3|node|10|node|3x|0x}}, {{ДКД|3|node|3|node|12|node|12}}
: {{ДКД|3|node|4|node|4|node|4}}, {{ДКД|3|node|4|node|4|node|5}}, {{ДКД|3|node|4|node|4|node|6}}, {{ДКД|3|node|4|node|4|node|9}}, {{ДКД|3|node|4|node|5|node|5}}, {{ДКД|3|node|4|node|6|node|6}}, {{ДКД|3|node|4|node|8|node|8}}, {{ДКД|3|node|4|node|16|node|16}}
: {{ДКД|3|node|5|node|5|node|5}}, {{ДКД|3|node|5|node|5|node|10}}, {{ДКД|3|node|5|node|5|node|15}}, {{ДКД|3|node|5|node|10|node|10}}
: {{ДКД|3|node|6|node|6|node|6}}, {{ДКД|3|node|6|node|12|node|12}}, {{ДКД|3|node|6|node|2x|4|node|2x|4}}, {{ДКД|3|node|7|node|7|node|7}}, {{ДКД|3|node|8|node|8|node|8}}, {{ДКД|3|node|9|node|9|node|9}}, {{ДКД|3|node|9|node|18|node|18}}, {{ДКД|3|node|12|node|12|node|12}}, {{ДКД|3|node|15|node|15|node|15}}
Паракомпактні трикутники загального виду: (5)
: {{ДКД|3|node|3|node|3|node|infin}}, {{ДКД|3|node|3|node|infin|node|infin}}, {{ДКД|3|node|4|node|4|node|infin}}, {{ДКД|3|node|6|node|6|node|infin}}, {{ДКД|3|node|infin|node|infin|node|infin}}
|-
|
: (2 3 7), (2 3 8), (2 3 9), (2 3 10), (2 3 11), (2 3 12), (2 3 14), (2 3 16), (2 3 18), (2 3 24), (2 3 30): (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7), (2 4 8), (2 4 10), (2 4 12), (2 4 18),
: (2 5 5), (2 5 6), (2 5 8), (2 5 10), (2 5 20), (2 5 30): (2 6 6), (2 6 8), (2 6 12): (2 7 7), (2 7 14), (2 8 8), (2 8 16), (2 9 18): (2 10 10) (2 12 12) (2 12 24), (2 15 30), (2 18 18): (2 3 ∞) (2,4 ∞) (2,6 ∞) (2 ∞ ∞)
|
: (3 3 4), (3 3 5), (3 3 6), (3 3 7), (3 3 8), (3 3 9), (3 3 12), (3 3 15): (3 4 4), (3 4 6), (3 4 12), (3 5 5), (3 6 6), (3 6 18), (3 8 8), (3 8 24), (3 10 30), (3 12 12): (4 4 4), (4 4 5), (4 4 6), (4 4 9), (4 5 5), (4 6 6), (4 8 8), (4 16 16): (5 5 5), (5 5 10), (5 5 15), (5 10 10): (6 6 6), (6 12 12), (6 24 24): (7 7 7) (8 8 8) (9 9 9) (9 18 18) (12 12 12) (15 15 15): (3,3 ∞) (3 ∞ ∞): (4,4 ∞) (6 6 ∞) (∞ ∞ ∞)
|}

==== Гіперболічні многогранники Коксетера над трикутниками ====
{| class="wikitable"
|+ Фундаментальна область груп чотирикутників
|- align=center valign=top
|[[Файл:Hyperbolic domains 3222.png|100px]]<br/>{{ДКД|node|infin|node|3|node|infin|node}} or {{ДКД|branch|2a2b-cross|nodes}}<br/>[∞,3,∞]<BR/>[iπ/λ<sub>1</sub>,3,iπ/λ<sub>2</sub>]<br/>(*3222)
|[[Файл:Hyperbolic domains 2233.png|100px]]<br/>{{ДКД|labelinfin|branch|split2|node|infin|node}} or {{ДКД|branch|3a2b-cross|nodes}}<br/>[((3,∞,3)),∞]<br/>[((3,iπ/λ<sub>1</sub>,3)), iπ/λ<sub>2</sub>]<br/>(*3322)
|[[Файл:H2chess 246a.png|100px]]<br/>{{ДКД|labelinfin|branch|3ab|branch|labelinfin}} or {{ДКД|branch|2a2b-cross|branch}}<br/>[(3,∞)<sup>[2]</sup>]<br/>[(3,iπ/λ<sub>1</sub>,3,iπ/λ<sub>2</sub>)]<br/>(*3232)
|[[Файл:H2chess 248a.png|100px]]<br/>{{ДКД|labelinfin|branch|4a4b|branch|labelinfin}} or {{ДКД|label4|branch|2a2b-cross|branch|label4}}<br/>[(4,∞)<sup>[2]</sup>]<br/>[(4,iπ/λ<sub>1</sub>,4,iπ/λ<sub>2</sub>)]<br/>(*4242)
|[[Файл:H2chess 246b.png|100px]]<br/>{{ДКД|branch|3a3b-cross|branch}}<br/><br/><br/>(*3333)
|- align=center
!colspan=4|Області з ідеальними вершинами
|- align=center valign=top
|[[Файл:Hyperbolic domains i222.png|100px]]<br/>{{ДКД|labelinfin|branch|2a2b-cross|nodes}}<br/>[iπ/λ<sub>1</sub>,∞,iπ/λ<sub>2</sub>]<br/>(*∞222)
|[[Файл:Hyperbolic domains ii22.png|100px]]<br/>{{ДКД|labelinfin|branch|ia2b-cross|nodes}}<br/><br/>(*∞∞22)
|[[Файл:H2chess 24ia.png|100px]]<br/>{{ДКД|labelinfin|branch|2a2b-cross|branch|labelinfin}}<br/>[(iπ/λ<sub>1</sub>,∞,iπ/λ<sub>2</sub>,∞)]<br/>(*2∞2∞)
|[[Файл:H2chess 24ib.png|100px]]<br/>{{ДКД|labelinfin|branch|iaib-cross|branch|labelinfin}}<br/><br/>(*∞∞∞∞)
|[[Файл:H2chess 248b.png|100px]]<br/>{{ДКД|label4|branch|4a4b-cross|branch|label4}}<br/><br/>(*4444)
|}
Інші H<sup>2</sup> гіперболічні калейдоскопи можна побудувати з багатокутників більшого порядку. Подібно [[Група трикутника|групам трикутників]] ці калейдоскопи можна ідентифікувати циклічною послідовністю порядків перетинів дзеркал навколо фундаментальної області, як (a b c d …), або, еквівалентно, (згідно нотації орбіфолдів) як *''abcd''…. Діаграми Коксетера&nbsp;— Динкіна для цих багатокутних калейдоскопів можна розглядати як фундаментальну область з виродженим <math>(n-1)</math>-вимірним [[симплекс]]ом з циклічним порядком гілок a, b, c …, а  <math>n\cdot(n-3)/2</math> гілки, що залишилися, позначають як нескінченні (∞) і уявляють непересічні дзеркала. Єдиним негіперболічним прикладом є симетрія чотирьох дзеркал (в евклідовому просторі) [[Квадратний паркет|квадрата]] або прямокутника, {{ДКД|node|infin|node|2|node|infin|node}}, [∞,2,∞] (орбіфолд *2222). Інше уявлення гілок непересічних дзеркал, запропоноване [[Вінберг, Ернест Борисович|Вінбергом]], показує нескінченні гілки точковими або пунктирними лініями, так що діаграми виглядають як {{ДКД|nodes|2a2b-cross|nodes}} з передбачуваними чотирма гілками близько 2 навколо периметра.

Наприклад, чотирикутна область (a b c d) буде мати дві гілки нескінченного порядку, що з'єднують ультрапаралельні дзеркала. Найменший гіперболічний приклад&nbsp;— це {{ДКД|node|infin|node|3|node|infin|node}}, [∞,3,∞] або [iπ/λ<sub>1</sub>,3,iπ/λ<sub>2</sub>] (орбіфолд *3222), де (λ<sub>1</sub>,λ<sub>2</sub>) це відстань між ультрапаралельними дзеркалами. Альтернативним виразом є {{ДКД|branch|2a2b-cross|nodes}}, з трьома гілками стенінью 2, передбачуваними навколо периметра. Подібним же чином (2 3 2 3) (орбіфолд * 3232) можна уявити як{{ДКД|branch|2a2b-cross|branch}} і (3 3 3 3), (орбіфолд * 3333) можна уявити як повний граф {{ДКД|branch|3a3b-cross|branch}}.

Найвищою квадратною областю (∞ ∞ ∞ ∞) є нескінченний квадрат, представлений повним [[тетраедр]]ичним графом з 4 гілками по периметру як ідеальні вершини, і двома діагональними гілками як нескінченність (показано точковими лініями) для ультрапаралельних дзеркал:{{ДКД|labelinfin|branch|iaib-cross|branch|labelinfin}}.

=== Компакт (групи симплексів Ланнера) ===
Компактні гіперболічні групи називаються групами Ланнера, на ім'я [[Фольке Ланнер|Фольке Ланнера]], який вивчав їх в 1950. Групи існують тільки для графів рангу 4 і 5. Коксетер вивчав лінійні гіперболічні групи (свого імені) в статті 1954-го року ''Regular Honeycombs in hyperbolic space'' (Регулярні стільники в гіперболічному просторі), в якій наведено два раціональних рішення в 4-вимірному гіперболічному просторі: [5/2,5,3,3] = {{ДКД|node|5|rat|2x|node|5|node|3|node|3|node}} і [5,5/2,5,3] = {{ДКД|node|5|node|5|rat|2x|node|5|node|3|node}}.

==== {{anchor|Ранги  4–5}} Ранги 4-5 ====
{{Further|Однорідні стільники в гіперболічному просторі}}
Фундаментальна область будь-якої з двох груп, що розщеплюються [5,3<sup>1,1</sup>] і [5,3,3<sup>1,1</sup>] є подвоєнням відповідної лінійної групи, [5,3,4] та [5,3,3,4] відповідно. Літерні імена груп дані Джонсоном як розширення символів Вітта.

{| class="wikitable"
|+ Компактні гіперболічні групи Коксетера
|-
! valign=top|Розмірність<br/>'''H<sup>d</sup>'''
! valign=top|Ранг
! valign=top|Загальне число
! valign=top|Лінійні
! valign=top|Розщіплювані
! valign=top|Циклічні
|-
!'''H<sup>3</sup>'''
!4
!9
| valign=top align=right|<center>'''Список правильних многогранників'''</center>
<math>{\bar{BH}}_3</math> = [4,3,5]: {{ДКД|node|4|node|3|node|5|node}}<br/><math>{\bar{K}}_3</math> = [5,3,5]: {{ДКД|node|5|node|3|node|5|node}}<br/><math>{\bar{J}}_3</math> = [3,5,3]: {{ДКД|node|3|node|5|node|3|node}}
| valign=top align=right|
<math>{\bar{DH}}_3</math> = [5,3<sup>1,1</sup>]: {{ДКД|node|5|node|split1|nodes}}
| valign=top align=right|
<math>{\widehat{AB}}_3</math> = [(3<sup>3</sup>,4)]: {{ДКД|label4|branch|3ab|branch}} <br/><math>{\widehat{AH}}_3</math> = [(3<sup>3</sup>,5)]: {{ДКД|label5|branch|3ab|branch}} <br/><math>{\widehat{BB}}_3</math> = [(3,4)<sup>[2]</sup>]: {{ДКД|label4|branch|3ab|branch|label4}}<br/><math>{\widehat{BH}}_3</math> = [(3,4,3,5)]: {{ДКД|label4|branch|3ab|branch|label5}}<br/><math>{\widehat{HH}}_3</math> = [(3,5)<sup>[2]</sup>]: {{ДКД|label5|branch|3ab|branch|label5}}
|-
!'''H<sup>4</sup>'''
!5
!5
| valign=top align=right|<center>'''5-комірковий стільник степеня 5'''</center>
<math>{\bar{H}}_4</math> = [3<sup>3</sup>,5]: {{ДКД|node|3|node|3|node|3|node|5|node}}<br/><math>{\bar{BH}}_4</math> = [4,3,3,5]: {{ДКД|node|4|node|3|node|3|node|5|node}}<br/><math>{\bar{K}}_4</math> = [5,3,3,5]: {{ДКД|node|5|node|3|node|3|node|5|node}}
| valign=top align=right|
<math>{\bar{DH}}_4</math> = [5,3,3<sup>1,1</sup>]: {{ДКД|node|5|node|3|node|split1|nodes}}
| valign=top align=right|
<math>{\widehat{AF}}_4</math> = [(3<sup>4</sup>,4)]: {{ДКД|label4|branch|3ab|nodes|split2|node}}
|}

=== Паракомпакт (групи симплексів Козуля) ===
[[Файл:Hyperbolic apeirogon example.png|thumb|Приклад нескінченнокутової мозаїки 3-го порядку, {∞,3} з одним зеленим нескінченнокутником і його описаним орициклом]]

Паракомпактні гіперболічні групи Коксетера містять афінні підгрупи і мають симплексні в асимптотиці фундаментальні області. Найвищі паракомпактні гіперболічні групи Коксетера мають ранг 10. Ці групи названі ім'ям французького математика [[Козуля, Жан-Луїс|Жана-Луїса Козуля]]. Вони ж називаються квазіланеровськими групами як розширення компактних груп Ланнера. Повний список груп було знайдено Чейном (M. Chein) за допомогою комп'ютера і опублікований в 1969-му.

Згідно Вінберга, всі, крім восьми, з цих 72 компактних і паракомпактних груп є арифметичними. Дві неарифметичні групи компактні -{{ДКД|label4|branch|3ab|branch|label5}} і {{ДКД|label4|branch|3ab|nodes|split2|node}}. Інші шість неарифметичні групи паракомпактні, з них п'ять груп є 3-вимірними ({{ДКД|node|5|node|3|node|6|node}}, {{ДКД|node|5|node|split1|branch}}, {{ДКД|node|3|node|3|node|6|node}}, {{ДКД|label4|branch|3ab|branch|label6}} і {{ДКД|label5|branch|3ab|branch|label6}}), а одна 5-вимірна ({{ДКД|label4|branch|3ab|nodes|3ab|branch}}).

==== Ідеальні симплекси ====
[[Файл:H2checkers iii.png|thumb|200px|Ідеальні фундаментальні області {{ДКД|labelinfin|branch|split2-ii|node}}, [(∞,∞,∞)] в [[Модель Пуанкаре|моделі Пуанкаре]]]]
Є 5 гіперболічних груп Коксетера, що утворюють '''ідеальні симплекси''', які мають графи, видалення будь-якої однієї вершини призводить до утворення афінної групи Коксетера. В цьому випадку всі вершини цих ідеальних симплексів знаходяться на нескінченності.
{| class=wikitable
|-
!Ранг
!colspan=2|Ідеальна група
!colspan=2|Афічні підгрупи
|- align=center
!3
| [(∞,∞,∞)]||{{ДКД|labelinfin|branch|split2-ii|node}}
|[∞]||{{ДКД|node|infin|node}}
|- align=center
!4
| [4<sup>[4]</sup>]||{{ДКД|label4|branch|4-4|branch|label4}}
|[4,4]||{{ДКД|node|4|node|4|node}}
|- align=center
!4
| [3<sup>[3,3]</sup>]||{{ДКД|tet}}
| [3<sup>[3]</sup>]||{{ДКД|node|split1|branch}}
|- align=center
!4
| [(3,6)<sup>[2]</sup>]||{{ДКД|label6|branch|3ab|branch|label6}}
|[3,6]||{{ДКД|node|3|node|6|node}}
|- align=center
!6
| [(3,3,4)<sup>[2]</sup>]||{{ДКД|label4|branch|3ab|nodes|3ab|branch|label4}}
|[4,3,3,4], [3,4,3,3]||{{ДКД|node|4|node|3|node|3|node|4|node}}, {{ДКД|node|3|node|4|node|3|node|3|node}}
|}

==== {{anchor| Ранги  4 - 10}} Ранги 4-10 ====
[[Файл:633 honeycomb one cell horosphere.png|thumb|Нескінченні евклідові комірки на зразок [[Шестикутний паркет|шестикутного паркету]] під час правильного масштабування сходяться до однієї ідеальної точки в нескінченності.]]
{{Further|Паракомпактний однорідний стільник}}
Існує 58 паракомпактних гіперболічних груп Коксетера рангами від 4 до 10. Всі 58 груп згруповані в п'ять категорій. Буквені позначення групам дав {{нп|Норман Джонсон|Джонсон||Norman Johnson (mathematician)}} як ''розширені символи Вітта'', для чого він використовував букви PQRSTWUV з афінних символів Вітта і додав букви LMNOXYZ. Над буквами позначень гіперболічних груп присутні надкреслення, або кришечки (для циклічних схем). [[Нотація Коксетера|Дужкова нотація]] Коксетера це лінеаризоване уявлення групи Коксетера.

{| class=wikitable
|+ Гіперболічні паракомпактні групи
|- align=center
!Ранг
!Повне<br/>число
!colspan=4|Групи
|- align=center
!4
!23
|align=right|
<math>{\widehat{BR}}_3</math> = [(3,3,4,4)]: {{ДКД|label4|branch|4-3|branch|2}}<br/><math>{\widehat{CR}}_3</math> = [(3,4<sup>3</sup>)]: {{ДКД|label4|branch|4-3|branch|label4}}<br/><math>{\widehat{RR}}_3</math> = [4<sup>[4]</sup>]: {{ДКД|label4|branch|4-4|branch|label4}}<br/><math>{\widehat{AV}}_3</math> = [(3<sup>3</sup>,6)]: {{ДКД|label6|branch|3ab|branch|2}}<br/><math>{\widehat{BV}}_3</math> = [(3,4,3,6)]: {{ДКД|label6|branch|3ab|branch|label4}}<br/><math>{\widehat{HV}}_3</math> = [(3,5,3,6)]: {{ДКД|label6|branch|3ab|branch|label5}}<br/><math>{\widehat{VV}}_3</math> = [(3,6)<sup>[2]</sup>]: {{ДКД|label6|branch|3ab|branch|label6}}
|align=right|
<math>{\bar{P}}_3</math> = [3,3<sup>[3]</sup>]: {{ДКД|branch|split2|node|3|node}}<br/><math>{\bar{BP}}_3</math> = [4,3<sup>[3]</sup>]: {{ДКД|branch|split2|node|4|node}}<br/><math>{\bar{HP}}_3</math> = [5,3<sup>[3]</sup>]: {{ДКД|branch|split2|node|5|node}}<br/><math>{\bar{VP}}_3</math> = [6,3<sup>[3]</sup>]: {{ДКД|branch|split2|node|6|node}}<br/><math>{\bar{DV}}_3</math> = [6,3<sup>1,1</sup>]: {{ДКД|nodes|split2|node|6|node}}<br/><math>{\bar{O}}_3</math> = [3,4<sup>1,1</sup>]: {{ДКД|nodes|split2-44|node|3|node}}<br/><math>{\bar{M}}_3</math> = [4<sup>1,1,1</sup>]: {{ДКД|nodes|split2-44|node|4|node}}
|align=right|
<math>{\bar{R}}_3</math> = [3,4,4]: {{ДКД|node|4|node|4|node|3|node}}<br/><math>{\bar{N}}_3</math> = [4<sup>3</sup>]: {{ДКД|node|4|node|4|node|4|node}}<br/><math>{\bar{V}}_3</math> = [3,3,6]: {{ДКД|node|3|node|3|node|6|node}}<br/><math>{\bar{BV}}_3</math> = [4,3,6]: {{ДКД|node|4|node|3|node|6|node}}<br/><math>{\bar{HV}}_3</math> = [5,3,6]: {{ДКД|node|5|node|3|node|6|node}}<br/><math>{\bar{Y}}_3</math> = [3,6,3]: {{ДКД|node|3|node|6|node|3|node}}<br/><math>{\bar{Z}}_3</math> = [6,3,6]: {{ДКД|node|6|node|3|node|6|node}}
|align=right|
<math>{\bar{DP}}_3</math> = [3<sup>[]x[]</sup>]: {{ДКД|node|split1|branch|split2|node}}<BR/><math>{\bar{PP}}_3</math> = [3<sup>[3,3]</sup>]: {{ДКД|tet}}
|- align=center
!5
!9
|align=right|
<math>{\bar{P}}_4</math> = [3,3<sup>[4]</sup>]: {{ДКД|node|split1|nodes|split2|node|3|node}}

<math>{\bar{BP}}_4</math> = [4,3<sup>[4]</sup>]: {{ДКД|node|split1|nodes|split2|node|4|node}}<br/><math>{\widehat{FR}}_4</math> = [(3<sup>2</sup>,4,3,4)]: {{ДКД|branch|4-4|nodes|split2|node}}<br/><math>{\bar{DP}}_4</math> = [3<sup>[3]x[]</sup>]: {{ДКД|node|split1|branchbranch|split2|node}}
|align=right|
<math>{\bar{N}}_4</math> = [4,3,((4,2,3))]: {{ДКД|nodes|split2-43|node|3|node|4|node}}<br/><math>{\bar{O}}_4</math> = [3,4,3<sup>1,1</sup>]: {{ДКД|nodes|split2|node|4|node|3|node}}<br/><math>{\bar{S}}_4</math> = [4,3<sup>2,1</sup>]: {{ДКД|nodes|split2-43|node|3|node|3|node}}
|align=right|
<math>{\bar{R}}_4</math> = [(3,4)<sup>2</sup>]: {{ДКД|node|4|node|3|node|4|node|3|node}}
|align=right|<math>{\bar{M}}_4</math> = [4,3<sup>1,1,1</sup>]: {{ДКД|node|branch3|splitsplit2|node|4|node}}
|- align=center
!6
!12
|align=right|
<math>{\bar{P}}_5</math> = [3,3<sup>[5]</sup>]: {{ДКД|branch|3ab|nodes|split2|node|3|node}}<br/><math>{\widehat{AU}}_5</math> = [(3<sup>5</sup>,4)]: {{ДКД|label4|branch|3ab|nodes|3ab|branch}}

<math>{\widehat{AR}}_5</math> = [(3,3,4)<sup>[2]</sup>]: {{ДКД|label4|branch|3ab|nodes|3ab|branch|label4}}
|align=right|
<math>{\bar{S}}_5</math> = [4,3,3<sup>2,1</sup>]: {{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|4a|nodea}}<br/><math>{\bar{O}}_5</math> = [3,4,3<sup>1,1</sup>]: {{ДКД|nodes|split2|node|3|node|4|node|3|node}}<br/><math>{\bar{N}}_5</math> = [3,(3,4)<sup>1,1</sup>]: {{ДКД|node|3|node|split1|nodes|4a4b|nodes}}
|align=right|
<math>{\bar{U}}_5</math> = [3<sup>3</sup>,4,3]: {{ДКД|node|3|node|3|node|3|node|4|node|3|node}}<br/><math>{\bar{X}}_5</math> = [3,3,4,3,3]: {{ДКД|node|3|node|3|node|4|node|3|node|3|node}}<br/><math>{\bar{R}}_5</math> = [3,4,3,3,4]: {{ДКД|node|3|node|4|node|3|node|3|node|4|node}}
|align=right|<math>{\bar{Q}}_5</math> = [3<sup>2,1,1,1</sup>]: {{ДКД|node|branch3|splitsplit2|node|3|node|3|node}}<br/>
<math>{\bar{M}}_5</math> = [4,3,3<sup>1,1,1</sup>]: {{ДКД|node|branch3|splitsplit2|node|3|node|4|node}}<br/><math>{\bar{L}}_5</math> = [3<sup>1,1,1,1,1</sup>]: {{ДКД|node|branch3|splitsplit2|node|split1|nodes}}
|- align=center
!7
!3
|align=right|
<math>{\bar{P}}_6</math> = [3,3<sup>[6]</sup>]:<br/>{{ДКД|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|align=right|<math>{\bar{Q}}_6</math> = [3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>2,1</sup>]:<br/>{{ДКД|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|<math>{\bar{S}}_6</math> = [4,3<sup>2</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}
|
|- align=center
!8
!4
|align=right|<math>{\bar{P}}_7</math> = [3,3<sup>[7]</sup>]:<br/>{{ДКД|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|align=right|<math>{\bar{Q}}_7</math> = [3<sup>1,1</sup>,3<sup>2</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br/> {{ДКД|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|<math>{\bar{S}}_7</math> = [4,3<sup>3</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br/> {{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}
|align=right|<math>{\bar{T}}_7</math> = [3<sup>3,2,2</sup>]:<br/>{{ДКД|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node}}
|- align=center
!9
!4
|align=right|<math>{\bar{P}}_8</math> = [3,3<sup>[8]</sup>]:<br/>{{ДКД|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|align=right|<math>{\bar{Q}}_8</math> = [3<sup>1,1</sup>,3<sup>3</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br/>{{ДКД|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|<math>{\bar{S}}_8</math> = [4,3<sup>4</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}
|align=right|<math>{\bar{T}}_8</math> = [3<sup>4,3,1</sup>]:<br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|- align=center
!10
!3
|
|align=right|<math>{\bar{Q}}_9</math> = [3<sup>1,1</sup>,3<sup>4</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br/>{{ДКД|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|<math>{\bar{S}}_9</math> = [4,3<sup>5</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}
|align=right|<math>{\bar{T}}_9</math> = [3<sup>6,2,1</sup>]:<br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|}

===== Зв'язки підгруп паракомпактних гіперболічних груп =====
Наведені нижче графи представляють зв'язку підгруп паракомпактних гіперболічних груп. Індекс підгрупи в кожному ребрі заданий червоним кольором. Підгрупи з індексом 2 означають видалення дзеркала й подвоєння фундаментального домену. Інші підгрупи — [[Порівнянні величини|сумірні]] (відношення обсягів ціле число).

{| class=wikitable
|-
!H<sup>3</sup>
|[[Файл:Hyperbolic subgroup tree 36.png|320пкс]]
|[[Файл:Hyperbolic subgroup tree 336-direct.png|160пкс]]
|[[Файл:Hyperbolic subgroup tree 363.png|160пкс]]
|[[Файл:Hyperbolic subgroup tree 344.png|210пкс]]
|-
!H<sup>4</sup>
|[[Файл:Hyperbolic subgroup tree 3434.png|320пкс]]
|-
!H<sup>5</sup>
|[[Файл:Hyperbolic subgroup tree 33343.png|320пкс]]
|}

=== Суперкомпактні групи Коксетера (політопа Вінберга) ===
Як і для випадку гіперболічної площині H<sup>2</sup>, що має нетрикутні багатокутні фундаментальні області, в більш високих ступенях існують області, які не є симплекс. Ці області можна вважати виродженими симплексами з непересічними дзеркалами, що дають нескінченний порядок. 

На схемах Коксетера такі гілки зображаються точковими або пунктирними лініями. Такі області, ''не є симплексами'', називають '''політопом Вінберга''' на честь [[Вінберг Ернест Борисович|Ернеста Вінберга]], який розробив [[Алгоритм Вінберга|алгоритм]] для пошуку несимплексної фундаментальної області гіперболічної групи відображень. Геометрично ці фундаментальні області можна класифікувати як чотирикутні [[Піраміда (геометрія)|піраміди]] або [[Призма (геометрія)|призми]], або інші [[многогранник]]и з усіма ребрами, що мають на них [[Двогранний кут|двогранні кути]] π/n для n=2,3,4…

У симплексних областях є ''n''+1 дзеркал для n-вимірного простору. У несимплексних областях є більш ніж ''n''+1 дзеркал. Список скінченний, але повністю ще не відомий. Є часткові списки з ''n''+''k'' дзеркалами для k, рівних 2,3 і 4.

Гіперкомпактні групи Коксетера в тривимірному просторі і вище відрізняються від двовимірних груп в одному відношенні. На площині два гіперболічних n-кутника, мають ті ж самі кути в деякому циклічному порядку, можуть мати різні довжини ребер, і, в загальному випадку, що не [[Конгруентність (геометрія)|конгруентний]]. ''Політоп Вінберга'' в 3-вимірному просторі і вище повністю визначаються двогранними кутами. Цей факт базується на [[Жорсткість Мостова|теоремі жорсткості Мостова]], яка стверджує, що дві ізоморфні групи, утворені відображеннями в H<sup>n</sup> для n>=3, визначають неконгруентні фундаментальні області (політоп Вінберга).

* Повний список політопа Вінберга з рангом дзеркал ''n + 2'' для n-вимірних просторів було видано Ессельманом (F. Esselmann) в 1996.
* Повний список паракомпактних рішень опублікував П.&nbsp;В.&nbsp;Тумаркин в 2003 для розмірностей від 3 до 17.

Найменший паракомпакт вH<sup>3</sup> можна уявити як {{ДКД|node|ultra|node|3|node|3|node|ultra|node}} або [∞,3,3,∞], і він може бути побудований шляхом видалення дзеркала з паракомпактної гіперболічної групи [3,4,4]. Подвоєна фундаментальна область перетворюється з [[тетраедр]]а в чотирикутну піраміду. Інші піраміди включають [4,4,1<sup>+</sup>,4] = [∞,4,4,∞], {{ДКД|node|4|node|4|node_h0|4|node}} = {{ДКД|node|ultra|node|4|node|4|node|ultra|node}}. Видалення дзеркала з деяких циклічних гіперболічних графів Коксетера перетворює їх в [[Метелик (теорія графів)|краватки-метелики]]: [(3,3,4,1<sup>+</sup>,4)] = [((3,∞,3)), ((3,∞,3))] або {{ДКД|branchu|split2|node|split1|branchu}}, [(3,4,4,1<sup>+</sup>,4)] = [((4,∞,3)), ((3,∞,4))] або {{ДКД|branchu|split2-43|node|split1-43|branchu}}, [(4,4,4,1<sup>+</sup>,4)] = [((4,∞,4)), ((4,∞,4))] або {{ДКД|branchu|split2-44|node|split1-44|branchu}}.

Інші паракомпактні графи з фундаментальними областями у вигляді чотирикутних пірамід включають:
{| class=wikitable
|-
!Розмырнысть
!Ранг
!Графи
|-
!H<sup>3</sup>
!5
|
: {{ДКД|node|ultra|node|3|node|3|node|ultra|node}}, {{ДКД|node|ultra|node|3|node|4|node|ultra|node}}, {{ДКД|node|ultra|node|4|node|4|node|ultra|node}}, {{ДКД|node|ultra|node|3|node|5|node|ultra|node}}, {{ДКД|node|ultra|node|3|node|6|node|ultra|node}}
: {{ДКД|branchu|split2|node|3|node|ultra|node}}, {{ДКД|branchu|split2|node|4|node|ultra|node}}, {{ДКД|branchu|split2-43|node|3|node|ultra|node}}, {{ДКД|branchu|split2-43|node|4|node|ultra|node}}, {{ДКД|branchu|split2-44|node|3|node|ultra|node}}, {{ДКД|branchu|split2-44|node|4|node|ultra|node}}
: {{ДКД|branchu|split2-53|node|3|node|ultra|node}}, {{ДКД|branchu|split2-54|node|3|node|ultra|node}}, {{ДКД|branchu|split2-55|node|3|node|ultra|node}}, {{ДКД|branchu|split2-63|node|3|node|ultra|node}}, {{ДКД|branchu|split2-64|node|3|node|ultra|node}}, {{ДКД|branchu|split2-65|node|3|node|ultra|node}}, {{ДКД|branchu|split2-66|node|3|node|ultra|node}}
: {{ДКД|branchu|split2|node|split1|branchu}}, {{ДКД|branchu|split2-43|node|split1|branchu}}, {{ДКД|branchu|split2-53|node|split1|branchu}}, {{ДКД|branchu|split2-44|node|split1|branchu}}, {{ДКД|branchu|split2-43|node|split1-43|branchu}}, {{ДКД|branchu|split2-44|node|split1-43|branchu}}, {{ДКД|branchu|split2-44|node|split1-44|branchu}}, {{ДКД|branchu|split2-54|node|split1|branchu}}, {{ДКД|branchu|split2-55|node|split1|branchu}}, {{ДКД|branchu|split2-63|node|split1|branchu}}, {{ДКД|branchu|split2-64|node|split1|branchu}}, {{ДКД|branchu|split2-65|node|split1|branchu}}, {{ДКД|branchu|split2-66|node|split1|branchu}}
|}

Ще одна підгрупа [1<sup>+</sup>,4<sup>1,1,1</sup>] = [∞,4,1<sup>+</sup>,4,∞] = [∞<sup>[6]</sup>]. {{ДКД|node|4|node_h0|split1-44|nodes}} = {{ДКД|node|ultra|node|4|node_h0|4|node|ultra|node}} = {{ДКД|node|split1-uu|nodes|2a2b-cross|nodes|split2-uu|node}}.

==== Політоп Вінберга рангу n + 3 для n-вимірного простору ====
Є скінченне число вироджених фундаментальних областей в просторах до 8 розмірностей. Повний список компактних політопів Вінберга з рангом дзеркал ''n + 3'' для n-вимірних просторів дав П.&nbsp;В.&nbsp;Тумаркін в 2004. Ці групи позначені точковими/пунктирними лініями для ультрапаралельних гілок.

Для розмірностей від 4 до 8, число груп Коксетера рангу від 7 до 11 дорівнює 44, 16, 3, 1 і 1 відповідно. Група з великим рангом була відкрита [[Бугаєнко Григорій Олексійович|Бугаєнко]] в 1984 в просторі розмірності 8, і вона має ранг 11:
{| class=wikitable
|-
!Dimensions
!Rank
!Cases
!colspan=3|Graphs
|-
!H<sup>4</sup>
!7
||44||colspan=3|…
|-
!H<sup>5</sup>
!8
||16||colspan=3|..
|-
!H<sup>6</sup>
!9
|3
|{{ДКД|node|5|node|split1-43|nodes|ua3b|nodes u0|ua3b|nodes|split2-43|node|5|node}}
|{{ДКД|node|5|node|3|node|3|node|split1|nodes|3aub|branch|3a|10a|nodea}}
|{{ДКД|nodea|5a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3aub|nodes|splitcross|branch|label5}}
|-
!H<sup>7</sup>
!10
|1
|colspan=3|{{ДКД|node|split1-53|nodes|3ab|branch|ua3b|branch|3ab|nodes|split2-53|node}}
|-
!H<sup>8</sup>
!11
|1
|colspan=3|{{ДКД|nodea|5a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3aub|nodes 0u|3aub|branch|3a|nodea|3a|nodea|5a|nodea}}
|}

==== Політоп Вінберга рангу n + 4 для n-вимірного простору ====
Існує за скінченним числом вироджених фундаментальних симплексів в розмірностях аж до восьмої. Компактні політопи Вінберга з рангом дзеркал ''n + 4'' для розмірності n досліджували Анна Феліксон і Павло Тумаркін в 2005.

== Групи Лоренца ==
{| class=wikitable align=right width=240
|+ Правильні стільники з групами Лоренца
|- valign=top
|[[Файл:H3_337_UHS_plane_at_infinity.png|120пкс]]<BR/>Тетраедричний стільник 7-го порядку {3,3,7} в гіперболічному 3-вимірному просторі. Представлений як перетин стільника з площиною на нескінченності в [[Модель півпростору Пуанкаре|моделі півпростору Пуанкаре]].
|[[Файл:Heptagonal tiling honeycomb.png|120пкс]]<BR/>Семикутний мозаїчний стільник {7,3,3}, представлений поза моделлю кулі Пуанкаре.
|}
[[Файл:6333 coxeter diagrams.png|thumb|Малюнок показує групи Лоренца рангу 5, впорядковані як підгрупи [6,3,3,3] і [6,3,6,3]. Високосиметрична група {{ДКД|pent}}, [3<sup>[3,3,3]</sup>] є підгрупою групи [6,3,3,3] з індексом 120.]]
Групи Лоренца є групами [[Перетворення Лоренца|перетворень Лоренца]] [[Простір Мінковського|простору Мінковського]]. Вони мають зв'язок з [[псевдоріманів многовид|геометрією Лоренца]], названої ім'ям [[Гендрік Антон Лоренц|Хендріка Лоренца]], яка застосовується в [[Спеціальна теорія відносності|спеціальній теорії відносності]], і з поняттям простору-часу в [[Загальна теорія відносності|загальній теорії відносності]], що містить ''часоподібні'' вектори, скалярний добуток яких на себе дає від'ємне число.

У статті 1982-го року Максвелла ''Пакування сфер і гіперболічні групи відображень'' (George Maxwell, ''Sphere Packings and Hyperbolic Reflection Groups'') наведено список груп Лоренца рангів від 5 до 11. Наведений список повний, але не відображає випадки, коли одна група є підгрупою іншої. Є нескінченно багато груп Лоренца з рангом 4. Для рангів 5-11 є скінченне число груп Лоренца&nbsp;— 186, 66, 36, 13, 10, 8 і 4 відповідно<ref name="Maxwell">George Maxwell, ''Sphere Packings and Hyperbolic Reflection Groups'', JOURNAL OF ALGEBRA 79,78-97 (1982) [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0021869382903180] {{Webarchive|url=https://archive.today/20130630070017/http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0021869382903180|date=30 червня 2013}}</ref>. У статті 2013-го Чен і Лаббе (H. Chen, J.-P. Labbé, ''Lorentzian Coxeter groups and Boyd&nbsp;— Maxwell ball packings'') заново перерахували і доповнили список<ref>Hao Chen, Jean-Philippe Labbé, ''Lorentzian Coxeter groups and Boyd-Maxwell ball packings'', http://arxiv.org/abs/1310.8608 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170919005449/http://arxiv.org/abs/1310.8608 |date=19 вересня 2017 }}</ref>.

{| class=wikitable
|+ Лоренцеві групи Коксетера
|- align=center
!Ранг
!Загальне<br/>число
!colspan=4|Групи
|- align=center
!4
!∞
| colspan="4" style="text-align:left;"| [3,3,7] … [∞,∞,∞]: {{ДКД|node|3|node|3|node|7|node}} … {{ДКД|node|infin|node|infin|node|infin|node}}<br/>
[4,3<sup>[3]</sup>] … [∞,∞<sup>[3]</sup>]: {{ДКД|node|4|node|split1|branch}} … {{ДКД|node|infin|node|split1-ii|branch|labelinfin}}<br/>[5,4<sup>1,1</sup>] … [∞<sup>1,1,1</sup>]: {{ДКД|node|5|node|split1-44|nodes}} … {{ДКД|node|infin|node|split1-ii|nodes}}<br/>… [(5,4,3,3)] … [∞<sup>[4]</sup>]: … {{ДКД|label5|branch|4a3b|branch}} … {{ДКД|labelinfin|branch|iaib|branch|labelinfin}}<br/>… [4<sup>[]×[]</sup>] … [∞<sup>[]×[]</sup>]: … {{ДКД|node|split1-ii-i|branch|split2-ii|node}}<br/>… [4<sup>[3,3]</sup>] … [∞<sup>[3,3]</sup>]
|- align=center
!5
!186
|…[3<sup>[3,3,3]</sup>]:{{ДКД|pent}} …
| colspan="4" style="text-align: left;"|
|- align=center
!6
!66
| colspan="4" style="text-align: left;"|
|- align=center
!7
!36
| colspan="4" style="text-align: left;"|[3<sup>1,1,1,1,1,1</sup>]: {{ДКД|node|branch3|splitsplit2|node|splitsplit1|branch3|node}} …
|- align=center
!8
!13
|align=right|
[3,3,3<sup>[6]</sup>]:{{ДКД|node|3|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node}}<br/>[3,3<sup>[6]</sup>,3]:{{ДКД|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}<br/>[3,3<sup>[2+4]</sup>,3]:{{ДКД|nodea|3a|branch|3ab|nodes|3ab|branch|3a|nodea}}<br/>[3,3<sup>[1+5]</sup>,3]:{{ДКД|nodes|3ab|branch|3ab|nodes|3ab|branch}}<br/>[3<sup>[ ]e×[3]</sup>]:{{ДКД|node|splitsplit1|nodeabc|3abc|nodeabc|splitsplit2|node}}

|align=right|
[4,3,3,3<sup>3,1</sup>]:{{ДКД|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}<br/>[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>3,1</sup>]:{{ДКД|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}<br/>[3,(3,3,4)<sup>1,1</sup>]:{{ДКД|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}<br/>{{ДКД|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}<br/>{{ДКД|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|branch|3a|nodea}}<br/>[3<sup>2,1</sup>,3,3<sup>2,1</sup>]:{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}<br/>
|align=right|

|align=right|
[4,3,3,3<sup>2,2</sup>]:{{ДКД|node|4|node|3|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes}}<br/>[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>2,2</sup>]:{{ДКД|nodes|split2|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes}}

|- align=center
!9
!10
|align=right|
[3,3<sup>[3+4]</sup>,3]:{{ДКД|nodea|3a|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}<br/>[3,3<sup>[9]</sup>]:{{ДКД|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|branch}}<br/>[3,3<sup>[2+5]</sup>,3]:{{ДКД|nodea|3a|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split5b|nodes}}

|align=right|[3<sup>2,1</sup>,3<sup>2</sup>,3<sup>2,1</sup>]:{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|[3<sup>3,1</sup>,3<sup>3</sup>,4]:{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}<br/>
[3<sup>3,1</sup>,3,3,3<sup>1,1</sup>]:{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}

|align=right|[3<sup>3,3,2</sup>]:{{ДКД|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node}}<br/>
[3<sup>2,2,4</sup>]:{{ДКД|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>[3<sup>2,2</sup>,3<sup>3</sup>,4]:{{ДКД|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}<br/>[3<sup>2,2</sup>,3,3,3<sup>1,1</sup>]:{{ДКД|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node|split1|nodes}}

|- align=center
!10
!8
|align=right|[3,3<sup>[8]</sup>,3]:{{ДКД|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}<br/>
[3,3<sup>[3+5]</sup>,3]:{{ДКД|nodea|3a|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|branch|3a|nodea}}<br/>[3,3<sup>[9]</sup>]:{{ДКД|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|branch}}
|align=right|[3<sup>2,1</sup>,3<sup>3</sup>,3<sup>2,1</sup>]:{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|[3<sup>5,3,1</sup>]:{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}<br/>
[3<sup>3,1</sup>,3<sup>4</sup>,4]:{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}<br/>[3<sup>3,1</sup>,3<sup>3</sup>,3<sup>1,1</sup>]:{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}

|align=right|[3<sup>4,4,1</sup>]:{{ДКД|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|- align=center
!11
!4
|
|align=right|[3<sup>2,1</sup>,3<sup>4</sup>,3<sup>2,1</sup>]:{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|[3<sup>2,1</sup>,3<sup>6</sup>,4]:{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}<br/>
[3<sup>2,1</sup>,3<sup>5</sup>,3<sup>1,1</sup>]:{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}
|align=right|[3<sup>7,2,1</sup>]:{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}

|}

=== Дуже розширені діаграми Коксетера ===
Іноді використовується поняття [[Діаграма Динкіна|'''дуже розширені''']] [[Діаграма Динкіна|діаграми Динкіна]], в яких афінні групи вважаються '''розширеними''', гіперболічні групи '''істотно розширеними''', а третя гілка&nbsp;— '''дуже розширеними''' простими групами. Ці розширення зазвичай позначаються символами 1,2 або 3 ''+'' в верхньому індексі для числа розширених вершин. Ці розширені серії можуть бути розширені в зворотньому напрямку шляхом послідовного видалення вузлів у тій самій позиції графу, хоча процес зупиняється після видалення розгалуженого вузла. Розширене сімейство E<sub>8</sub> це найбільш відомий приклад розширення в зворотному напрямку з E<sub>3</sub> і вперед до E<sub>11</sub>.

Процес розширення може дати обмежені серії графів Коксетера, які проходять шлях від скінченних до афінних, потім до гіперболічних і групам Лоренца. Визначник [[Матриця Картана|матриць Картана]] задає, де серія змінюється від скінченної (додатний визначник) до афінної (нульовий), потім в гіперболічний тип (від'ємний), і завершується групою Лоренца, що містить щонайменше одну гіперболічного підгрупу<ref>{{Cite web |url=http://arxiv.org/pdf/hep-th/0608161.pdf |title=Kac-Moody Algebras in M-theory |accessdate=26 березня 2016 |archive-date=30 серпня 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210830210923/https://arxiv.org/pdf/hep-th/0608161.pdf }}</ref>. Некристалографічні групи H<sub>n</sub> утворюють розширену серію, де H<sub>4</sub> розширюється в компактну гіперболічного групу та істотно розширюється в групу Лоренца.

Визначник матриці Шлефлі по рангах<ref>[http://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/70011 Cartan-Gram determinants for the simple Lie groups] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160207213754/http://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/70011 |date=7 лютого 2016 }}, Wu, Alfred C. T, The American Institute of Physics, Nov 1982</ref>:

* det(A<sub>1</sub><sup>n</sup>=[2<sup>n-1</sup>]) = 2<sup>n</sup> (скінченна для всіх n)
* det(A<sub>n</sub>=[3<sup>n-1</sup>]) = n+1 (скінченна для всіх n)
* det(B<sub>n</sub>=[4,3<sup>n-2</sup>]) = 2 (скінченна для всіх n)
* det(D<sub>n</sub>=[3<sup>n-3,1,1</sup>]) = 4 (скінченна для всіх n)

Визначник матриці Шлефлі в виключних серіях:
* det(E<sub>n</sub> = [3<sup>n-3,2,1</sup>]) = 9-n (скінченна для E<sub>3</sub>(=A<sub>2</sub>A<sub>1</sub>), E<sub>4</sub>(=A<sub>4</sub>), E<sub>5</sub>(=D<sub>5</sub>), [[E6 (математика)|E<sub>6</sub>]], [[E7 (математика)|E<sub>7</sub>]] та [[E8 (математика)|E<sub>8</sub>]], афічна для E<sub>9</sub> (<math>{\tilde{E}}_{8}</math>), гіперболічна для E<sub>10</sub>)
* det([3<sup>n-4,3,1</sup>]) = 2(8-n) (скінченна для n= от 4 до 7, афінна для (<math>{\tilde{E}}_{7}</math>) та гіперболічна для n=8.)
* det([3<sup>n-4,2,2</sup>]) = 3(7-n) (скінченна для n= от 4 до 6, афінна для (<math>{\tilde{E}}_{6}</math>) та гіперболічна для n=7.)
* det(F<sub>n</sub>=[3,4,3<sup>n-3</sup>]) = 5-n (скінченна для F<sub>3</sub>(=B<sub>3</sub>) і [[F4 (математика)|F<sub>4</sub>]], афінна для [[F4 (математика)|F<sub>5</sub>]] (<math>{\tilde{F}}_{4}</math>), гіперболічна для F<sub>6</sub>)
* det(G<sub>n</sub>=[6,3<sup>n-2</sup>]) = 3-n (скінченна для [[G2 (математика)|G<sub>2</sub>]], афінна для G<sub>3</sub> (<math>{\tilde{G}}_{2}</math>), гіперболічна для G<sub>4</sub>)

{| class=wikitable
|+ Мале розширення серії
|-
!
!<math>A_2</math>
!<math>C_2</math>
![[G2 (математика)|<math>G_2</math>]]
!<math>A_3</math>
!<math>B_3</math>
!<math>C_3</math>
!<math>H_4</math>
|-
!Ранг n
![3<sup>[3]</sup>,3<sup>n-3</sup>]
![4,4,3<sup>n-3</sup>]
!G<sub>n</sub>=[6,3<sup>n-2</sup>]
![3<sup>[4]</sup>,3<sup>n-4</sup>]
![4,3<sup>1,n-3</sup>]
![4,3,4,3<sup>n-4</sup>]
!H<sub>n</sub>=[5,3<sup>n-2</sup>]
|-
!2
| style="background:#ffffe0;"|[3]<br/>A<sub>2</sub><br/>{{ДКД|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[4]<br/>C<sub>2</sub><br/>{{ДКД|node|4|node}}
| style="background:#ffffe0;"|[6]<br/>G<sub>2</sub><br/>{{ДКД|node|6|node}}
|
|[2]<br/>A<sub>1</sub><sup>2</sup><br/>{{ДКД|nodes}}
|[4]<br/>C<sub>2</sub><br/>{{ДКД|node|4|node}}
|[5]<br/>H<sub>2</sub><br/>{{ДКД|node|5|node}}
|-
!3
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>[3]</sup>]<br/>A<sub>2</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_{2}</math><br/>{{ДКД|branch|split2|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,4]<br/>C<sub>2</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{C}}_{2}</math><br/>{{ДКД|node|4|node|4|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[6,3]<br/>G<sub>2</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{G}}_{2}</math><br/>{{ДКД|node|6|node|3|node_c1}}
| style="background:#ffffe0;"|[3,3]=A<sub>3</sub><br/>{{ДКД|node|split1|nodes}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3]<br/>B<sub>3</sub><br/>{{ДКД|nodes|split2-43|node}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3]<br/>C<sub>3</sub><br/>{{ДКД|node|4|node|3|node}}
|[5,3]<br/>H<sub>3</sub><br/>{{ДКД|node|5|node|3|node}}
|-
!4
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>[3]</sup>,3]<br/>A<sub>2</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{P}}_3</math><br/>{{ДКД|branch|split2|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,4,3]<br/>C<sub>2</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{R}}_3</math><br/>{{ДКД|node|4|node|4|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[6,3,3]<br/>G<sub>2</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{V}}_3</math><br/>{{ДКД|node|6|node|3|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>[4]</sup>]<br/>A<sub>3</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_3</math><br/>{{ДКД|node|split1|nodes|split2|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3<sup>1,1</sup>]<br/>B<sub>3</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{3}</math><br/>{{ДКД|nodes|split2-43|node|3|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3,4]<br/>C<sub>3</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{C}}_{3}</math><br/>{{ДКД|node|4|node|3|node|4|node_c1}}
| style="background:#ffffe0;"|[5,3,3]<br/>H<sub>4</sub><br/>{{ДКД|node|5|node|3|node|3|node}}
|-
!5
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>[3]</sup>,3,3]<br/>A<sub>2</sub><sup>+++</sup><br/>{{ДКД|branch|split2|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,4,3,3]<br/>C<sub>2</sub><sup>+++</sup><br/>{{ДКД|node|4|node|4|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[6,3,3,3]<br/>G<sub>2</sub><sup>+++</sup><br/>{{ДКД|node|6|node|3|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>[4]</sup>,3]<br/>A<sub>3</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{P}}_4</math><br/>{{ДКД|node|split1|nodes|split2|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3<sup>2,1</sup>]<br/>B<sub>3</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{S}}_4</math><br/>{{ДКД|nodes|split2-43|node|3|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3,4,3]<br/>C<sub>3</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{R}}_4</math><br/>{{ДКД|node|4|node|3|node|4|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[5,3<sup>3</sup>]<br/>H<sub>5</sub>=<math>{\bar{H}}_4</math><br/>{{ДКД|node|5|node|3|node|3|node|3|node}}
|-
!6
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>[4]</sup>,3,3]<br/>A<sub>3</sub><sup>+++</sup><br/>{{ДКД|node|split1|nodes|split2|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3<sup>3,1</sup>]<br/>B<sub>3</sub><sup>+++</sup><br/>{{ДКД|nodes|split2-43|node|3|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3,4,3,3]<br/>C<sub>3</sub><sup>+++</sup><br/>{{ДКД|node|4|node|3|node|4|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[5,3<sup>4</sup>]<br/>H<sub>6</sub><br/>{{ДКД|node|5|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|- align=center
!Det(M<sub>n</sub>)
|3(3-''n'')
|2(3-''n'')
|3-''n''
|4(4-''n'')
|colspan=2|2(4-''n'')
|
|}

{| class=wikitable
|+ Середнє розширення серії
|-
!
!<math>A_4</math>
!<math>B_4</math>
!<math>C_4</math>
!<math>D_4</math>
![[F4 (математика)|<math>F_4</math>]]
!<math>A_5</math>
!<math>B_5</math>
!<math>D_5</math>
|-
!Ранг n
![3<sup>[5]</sup>,3<sup>n-5</sup>]
![4,3,3<sup>n-4,1</sup>]
![4,3,3,4,3<sup>n-5</sup>]
![3<sup>n-4,1,1,1</sup>]
![3,4,3<sup>n-3</sup>]
![3<sup>[6]</sup>,3<sup>n-6</sup>]
![4,3,3,3<sup>n-5,1</sup>]
![3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>n-5,1</sup>]
|-
!3
|
|[4,3<sup>−1,1</sup>]<br/>B<sub>2</sub>A<sub>1</sub><br/>{{ДКД|nodea|4a|nodea|2|nodeb}}
|[4,3]<br/>B<sub>3</sub><br/>{{ДКД|node|4|node|3|node}}
|[3<sup>−1,1,1,1</sup>]<br/>A<sub>1</sub><sup>3</sup><br/>{{ДКД|nodeabc}}
|[3,4]<br/>B<sub>3</sub><br/>{{ДКД|node|3|node|4|node}}
|
|[4,3,3]<br/>C<sub>3</sub><br/>{{ДКД|node|4|node|3|node}}
|-
!4
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>3</sup>]<br/>A<sub>4</sub><br/>{{ДКД|branch|3ab|nodes}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3,3]<br/>B<sub>4</sub><br/>{{ДКД|nodea|4a|nodea|3a|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3,3]<br/>C<sub>4</sub><br/>{{ДКД|node|4|node|3|node|3|node}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>0,1,1,1</sup>]<br/>D<sub>4</sub><br/>{{ДКД|node|branch3|splitsplit2|node}}
| style="background:#ffffe0;"|[3,4,3]<br/>F<sub>4</sub><br/>{{ДКД|node|3|node|4|node|3|node}}
|
|[4,3,3,3<sup>−1,1</sup>]<br/>B<sub>3</sub>A<sub>1</sub><br/>{{ДКД|nodea|4a|nodea|3a|nodea|2|nodeb}}
|[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>−1,1</sup>]<br/>A<sub>3</sub>A<sub>1</sub><br/>{{ДКД|nodea|3a|branch|2|nodeb}}
|-
!5
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>[5]</sup>]<br/>A<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_{4}</math><br/>{{ДКД|branch|3ab|nodes|split2|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3,3<sup>1,1</sup>]<br/>B<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{4}</math><br/>{{ДКД|nodea|4a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3,3,4]<br/>C<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{C}}_{4}</math><br/>{{ДКД|node|4|node|3|node|3|node|4|node}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>1,1,1,1</sup>]<br/>D<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{D}}_{4}</math><br/>{{ДКД|node|branch3|splitsplit2|node|3|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3,4,3,3]<br/>F<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{F}}_{4}</math><br/>{{ДКД|node|3|node|4|node|3|node|3|node_c1}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>4</sup>]<br/>A<sub>5</sub><br/>{{ДКД|node|split1|nodes|3ab|nodes}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3,3,3,3]<br/>B<sub>5</sub><br/>{{ДКД|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3]<br/>D<sub>5</sub><br/>{{ДКД|nodea|3a|branch|3a|branch}}
|-
!6
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>[5]</sup>,3]<br/>A<sub>4</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{P}}_5</math><br/>{{ДКД|branch|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3,3<sup>2,1</sup>]<br/>B<sub>4</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{S}}_5</math><br/>{{ДКД|nodea|4a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3,3,4,3]<br/>C<sub>4</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{R}}_5</math><br/>{{ДКД|node|4|node|3|node|3|node|4|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>2,1,1,1</sup>]<br/>D<sub>4</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{Q}}_5</math><br/>{{ДКД|node|branch3|splitsplit2|node|3|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3,4,3<sup>3</sup>]<br/>F<sub>4</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{U}}_5</math><br/>{{ДКД|node|3|node|4|node|3|node|3|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>[6]</sup>]<br/>A<sub>5</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_5</math><br/>{{ДКД|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3,3,3<sup>1,1</sup>]<br/>B<sub>5</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{5}</math><br/>{{ДКД|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>1,1</sup>]<br/>D<sub>5</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{D}}_5</math><br/>{{ДКД|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea_c1}}
|-
!7
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>[5]</sup>,3,3]<br/>A<sub>4</sub><sup>+++</sup><br/>{{ДКД|branch|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3,3<sup>3,1</sup>]<br/>B<sub>4</sub><sup>+++</sup><br/>{{ДКД|nodea|4a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3,3,4,3,3]<br/>C<sub>4</sub><sup>+++</sup><br/>{{ДКД|node|4|node|3|node|3|node|4|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>3,1,1,1</sup>]<br/>D<sub>4</sub><sup>+++</sup><br/>{{ДКД|node|branch3|splitsplit2|node|3|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3,4,3<sup>4</sup>]<br/>F<sub>4</sub><sup>+++</sup><br/>{{ДКД|node|3|node|4|node|3|node|3|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>[6]</sup>,3]<br/>A<sub>5</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{P}}_6</math><br/>{{ДКД|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3,3,3<sup>2,1</sup>]<br/>B<sub>5</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{S}}_6</math><br/>{{ДКД|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>2,1</sup>]<br/>D<sub>5</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{Q}}_6</math><br/>{{ДКД|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
|-
!8
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>[6]</sup>,3,3]<br/>A<sub>5</sub><sup>+++</sup><br/>{{ДКД|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3,3,3<sup>3,1</sup>]<br/>B<sub>5</sub><sup>+++</sup><br/>{{ДКД|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>3,1</sup>]<br/>D<sub>5</sub><sup>+++</sup><br/>{{ДКД|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
|- align=center
!Det(M<sub>n</sub>)
|5(5-''n'')
|colspan=2|2(5-''n'')
|4(5-''n'')
|5-''n''
|6(6-''n'')
|4(6-''n'')
|}

{| class=wikitable
|+ Деякі дуже розширенні серії
|-
!
!<math>A_6</math>
!<math>B_6</math>
!<math>D_6</math>
!<math>E_6</math>
!<math>A_7</math>
!<math>B_7</math>
!<math>D_7</math>
!<math>E_7</math>
!<math>E_8</math>
|-
!Ранг n
![3<sup>[7]</sup>,3<sup>n-7</sup>]
![4,3<sup>3</sup>,3<sup>n-6,1</sup>]
![3<sup>1,1</sup>,3,3,3<sup>n-6,1</sup>]
![3<sup>n-5,2,2</sup>]
![3<sup>[8]</sup>,3<sup>n-8</sup>]
![4,3<sup>4</sup>,3<sup>n-7,1</sup>]
![3<sup>1,1</sup>,3,3,3,3<sup>n-7,1</sup>]
![3<sup>n-5,3,1</sup>]
!E<sub>n</sub>=[3<sup>n-4,2,1</sup>]
|-
!3
|
|
|
|
|
|
|
|
|[3<sup>−1,2,1</sup>]<br/>E<sub>3</sub>=A<sub>2</sub>A<sub>1</sub><br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|2|nodeb}}
|-
!4
|
|
|
|[3<sup>−1,2,2</sup>]<br/>A<sub>2</sub><sup>2</sup><br/>{{ДКД|nodes|3ab|nodes}}
|
|
|
|[3<sup>−1,3,1</sup>]<br/>A<sub>3</sub>A<sub>1</sub><br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|nodea|2|nodeb}}
|[3<sup>0,2,1</sup>]<br/>E<sub>4</sub>=A<sub>4</sub><br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
|-
!5
|
|[4,3,3,3,3<sup>−1,1</sup>]<br/>B<sub>4</sub>A<sub>1</sub><br/>{{ДКД|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|2|nodeb}}
|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3<sup>−1,1</sup>]<br/>D<sub>4</sub>A<sub>1</sub><br/>{{ДКД|nodea|3a|branch|3a|nodea|2|nodeb}}
|[3<sup>0,2,2</sup>]<br/>A<sub>5</sub><br/>{{ДКД|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|
|
|
|[3<sup>0,3,1</sup>]<br/>A<sub>5</sub><br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
|[3<sup>1,2,1</sup>]<br/>E<sub>5</sub>=D<sub>5</sub><br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}
|-
!6
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>5</sup>]<br/>A<sub>6</sub><br/>{{ДКД|branch|3ab|nodes|3ab|nodes}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3<sup>4</sup>]<br/>B<sub>6</sub><br/>{{ДКД|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3]<br/>D<sub>6</sub><br/>{{ДКД|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>1,2,2</sup>]<br/>E<sub>6</sub><br/>{{ДКД|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|
|[4,3,3,3,3,3<sup>−1,1</sup>]<br/>B<sub>5</sub>A<sub>1</sub><br/>{{ДКД|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|2|nodeb}}
|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3,3<sup>−1,1</sup>]<br/>D<sub>5</sub>A<sub>1</sub><br/>{{ДКД|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|2|nodeb}}
|[3<sup>1,3,1</sup>]<br/>D<sub>6</sub><br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}
|[3<sup>2,2,1</sup>]<br/>E<sub>6</sub> [[:Файл:DynkinE6Full.svg|*]]<br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|-
!7
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>[7]</sup>]<br/>A<sub>6</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_6</math><br/>{{ДКД|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3<sup>3</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br/>B<sub>6</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{6}</math><br/>{{ДКД|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3<sup>1,1</sup>]<br/>D<sub>6</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{D}}_6</math><br/>{{ДКД|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>2,2,2</sup>]<br/>E<sub>6</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{E}}_6</math><br/>{{ДКД|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node_c1}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>6</sup>]<br/>A<sub>7</sub><br/>{{ДКД|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3<sup>5</sup>]<br/>B<sub>7</sub><br/>{{ДКД|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3,3<sup>0,1</sup>]<br/>D<sub>7</sub><br/>{{ДКД|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>2,3,1</sup>]<br/>E<sub>7</sub> [[:Файл:DynkinE7Full.svg|*]]<br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|[3<sup>3,2,1</sup>]<br/>E<sub>7</sub> [[:Файл:DynkinE7Full.svg|*]]<br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|-
!8
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>[7]</sup>,3]<br/>A<sub>6</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{P}}_7</math><br/>{{ДКД|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3<sup>3</sup>,3<sup>2,1</sup>]<br/>B<sub>6</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{S}}_7</math><br/>{{ДКД|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3<sup>2,1</sup>]<br/>D<sub>6</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{Q}}_7</math><br/>{{ДКД|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>3,2,2</sup>]<br/>E<sub>6</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{T}}_7</math><br/>{{ДКД|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>[8]</sup>]<br/>A<sub>7</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_7</math> [[:Файл:AffineA7.svg|*]]<br/>{{ДКД|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3<sup>4</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br/>B<sub>7</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{7}</math> [[:Файл:AffineB7.svg|*]]<br/>{{ДКД|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3,3<sup>1,1</sup>]<br/>D<sub>7</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{D}}_7</math> [[:Файл:AffineD7.svg|*]]<br/>{{ДКД|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>3,3,1</sup>]<br/>E<sub>7</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{E}}_{7}</math> [[:Файл:AffineE7.svg|*]]<br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>4,2,1</sup>]<br/>E<sub>8</sub> [[:Файл:DynkinE8Full.svg|*]]<br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|-
!9
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>[7]</sup>,3,3]<br/>A<sub>6</sub><sup>+++</sup><br/>{{ДКД|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3<sup>3</sup>,3<sup>3,1</sup>]<br/>B<sub>6</sub><sup>+++</sup><br/>{{ДКД|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3<sup>3,1</sup>]<br/>D<sub>6</sub><sup>+++</sup><br/>{{ДКД|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>4,2,2</sup>]<br/>E<sub>6</sub><sup>+++</sup><br/>{{ДКД|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>[8]</sup>,3]<br/>A<sub>7</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{P}}_8</math> [[:Файл:HyberbolicAffineA7.svg|*]]<br/>{{ДКД|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3<sup>4</sup>,3<sup>2,1</sup>]<br/>B<sub>7</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{S}}_8</math> [[:Файл:HyberbolicAffineB7.svg|*]]<br/>{{ДКД|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3,3<sup>2,1</sup>]<br/>D<sub>7</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{Q}}_8</math> [[:Файл:HyberbolicAffineD7.svg|*]]<br/>{{ДКД|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>4,3,1</sup>]<br/>E<sub>7</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{T}}_8</math> [[:Файл:HyberbolicAffineE7.svg|*]]<br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>5,2,1</sup>]<br/>E<sub>9</sub>=E<sub>8</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{E}}_{8}</math> [[:Файл:E9-AffineE8.svg|*]]<br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea_c1}}
|-
!10
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>[8]</sup>,3,3]<br/>A<sub>7</sub><sup>+++</sup> [[:Файл:VeryExtendedAffineA7.svg|*]]<br/>{{ДКД|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3<sup>4</sup>,3<sup>3,1</sup>]<br/>B<sub>7</sub><sup>+++</sup> [[:Файл:VeryExtendedAffineB7.svg|*]]<br/>{{ДКД|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3,3<sup>3,1</sup>]<br/>D<sub>7</sub><sup>+++</sup> [[:Файл:VeryExtendedAffineD7.svg|*]]<br/>{{ДКД|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>5,3,1</sup>]<br/>E<sub>7</sub><sup>+++</sup> [[:Файл:VeryExtendedAffineE7.svg|*]]<br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>6,2,1</sup>]<br/>E<sub>10</sub>=E<sub>8</sub><sup>++</sup>=<math>{\bar{T}}_9</math> [[:Файл:E10-HyperbolicAffineE8.svg|*]]<br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
|-
!11
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>7,2,1</sup>]<br/>E<sub>11</sub>=E<sub>8</sub><sup>+++</sup> [[:Файл:E11-VeryExtendedAffineE8.svg|*]]<br/>{{ДКД|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
|- align=center
!Det(M<sub>n</sub>)
|7(7-''n'')
|2(7-''n'')
|4(7-''n'')
|3(7-''n'')
|8(8-''n'')
|2(8-''n'')
|4(8-''n'')
|2(8-''n'')
|9-''n''
|}

== Геометричні сувої ==
{| class="wikitable"
|+ Скінченні і нескінченні сувої<ref>''John Crisp'', '[[Ін'єкція (математика)|Injective maps]] between {{не переведено 5|Группа Артина|Artin groups||Artin group}}, in Down under group theory, Proceedings of the Special Year on Geometric Group Theory, (Australian National University, Canberra, Australia, 1996), [http://math.u-bourgogne.fr/IMB/crisp/injart.ps Postscript] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20051016143215/http://math.u-bourgogne.fr/IMB/crisp/injart.ps |date=16 жовтня 2005 }}, pp 13-14, and [http://books.google.com/books?id=RpgZuF7do8kC&lpg=PA134&ots=G5SZEdPFBa&dq=geometric%20folding%20F4%20to%20g2&pg=PP1#v=onepage&q=folding%20description&f=false googlebook, Geometric group theory down under, p 131]</ref>
|-
!colspan=4|φ<sub>A</sub> : A<sub>Γ</sub> --> A<sub>Γ'</sub> для скінченних типів
|- valign=top
!Γ
!Γ'
!Описані сувої
!схеми Коксетера&nbsp;— Динкіна
|- align=center valign=top
|I<sub>2</sub>([[Число Коксетера|h]])
|Γ(h)
|Діедрична сувою
|rowspan=9|[[Файл:Geometric folding Coxeter graphs.png|201пкс]]
|- align=center
|rowspan=2|B<sub>n</sub>
|A<sub>2n</sub>
|(I, s<sub>n</sub>)
|- align=center
|D<sub>n+1</sub>, A<sub>2n-1</sub>
|(A<sub>3</sub>,+/-ε)
|- align=center
|F<sub>4</sub>
|E<sub>6</sub>
|(A<sub>3</sub>,±ε)
|- align=center
|H<sub>4</sub>
|E<sub>8</sub>
|rowspan=3|(A<sub>4</sub>,±ε)
|- align=center
|H<sub>3</sub>
|D<sub>6</sub>
|- align=center
|H<sub>2</sub>
|A<sub>4</sub>
|- align=center
|rowspan=2|G<sub>2</sub>
|A<sub>5</sub>
|(A<sub>5</sub>,±ε)
|- align=center
|D<sub>4</sub>
|(D<sub>4</sub>,±ε)
|-
!colspan=4|φ: A<sub>Γ</sub><sup>+</sup> --> A<sub>Γ'</sub><sup>+</sup> для всіх афінних типів
|- align=center valign=top
|<math>{\tilde{A}}_{n-1}</math>
|<math>{\tilde{A}}_{kn-1}</math>
|Locally trivial
|rowspan=14|[[Файл:Geometric folding Coxeter graphs affine.png|212пкс]]
|- align=center
|rowspan=2|<math>{\tilde{B}}_{n}</math>
|<math>{\tilde{D}}_{2n+1}</math>
|(I, s<sub>n</sub>)
|- align=center
|<math>{\tilde{D}}_{n+1}</math>, <math>{\tilde{D}}_{2n}</math>
|(A<sub>3</sub>,±ε)
|- align=center
|rowspan=2|<math>{\tilde{C}}_{n}</math>
|<math>{\tilde{B}}_{n+1}</math>, <math>{\tilde{C}}_{2n}</math>
|(A<sub>3</sub>,±ε)
|- align=center
|<math>{\tilde{C}}_{2n+1}</math>
|(I, s<sub>n</sub>)
|- align=center
|rowspan=3|<math>{\tilde{C}}_{n}</math>
|<math>{\tilde{A}}_{2n+1}</math>
|(I, s<sub>n</sub>) & (I, s<sub>0</sub>)
|- align=center
|<math>{\tilde{A}}_{2n}</math>
|(A<sub>3</sub>,ε) & (I, s<sub>0</sub>)
|- align=center
|<math>{\tilde{A}}_{2n-1}</math>
|(A<sub>3</sub>,ε) & (A<sub>3</sub>,ε')
|- align=center
|<math>{\tilde{C}}_{n}</math>
|<math>{\tilde{D}}_{n+2}</math>
|(A<sub>3</sub>,-ε) & (A<sub>3</sub>,-ε')
|- align=center
|<math>{\tilde{C}}_{2}</math>
|<math>{\tilde{D}}_{5}</math>
|(I, s<sub>1</sub>)
|- align=center
|<math>{\tilde{F}}_{4}</math>
|<math>{\tilde{E}}_{6}</math>, <math>{\tilde{E}}_{7}</math>
|(A<sub>3</sub>,±ε)
|- align=center
|rowspan=3|<math>{\tilde{G}}_{2}</math>
|<math>{\tilde{D}}_{6}</math>, <math>{\tilde{E}}_{7}</math>
|(A<sub>5</sub>,±ε)
|- align=center
|<math>{\tilde{B}}_{3}</math>, <math>{\tilde{F}}_{4}</math>
|(B<sub>3</sub>,±ε)
|- align=center
|<math>{\tilde{D}}_{4}</math>, <math>{\tilde{E}}_{6}</math>
|(D<sub>4</sub>,±ε)
|}
{{See also|Схеми Динкіна#Сувої}}

Схема Коксетера&nbsp;— Динкіна (з простими зв'язками<ref> тобто має мітки гілок тільки 3 </ref>, скінченна, [[Афінні групи Коксетера|афінна]] або гіперболічна), що має симетрію (задовольняє одній умові), може бути перетворена за допомогою симетрії в нову, в загальному випадку багатониткову схему, за допомогою процесу, званого «згорткою»<ref>{{статья
|заглавие=Generalized Dynkin diagrams and root systems and their folding
|id ={{citeseerx|10.1.1.54.3122}}
|автор = Jean-Bernard Zuber
|страницы = 28–30 }}</ref><ref>{{статья
|архив= 1110.5228
|заглавие= Affine extensions of non-crystallographic Coxeter groups induced by projection
|автор= Pierre-Philippe Dechant, Celine Boehm, Reidun Twarock 
|год = October 25, 2011 
}}</ref>.

Геометрично це відповідає [[Проекція (геометрія)|ортогональним проєкціям]] [[Однорідний многогранник|однорідних многогранників]] і мозаїк. Цікаво, що будь-яка скінченна схема Коксетера&nbsp;— Динкіна з простими зв'язками може бути згорнута в I<sub>2</sub> (''h''), де ''h''&nbsp;— [[Число Коксетера]], геометрично подібне проєкції на [[площину Коксетера]].
{| class=wikitable
|-
|[[Файл:Geometric folding Coxeter graphs hyperbolic.png]]<br/>Деякі гіперболічні сувої
|}

== Див. також ==
* [[Група Коксетера]]
* [[Трикутник Шварца]]
* [[Тетраедр Ґурси]]
* [[Діаграма Динкіна]]
* [[Однорідний політоп]]
** [[Символ Вітгофа]]
** [[Однорідний многогранник]]
** [[Список однорідних многогранників]]
** [[Список плоских однорідних мозаїк]]
** [[Однорідний 4-вимірний політоп]]
** [[Опуклі однорідні стільники]]
** [[Опуклі однорідні стільники в гіперболічному просторі]]
* [[Побудова Вітгофа]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
<!--{{refbegin}}-->
* James E. Humphreys, ''Reflection Groups and Coxeter Groups'', Cambridge studies in advanced mathematics, 29 (1990)
* Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter / ed. by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss.&nbsp;— Wiley-Interscience Publication, 1995.&nbsp;— ISBN 978-0-471-01003-6. [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160711140441/http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html |date=11 липня 2016 }}, Googlebooks [http://books.google.com/books?id=fUm5Mwfx8rAC&lpg=PP1&dq=Kaleidoscopes%20Coxeter&pg=PP1#v=onepage&q=&f=false] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210709182436/https://books.google.com/books?id=fUm5Mwfx8rAC&lpg=PP1&dq=Kaleidoscopes%20Coxeter&pg=PP1#v=onepage&q=&f=false |date=9 липня 2021 }}
* {{книга-ру
|автор=[[Гарольд Коксетер|Coxeter]]
|заглавие=The Beauty of Geometry: Twelve Essays
|издательство=Dover Publications
|год=1999
|ISBN=978-0-486-40919-1
|часть=Chapter 3: Wythoff's Construction for Uniform Polytopes
}}
* {{книга-ру
|автор= H.S.M. Coxeter 
|заглавие=''Regular Polytopes''
|год=1973
|издательство=Dover edition
|ISBN=0-486-61480-8
|часть=Chapter 5: The Kaleidoscope, Section 11.3 Representation by graphs
}}
* {{книга-ру
|автор=Г.С.М. Коксетер, У.О.Дж. Мозер
|заглавие=Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп
|оригинал=H.S.M. Coxeter, W. O. J. Moser, Generators and Relations for Discrete Groups
|место=Москва
|издательство=Наука
|год=1980
}}
* Norman Johnson, ''Geometries and Transformations'', Chapters 11,12,13, preprint 2011
* {{статья
|автор=Norman Johnson, R. Kellerhals, J. G. Ratcliffe, S. T. Tschantz
|вклад =The size of a hyperbolic Coxeter simplex
|заглавие=Transformation Groups
|год=1999
|том=4
|выпуск=4
|страницы=329–353
|url=http://homeweb1.unifr.ch/kellerha/pub/TGarticle.pdf
}}
* {{статья
|автор=Norman W. Johnson, Asia Ivic Weiss
|url=https://cms.math.ca/cjm/v51/weisscox8.pdf
|заглавие=Quadratic Integers and Coxeter Groups
|издание=Canad. J. Math
|том=51
|выпуск=6
|год=1999
|страницы=1307–1336
}}
<!--{{refend}}-->

== Посилання ==
{{Commonscat|Coxeter-Dynkin diagrams}}
* {{MathWorld |urlname=Coxeter-DynkinDiagram |title=Coxeter–Dynkin diagram}}
* [http://ecommons.cornell.edu/handle/1813/17338 October 1978 discussion on the history of the Coxeter diagrams] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150610223633/http://ecommons.cornell.edu/handle/1813/17338 |date=10 червня 2015 }} by Coxeter and Dynkin in [[Торонто|Toronto]], [[Канада|Canada]]; Eugene Dynkin Collection of Mathematics Interviews, Бібліотека Корнелльського університету.

[[Категорія:Групи Коксетера]]