Перегляд вихідного коду сторінки Діаграма Юнга

'''Діаграма Юнга'''&nbsp;— у математиці є [[Комбінаторика|комбінаторним]] об'єктом, корисним у [[Теорія представлень|теорії представлень]] та {{Нп|числення Шуберта|численні Шуберта|en|Schubert calculus}}. Діаграма забезпечує зручний спосіб опису [[представлення групи]] [[Симетрична група|симетричних]] та [[Загальна лінійна група|загальних лінійних]] груп та вивчення їх властивостей. Діаграми Юнга були введені {{Нп|Альфред Юнг|Альфредом Юнгом|en|Alfred Young}}, [[математик]]ом [[Кембриджський університет|Кембриджського університету]], в 1900 році<ref>{{citation|title=[[The Art of Computer Programming]], Vol. III: Sorting and Searching|first=Donald E.|last=Knuth|authorlink=Дональд Кнут|edition=2nd|publisher=Addison-Wesley|year=1973|page=48|quote=Such arrangements were introduced by Alfred Young in 1900}}.</ref><ref>{{citation|title=On quantitative substitutional analysis|first=A.|last=Young|journal=Proceedings of the London Mathematical Society|year=1900|volume=33|series=Ser. 1|issue=1|pages=97–145|doi=10.1112/plms/s1-33.1.97}}. See in particular p.&nbsp;133.</ref>. Невдовзі, у 1903 році, вони були застосовані у вивченні симетричної групи [[Фердинанд Георг Фробеніус|Георгом Фробеніусом]]. У подальшому теорію діаграм Юнга розвинули багато математиків, зокрема {{Нп|Персі Макмагон||en|Percy Alexander MacMahon}}, [[Вільям Воланс Дуглас Годж|Вільям Годж]], {{Нп|Гілберт де Борегар Робінсон||en|Gilbert de Beauregard Robinson}}, [[Джан-Карло Рота]], {{Нп|Ален Ласку||en|Alain Lascoux}}, {{Нп|Марсель-Поль Шютценбергер||en|Marcel-Paul Schützenberger}} та {{Нп|Річард Стенлі||en|Richard P. Stanley}}.

== Визначення ==
''Примітка: ця стаття використовує англійську конвенцію для відображення "Діаграм та таблиць Юнга".''
=== Діаграми ===
[[Файл:Young_diagram_for_541_partition.svg|міні|праворуч|200пкс|Діаграма Юнга форми (5, 4, 1), англійське позначення]]
[[Файл:Young_diagram_for_541_partition-French.svg|міні|праворуч|200пкс|Діаграма Юнга форми (5, 4, 1), французьке позначення]]
'''Діаграма Юнга''' (також називається [[Розбиття числа#Діаграма Феррерса|діаграмою Феррерса]], особливо, якщо вона представлена з використанням точок) - це скінчена колекція комірок, розташованих у стовпцях, що лежать у лівих-виправданих рядках, з довжинами рядків у незмінному порядку. У переліку кількості кодів у кожному рядку задано [[Розбиття числа|розділ]] {{mvar|''λ''}} невід'ємного цілого числа {{mvar|''n''}}, загальну кількість кодів діаграми. Схоже, діаграма Юнга має форму {{mvar|''λ''}}, і вона містить ту ж саму інформацію, що і цей розділ. Зберігання однієї діаграми Юнга в іншій означає [[Частково впорядкована множина|часткове впорядкування на множині]] всіх розділів, що насправді є структурою [[Ґратка (порядок)|гратки]], відомої як {{Нп|Ґратка(решітка) Юнга|гратка Юнга|en|Young's lattice}}. У кожному стовпчику вказано кількість комірок діаграми Юнга, яка дає інший розділ, '''сполучений''' або ''переміщений'' розділ ''λ''; одержує діаграму Юнга такої форми, яка відбиває оригінальну діаграму вздовж головної діагоналі.

Існує майже загальна згода про те, що в маркуванні комірки діаграми Юнга за парними цілими числами перший індекс вибирає рядок діаграми, а другий індекс вибирає поле в рядку. Тим не менш існують дві чіткі конвенції для відображення цих діаграм: перша розміщує кожен рядок під попереднім, а друга розміщує кожен рядок у верхній частині попереднього. Оскільки перша конвенція в основному використовується [[Англофони|англофонами]], тоді як вони часто віддають перевагу [[Французька мова|французьким мовам]], звичайно в цій конвенції існує, відповідно, як ''англійське позначення'' та ''французьке позначення''; наприклад, у своїй книзі про [[Симетрична функція|симетричні функції]], {{Нп|Ян Гранд Макдональд||en|Ian G. Macdonald}} радить читачам, які віддають перевагу Французькій конвенції, "читати цю книгу вгору вниз у дзеркалі" (Macdonald 1979, p. 2). Ця номенклатура, мабуть, почалася як жартівлива. Англійське позначення відповідає універсальному використанню матриць, тоді як французьке позначення лише наближається до конвенції [[Декартова система координат|декартових координат]]; однак, французьке позначення відрізняється від цієї конвенції, поставивши в першу чергу вертикальну координату. На малюнку праворуч показано діаграму Юнга, яка відповідає розділу (5, 4, 1) номеру 10 за допомогою англійського позначення. Кон'югативним розділом, який вимірює довжину колонки, є (3, 2, 2, 2, 1).
==== Довжина руки та ноги ====
У багатьох програмах, наприклад, при визначенні {{Нп|Функція Джека|функцій Джека|en|Jack function}}, зручно визначити '''довжину руки''' ''a''<sub>λ</sub>(''s'') комірки ''s'' як число стовпців праворуч від ''s'' на діаграмі ''λ''. Аналогічно, '''довжина ноги''' ''l''<sub>λ</sub>(''s'') - це кількість комірок нижче ''s''. Ця позначка передбачає, використання англійського позначення. Наприклад, значення ''гака'' комірки ''s'' в ''λ'' є тоді це просто ''a''<sub>λ</sub>(''s'')+''l''<sub>λ</sub>(''s'')+1.

=== Таблиці ===
[[Файл:Young_tableaux_for_541_partition.svg|праворуч|міні|200пкс|Стандартна діаграма Юнга форми (5, 4, 1) ]]
'''Таблиці Юнга''' отримуються, заповненням комірок діаграми Юнга діаграми з символами, взятими з деякого ''алфавіту'', який, як правило, повинен бути [[Лінійно впорядкована множина|повністю впорядкованою множиною]]. Спочатку цей алфавіт був набором індексованих змінних {{mvar|''x''<sub>1</sub>}}, {{mvar|''x''<sub>2</sub>}}, {{mvar|''x''<sub>3</sub>}}..., але зараз для зручності зазвичай використовується набір чисел. У своїй оригінальній заявці до {{Нп|Теорія представлення симетричної групи|теорії представлення симетричної групи|en|Representation theory of the symmetric group}}, таблиці Юнга мають {{mvar|''n''}} різних записів, довільно призначених коміркам діаграми. Таблиця називається '''стандартною''', якщо записи в кожному рядку та кожен стовпчик збільшуються. Число відмінних стандартних таблиць Юнга на {{mvar|''n''}} записів дається {{Нп|Телефонні номери (математика)|числами інволюції|en|Telephone number (mathematics)}}

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... (послідовність [https://oeis.org/A000085 A000085] в [[Енциклопедія послідовностей цілих чисел|ЕПЦЧ]])

В інших програмах природно, щоб однаковий номер з'явився більше одного разу (або взагалі не з'явився) у таблиці. Таблиця називається '''напів стандартною''' або ''стовпчико-строгою'', якщо записи трішки збільшуються вздовж кожного рядка і суворо зменшують кожен стовпчик. Записуючи кількість разів, коли кожне число відображається у табличці, дається послідовність, відома як '''вага''' таблиць. Таким чином, стандарт таблиць Юнга являє собою саме напів стандартну таблицю ваги (1,1, ..., 1), яка вимагає, щоб кожне ціле число до {{mvar|''n''}} з'являлося  рівно один раз.

=== Варіації ===
Існує декілька варіантів цього визначення: наприклад, суворого-рядкова таблиця, яка збільшує кількість записів по рядках і збільшує колонки. Також були розглянуті таблички зі ''зменшувальними записами'', зокрема, в {{Нп|Теорія плоских перегородок|теорії плоских перегородок|en|Plane partition}}. Існують також узагальнення, такі як таблиця доміно або стрічкова таблиця, в якій декілька комірок можуть бути згруповані разом перед призначенням записів до них.

=== Асиметричні таблиці ===
[[Файл:Skew_tableau_5422-21.svg|праворуч|міні|200пкс|Асиметрична таблиця форми (5, 4, 2, 2)/ (2, 1), англійське позначення]]
'''Асиметрична форма''' являє собою пару розділів ({{mvar|''λ''}},{{mvar|''μ''}}) таких, що діаграма Юнга {{mvar|''λ''}} містить діаграму Юнга {{mvar|''μ''}}; це позначається {{mvar|''λ''}}/{{mvar|''μ''}}. Якщо {{mvar|''λ''}} = ({{mvar|''λ''}}<sub>1</sub>,{{mvar|''λ''}}<sub>2</sub>,...) і {{mvar|''μ''}}=({{mvar|''μ''}}<sub>1</sub>,{{mvar|''μ''}}<sub>2</sub>,...),, то сховище діаграм означає, що {{mvar|''μ''<sub>''i''</sub>}}&nbsp;≤&nbsp;{{mvar|''λ''<sub>''i''</sub>}} для всіх {{mvar|''i''}}. '''Діаграма асиметричної форми''' {{mvar|''λ''}}/{{mvar|''μ''}} - це теоретико-множинна різниця діаграми Юнга та діапазонів {{mvar|''λ''}} та {{mvar|''μ''}}: множина квадратів, що належать до діаграми {{mvar|''λ''}}, але не до {{mvar|''μ''}}. Асиметрична таблиця форми {{mvar|''λ''}}/{{mvar|''μ''}} отримується заповненням квадратів відповідної асиметричної діаграми; така таблиця є напів стандартом, якщо записи в кожному її рядку повільно зростають і суворо збільшуються в кожному стовпчику, і це нормально, якщо всі числа від 1 до числа квадратів асиметричної діаграми з'являються рівно один раз. У той час як карта з розділів на їх діаграму Юнга ін'єктивна, це не так з карти з асиметричною фігурою на асиметричну діаграму;<ref>For instance the skew diagram consisting of a single square at position (2,4) can be obtained by removing the diagram of μ = (5,3,2,1) from the one of λ = (5,4,2,1), but also in (infinitely) many other ways. In general any skew diagram whose set of non-empty rows (or of non-empty columns) is not contiguous or does not contain the first row (respectively column) will be associated to more than one skew shape.</ref> отже, форма асиметричної діаграми не завжди може бути визначена тільки з набору заповнених квадратів. Незважаючи на те, що багато властивостей асиметричних таблиць залежать лише від заповнених квадратів, деякі операції, визначені на них, вимагають явного знання {{mvar|''λ''}} та {{mvar|''μ''}}, тому важливо, щоб асиметричні таблиці записували цю інформацію: дві різні асиметричні таблиці можуть відрізнятися лише за своєю формою, в той час як вони матимуть один і той же набір квадратів, кожен з яких заповнюється однаковими записами.<ref>A somewhat similar situation arises for matrices: the 3-by-0 matrix {{mvar|''A''}} must be distinguished from the 0-by-3 matrix {{mvar|''B''}}, since {{math|''AB''}} is a 3-by-3 (zero) matrix while {{math|''BA''}} is the 0-by-0 matrix, but both {{mvar|''A''}} and {{mvar|''B''}} have the same (empty) set of entries; for skew tableaux however such distinction is necessary even in cases where the set of entries is not empty.</ref> Таблиці Юнга можуть бути ідентифіковані з асиметричною таблицею, в якій {{mvar|''μ''}} - порожній розділ (0) (унікальний розділ 0).

Будь-яка напів стандартна таблиця {{mvar|''T''}} з формою {{mvar|''λ''}}/{{mvar|''μ''}} з позитивними цілими записами породжує послідовність розділів (або діаграми Юнга), починаючи з {{mvar|''μ''}}, і беручи за розділ {{mvar|''i''}}, розміщується далі в послідовності, в якій діаграма отримується з  {{mvar|''μ''}}, додавши всі поля, що містять значення value&nbsp;≤&nbsp;{{mvar|''i''}} в {{mvar|''T''}}; цей розділ з часом стає рівним {{mvar|''λ''}}. Будь-яка пара послідовних форм у такій послідовності є асиметричною формою, діаграма якої містить не більше одного коду в кожному стовпчику; такі форми називаються '''горизонтальними смугами'''. Ця послідовність розділів повністю визначає {{mvar|''T''}}, і насправді можна визначити 
напів стандартною таблицею як такі послідовності, як це робив Макдональд (Macdonald 1979, p. 4).Це визначення включає розділи {{mvar|''λ''}} і {{mvar|''μ''}} у даних, що містять асиметричну таблицю.

== Огляд програм ==
Таблиці Юнга мають численне застосування в [[Комбінаторика|комбінаториці]], [[Теорія представлень|теорії представлень]] та [[Алгебрична геометрія|алгебраїчній геометрії]]. Розглянуто різні способи підрахунку "Таблиць Юнга" і доведено спосіб визначення та ідентифікації для [[Поліном Шура|функцій Шура]]. Відомо багато комбінаторних алгоритмів на таблицях, в тому числі Шютценбергера та {{Нп|Кореспонденція робінзона-Шентейта_кнута|кореспонденція Робінзона-Шенштейта-Кнута|en|Robinson–Schensted–Knuth correspondence}}. Ласкукс і Шютценбергер вивчали [[Асоціативність|асоціативний]] продукт на наборі всіх напів стандартних таблиць Юнга, надавши їм структуру під назвою {{Нп|Пластичний моноїд|пластичний моноід|en|Plactic monoid}} (французька: le monoïde plaxique).

У теорії зображень стандартні таблиці Юнга з розміром {{mvar|''k''}} описують основи нескоротних уявлень [[Симетрична група|симетричної групи]] на {{mvar|''k''}} букв. {{Нп|Стандартна мономерна основа||en|Standard monomial theory}} в кінцевомірному {{Нп|Нескоротне представлення|нескоротному представленні|en|Irreducible representation}} [[Загальна лінійна група|загальної лінійної групи]] {{math|''GL''<sub>''n''</sub>}} параметризована набором напів стандартних таблиць Юнга фіксованої форми над алфавітом {1, 2, ..., {{mvar|''n''}}}. Це має важливі наслідки для  [[Теорія інваріантів|теорії інваріантів]], починаючи від роботи [[Вільям Воланс Дуглас Годж|Годжа]] на {{Нп|Однорідне координатне кільце|однорідному координатному кільці|en|Homogeneous coordinate ring}} [[грассманіан]]у який далі досліджує [[Джан-Карло Рота]] з співавторами, включаючи {{Нп|Коррадо де Конкіні|Конкіна|en|Corrado de Concini}} і {{Нп|Клаудіо Процесі||en|Claudio Procesi}}, а також {{Нп|Девід Ейзенбуд|Ейзенбуда|en|David Eisenbud}}. {{Нп|Правило Літлвуда-Річардсона||en|Littlewood–Richardson rule}}, що описує (серед інших речей) [[Тензорний добуток|розпад тензорного добутку]] нескоротних уявлень {{math|''GL''<sub>''n''</sub>}} на нескоротні компоненти, сформульовано в термінах певного асиметричної напівстандартної таблиці.

Застосування до алгебраїчного центру геометрії навколо {{Нп|числення Шуберта|числення Шуберта|en|Schubert calculus}} на грассманіанах та {{Нп|Загальні різновиди прапорів|різновидах знаменів|en|Generalized flag variety}}. Деякі важливі класи [[Гомологія (математика)|гомології]] можуть бути представлені {{Нп|Поліноми Шуберта|поліномами Шуберта|en|Schubert polynomial}} та описані в термінах таблиць Юнга.

== Застосування в теорії зображень ==
''Дивіться також:{{li|Теорія зображень симетричної групи|Q=Q7314231}}
''

Діаграми Юнга знаходяться в тісному  взаємозв'язку з {{iw2|Незвідні представлення|незвідними зображеннями|en|Irreducible representation}} [[Симетрична група|симетричної групи]] над [[Комплексне число|комплексними числами]]. Вони забезпечують зручний спосіб визначення {{Нп|Симетризатори Юнга|симетризаторів Юнга|en|Young symmetrizer}}, з яких побудовані {{Нп|Незвідні представлення|незвідні зображення|en|Irreducible representation}}. Багато фактів про зображення можна вивести з відповідної діаграми. Нижче ми описуємо два приклади: визначення розмірності  зображення та обмеження зображення. В обох випадках ми побачимо, що деякі властивості представлення можна визначити, використовуючи лише його діаграму.

Діаграми Юнга також параметризують незвідні поліноміальні зображення [[Загальна лінійна група|загальної лінійної групи]] {{math|''GL''<sub>''n''</sub>}} (коли вони мають не більше {{mvar|''n''}} непорожніх рядків) або незвідні зображення [[Спеціальна лінійна група|спеціальної лінійної групи]]  {{math|''SL''<sub>''n''</sub>}} (коли вони мають не більше {{math|''n'' − 1}} порожніх рядків), або незвідні комплексні зображення [[Спеціальна унітарна група|спеціальної унітарної групи]] {{math|''SU''<sub>''n''</sub>}} (знову ж таки, коли вони мають не більше {{math|''n'' − 1}} порожніх рядків). У цих випадках центральну роль відіграє напів стандартна таблиця з записами до {{mvar|''n''}}, а не стандартна таблиця; зокрема це число тих таблиць, які визначають розмір представлення.

=== Розмірність  зображення ===
[[Файл:Hook_length_for_541_partition.svg|міні|праворуч|Довжини гаків коробок для перегородки 10 = 5 + 4 + 1]]
Розмір нескоротного представлення {{math|''π''<sub>''λ''</sub>}} симетричної групи {{math|''S''<sub>''n''</sub>}}, що відповідає розбиттю {{mvar|''λ''}} з {{mvar|''n''}}, дорівнює кількості різних стандартних  таблиць Юнга, які можна отримати з діаграми представлення. Цей номер можна розрахувати за {{Нп|Формула довжини гачка|формулою довжини гачка|en|Hook length formula}}.

Гачок з '''довжиною гачка''' {{math|hook(''x'')}} комірки {{mvar|''x''}} у діаграмі Юнга {{math|''Y''(''λ'')}} форми {{mvar|''λ''}} - це число комірок, що знаходяться в одному рядку справа від нього, а також ті комірки в тому ж стовпчику під ним, плюс один (для самої комірки). За формулою довжини гачка розмір нескоротного зображення - {{math|''n''!}} поділена на виріб довжини гачка всіх комірок у діаграмі подання:
:<math>\dim\pi_\lambda = \frac{n!}{\prod_{x \in Y(\lambda)} \operatorname{hook}(x)}.</math>
На малюнку праворуч показано довжини гаків для всіх комірок на діаграмі розділу 10 = 5 + 4 + 1. Таким чином
: <math>\dim\pi_\lambda = \frac{10!}{7\cdot5\cdot 4 \cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot1} = 288.</math>
Аналогічно, розмір нескоротного представлення {{math|''W''(''λ'')}} {{math|GL<sub>''r''</sub>}}, що відповідає розбиттю ''λ'' з ''n'' (з не більше ''r'' частинами), - це число напівстандартного зображення Юнга у формі ''λ'' (що містить лише записи від 1 до r), яке задається формулою довжини гачка:
: <math>\dim W(\lambda) = \prod_{(i,j) \in Y(\lambda)} \frac{r+j-i}{\mathrm{hook}(i,j)},</math>
де індекс ''i'' дає рядок і колонку j комірки.<ref>Predrag Cvitanović (2008). Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups. Princeton University Press., eq. 9.28 and appendix B.4</ref> Наприклад, розділ (5, 4, 1) ми отримуємо як розмір відповідного нескоротного представлення GL7 (переміщення кодів рядками):
: <math>\dim W(\lambda) = \frac{7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 5}{7\cdot5\cdot 4 \cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot1} = 66 528.</math>

===Обмежені зображення===
Представлення симетричної групи на {{mvar|''n''}} елементах, {{math|''S''<sub>''n''</sub>}} також є зображеннями  симетричної групи на {{math|''n'' − 1}} елемента {{math|''S''<sub>''n''−1</sub>}}. Однак неприйнятне зображення {{math|''S''<sub>''n''</sub>}} не може бути неприйнятним для {{math|''S''<sub>''n''−1</sub>}}. Натомість це може бути [[пряма сума]] декількох уявлень, які нескоротні для ''Sn-1''. Ці уявлення потім називаються факторами {{Нп|Обмежене представлення|обмеженого зображення|en|Restricted representation}} (див. також {{Нп|Індуковане подання||en|Induced representation}}).

Питання про визначення цього розкладу обмеженого представлення даного незвідного зображенням ''S''<sub>''n''</sub>, що відповідає розбиттю {{mvar|''λ''}} з {{mvar|''n''}}, відповідає наступним чином. Один з них утворює набір всіх діаграм Юнга, які можна отримати з діаграми форми {{mvar|''λ''}}, видаливши лише одну комірку (яка повинна бути в кінці його рядка та її стовпчика); потім обмежене представлення розкладається як пряма сума незвідних представлень {{math|''S''<sub>''n''−1</sub>}}, що відповідають тим діаграмам, кожен з яких з'являється лише  один раз у сукупності.

== Дивіться також ==
*{{Нп|Шур-Вейл подвійність||en|Schur–Weyl duality}}
*{{Нп|Решітка Юнга||en|Young's lattice}}
*{{Нп|Листування Робінзон-Шенченд||en|Robinson–Schensted correspondence}}

== Примітки ==
{{reflist}}

== Список літератури ==
* William Fulton. ''Young Tableaux, with Applications to Representation Theory and Geometry''. Cambridge University Press, 1997, {{ISBN|0-521-56724-6}}.
* Howard Georgi, Lie Algebras in Particle Physics, 2nd Edition - Westview
* Macdonald, I. G. ''Symmetric functions and Hall polynomials.'' Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii+180 pp. {{ISBN|0-19-853530-9}} {{MathSciNet|id=553598}}
* Laurent Manivel. ''Symmetric Functions, Schubert Polynomials, and Degeneracy Loci''.  American Mathematical Society.
* Jean-Christophe Novelli, Igor Pak, Alexander V. Stoyanovkii, "[https://dmtcs.episciences.org/239 A direct bijective proof of the Hook-length formula] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170828232909/https://dmtcs.episciences.org/239 |date=28 серпня 2017 }}", ''Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science'' '''1''' (1997), pp.&nbsp;53–67.
* Bruce E. Sagan. ''The Symmetric Group''. Springer, 2001, {{ISBN|0-387-95067-2}}
* {{Springer|last=Vinberg|first=E.B.|author-link=Ernest Vinberg|authorlink=Ernest Vinberg|id=Y/y099100}}
* Predrag Cvitanović, ''Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups''. Princeton University Press, 2008.

== Посилання ==
* Eric W. Weisstein. "[http://mathworld.wolfram.com/FerrersDiagram.html Ferrers Diagram] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170829210735/http://mathworld.wolfram.com/FerrersDiagram.html |date=29 серпня 2017 }}". From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
* Eric W. Weisstein. "[http://mathworld.wolfram.com/YoungTableau.html Young Tableau] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171202054332/http://mathworld.wolfram.com/YoungTableau.html |date=2 грудня 2017 }}." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
* [http://www.findstat.org/SemistandardTableaux Semistandard tableaux] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180804131636/http://www.findstat.org/SemistandardTableaux |date=4 серпня 2018 }} entry in the [http://www.findstat.org/ FindStat] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201031103908/http://www.findstat.org/ |date=31 жовтня 2020 }} database
* [http://www.findstat.org/StandardTableaux Standard tableaux] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171222120508/http://www.findstat.org/StandardTableaux |date=22 грудня 2017 }} entry in the [http://www.findstat.org/ FindStat] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201031103908/http://www.findstat.org/ |date=31 жовтня 2020 }} database

[[Категорія:Теорія представлень скінченних груп]]
[[Категорія:Симетричні функції]]
[[Категорія:Розбиття числа]]