Перегляд вихідного коду сторінки Дріб

{{otheruses}}
{| cellpadding=6 align=right style="margin-left: 20px"
 | colspan=2 align=center|<math>8~/~13</math>
 | rowspan=2 |&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\frac{8}{13}</math>
 |<small>чисельник</small>
 |-
 |<small>чисельник</small>
 |<small>знаменник</small>
 |<small>знаменник</small>
 |-
 | colspan=4 align=center bgcolor=#FFFF99 |Два способи запису одного дробу
 |}
'''Дріб''' (''звичайний дріб'', ''простий дріб'')&nbsp;— у [[математика|математиці]] це представлення чисел або математичних величин у вигляді результату операції [[ділення]].

Найчастіше дріб подається у формі <math>a \over b</math>, де [[ділене]] ''a'' називають [[чисельник]]ом, а [[дільник]] ''b''&nbsp;— [[знаменник]]ом дробу. Також рівнозначно застосовують форму ''a:b'' або ''a/b''. Знаменник дробу не може дорівнювати нулю.

Історично, через дроби були побудовані [[раціональні числа]], коли чисельник та знаменник&nbsp;— [[цілі числа]].

Дроби застосовують для позначення частин деяких об'єктів. Наприклад:
* 2/3 (читається «дві третини») мешканців міста,
* 1/5 (читається «одна п'ята») кімнати.
[[Файл:Cake quarters.svg|thumb|right|225px|Зображення дробів на прикладі торта. Четверта частина торта&nbsp;— відсутня. Залишилося три чверті.]]

== Види дробів ==
* Раціональні дроби
* [[Десятковий дріб|Десяткові дроби]]
* Правильні та неправильні дроби
* [[Мішане число|Мішані дроби]]
* Взаємно обернені дроби
* [[Ланцюговий дріб|Ланцюгові дроби]]

== Правильні та неправильні дроби ==
Якщо чисельник менший від знаменника, то такий дріб називається ''правильним:''

<math>3 \over 5</math>.

Якщо чисельник більший від знаменника або рівний йому, то такий дріб називається ''неправильним:''

<math>7 \over 2</math> або <math>2 \over 2</math>.

Неправильні дроби погоджено подавати у вигляді ''[[Мішане число|мішаних чисел]]'':

<math>{7 \over 2}=3{1 \over 2}</math>.

Для того, щоб перетворити неправильний дріб на мішане число, потрібно чисельник поділити на знаменник. Наприклад, дробом 7/2 можна записати результат ділення числа 7 на число 2. Тоді цілу і дробову частини мішаного числа можна знайти так<ref>{{Cite web|url=https://shkola.in.ua/2597-matematyka-5-klas-merzliak-2022.html|title=29. Мішані числа — Математика 5 клас Мерзляк|language=Українська|isbn=978-966-474-368-3|archive-url=https://web.archive.org/web/20221208001812/https://shkola.in.ua/2597-matematyka-5-klas-merzliak-2022.html|archive-date=8 грудня 2022|accessdate=29 квітня 2023}}</ref>:
# Виконуємо ділення націло: 7:2 = 3 (залишок 1).
# Отримана неповна частка (3) буде цілою частиною мішаного числа,
# Залишок (1) буде чисельником дробової частини.

== Взаємообернені дроби ==
Два дроби називаються взаємно оберненими, якщо чисельник першого дробу дорівнює знаменнику другого і навпаки. Тобто взаємно оберненими є:<br/>
<math>\frac {a}{b}</math> і <math>\frac {b}{a}</math>.<br/>
Дріб, обернений до цілого числа, має як чисельник одиницю, а як знаменник&nbsp;— це саме число. Тобто взаємно оберненими є:<br/>
<math>a</math> і <math>\frac{1}{a}</math>.<br/>
Число 1 обернене саме до себе.

== Операції над дробами ==
У даній статті подається спрощене пояснення операцій над раціональними числами. Для детальнішого теоретичного пояснення, дивіться статтю про [[раціональне число]].

=== Спрощення ===
Заміна дробу на рівний йому дріб шляхом ділення чисельника і знаменника на одне і те ж [[натуральне число]], яке є їх спільним дільником.

=== Скорочення ===
Спрощення дробу на [[найбільший спільний дільник]] чисельника та знаменника.

Дріб називають ''нескоротним'', якщо найбільший спільний дільник чисельника і знаменника дорівнює 1.

=== Додавання ===
Сумою двох дробів із ''спільним'' (однаковим) знаменником є дріб, чисельник якого дорівнює сумі чисельників, а знаменник дорівнює спільному знаменнику доданків.

Щоб додати два дроби a:b та c:d, слід спершу ''звести'' їх до ''спільного знаменника'', тобто помножити чисельник та знаменник кожного дробу на знаменник іншого{{джерело?}}. Таким чином, ми отримаємо два дроби із однаковими знаменниками:

: <math>{{ a \over b } + { c \over d }} = {{ {a d} \over {b d} } + { {c b} \over {d b} }} = {{a d + c b} \over {b d}} </math>.

=== Віднімання ===
За аналогією із додаванням дробів, визначається їх '''різниця''':

: <math>{{ a \over b } - { c \over d }} = {{ a \over b } + { -c \over d }} = {{ {a d} \over {b d} } + { {-c b} \over {b d} }} = {{a d - c b} \over {b d}} </math>.

Тобто, змінивши знак чисельника другого доданку на протилежний, ми просто додаємо їх.

=== Множення ===
Добутком двох дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник&nbsp;— добутку знаменників. Якщо чисельник одного дробу і знаменник того самого або іншого дробу утворюють скоротний дріб, то його можна скоротити.

: <math>{ a \over b } \cdot { c \over d }} = {{ a c } \over { b d }</math>.
Якщо помножити дріб на його знаменник, вийде його чисельник:
: <math>\frac{a}{b}\times b=a</math>.
Добутком двох взаємно обернених дробів є завжди 1:
: <math>{a \over b}\times{b \over a}=1</math>.

'''Множення дробу на натуральне число.''' Добуток дробу і натурального числа є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельника із натуральним числом, а знаменник лишається без зміни.

Приклади:
: <math>\frac{3}{7}\cdot 2 = \frac{3\cdot 2}{7} = \frac{6}{7}</math>,
: <math>\frac{1}{2}\cdot 4 = \frac{4}{2} = 2</math>.

'''Множення мішаних чисел.''' Для того щоб помножити два мішаних числа, потрібно:
* перетворити мішані дроби в неправильні;
* перемножити чисельники і знаменники дробів;
* скоротити отриманий дріб;
* якщо було отримано неправильний дріб потрібно перетворити його в мішаний.<ref>{{Cite web|title=Множення дробів.|url=http://ua.onlinemschool.com/math/library/fraction/multiplication/|website=ua.onlinemschool.com|accessdate=2019-04-25|language=uk|archive-date=25 квітня 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20190425102117/http://ua.onlinemschool.com/math/library/fraction/multiplication/}}</ref>

'''''Знаходження добутку двох мішаних чисел:''''' <math>{2} \tfrac{1}{2} \cdot {1} \tfrac{2}{3} = \tfrac{4 + 1}{2} \cdot \tfrac{3 + 2}{3} = \tfrac{5}{2} \cdot \tfrac{5}{3} = \tfrac{25}{6} = {4}\tfrac{1}{6}</math>.

'''''Знаходження добутку мішаного дробу і цілого числа:''''' <math>{4} \tfrac{1}{3} \cdot 6 = \tfrac{12 + 1}{3} \cdot 6 = \tfrac{13 \cdot 6}{3} = 26</math>.

'''''Знаходження добутку мішаного і звичайного дробу:''''' <math>{2} \tfrac{1}{7} \cdot \tfrac{3}{5} = \tfrac{14 + 1}{7} \cdot \tfrac{3}{5} = \tfrac{15\cdot 3}{7\cdot 5} = \tfrac{9}{7} = {1}\tfrac{2}{7}</math>.

=== Ділення ===
Часткою двох дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельника діленого на знаменник дільника, а знаменник&nbsp;— добутку знаменника діленого на чисельник дільника:

: <math>{{ a \over b } : { c \over d }} = {{ a \over b } \over { c \over d }} = {{ a d } \over { b c }}</math>.

'''Ділення дробу на натуральне число.''' Щоб поділити дріб на натуральне число, потрібно знаменник дробу помножити на дане число, а чисельник залишити без змін.

Приклад:
: <math>\tfrac{3}{7} \div {2} = \tfrac{3} {7 \cdot 2} = \tfrac{3}{14}</math>.

'''Ділення натурального числа на дріб.''' Щоб поділити натуральне число на дріб, потрібно число помножити на дріб обернений заданому. ''Щоб отримати дріб, обернений даному, слід поміняти місцями чисельник і знаменник.''

Приклади:
: <math>{2} \div \tfrac{7}{2} = {2} \cdot \tfrac{2}{7} = \tfrac{4}{7}</math>.
: <math>{2} \div \tfrac{4}{5} = {2} \cdot \tfrac{5}{4} = \tfrac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2} = \tfrac{ 4 + 1}{2} = {2} \tfrac{1}{2}</math>.

'''Ділення звичайних дробів.''' Щоб поділити один дріб на інший, потрібно помножити перший дріб на дріб, обернений даному.

Приклади:
: <math>\tfrac{3}{7} \div \tfrac{4}{5} = \tfrac{3}{7} \cdot  \tfrac{5}{4} = \tfrac{3 \cdot 5}{7 \cdot 4} = \tfrac{15}{28}</math>,
: <math>\tfrac{6}{7} \div \tfrac{4}{7} = \tfrac{6}{7} \cdot \tfrac{7}{4} = \tfrac{6 \cdot 7}{7 \cdot 4} = \tfrac{3}{2} = {1} \tfrac{1}{2}</math>.

'''Ділення мішаних чисел.''' Щоб поділити одне мішане число на інше, потрібно:
* перетворити мішані числа в неправильні дроби;
* помножити перший дріб на дріб, обернений даному;
* скоротити отриманий дріб;
* якщо було отримано неправильний дріб, перетворити його в мішане число.<ref>{{Cite web|title=Ділення дробів.|url=http://ua.onlinemschool.com/math/library/fraction/division/|website=ua.onlinemschool.com|accessdate=2019-04-25|language=uk|archive-date=25 квітня 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20190425102123/http://ua.onlinemschool.com/math/library/fraction/division/}}</ref>
Приклади:
: <math>{1} \tfrac{1}{2} \div {2} \tfrac{2}{3} = \tfrac{2 + 1}{2} \div \tfrac{6 + 2}{3} = \tfrac{3}{2} \div \tfrac{8}{3} = \tfrac{3}{2} \cdot \tfrac{3}{8} = \tfrac{9}{16}</math>,
: <math>{2} \tfrac{1}{7} \div \tfrac{3}{5} = \tfrac{14 + 1}{7} \div \tfrac{3}{5} = \tfrac{15}{7} \cdot \tfrac{5}{3} = \tfrac{25}{7}  = {3} \tfrac{4}{7}</math>.

== Порівняння ==
Якщо знаменники дробів рівні, то більший той дріб, у якого чисельник більший:

<math> \frac{2}{7} < \frac{4}{7}</math>.

Якщо чисельники дробів рівні, то більший той дріб, у якого знаменник менший:

<math> \frac{1}{2} > \frac{1}{4}</math>.

Щоби порівняти дроби з різними знаменниками їх можна звести їх до однакових знаменників і потім порівняти їх:

Наприклад, що більше, <math> \frac{4}{7} </math> чи <math> \frac {2}{3} </math> ?
: <math> \frac{4}{7} = \frac{4\cdot 3}{7\cdot 3} = \frac{12}{21}, \qquad  \frac{2}{3} = \frac{2\cdot 7}{3\cdot 7} = \frac{14}{21} </math>.

Отже,
: <math> \frac{4}{7} < \frac{2}{3}</math>.

== Пропорції ==
Пропорції використовують дроби для представлення ''відношень'', тобто того факту, що відношення певних складових частин двох предметів до відповідного цілого предмету є однаковим. Подається цей факт як правило у формі:

: <math>{ a \over b } = { c \over d }</math>

=== Похідні пропорції ===
Із цього факту виводяться формули для ''похідних пропорцій'':

: <math>{{m a + n b} \over {p a + q b}} = {{m c+ n d} \over {p c + q d}}</math>

де

: <math>p a + q b \ne 0</math>
: <math>p c + q d \ne 0</math>

Висновок:

Із <math>{ a \over b } = { c \over d }</math> слідує (помножимо ліву і праву частину рівності на ''b''):

: <math>{ a } = { {c b} \over d }</math>

Підставимо отриманий вираз для ''a'' в формулу похідної пропорції:

: <math>{{m a + n b} \over {p a + q b}} = 
{{m {{c b} \over d } + n b} \over {p {{c b} \over d } + q b}} = 
{{{{m c b} \over d } + n b} \over {{{p c b} \over d } + q b}} = 
{{{m c b + n b d} \over d } \over {{p c b + q d b} \over d }} = 
{{{b(m c + n d)} \over d } * { d \over {b(p c + q d)} }} =
{{m c + n d} \over {p c + q d}}</math>

=== Часткові випадки ===
: <math>{{a \pm b} \over b} = {{c \pm d} \over d}</math>,
: <math>{{a - b} \over {a + b}} = {{c - d} \over {c + d}}</math>

Очевидно,

: <math>a + b \ne 0</math>
: <math>c + d \ne 0</math>

== Алгебраїчні дроби ==
{{Main|Алгебраїчний дріб}}
{{Вичитати|розділ|дата=липень 2021}}

Алгебраїчний дріб&nbsp;— це [[Частка (математика)|відношення]] двох [[Алгебраїчний вираз|алгебраїчних виразів]]. Як у випадку із частками цілих чисел, знаменник алгебраїчного дробу не може дорівнювати нулю. Наведемо два приклади алгебраїчних дробів:

<math>\frac{3x}{x^2+2x-3}</math> та <math>\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}</math>.

Алгебраїчні дроби є предметом того ж самого [[Поле (алгебра)|поля властивостей]], як арифметичні дроби.

Якщо в чисельнику і знаменнику дробу [[Многочлен|поліноми]], як у <math>\frac{3x}{x^2+2x-3}</math>, алгебраїчний дріб називається '''раціональним дробом''' (або '''раціональним виразом'''). '''Ірраціональний дріб''' це такий дріб, який не є раціональним, як, наприклад, такий, що містить змінну під дробовим степенем або коренем, як у <math>\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}</math>.

Термінологія, яка використовується для описання алгебраїчних дробів подібна до тої, що і для звичайних дробів. Наприклад, алгебраїчні дроби мають найменший кратний знаменник, якщо єдиним спільним множником для чисельника і знаменника є 1 і −1. Алгебраїчний дріб, в якому чисельник або знаменник, або вони обидва, містить дріб, як, наприклад, <math>\frac{1 + \tfrac{1}{x}}{1 - \tfrac{1}{x}}</math>, називається '''складним дробом'''.

== Педагогічні інструменти ==
У школі дріб можна демонструвати за допомогою різних інструментів. Можна використовувати частини кіл, частини стрічок, папір (для згортання або розрізання), частини у формі пирога, папір у клітинку, лічильні палички або [[Геодошка|геодошку]], [[палички Кюїзенера]], {{Нп|шаблонний блок|||Pattern block}} та різне програмне забезпечення.

== Див. також ==
* [[0,(9)]]
* [[Розкладання раціональних дробів на елементарні дроби]]
* [[Перехресне множення]]
* [[Позбавлення від знаменників]]
* [[Медіанта (математика)]]
* [[FRACTRAN]]

== Посилання в тексті ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* Г.Корн, Т.Корн «Справочник по математике для научних работников и инженеров»
* Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник/ Пер. с. англ.&nbsp;— М.: Издательский дом «Додэка- XXI»,2008.&nbsp;— 544 с.

== Посилання ==
* {{УСЕ-4|[http://slovopedia.org.ua/29/53396/10558.html  Дріб]}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Поняття раціонального дробу|сторінки=389}}

{{Ділення і дроби}}

[[Категорія:Дроби]]
[[Категорія:Ділення]]
[[Категорія:Елементарна арифметика]]