Перегляд вихідного коду сторінки Другий закон Ньютона

{{unibox}}{{Класична механіка}}
'''Другий закон Ньютона'''&nbsp;— диференціальний [[Фізичний закон|закон]] [[Рух (механіка)|механічного руху]], що описує залежність [[прискорення]] тіла від рівнодійної всіх прикладених до тіла [[Сила|сил]] і маси тіла. Один з трьох [[Закони Ньютона|законів Ньютона]]. Основний закон [[Динаміка|динаміки]]<ref>''Г.&nbsp;А.&nbsp;Бугаенко, {{нп|Маланін Володимир Володимирович|В.&nbsp;В.&nbsp;Маланин|ru|Маланин, Владимир Владимирович}}, {{нп|Яковлєв Вадим Іванович|В.&nbsp;И.&nbsp;Яковлев|ru|Яковлев, Вадим Иванович}}'' Основы классической механики.&nbsp;— Москва, [[Высшая школа]], 1999.&nbsp;— ISBN 5-06-003587-5&nbsp;— Тираж 3000 прим.&nbsp;— c. 43</ref><ref>''[[Кузнецов Борис Григорович|Кузнецов Б. Г.]]'' Основные принципы физики Ньютона // отв. ред. ''{{нп|Григор'ян Ашот Тигранович|Григорьян А. Т.|ru|Григорьян, Ашот Тигранович}}, {{нп|Полак Лев Соломонович|Полак Л. С.|ru|Полак, Лев Соломонович}}'' Очерки развития основных физических идей.&nbsp;— М., [[АН СССР]], 1959.&nbsp;— Тираж 5000 экз.&nbsp;— с. 188;</ref><ref>''Тарасов В. Н., Бояркина И. В., Коваленко М. В., Федорченко Н. П., Фисенко Н. И.'' Теоретическая механика.&nbsp;— М., ТрансЛит, 2012.&nbsp;— ISBN 978-5-94976-455-8.&nbsp;— Тираж 1000 экз.&nbsp;— с. 249</ref>.

Об'єктом (тілом), про яке йдеться в другому законі Ньютона, є [[матеріальна точка]], яка має невід'ємну властивість&nbsp;— [[Інерція|інерцію]]<ref>Те саме, що й ''інертність''. Див. [http://www.femto.com.ua/articles/part_1/1359.html {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191230180155/http://www.femto.com.ua/articles/part_1/1359.html |date=30 грудня 2019 }} статтю "Инерция" у [[Фізична енциклопедія|Фізичній енциклопедії]]]</ref>, величина якої характеризується [[Маса|масою]]. У [[Класична механіка|класичній (ньютонівській) механіці]] маса матеріальної точки вважається сталою в часі і не залежною від будь-яких особливостей її руху і взаємодії з іншими тілами<ref>«Додатковою характеристикою (порівняно з геометричними характеристиками) матеріальної точки є скалярна величина m&nbsp;— маса матеріальної точки, яка, загалом, може бути як постійною, так і змінною величиною… В класичній ньютонівській механіці матеріальна точка зазвичай моделюється геометричною точкою з властивою їй постійною масою, яка є мірою її інерції.» стор. 137 [[Сєдов Леонід Іванович|Седов Л. И.]], Цыпкин А.&nbsp;Г.&nbsp;Основы макроскопических теорий гравитации и электромагнетизма. Москва: Наука, 1989.</ref><ref>{{книга-ру |автор  = Маркеев А. П. |заглавие = Теоретическая механика |ссылка   =  |ответственный =  |место  = М. |издательство  = ЧеРО |год  = 1999 |том  =  |страниц  = 572 |страницы  = 87  |isbn  = }} «Маса матеріальної точки вважається сталою величиною, що не залежить від обставин руху».</ref><ref>{{книга-ру |автор= Голубев Ю. Ф.|заглавие= Основы теоретической механики|ответственный= |ссылка= |место= М.|издательство= МГУ|год= 2000|том= |страниц= 720|страницы= 160|isbn=5-211-04244-1}} «''Аксіома 3.3.1.'' Маса матеріальної точки зберігає своє значення не тільки в часі, але і за будь-яких взаємодій матеріальної точки з іншими матеріальними точками незалежно від їх числа і від природи взаємодій».</ref><ref>{{книга-ру |автор={{нп|Тарг Семен Михайлович|Тарг С. М.|ru|Тарг, Семён Михайлович}} |заглавие= Краткий курс теоретической механики|ответственный= |ссылка= |место= М.|издательство= Высшая школа|год= 1995|том= |страниц= 416|страницы=287 |isbn=5-06-003117-9}} «У класичній механіці маса кожної точки або частинки системи вважається під час руху величиною постійною»</ref>.

Другий закон Ньютона в його найпоширенішому формулюванні, справедливому для [[Швидкість|швидкостей]], значно менших від [[Швидкість світла|швидкості світла]], стверджує: в [[Інерційна система відліку|інерційних системах відліку]] прискорення, якого набуває матеріальна точка, [[Пропорційність (математика)|прямо пропорційне]] силі, що його викликає, і не залежить від її природи<ref>''Бутиков Е. И., Быков А. А., {{нп|Кондратьєв Олександр Сергійович|Кондратьев А. С.|ru|Кондратьев, Александр Сергеевич}}'' Физика для поступающих в вузы.&nbsp;— М.: Наука, 1982.&nbsp;— С.39.</ref>, збігається з нею за напрямком і [[Пропорційність (математика)|обернено пропорційне]] масі матеріальної точки<ref> ''[[Ландсберг Григорій Самійлович|Ландсберг Г. С.]]'' Элементарный учебник физики. Том 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика.&nbsp;— М.: Наука, 1975.&nbsp;— C. 107</ref>.

== Другий закон Ньютона в класичній механіці ==

=== Можливі формулювання ===

* У своїй праці «[[Математичні начала натуральної філософії|Математичні початки натуральної філософії]]» [[Ісаак Ньютон]] наводить таке формулювання<ref>{{книга-ру
 |автор= Исаак Ньютон. |заглавие =Математические начала натуральной философии |место =М. |издательство  = Наука |год=1989 |страницы =40|страниц =690 |серия= «Классики науки» |isbn= 5-02-000747-1 |тираж= 5&nbsp;000}}</ref> свого закону:

<blockquote>Зміна кількості руху пропорційна прикладеній рушійній силі і відбувається у напрямку тієї прямої, вздовж якої ця сила діє.</blockquote>

* Сучасне формулювання:

<blockquote> В інерційних системах відліку прискорення, якого набуває матеріальна точка, [[Пропорційність (математика)|прямо пропорційне]] силі, що його викликає, збігається з нею за напрямком і [[Пропорційність (математика)|обернено пропорційне]] масі матеріальної точки.</blockquote>

: Зазвичай цей закон записується у вигляді [[Формула|формули]]
: <center> <math>\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m},</math> </center>
: де ''<math>\vec{a}</math>''&nbsp;— [[прискорення]] тіла, ''<math>\vec{F}</math>''&nbsp;— [[сила]], прикладена до тіла, а <math>\ m</math>&nbsp;— [[маса]] тіла.

: Або в іншому вигляді:
: <center> <math>m \vec{a} =\vec{F} </math> </center>

* Формулювання другого закону Ньютона з використанням поняття [[Імпульс (механіка)|імпульсу]] :

<blockquote> В інерційних системах відліку [[похідна]] імпульсу матеріальної точки за часом дорівнює силі, що діє на неї<ref>{{книга-ру
 |автор = Сивухин Д. В. |заглавие =Общий курс физики |место =М. |издательство  =Физматлит; изд-во МФТИ |год =2005 |том  =I. Механика |страницы =76 |страниц =560
 |isbn          = 5-9221-0225-7}}</ref>: </blockquote>

: <center> <math>\frac{d\vec{p}}{dt}= \vec{F},</math> </center>
: де <math>\vec p=m\vec v</math>&nbsp;— [[Імпульс (механіка)|імпульс]] (кількість руху) точки, <math>\vec v</math>&nbsp;— її [[швидкість]], а <math>t</math>&nbsp;— [[час]].

=== Область застосування закону ===
Другий закон Ньютона в класичній механіці сформульований стосовно руху матеріальної точки. Передбачається, що маса матеріальної точки незмінна в часі<ref>{{книга-ру |автор  = Маркеев А. П. |заглавие = Теоретическая механика |ссылка   =  |ответственный =  |место  = М. |издательство  = ЧеРО |год  = 1999 |том  =  |страниц  = 572 |страницы  = 254  |isbn  = }} «…другий закон Ньютона справедливий тільки для точки постійного складу. Динаміка систем змінного складу вимагає особливого розгляду».</ref><ref>{{книга-ру |автор  = Иродов И. Е. |заглавие  = Основные законы механики |ссылка   =  |ответственный =  |место  = М. |издательство  = Высшая школа |год           = 1985 |том  =  |страниц  = 248 |страницы  = 41  |isbn  = }}«У ньютонівській механіці… m=const і dp/dt=ma».</ref><ref>{{книга-ру |автор= Kleppner D., Kolenkow R. J.|часть= |ссылка часть= |заглавие= An Introduction to Mechanics|оригинал= |ссылка= http://ru.scribd.com/doc/102675075/An-Introduction-to-Mechanics-1973-Daniel-Kleppner-Robert-Kolenkow |викитека= |ответственный= |издание= |место= |издательство= McGraw-Hill|год= 1973|volume= |pages= 112|allpages= |серия= |isbn= 0-07-035048-5|тираж=}} «Для частинки в ньютонівській механіці, M є константою і (d/dt)(M'''v''') = M(d'''v'''/dt) = M'''a'''».</ref>. Рівняння, відповідні даному закону, називаються ''[[Рівняння руху|рівняннями руху]] [[Матеріальна точка|матеріальної точки]]'' або основними рівняннями динаміки матеріальної точки.

Іноді в рамках класичної механіки були спроби поширити сферу застосування рівняння <math> d \vec{p}/dt = \vec{F}</math> і на випадок тіл змінної маси. Однак разом з таким розширювальним тлумаченням рівняння доводилося істотно змінювати прийняті раніше визначення і зміст таких фундаментальних понять, як ''матеріальна точка, імпульс і сила''<ref name="Зоммерфельд2">{{книга-ру |автор= [[Арнольд Зоммерфельд|Зоммерфельд А.]] |часть= |ссылка часть= |заглавие= Механика |оригинал= ''Sommerfeld A.'' Mechanik. Zweite, revidierte Auflage, 1944|ссылка= |викитека= |ответственный= |издание= |место= Ижевск|издательство= НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»|год= 2001|том= |страницы= 45-46|страниц= 368|серия= |isbn= 5-93972-051-X |тираж=}}</ref><ref>''Кильчевский Н. А.'' Курс теоретической механики. Том 1.&nbsp;— М.: Наука, 1977. 480 с.</ref>.

У разі, коли на матеріальну точку діє декілька сил, кожна з них надає точці прискорення, яке визначається другим законом Ньютона так, ніби інших сил немає (принцип незалежності дії сил). Тому кінцеве прискорення матеріальної точки можна визначити за другим законом Ньютона, підставивши у нього [[Сила|рівнодійну силу]].

Рівняння другого закону Ньютона <math>\vec{F} = m \vec{a}</math> припускає скалярну [[адитивність]] мас<ref>''Орир Дж.'' Физика // М., Мир, 1981.&nbsp;— Тираж 75 000 экз.&nbsp;— Том 1.&nbsp;— с. 54</ref>.

Крім матеріальної точки, рівняння другого закону Ньютона можна застосувати також для опису механічного руху [[Центр інерції|центра мас]] механічної системи. Центр мас рухається, як матеріальна точка, яка має масу, рівну масі всієї системи, і яка перебуває під дією всіх зовнішніх сил, прикладених до точок системи ([[теорема про рух центра мас системи]]).

Другий закон Ньютона виконується тільки в інерційних системах відліку<ref>''{{нп|Савельєв Ігор Володимирович (фізик)|Савельев И. В.|ru|Савельев, Игорь Владимирович}}'' Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика.&nbsp;— М.: Наука, 1987.&nbsp;— C. 118</ref><ref> ''[[Ландсберг Григорій Самійлович|Ландсберг Г. С.]]'' Элементарный учебник физики. Том 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика.&nbsp;— М.: Наука, 1975.&nbsp;— C. 289</ref>. Проте, додаючи до сил, що діють з боку інших тіл, [[Сила інерції|сили інерції]], для опису руху в неінерційних системах відліку можна користуватися рівнянням другого закону Ньютона<ref> ''[[Савельєв Ігор Володимирович (фізик)|Савельев И. В.]]'' Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика.&nbsp;— М.: Наука, 1987.&nbsp;— C. 118—119</ref>. В такому випадку для [[Неінерціальна система відліку|неінерційної системи відліку]] рівняння руху записується в тій самій формі, що й для інерційної системи: маса тіла, помножена на його прискорення відносно неінерційної системи відліку, дорівнює за величиною і напрямком рівнодійній всіх сил, включно із силами інерції, прикладеними до тіла<ref> ''[[Ландсберг Григорій Самійлович|Ландсберг Г. С.]]'' Элементарный учебник физики. Том 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика.&nbsp;— М.: Наука, 1975.&nbsp;— C. 291</ref><ref> ''[[Савельєв Ігор Володимирович (фізик)|Савельев И. В.]]'' Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика.&nbsp;— М.: Наука, 1987.&nbsp;— C. 119</ref>.

=== Логічна роль другого закону Ньютона ===
У ньютонівському викладі класичної механіки закони Ньютона нізвідки не «виводяться», вони мають статус [[Аксіома|аксіом]], що ґрунтуються на сукупності експериментальних фактів. Як і аксіоми математики, аксіоми ньютонівської динаміки можна сформулювати трохи по-різному.

За одного підходу другий закон Ньютона позиціюється як експериментально перевірюване твердження про пропорційність прискорення силі, що його викликає і, одночасно, визначення інертною [[Маса|маси]] тіла через відношення величин сили і прискорення<ref>''[[Ландсберг Григорій Самійлович|Ландсберг Г. С.]]'' Элементарный учебник физики. Том 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика.&nbsp;— М.: Наука, 1975.&nbsp;— C. 106</ref><ref>''{{нп|Хайкін Семен Еммануїлович|Хайкин С. Э.|ru|Хайкин, Семён Эммануилович}}'' Физические основы механики.&nbsp;— М.: Физматгиз, 1963.&nbsp;— C. 104</ref>. Тоді основна ідея другого закону полягає в декларації лінійності співвідношення «сила-прискорення», тобто що саме ці величини (а не, скажімо, сила і швидкість) і саме таким чином (а не квадратично тощо) пов'язані між собою.

За іншого підходу можна ввести [[Маса|інертну масу]] незалежно від другого закону Ньютона, через масу певного тіла, прийнятого за еталон. Тоді другий закон містить два незалежно експериментально перевірюваних твердження: про пропорційність прискорення силі і обернену пропорційність масі<ref>''Бутиков Е. И., Быков А. А., Кондратьев А. С.'' Физика для поступающих в вузы.&nbsp;— М.: Наука, 1982.&nbsp;— С. 30.</ref>.

У багатьох практичних і навчальних задачах другий закон Ньютона дозволяє обчислювати [[Сила|силу]]. Але цей закон не є дефініцією сили<ref>''[[Річард Філіпс Фейнман|Р.&nbsp;Ф.&nbsp;Фейнман]]'' Фейнмановские лекции по физике. Том I. Современная наука о природе Законы механики.&nbsp;— М.: Наука, 1978.&nbsp;— С. 209—210.</ref> (вислів на зразок «за визначенням, сила є добуток маси на прискорення» недоречний), інакше він перетворився б на тавтологію.

У разі відсутності впливу на тіло з боку інших тіл (<math>\vec{F} = 0</math>), з другого закону Ньютона випливає, що прискорення тіла дорівнює нулю. Звідси може здатися, що перший закон Ньютона входить у другий як його окремий випадок. Однак, це не так, оскільки саме першим законом [[Аксіома|постулюється]] існування інерційних систем відліку, що є самостійним змістовним твердженням. Відповідно, перший закон Ньютона формулюється незалежно від другого<ref>''[[Савельєв Ігор Володимирович (фізик)|Савельев И. В.]]'' Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика.&nbsp;— М.: Наука, 1987.&nbsp;— C. 54</ref>.

Другий закон Ньютона встановлює зв'язок між [[Динаміка|динамічними]] і [[Кінематика|кінематичними]] величинами<ref>''Селезнев Ю. А.'' Основы элементарной физики.&nbsp;— М., Наука, 1966.&nbsp;— Тираж 100 000 экз.&nbsp;— с. 40</ref>. Крім того, рівняння закону <math>\vec{F}=m\vec{a}</math> може розглядатися як рівняння зв'язку між фізичними величинами під час визначення одиниць сили в системах [[Міжнародна система одиниць (SI)|SI]], [[СГС]] та інших<ref>''Г.&nbsp;Д.&nbsp;Бурдун, Б.&nbsp;Н.&nbsp;Марков'' Основы метрологии.&nbsp;— М.: Издательство стандартов, 1972.&nbsp;— Тираж 30 000 экз.&nbsp;— С. 49.</ref>. Одиниця сили визначається як така сила, яка матеріальній точці з масою, що дорівнює одиниці маси, прийнятої за основну, надає прискорення, рівне одиниці прискорення, визначеній раніше за похідну одиницю<ref>''{{Нп|Сена Лев Аронович|Сена Л. А.|ru|Сена, Лев Аронович}}'' Единицы физических величин и их размерности.&nbsp;— М.: [[Наука (видавництво)|Наука]], 1977.&nbsp;— С. 24.</ref>. (За незалежного вибору [[Одиниця вимірювання|одиниць]] маси, сили і прискорення вираз другого закону потрібно писати у вигляді <math>m\vec a=k\vec F</math>, де <math>k</math>&nbsp;— коефіцієнт пропорційності, який визначається вибором одиниць вимірювання<ref>{{книга-ру|автор=[[Савельєв Ігор Володимирович (фізик)|Савельев И. В.]]|заглавие=Курс общей физики|ответственный= 2-е вид., перероб<!-- точка ставится шаблоном автоматически -->|ссылка=http://scask.ru/book_s_phis1.php?id=12 |место= М.|издательство=Наука|год=1982|том=1. Механика. Молекулярная физика|страниц=432|страницы=54|isbn=}}</ref><ref>{{книга-ру|автор=[[Сена Лев Аронович|Сена Л. А.]] |заглавие=Единицы физических величин и их размерности|ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Sena1969ru.djvu|место=М.|издательство=Наука|год=1969|страниц=304|страницы=22}}</ref><ref>{{книга-ру|автор=Мултановский В.В.|заглавие=Курс теоретической физики: Классическая механика. Основы специальной теории относительности. Релятивистская механика|ссылка=http://alexandr4784.narod.ru/mult1/mult1_01_05.pdf|место=М.|издательство=Просвещение|год=1988|том= |страниц=304|страницы=73|isbn=5-09-000625-3}}</ref><ref>«Не следует смешивать понятия силы и произведения массы на ускорение, которому она равна» ({{стаття|автор=[[Фок Володимир Олександрович|Фок В.А.]]|назва=Механика. Рецензия на книгу: Л. Ландау и Л. Пятигорский. Механика. (Теоретическая физика под общей редакцией проф. Л.Д. Ландау, т. I). Гостехиздат. Москва — Ленинград, 1940|посилання= http://ufn.ru/ru/articles/1946/2/j|видання=[[Успехи физических наук|УФН]]|рік=1946|випуск=2–3|том=28|сторінки=377–383}}).</ref>).

Сила <math>\vec{F}</math> у другому законі Ньютона залежить тільки від координат <math>\vec{r}</math> і швидкості <math>\vec{v}</math> матеріальної точки: <math>\dot{\vec{p}} = \vec{F}(\vec{r}, \vec{v})</math>. Основне завдання фізичної механіки зводиться до знаходження функції <math>\vec{F}(\vec{r}, \vec{v})</math><ref>''[[Сивухін Дмитро Василович|Сивухин Д. В.]]'' Общий курс физики. Механика.&nbsp;— М., Наука, 1979.&nbsp;— Тираж 50 000 экз.&nbsp;— с. 71-72</ref>.

Формула другого закону Ньютона <math>\vec{a}=\vec{F}/m</math> виражає принцип причинності класичної механіки. Координати й швидкість матеріальної точки в момент часу <math>t+\Delta t</math> (де <math>\Delta t \to 0</math>) неперервно й однозначно визначаються через їх значення в момент часу <math>t</math> і задану силу <math>\vec{F}</math>, що діє на матеріальну точку. Розкладаючи в [[ряд Тейлора]] і обмежуючись малими першого порядку за <math>t</math>, Отримуємо<ref>''[[Річард Філіпс Фейнман|Р.&nbsp;Ф.&nbsp;Фейнман]]'' Фейнмановские лекции по физике. Том I. Современная наука о природе Законы механики.&nbsp;— М.: Наука, 1978.&nbsp;— С. 164.</ref>: <math>\vec{r}(t + \Delta t) = \vec{r}(t) + \vec{v} \Delta t</math>, <math>\vec{v}(t + \Delta t) = \vec{v}(t) + \vec{a} \Delta t</math>. Форма, в якій у механіці реалізується причинність, називається механістичним або ''[[П'єр-Симон Лаплас|лапласівським]]'' [[детермінізм]]ом<ref>''Бугаенко Г. А., [[Маланін Володимир Володимирович|Маланин В. В.]], [[Яковлєв Вадим Іванович|Яковлев В. И.]]'' Основы классической механики.&nbsp;— М.: Высшая школа, 1999. ISBN 5-06-003587-5&nbsp;— Тираж 3 000 экз.&nbsp;— С. 47.</ref>.

Рівняння другого закону Ньютона <math>\vec{F} = m \vec{a}</math> інваріантне відносно [[Перетворення Галілея|перетворень Галілея]]. Це твердження називається [[Принцип відносності|принципом відносності Галілея]]<ref>''[[Сивухін Дмитро Васильович|Сивухин Д. В.]]'' Общий курс физики. Механика.&nbsp;— М., Наука, 1979.&nbsp;— Тираж 50 000 экз.&nbsp;— с. 94</ref>.

У класичній механіці [[закон збереження енергії]], [[закон збереження імпульсу]] і закон збереження моменту імпульсу є наслідками другого закону Ньютона, [[Однорідність часу|однорідності часу]], [[Однорідність простору|однорідності]] й [[Ізотропність простору|ізотропності простору]], а також деяких припущень щодо характеру сил, які діють<ref>''[[Сивухін Дмитро Васильович|Сивухин Д. В.]]'' Общий курс физики. Механика.&nbsp;— М., Наука, 1979.&nbsp;— Тираж 50 000 экз.&nbsp;— с. 199</ref>.

У разі, коли сила <math>\vec{F}</math> стала, інтегрування рівняння другого закону Ньютона <math>\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{\vec{F}}{m}</math> приводить до рівності <math>\vec{v_2} - \vec{v_1} = \frac{\vec{F}}{m}(t_2-t_1)</math>. Це співвідношення показує, що під дією заданої сили <math>\vec{F}</math> певна зміна швидкості <math>\Delta \vec{v} = \vec{v_2} - \vec{v_1}</math> у тіла з більшою масою відбувається за більш тривалий проміжок часу. Тому кажуть, що всі тіла володіють інерцією, а масу <math>m</math> називають мірою інерції тіла<ref>''Жирнов Н. И.'' Классическая механика.&nbsp;— М., Просвещение, 1980.&nbsp;— с. 34-35</ref>.

=== Запис закону в різних системах координат ===
Векторний запис другого закону Ньютона <math>m\vec{a}=\vec{F}</math> істинний для будь-якої інерціальної системи координат, відносно якої визначаються величини, що входять до цього закону (сила, маса, прискорення)<ref>''[[Рольф Неванлінна|Р. Неванлинна]]'' Пространство, время и относительность.&nbsp;— М., Мир, 1966.&nbsp;— c. 202</ref>. Однак, розклади на компоненти (проєкції) будуть різними для декартової, циліндричної і сферичної систем. Інтерес також являє розклад на нормальну і тангенціальну складові.

* '''[[Декартова система координат|Декартова прямокутна система координат]]'''

<math>m \ddot x = F_{x}</math>, <math>m \ddot y = F_{y}</math>, <math>m \ddot z = F_{z}</math>, де <math> \vec{F} = F_x\vec{i}+F_y\vec{j}+F_z\vec{k}</math>, а [[Одиничний вектор|орти]] декартової системи <math>\vec{i}</math>, <math>\vec{j}</math>, <math>\vec{k}</math> спрямовані вздовж осей координат (у бік зростання конкретної координати).

* '''[[Циліндрична система координат]]'''

<math>m (\ddot \rho - \rho \dot \varphi ^{2}) = F_{\rho}</math>, <math>m (\rho \ddot{\varphi} - 2 \dot{\rho} \dot{\varphi}) = F_{\varphi}</math>, <math>m \ddot {z} = F_{z}</math>, де <math> \vec{F} = F_{\rho}\vec{e}_{\rho}+F_{\varphi}\vec{e}_{\varphi}+F_{z}\vec{e}_{z}</math>, а орти <math>\vec{e}_{\rho}</math>, <math>\vec{e}_{\varphi}</math>, <math>\vec{e}_{z}</math> циліндричної системи беруться в точці прикладання сили і спрямовані, відповідно, від осі <math>z</math> під 90<sup>0</sup> до неї, по колу в площині <math>xy</math> з центром на осі, і вздовж <math>z</math> (у бік зростання конкретної координати).

* '''[[Сферична система координат]]'''

<math>m (\ddot r - r \dot \varphi ^{2} \sin^{2} \theta - r \dot \theta^{2}) = F_{r}</math>, <math>m ([r \ddot \varphi + 2 \dot r \dot \varphi] \sin \theta + 2 r \dot \varphi \dot \theta \cos \theta) = F_{\varphi}</math>, <math>m (2 \dot r \dot \theta + r \ddot \theta - r \dot \varphi^{2}\sin \theta \cos \theta) = F_{\theta}</math>, де <math> \vec{F} = F_r\vec{e}_r+F_{\varphi}\vec{e}_{\varphi}+F_{\theta}\vec{e}_{\theta}</math>, а орти <math>\vec{e}_r</math>, <math>\vec{e}_{\varphi}</math>, <math>\vec{e}_{\theta}</math> сферичної системи беруться в точці прикладання сили і спрямовані, відповідно, від центру <math>O</math>, вздовж «паралелей», і вздовж «меридіанів» (у бік зростання конкретної координати).

* Розклад у '''[[Диференціальна геометрія кривих|дотичній площині]]'''

У [[Диференціальна геометрія кривих|дотичній площині]] прискорення <math>\vec{a} = \vec{a_{n}} + \vec{a_{t}}</math> матеріальної точки масою <math>m</math> і силу <math>\vec{F} = \vec{F_{n}} + \vec{F_{t}}</math>, що діє на неї, можна розкласти на нормальну (перпендикулярну до дотичної до траєкторії в дотичній площині) <math>\vec{F_{n}}=m \vec{a_{n}}</math> і тангенціальну (паралельну дотичній до траєкторії в дотичній площині) <math>\vec{F_{t}}=m \vec{a_{t}}</math> складові.

Абсолютна величина нормальної сили дорівнює <math>F_{n} = m a_{n} = mv^{2}/R</math>, де <math>R</math>&nbsp;— радіус [[Кривина (математика)|кривини]] траєкторії матеріальної точки, <math>v</math>&nbsp;— абсолютна величина її швидкості. Нормальна сила спрямована до центру кривини траєкторії матеріальної точки. У разі кругової траєкторії радіуса <math>R</math> абсолютна величина нормальної сили <math>F_{n}=m \omega^{2}R</math>, де <math>\omega</math>&nbsp;— [[кутова швидкість]] обертання точки. Нормальну силу також називають [[Доцентрова сила|доцентровою]].

Тангенціальна складова сили дорівнює <math>F_{t} = m a_{t} = m \frac{d^{2} s}{dt^{2}}</math>, де <math>s = s(t)</math>&nbsp;— дугова координата за траєкторією точки<ref>''Тарасов В. Н., Бояркина И. В., Коваленко М. В.'' Теоретическая механика.&nbsp;— М., ТрансЛит, 2012.&nbsp;— ISBN 978-5-94976-455-8.&nbsp;— с. 254</ref>. Якщо <math>\frac{d^{2} s}{dt^{2}} > 0</math>, то сила <math>\vec{F_{t}}</math> збігається за напрямком з вектором швидкості <math>\vec{v}</math> і її називають ''рушійною силою.'' Якщо <math>\frac{d^{2} s}{dt^{2}} < 0</math>, то сила <math>\vec{F_{t}}</math> протилежна за напрямком до вектора швидкості <math>\vec{v}</math> і її називають ''гальмівною силою.''

== Другий закон за межами класичної механіки ==

=== У релятивістській динаміці ===
Другий закон Ньютона у вигляді <math>m \vec{a} =\vec{F} </math> наближено справедливий тільки для [[Швидкість|швидкостей]], значно менших від [[Швидкість світла|швидкості світла]], і в [[Інерційна система відліку|інерційних системах відліку]].

У вигляді <math>\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}</math> другий закон Ньютона точно справедливий також в інерційних системах відліку [[Спеціальна теорія відносності|спеціальної теорії відносності]] і в локально інерційних системах відліку [[Загальна теорія відносності|загальної теорії відносності]], однак при цьому замість колишнього виразу для імпульсу використовується рівність <math>\vec p=\frac{m\vec v }{\sqrt{1-\frac{\displaystyle v^2}{\displaystyle c^2}}}</math>, де <math>c</math>&nbsp;— швидкість світла<ref>''[[Савельєв Ігор Володимирович (фізик)|Савельев И. В.]]'' Курс общей физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика.
 — М.: Наука, 1987. — С. 237.</ref>. 

Існує і чотиривимірне релятивістське узагальнення другого закону Ньютона. Похідна [[4-імпульс|чотириімпульсу]] <math>\vec{ \Rho }</math> за [[Світова лінія|власним часом]] <math>\tau</math> матеріальної точки дорівнює чотирисилі <math>\vec{ \Phi }</math><ref>''[[Бугаєнко Григорій Олексійович|Бугаенко Г. А.]], [[Маланін Володимир Володимирович|Маланин В. В.]], [[Яковлєв Вадим Іванович|Яковлев В. И.]]'' Основы классической механики.&nbsp;— М.: Высшая школа, 1999.&nbsp;— С. 347.&nbsp;— ISBN 5-06-003587-5</ref>:

: <math>\vec{ \Phi } = \frac{d \vec{ \Rho } }{d \tau}</math>.

У релятивістській динаміці вектор тривимірного прискорення <math>\vec{a}</math> вже не паралельний вектору тривимірної сили <math>\vec{F}</math><ref>''Кычкин И. С., Сивцев В. И.'' [https://elibrary.ru/item.asp?id=25776855 Школьная физика: второй закон Ньютона] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190530141359/https://elibrary.ru/item.asp%3Fid%3D25776855 |date=30 травня 2019 }} // Международный журнал экспериментального образования.&nbsp;— 2016. №&nbsp;3-2.&nbsp;— С. 194—197.</ref>.

=== У квантовій механіці ===
Закони ньютонівської динаміки, зокрема другий закон Ньютона, незастосовні, якщо довжина [[хвилі де Бройля]] даного об'єкта порівнянна з характерними розмірами області, в якій вивчається його рух. У цьому випадку необхідно користуватися [[Квантова механіка|квантовомеханічними]] законами<ref>''Бутиков Е. И., Быков А. А., [[Кондратьев, Александр Сергеевич|Кондратьев А. С.]]'' Физика для поступающих в вузы.&nbsp;— М.: Наука, 1982.&nbsp;— С. 544.</ref>.

Проте, другий закон Ньютона за певних умов актуальний стосовно руху [[Хвильовий пакет|хвильового пакета]] у квантовій механіці. Якщо [[потенціальна енергія]] хвильового пакета дуже мала змінюється в області знаходження пакета, то похідна за часом середнього значення імпульсу пакета буде дорівнювати силі, що розуміється як градієнт [[Потенціальна енергія|потенціальної енергії]], узятий з протилежним знаком ([[теорема Еренфеста]]).

Видозмінений другий закон Ньютона використовується й у квантовомеханічному описі руху електронів у [[Кристалічна ґратка|кристалічній ґратці]]. Взаємодія електрона з періодичним [[Електромагнітне поле|електромагнітним полем]] решітки при цьому враховується введенням поняття [[Ефективна маса|ефективної маси]].

У квантовій механіці, для опису руху матеріальної точки в потенціальному полі, справедливе операторне рівняння, яке за формою збігається з рівнянням другого закону Ньютона: <math>m \frac{d \hat{v}}{dt} = - \nabla \hat{U}</math>. Тут: <math>m</math>&nbsp;— маса частинки, <math>\hat{v} = \frac{\hat{p}}{m}</math>&nbsp;— оператор швидкості, <math>\hat{p}</math>&nbsp;— оператор імпульсу, <math>\hat{U} = U(x, y, z)</math>&nbsp;— оператор потенціальної енергії<ref name="Land">''[[Ландау Лев Давидович|Ландау Л. Д.]], [[Ліфшиць Євген Михайлович|Лившиц Е. М.]]'' Квантовая механика.&nbsp;— М., Наука, 1972.&nbsp;— с. 76</ref>.

== Науково-історичне значення закону ==
Оцінюючи значення другого закону Ньютона, [[Альберт Ейнштейн|А. Ейнштейн]] писав:
{{Початок цитати}}Диференціальний закон є тією єдиною формою причинного пояснення, яка може повністю задовольняти сучасного фізика. Ясне розуміння диференціального закону є одним з найбільших духовних досягнень Ньютона… Тільки перехід до розгляду явища за нескінченно малий час (тобто до диференціального закону) дозволив Ньютону дати формулювання, придатне для опису будь-якого руху… Так Ньютон прийшов… до встановлення знаменитого закону руху:
<center>Вектор прискорення × Маса = Вектор сили.</center>
Це&nbsp;— фундамент всієї механіки і, напевно, всієї теоретичної фізики.{{Кінець цитати|джерело=Эйнштейн А. Собрание научных трудов. — Москва: Наука, 1967. — Т. 4. — С. 82, 92. — 599 с. — 31 700 прим.}}
<br/><blockquote class="ts-Начало_цитаты-quote"></blockquote> Всі закони природи для сил залежно від властивостей тіл, їх станів і рухів отримуються з дослідів і встановлюються завжди і тільки на основі розв'язання рівняння <math>\vec{F}=m\vec{a}</math>, яке вживається для вираження сили<ref>''[[Сєдов Леонід Іванович|Седов Л. И.]]''Методы подобия и размерности в механике.&nbsp;— М.: Гостехтеориздат, 1954.&nbsp;— С. 21&nbsp;— 28.</ref>.

== Лагранжове і гамільтонове узагальнення закону ==
В аналітичній механіці існує два аксіоматичні підходи. За одного підходу за аксіому приймається другий закон Ньютона і з нього виводяться [[Рівняння Лагранжа другого роду|рівняння Лагранжа]]. За іншого підходу за аксіому приймаються рівняння Лагранжа. Тоді другий закон Ньютона розглядається як наслідок з них<ref>''[[Айзерман Марк Аронович|Айзерман М. А.]]'' Классическая механика.&nbsp;— М.: Наука, 1980.&nbsp;— Тираж 17 500 экз.&nbsp;— С. 164—165</ref>.

З рівнянь Лагранжа для довільної {{Нп|Голономна система|голономної системи|ru|Голономная система}}, на яку діють як потенціальні (<math>Q^p_i</math>), так і не потенціальні (<math>Q^n_i</math>) {{Нп|Узагальнена сила|узагальнені сили|ru|Обобщённая сила}}, <math>\frac{d}{dt}\left ( \frac{\partial L}{\partial \dot q_{i}} \right ) - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = Q^n_{i}</math> випливає, що похідна за часом [[Імпульс (механіка)|узагальненого імпульсу]] <math>p_{i} = \frac{\partial L}{\partial \dot q_{i}}</math> дорівнює сумарній узагальненій силі <math>Q_i = Q^p_i+Q^n_i = \frac{\partial L}{\partial q_{i}} + Q^n_{i}</math>:

: <math>\dot p_{i} = Q_{i}</math>.

Записані так у [[Декартова система координат|декартових координатах]] рівняння Лагранжа називаються рівняннями руху у формі Ньютона<ref>''[[Медведєв Борис Валентинович|Медведев Б. В.]]'' Начала теоретической физики. Механика, теория поля, элементы квантовой механики.&nbsp;— М.: Физматлит, 2007.&nbsp;— ISBN 978-5-9221-0770-9&nbsp;— С. 38.</ref>.

Теорема про зміну узагальненого імпульсу узагальнює і включає як окремі випадки теореми ньютонівської динаміки про зміну кількості руху і про зміну кінетичного моменту<ref>''Бугаенко Г. А., [[Маланін Володимир Володимирович|Маланин В. В.]], [[Яковлєв Вадим Іванович|Яковлев В. И.]]'' Основы классической механики.&nbsp;— М.: Высшая школа, 1999.&nbsp;— С. 247.&nbsp;— ISBN 5-06-003587-5</ref>.

В [[Механіка Гамільтона|гамільтонівській динаміці]]

: <math>\dot p_{i} = - \frac{\partial H}{\partial q_{i}}</math>,

де, як і вище, <math>p_{i} = \frac{\partial L}{\partial \dot q_{i}}</math>&nbsp;— узагальнений імпульс, через <math>H = \sum_{i=1}^{s}p_{i}\dot q_{i} - L</math> позначена [[функція Гамільтона]], а <math>L = L(q_i, \dot q_i, t)</math>&nbsp;— [[лагранжіан]], тобто різниця кінетичної і потенціальної енергій системи.

== Див. також ==

* [[Інерція|Перший закон Ньютона]]
* [[Рівняння Мещерського]]
* [[Теорема Еренфеста|Рівняння Еренфеста]]
* [[Теорема про рух центра мас системи]]
* [[Принцип причинності]]

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Посилання ==
* {{Cite web|url=http://docs.lib.purdue.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=2657&context=physics_articles|title=Laboratory Test of Newton’s Second Law for Small Accelerations|last=Gundlach J. H., Schlamminger S., Spitzer C. D., Choi K.-Y., Woodahl B. A., Coy J. J., Fischbach E.|date=2007-04-13|website=Phys. Rev. Lett., Vol. 98|publisher=American Physical Society|accessdate=2017-04-07|language=en|archive-date=30 березня 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210330175427/https://docs.lib.purdue.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=2657&context=physics_articles}}
[[Категорія:Класична механіка]]
[[Категорія:Ісаак Ньютон]]
[[Категорія:Експериментальна фізика]]
[[Категорія:Фізичні закони і рівняння]]
[[Категорія:Об'єкти, названі на честь людей]]