Перегляд вихідного коду сторінки Друга похідна

{{Числення|expanded=Диференціальне}}
[[Файл:4 fonctions du second degré.svg|праворуч|міні|200пкс|Друга похідна [[Квадратична функція|квадратичної функції]] є [[Константна функція|константною]].]]
У [[Диференціальне та інтегральне числення|диференційному численні]] '''друга похідна''' чи '''похідна другого порядку''' [[Функція (математика)|функції]] <math>f</math>&nbsp;— [[похідна]] від похідної <math>f</math>.

Тобто, друга похідна показує, як змінюється швидкість зміни величини; наприклад, друга похідна від положення тіла по часу є миттєвим [[прискорення]]м тіла, чи швидкістю, з якою [[швидкість]] тіла змінюється відносно часу.
В [[Нотація диференціювання|нотації Лейбніца]]:
: <math>\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2},</math>
де останній дріб є виразом другої похідної.

На [[Графік функції|графіку функції]] друга похідна відповідає [[Кривина (математика)|кривині]] чи [[Опукла функція|увігнутості]] графіку. Графік функції з додатною другою похідною ввігнутий угору, тоді як графік функції з від'ємною другою похідною вигинається протилежним чином.

== Друга похідна степеневої функції ==
Для обчислення другої похідної [[Степенева функція|степеневої функції]] можна двічі застосувати {{нп|Правило степеня при диференціюванні|правило степеня|en|Power rule}}:

<math>\frac{d^2}{dx^2}\left[x^n\right] = \frac{d}{dx} \frac{d}{dx}\left[x^n\right] = \frac{d}{dx}\left[nx^{n-1}\right] = n \frac{d}{dx}\left[x^{n-1}\right] = n \left(n-1\right) x^{n-2}</math>

=== Приклад ===
Дано функцію <math>f(x) = x^3</math>, похідна <math>f</math> є функцією <math>f'\left(x\right) = 3x^2</math>.

Друга похідна <math>f</math> є похідною <math>f'</math>, а саме: <math>f''(x) = 6x</math>.

== Позначення ==
Друга похідна функції <math>f\left(x\right)</math> зазвичай позначається <math>f''\left(x\right)</math>. Тобто <math>f'' = \left(f'\right)'</math>.

При використанні [[Нотація диференціювання|нотації Лейбніца]], друга похідна залежної змінної <math>y</math> по незалежній змінній <math>x</math> записується як <math>\frac{d^2y}{dx^2}</math>.

Це позначення походить із формули <math>\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)</math>.

== Геометричний сенс ==
[[Файл:Animated illustration of inflection point.gif|500пкс|міні|Графік <math>f(x) = \sin\left(2x\right)</math> від <math>-\frac{\pi}{4}</math> до <math>5\frac{\pi}{4}</math>. Дотична синя, де крива опукла, зелена, де крива увігнута, і червона у точках перегину (0, <math>\frac{\pi}{2}</math> і <math>\pi</math>)]]

=== Увігнутість ===
Друга похідна функції <math>f</math> вимірює '''увігнутість''' графіку <math>f</math>. Функція, друга похідна якої додатна, буде [[Опукла функція|ввігнутою вгору]] (також називається опуклою), що означає те, що [[дотична]] лежатиме нижче графіку функції. Аналогічно, функція, друга похідна якої від'ємна, буде [[Угнута функція|ввігнутою вниз]] (також називається просто увігнутою), а її дотичні лежатимуть над графіком функції.

=== Точки перегину ===
{{Main|Точка перегину}}
Якщо друга похідна функції змінює знак, графік функції змінюватиметься з увігнутого до опуклого або навпаки. Точка, де це відбувається, називається '''точкою перегину'''. Припускаючи, що друга похідна неперервна, вона повинна набувати значення нуля в будь-якій точці перегину, хоча не кожна точка, де друга похідна дорівнює нулю, обов'язково є [[Точка перегину|точкою перегину]].

=== Перевірка другої похідної ===
Відношення між другою похідною та графіком може використовуватися для перевірки, чи є [[стаціонарна точка]] для функції (тобто точка, де <math>f'\left(x\right) = 0</math>) [[Екстремум|локальним максимумом]] або [[Екстремум|локальним мінімумом]]. Конкретно,
* Якщо <math>f''\left(x\right) < 0</math> <math>f</math> має локальний максимум у <math>x</math>.
* Якщо <math>f''\left(x\right) > 0</math> <math>f</math> має локальний мінімум <math>x</math>.
* Якщо <math>f''\left(x\right) = 0</math>, перевірка другої похідної нічого не каже про точку <math>x</math>, можлива точка перегину.

Причину того, чому друга похідна дає такі результати, можна побачити шляхом аналогії з реальним світом. Розглянемо транспорт, який спочатку рухається вперед на великій швидкості, але з від'ємним прискоренням. Чітке положення транспорту в точці, де швидкість досягає нуля, буде максимальною відстанню від початкового положення&nbsp;— після цього часу швидкість стане від'ємною, а транспорт розвернеться. Те саме справджується для мінімуму з транспортом, який спочатку має дуже від'ємну швидкість, але додатне прискорення.

== Границя ==
Можливо написати єдину [[Границя|границю]] для другої похідної:
: <math>f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f\left(x+h\right) - 2f\left(x\right) + f\left(x-h\right)}{h^2}</math>

Границя називається {{нп|Симетрична похідна|другою симетричною похідною|en|Symmetric derivative}}<ref name="Zygmund2002">{{Cite book|назва=Trigonometric Series|ім'я=А.|прізвище=Зигмунд|рік=2002|видавець=[[Cambridge University Press]]|сторінки=22—23|isbn=978-0-521-89053-3}}</ref><ref>{{Cite book|назва=Symmetric Properties of Real Functions|url=https://archive.org/details/symmetricpropert0000thom|прізвище=Томпсон|ім'я=Браян С.|рік=1994|видавець={{нп|Marcel Dekker}}|сторінка=[https://archive.org/details/symmetricpropert0000thom/page/1 1]|isbn=0-8247-9230-0}}</ref>. Зауважте, що друга симетрична похідна може існувати навіть тоді, коли (звичайна) друга похідна не існує.

Вираз праворуч можна записати як {{нп|Різниця часток|різницю часток|en|Difference quotient}} різниць часток:
: <math>\frac{f\left(x+h\right) - 2f\left(x\right) + f\left(x-h\right)}{h^2} = \frac{\frac{f\left(x+h\right) - f\left(x\right)}{h} - \frac{f\left(x\right) - f\left(x-h\right)}{h}}{h}</math>

Цю границю можна бачити як неперервну версію [[Скінченні різниці|другої різниці]] для [[Послідовність|послідовностей]].

Існування вищенаведеної границі не означає того, що функція <math>f</math> має другу похідну. Вищенаведена границя просто дає можливість обчислення другої похідної, але не забезпечує визначення. Як [[контрприклад]], подивимося на [[Signum-функція|знакову функцію]] <math>\sgn(x)</math>:
: <math>\sgn(x) = \begin{cases}
-1 & \text{if } x < 0, \\
0 & \text{if } x = 0, \\
1 & \text{if } x > 0. \end{cases}</math>

Знакова функція не є неперервною в нулі, а тому друга похідна для <math>x = 0</math> не існує. Але вищенаведена границя існує для <math>x = 0</math>:
: <math>\begin{align}
\lim_{h \to 0} \frac{\sgn\left(0+h\right) - 2\sgn\left(0\right) + \sgn\left(0-h\right)}{h^2} &= \lim_{h \to 0} \frac{1 - 2\cdot 0 + \left(-1\right)}{h^2} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{0}{h^2} \\
&= 0 \end{align}</math>

== Квадратичне наближення ==
Так само, як перша похідна пов'язана з [[Лінійне наближення|лінійними наближеннями]], друга похідна пов'язана з найкращими [[Квадратичне наближення|квадратичними наближеннями]] для функції <math>f</math>. Це [[квадратична функція]], перша та друга похідні якої ті самі, що й для <math>f</math> у даній точці. Формулою найкращого квадратичного наближення до функції <math>f</math> коло точки <math>x = a</math> є
: <math>f\left(x\right) \approx f\left(a\right) + f'\left(a\right)\left(x-a\right) + \tfrac12 f''\left(a\right)\left(x-a\right)^2</math>

Це квадратичне наближення є [[Ряд Тейлора|поліномом Тейлора]] другого порядку для функції в околиці точки ''a''.

== Власні значення та вектори другої похідної ==
{{Див. також|{{нп|Власні значення та вектори другої похідної|||Eigenvalues and eigenvectors of the second derivative}}}}
Для багатьох комбінацій [[Крайова задача|крайових умов]] можна отримати явні формули {{нп|Власні значення та вектори другої похідної|власних значень і векторів другої похідної|en|Eigenvalues and eigenvectors of the second derivative}}. Наприклад, нехай <math>x \in \left[0,L\right]</math> і гомогенні [[граничні умови Діріхле]], тобто <math>v\left(0\right) = v\left(L\right) = 0</math>, [[Власний вектор|власні значення]] є <math>\lambda_j = -\frac{j^2 \pi^2}{L^2}</math> та відповідні [[Власний вектор|власні вектори]] (також звані [[Власна функція|власними функціями]]) є <math>v_j\left(x\right) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{j \pi x}{L}\right)</math>. Тут <math>v''_j\left(x\right) = \lambda_j v_j\left(x\right), \, j = 1, \ldots, \infty</math>.

== Узагальнення для функцій із кількома змінними ==

=== Гессіан ===
{{Main|Матриця Гессе}}
Друга похідна узагальнюється до вищих вимірів через notion других [[Часткова похідна|часткових похідних]]. Для функції <math>f</math>: <math>R^3 \to R</math> вони включають три часткові похідні другого порядку: <math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}</math>, <math>\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}</math> і <math>\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math> та змішані часткові похідні: <math>\frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}</math>, <math>\frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial z}</math> і <math>\frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial z}</math>.

Якщо і зображення, й [[Область визначення|область визначення функції]] мають потенціал, то вони вкладаються разом у [[Симетрична матриця|симетричну матрицю]], відому як '''Гессіан'''. [[Власний вектор|Власні значення]] цієї матриці можуть використовуватися для реалізації багатозмінного аналога перевірки другої похідної (див. також [[тест другої часткової похідної]]).

=== Лапласіан ===
{{Main|Оператор Лапласа}}
Іншим поширеним узагальненням другої похідної є '''Лапласіан'''. Це диференційний оператор <math>\nabla^2</math>
: <math>\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>

Лапласіан функції дорівнює [[Дивергенція (математика)|дивергенції]] [[Градієнт|градієнту]] та [[Слід матриці|сліду]] матриці Гессіану.

== Див. також ==
* [[Лінійна частотна модуляція|Цвірінькання]], друга похідна {{нп|Миттєва фаза|миттєвої фази|en|Instantaneous phase and frequency}}
* [[Тест другої похідної]]

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Література ==
=== Друкована ===
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Citation|прізвище=Апостол|ім'я=Том М.|назва=Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra|місяць=червень|рік=1967|том=1|видання=2-е|видавець=Wiley|isbn=978-0-471-00005-1|url-access=registration|url=https://archive.org/details/calculus01apos}}
* {{Citation|прізвище=Апостол|ім'я=Том М.|назва=Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications|місяць=червень|рік=1969|том=1|видання=2-е|видавець=Wiley|isbn=978-0-471-00007-5|url-access=registration|url=https://archive.org/details/calculus01apos}}
* {{Citation|прізвище=Евес|ім'я=Говард|назва=An Introduction to the History of Mathematics|дата=2 січня 1990|видання=6-е|видавець=Brooks Cole|isbn=978-0-03-029558-4}}
* {{Citation|прізвище=Співак|ім'я=Майкл|назва=Calculus|місяць=вересень|рік=1994|автор-посилання=Майкл Співак|видання=3-е|видавець=Publish or Perish|isbn=978-0-914098-89-8}}
* {{Citation|прізвище=Стюарт|ім'я=Джеймс|назва=Calculus|дата=24 грудня 2002|видання=5-е|видавець=Brooks Cole|isbn=978-0-534-39339-7}}
* {{Citation|прізвище=Томпсон|ім'я=Сілванус П.|назва=[[Calculus Made Easy]]|дата=8 вересня 1998|автор-посилання=Сілванус Томпсон|видання=перероблене, оновлене, доповнене|місце=[[Нью-Йорк]]|видавець=St. Martin's Press|isbn=978-0-312-18548-0|url-access=registration|url=https://archive.org/details/calculusmadeeasy00thom_0}}

=== Онлайн-книги ===
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Citation|прізвище=Кровелл|ім'я=Бенджамін|назва=Calculus|url=http://www.lightandmatter.com/calc/|рік=2003|accessdate=2 вересня 2018|archive-date=4 лютого 2012|archive-url=https://web.archive.org/web/20120204162239/http://www.lightandmatter.com/calc/}}
* {{Citation|прізвище=Гарретт|ім'я=Пол|назва=Notes on First-Year Calculus|url=http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/|рік=2004|accessdate=2 вересня 2018|archive-date=5 лютого 2012|archive-url=https://web.archive.org/web/20120205080518/http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/}}
* {{Citation|прізвище=Гуссейн|ім'я=Фараз|назва=Understanding Calculus|url=http://www.understandingcalculus.com/|рік=2006|accessdate=2 вересня 2018|archive-date=26 березня 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20190326003217/https://understandingcalculus.com/}}
* {{Citation|прізвище=Кейслер|ім'я=Г. Джером|назва=Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals|url=http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html|рік=2000|accessdate=2 вересня 2018|archive-date=1 травня 2011|archive-url=https://web.archive.org/web/20110501113944/http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html}}
* {{Citation|прізвище=Мох|ім'я=Шон|назва=Unabridged Version of Sean's Applied Math Book|url=http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html|рік=2004| | |дата-архіву=15 квітня 2006|accessdate=2 вересня 2018| |archiveurl=https://web.archive.org/web/20060415161115/http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html| |deadurl=yes}}
* {{Citation|прізвище=Слотер|ім'я=Ден|назва=Difference Equations to Differential Equations|url=http://synechism.org/drupal/de2de/|рік=2000|accessdate=2 вересня 2018|archive-date=14 квітня 2012|archive-url=https://web.archive.org/web/20120414143704/http://synechism.org/drupal/de2de}}
* {{Citation|прізвище=Странг|ім'я=Гілберт|назва=Calculus|url=http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm|рік=1991|accessdate=2 вересня 2018|archive-date=25 лютого 2010|archive-url=https://web.archive.org/web/20100225114644/http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm}}
* {{Citation|прізвище=Строян|ім'я=Кейт Д.|назва=A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus|url=http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm|рік=1997| | |accessdate=2 вересня 2018||archiveurl=https://web.archive.org/web/20050911104158/http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm|archivedate=11 вересня 2005|deadurl=yes}}
* {{Citation|автор=Вікіпідручник|назва=Calculus|url=http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus|мовою=англійською|accessdate=2 вересня 2018|archive-date=3 вересня 2018|archive-url=https://web.archive.org/web/20180903045724/https://en.wikibooks.org/wiki/Calculus}}

== Посилання ==
* {{Cite web|url=http://mathformeremortals.wordpress.com/2013/01/12/a-numerical-second-derivative-from-three-points/|назва=Дискретна друга похідна від нерівномірно розташованих точок|дата=12 січня 2013|мовою=англійською|accessdate=2 вересня 2018|archive-date=3 вересня 2018|archive-url=https://web.archive.org/web/20180903050021/https://mathformeremortals.wordpress.com/2013/01/12/a-numerical-second-derivative-from-three-points/}}

[[Категорія:Диференціальне числення]]
[[Категорія:Лінійні оператори в численні]]