Перегляд вихідного коду сторінки Доцентрове прискорення

[[Файл:Acceleration_1.png|міні|364x364пкс|Розклад прискорення <math>\mathbf a(t)</math> на [[Тангенціальне прискорення|тангенціальне]] <math>\mathbf a_\tau</math> і нормальне <math>\mathbf a_n</math> (<math>\mathbf n</math>&nbsp;— [[одиничний вектор]] [[Нормаль (геометрія)|нормалі]])]]
'''Доцентро́ве (норма́льне) приско́рення''' ({{lang-en|centripetal acceleration}})&nbsp;— складова [[прискорення]] тіла, що характеризує швидкість зміни напрямку вектора [[Швидкість|швидкості]] (друга складова, [[тангенціальне прискорення]], характеризує зміну модуля швидкості). Напрямлене до центра [[Кривина (математика)|кривини]] траєкторії, з чим і пов'язаний термін. Доцентрове прискорення є [[Вектор (математика)|векторною величиною]].

Приклад руху з ненульовим доцентровим прискоренням&nbsp;— рівномірний рух [[матеріальна точка|матеріальної точки]] по [[коло|колу]], за якого вектор доцентрового прискорення завжди напрямлений від матеріальної точки ''до центра'' кола.

Позначається символом, вибраним для прискорення, з додаванням позначки «нормальне»: <math>\vec{a}_n</math> (рідше <math>\vec{w}_n</math>); в [[Міжнародна система одиниць (SI)|SI]] вимірюється в м/с<sup>2</sup>.

Модуль доцентрового прискорення визначають за формулою

: <math> a = \frac{v^2}{R} </math>,

де <math>v</math>&nbsp;— модуль швидкості матеріальної точки, <math>R</math>&nbsp;— [[радіус]] [[Дуга кола|дуги]] або [[Коло|кола]].

Для руху по колу використовують формулу:

<math> a = {\omega^2}{R} </math>,

де <math>\omega</math>&nbsp;— (миттєва) [[кутова швидкість]] цього руху відносно центру кривизни траєкторії.

Доцентрове прискорення є частковим випадком нормального прискорення, яке виникає при будь-якому криволінійному русі.

В [[Класична механіка|класичній механіці]] нормальне прискорення викликають компоненти [[Сила|сили]], напрямлені ортогонально вектору швидкості. Наприклад, рух космічного об'єкта на орбіті характеризується доцентровим прискоренням, викликаним [[Гравітація|гравітацією]]. Складову суми сил, що обумовлює наявність нормального прискорення, називають [[Доцентрова сила|доцентровою силою]]. Пов'язане поняття для [[Неінерціальна система відліку|неінерціальних систем відліку]]&nbsp;— [[відцентрова сила]].

Доосьове прискорення, яке розглядають у випадках обертання тіла навколо осі, в проєкції на площину, перпендикулярну до осі, постає як доцентрове.

== Загальна формула ==
Нормальне прискорення <math>a_n</math> обчислюють за формулою

: <math>a_n = \frac{v^2}{R}</math>

або (з використанням співвідношення <math>v = \omega R</math>)

: <math>a_n = \omega^2 R</math>,

де <math>v</math>&nbsp;— (миттєва) лінійна швидкість руху по траєкторії, <math>\omega</math>&nbsp;— (миттєва) [[кутова швидкість]] руху відносно центра [[Кривина (математика)|кривини]] траєкторії, <math>R</math>&nbsp;— радіус кривини траєкторії в даній точці.

Вирази можна переписати у векторному вигляді:

: <math>\mathbf a_n = \frac{v^2}{R} \mathbf n = \omega^2R\mathbf n</math>.

Тут <math>\mathbf n</math>&nbsp;— [[одиничний вектор]], напрямлений від даної точки траєкторії до центра кривини траєкторії.

Ці формули застосовні як до часткової ситуації [[Рівномірний рух|рівномірного руху]] (<math>|\vec{v}|=\,</math>const), так і до довільного випадку. У рівномірному випадку нормальне прискорення збігається з повним. У загальному ж випадку нормальне прискорення&nbsp;— це лише складова вектора <math>\vec{a}</math>, перпендикулярна до траєкторії руху (вектора <math>\vec{v}</math>), а в повний вектор прискорення входить ще й [[Тангенціальне прискорення|тангенціальна складова]] <math>a_\tau = dv/dt</math>, співнапрямлена з дотичною до траєкторії<ref>Як видно з формули, за руху зі сталою шляховою швидкістю тангенціальне прискорення просто дорівнює нулю.</ref>.

== Виведення формули ==
Для розкладання прискорення на тангенціальне і нормальне можна продиференціювати за часом [[Швидкість|вектор швидкості]], заданий у вигляді <math>\mathbf v = v\, \mathbf \tau</math> через одиничний вектор дотичної <math>\mathbf \tau</math>:

: <math> \mathbf a = \frac{d \mathbf{v}}{dt} 
      = \frac{d (v \mathbf \tau)}{dt}
      = \frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d}t} \,\mathbf \tau + v \frac{d \mathbf \tau}{dt}
      = \mathbf{a}_{\tau} + v \frac{d \mathbf \tau}{dl} \frac{dl}{dt}
      = \mathbf{a}_{\tau} + v^2\frac{d \mathbf \tau}{dl}
      = \mathbf{a}_{\tau} + \frac{v^2}{R}\frac{d \mathbf \tau}{d\varphi}
      = \mathbf{a}_{\tau} + \frac{v^2}{R}\,\mathbf n
</math>.

Тут перший доданок&nbsp;— [[тангенціальне прискорення]], а другий&nbsp;— нормальне прискорення. Через <math>\mathbf n</math> позначено одиничний вектор нормалі, <math>R</math>&nbsp;— радіус кривини траєкторії в даній точці, <math>dl</math>&nbsp;— елемент довжини траєкторії. Малу ділянку будь-якої кривої можна вважати дугою кола, причому її радіус і є радіусом кривини <math>R</math>. У ланцюжку перетворень використано очевидні співвідношення <math>dl/dt = v </math> і <math>dl = R\,d\varphi</math> (де <math>d\varphi</math>&nbsp;— малий кут повороту навколо центру кривини).

Рівність <math>d\mathbf\tau/d\varphi = \mathbf n</math> випливає з геометричних міркувань. Різниця <math> \Delta\mathbf \tau = \mathbf\tau' - \mathbf\tau</math> одиничних дотичних векторів у розглянутій (<math>\mathbf \tau</math>) і близькій до неї (<math>\mathbf \tau'</math>) точках траєкторії становить за величиною <math>2\sin(\Delta\varphi/2)</math>, де <math>\Delta\varphi</math>&nbsp;— кут між <math>\mathbf \tau'</math> і <math>\mathbf \tau</math>. Ця різниця напрямлена під кутом <math>\Delta\varphi/2</math> до нормалі <math>\mathbf n</math> у розглянутій точці. За малого <math>\Delta\varphi</math> буде збіг із вектором нормалі <math>\mathbf n</math>. Також за малого <math>\Delta\varphi</math> можливий розклад синуса в [[ряд Тейлора]]. В результаті прийдемо до <math>\Delta\mathbf \tau = \Delta\varphi\,\mathbf n</math> або, для нескінченно малих, <math>d \mathbf \tau/d\varphi = d\varphi/d\varphi\,\mathbf n</math>.

== Про радіус кривини ==
Обчислення радіуса кривини і координат центра кривини траєкторії є математичною задачею (див. [[Кривина (математика)|Кривина]]). Якщо криву задано рівнянням <math>y = f(x)</math>, то радіус її кривини в точці (<math>x</math>, <math>y</math>) знаходять як<ref name="kriv">{{Cite web |url=http://scask.ru/q_book_msh.php?id=200 |title=Шнейдер В. Е. и др. Краткий курс высшей математики. Учеб. пособие для втузов. М., «Высш. школа», c. 368—370. |accessdate=15 січня 2022 |archive-date=15 січня 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220115182015/https://scask.ru/q_book_msh.php?id=200 }}</ref>

: <math>R = \frac{(1+f'^2)^{3/2}}{|f''|}</math>,

а положення центра кривини&nbsp;— за формулами<ref name="kriv"/>

: <math>\xi = x - \frac{f'(1+f'^2)}{f''},\qquad \eta = y +\frac{1+f'^2}{f''}</math>.

Одиничний вектор нормалі в такому випадку буде (<math>\vec{i}</math>, <math>\vec{j}</math>&nbsp;— [[Одиничний вектор|орти]])

: <math>\vec{n} = \frac{\xi-x}{R}\,\vec{i} + \frac{\eta-y}{R}\,\vec{j}</math>.

Якщо відома залежність [[радіус-вектор]]а матеріальної точки від часу <math>\vec{r}(t)</math> (з математичної точки зору це означає задання траєкторії в параметричному вигляді), то радіус кривини можна знайти через прискорення:

: <math>R = \frac{v^2}{\sqrt{a^2-a_{\tau}^2}}</math>,

де <math>\vec{a} = d\vec{v}/dt</math> і <math>a_{\tau} = dv/dt</math>; попередньо знаходять [[швидкість]] як <math>\vec{v}=d\vec{r}/dt</math>. Центр кривини в загальному випадку не буде збігатися з початком відліку радіус-вектора.

== Мотивація, зауваження ==
Те, що розкладання вектора прискорення на компоненти&nbsp;— одну вздовж дотичної до траєкторії (тангенціальне прискорення) і іншу ортогональну їй (нормальне прискорення)&nbsp;— може бути зручним і корисним, досить очевидно. Під час руху зі сталою за модулем швидкістю тангенціальна складова стає рівною нулю, тобто в цьому важливому окремому випадку залишається ''тільки'' нормальна складова. Крім того, кожна з цих складових має яскраво виражені власні властивості і структуру, і нормальне прискорення містить в структурі своєї формули досить важливе і нетривіальне геометричне наповнення. Вкрай важливий також окремий випадок руху по колу.

Абсолютна величина тангенціального прискорення залежить тільки від шляхового прискорення, збігаючись з його абсолютною величиною, на відміну від абсолютної величини нормального прискорення, яка від шляхового прискорення не залежить, зате залежить від шляхової швидкості.

== Історія поняття ==
Першим правильні формули для доцентрового прискорення (або відцентрової сили) отримав, напевно, [[Християн Гюйгенс|Гюйгенс]]. Практично з цього часу розгляд доцентрового прискорення входить у звичайну техніку розв'язування механічних задач.

Дещо пізніше ці формули зіграли істотну роль у відкритті [[Закон всесвітнього тяжіння|закону всесвітнього тяжіння]] (формулу доцентрового прискорення використано для отримання закону залежності гравітаційної сили від відстані до джерела гравітації, виходячи з виведеного зі спостережень [[Закони Кеплера|третього закону Кеплера]]).

До XIX століття розгляд доцентрового прискорення стає вже абсолютно звичним як для чистої науки, так і для інженерних застосувань.

== Див. також ==
* [[Тангенціальне прискорення]]
* [[Кривина (математика)|Кривина]]
* [[Відцентрова сила]]

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Джерела ==
* https://www.eduget.com/course/fizika_podgotovka_k_zno-2325/{{Недоступне посилання}}

== Посилання ==
* {{ТС_Буд|частина=Нормальне прискорення|сторінки =134}}
{{Бібліоінформація}}
{{Механічний рух}}
{{Фізика-доробити}}
[[Категорія:Кінематика]]