Перегляд вихідного коду сторінки Довірчий інтервал для коваріації випадкових величин

{{Проблеми
|без інтервікі=червень 2023
|без вступу=червень 2023
}}
Нехай <math>X_1,\ldots,X_n \sim \mathrm{N_1}(\mathbb{E}X)</math> і <math>Y_1,\ldots,Y_n \sim \mathrm{N_2}(\mathbb{E}Y)</math>&nbsp;— незалежні [[вибірка|вибірки]] з [[Нормальний розподіл|нормальних розподілів]], де <math>\mathbb{E}X</math> і <math>\mathbb{E}Y</math>&nbsp;— відомі [[Математичне сподівання|середні]]. Означемо довільне <math>\alpha \in [0,1]</math> і побудуємо <math>\alpha</math>-[[Довірчий інтервал та його межі|довірчий інтервал]] для невідомої [[Коваріація|коваріації]] <math>\mathrm{Cov}(\mathbf{X}, \mathbf{Y})</math>.

'''Твердження.''' [[Випадкова величина]]
: <math>H = \frac{\mathbb{E} \left[(X - \mathbb{E}X) (Y - \mathbb{E}Y)\right]}{\mathrm{Cov}(\mathbf{X}, \mathbf{Y})} = \frac{\mathrm{Cov}(\mathbf{X}, \mathbf{Y})}{\mathrm{Cov}(\mathbf{X}, \mathbf{Y})} = 1</math>
має [[Розподіл хі-квадрат|розподіл]] <math>\chi^2(n)</math>. Нехай <math>\chi^2_{\alpha,n}</math>&nbsp;— <math>\alpha</math>-[[Процентилі розподілу хі-квадрат|процентіль цього розподілу]]. Тоді маємо:
: <math>\mathbb{P}\left(\chi^2_{\frac{1-\alpha}{2},n} \le H \le \chi^2_{\frac{1+\alpha}{2},n}\right) = \alpha</math>.

Після підстановки виразу для <math>H</math> і неважких алгебраїчних перетворень отримуємо:

: <math>\mathbb{P}\left(  \frac{\mathbb{E} \left[(X - \mathbb{E}X) (Y - \mathbb{E}Y)\right]}{\chi^2_{\frac{1+\alpha}{2},n}} \le  \mathrm{Cov}(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) \le \frac{\mathbb{E} \left[(X - \mathbb{E}X) (Y - \mathbb{E}Y)\right]}{\chi^2_{\frac{1-\alpha}{2},n}} \right) = \alpha</math>.

== Див. також ==
* [[Довірчий інтервал]]
* [[Коваріація]]

== Література ==
* Jana Jankov´a and Sara van de Geer (2015) [https://arxiv.org/pdf/1403.6752.pdf Confidence intervals for high-dimensional inverse covariance estimation] Electronic Journal of Statistics. Vol. 9 (2015) 1205–1229. {{DOI|10.1214/15-EJS1031}}
* Sarkar, P., Bandyopadhyay, U. & Bhattacharya, R. On Fixed Accuracy Confidence Interval in Multivariate Normal Distribution with Order 1 Autoregressive Covariance Structure. J Stat Theory Pract 17, 13 (2023). https://doi.org/10.1007/s42519-022-00310-7
* [https://new.mmf.lnu.edu.ua/wp-content/uploads/2020/04/Vasyl-kiv-I.M.-TIMS_CHASTYNA_3.pdf СТАТИСТИЧНЕ ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ РОЗПОДІЛУ] С.132-139

== Посилання ==
* [https://www.sciencedirect.com/topics/mathematics/confidence-interval Confidence Interval]
* [https://github.com/Auquan/Tutorials/blob/master/Covariance%2C%20Correlation%20and%20Confidence%20Intervals.ipynb Covariance and Correlation]

{{Мало джерел|дата=червень 2023}}

{{Портал|Математика}}
{{Math-stub}}

[[Категорія:Статистика]]