Перегляд вихідного коду сторінки Довірчий інтервал

{{Сирий переклад|ru|дата=січень 2017}}

'''Довірчий інтервал''' ({{lang-en|confidence interval, CI}})&nbsp;— у [[Математична статистика|математичній статистиці]] є типом {{Нп|Інтервальна оцінка|інтервальної оцінки||Interval estimation}}, яку обчислюють за даними спостереження, і яка покриває невідомий [[статистичний параметр]] із заданою надійністю. Це [[Інтервал (математика)|інтервал]], у межах якого з заданою довірчою імовірністю можна чекати значення оцінюваної (шуканої) [[Випадкова величина|випадкової величини]]. Застосовують для повнішої оцінки точності порівняно з точковою оцінкою. Метод довірчих інтервалів розробив американський статистик [[Єжи Нейман]], виходячи з ідей англійського статистика [[Рональд Фішер|Рональда Фішера]].

Наприклад, можна сказати: результати опитування показали, що кандидат набере на виборах 40&nbsp;% голосів. Проте математично правильніше сказати: з імовірністю 90&nbsp;% кількість голосів набраних кандидатом згідно з опитуваннями лежить в інтервалі 40±3&nbsp;%. Тут довірчим інтервалом є ±3&nbsp;%.

== Визначення ==
Довірчим інтервалом параметра <math>\theta</math> розподілу [[Випадкова величина|випадкової величини]] <math>X</math> з рівнем довіри ''p''<ref group="примітка">величину, що доповнює довірчу ймовірність до одиниці, зазвичай позначають α</ref>, для вибірки <math>(x_1,\ldots,x_n)</math>, називається інтервал з межами <math>l(x_1,\ldots,x_n)</math> та <math>u(x_1,\ldots,x_n)</math>, які є реалізаціями випадкових величин <math>L(X_1,\ldots,X_n)</math> та <math>U(X_1,\ldots,X_n)</math>, таких, що <math>\mathbb{P}(L \leqslant \theta \leqslant U)=p</math>.

Граничні точки довірчого інтервалу <math>l</math> та <math>u</math> називаються довірчими межами.

Тлумачення довірчого інтервалу, засноване на інтуїції, буде таким: якщо рівень довіри ''p'' великий (скажімо, 0,95 або 0,99), то довірчий інтервал майже напевно містить істинне значення <math>\theta</math>. Ще одне тлумачення поняття довірчого інтервалу: його можна розглядати як інтервал значень параметра, що є сумісними з даними дослідів і не суперечать їм.

Точніше, хоч також не зовсім формально, тлумачення довірчого інтервалу з рівнем довіри, наприклад, 95&nbsp;%: якщо провести дуже велику кількість незалежних експериментів з аналогічною побудовою довірчого інтервалу, то в 95&nbsp;% експериментів довірчий інтервал буде містити оцінюваний параметр <math>\theta</math> (тобто буде виконуватися <math>L \leqslant \theta \leqslant U</math>), а в решті 5&nbsp;% експериментів довірчий інтервал не міститиме <math>\theta</math>.

== Основні положення ==
Для повного уявлення про точність вимірювань та надійність оцінки випадкових відхилень результатів вимірювань, особливо при обмеженій кількості значень вимірюваної величини, необхідно задатися довірчими межами, довірчим інтервалом та довірчою ймовірністю.
Нехай
<math>\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)\equiv ~x~</math>&nbsp;— n незалежних спостережень над випадковою величиною з законом розподілу F(z/a), що залежить від параметра a, значення якого невідомо.
Довірчі межі випадкових похибок&nbsp;— це верхня та нижня межі інтервалу, в які похибки потрапляють із заданою ймовірністю Р. Величина Р називається довірчою ймовірністю. Для визначення довірчих меж похибок необхідно знати густину розподілу похибок та ймовірність потрапляння похибок у довірчі межі. Якщо не ввести обмеження, то задача матиме множину розв'язків.
# Визначення 1. Функція спостережень ''a''<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>,…,x<sub>n</sub>) (зауважимо, що це випадкова величина) називається нижньою довірчою границею для параметра ''a'' з рівнем довіри РД (звичайно близьким до 1), якщо при будь-якому значенні виконується P
<math>P\{{{a}_{1}}\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)\le a\}\ge {{P}_{}}</math>.
# Визначення 2. Функція спостережень ''a''<sub>2</sub>(x<sub>1</sub>,…,x<sub>n</sub>) (випадкова величина) називається верхньою довірчою границею для параметра ''a'' з рівнем довіри РД, якщо при будь-якому значенні
<math>P\{{{a}_{1}}\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)\ge a\}\ge {{P}_{}}</math>.
# Визначення 3. Інтервал з випадковими кінцями (випадковий інтервал)
I(x)  = (a<sub>1</sub>(x), a<sub>2</sub>(x)), обумовлений двома функціями спостережень, називається довірчим інтервалом для параметра ''a'' з рівнем довіри РД, якщо при будь-якому значенні ''a''
<math>P\left\{ a \in I\left( x \right)\ \right\}\equiv P\{~{{a}_{1}}\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)\le a\le ~{{a}_{2}}\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)\}\ge {{P}_{}}</math>,
тобто імовірність (що залежить від ''a'') накрити випадковим інтервалом I(x) справжнє значення a&nbsp;— більше або дорівнює РД.

== Побудова довірчих границь і інтервалів ==

Для побудови довірчого інтервалу (чи границі) необхідно знати закон розподілу статистики
<math>\xi =\xi \left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)</math>, по якій оцінюється невідомий параметр (такою статистикою може бути оцінка
<math>\xi =\hat{a}\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)</math>). Один зі способів побудови полягає в наступному. Припустимо, що деяка випадкова величина
<math>\varphi =\varphi (\xi , a)</math>, що залежить від статистики
<math>\xi </math> і невідомого параметра a така, що:
# закон розподілу відомий і не залежить від a;
# <math>\varphi (\xi , a)</math> є неперервною та монотонною по.
Виберемо діапазон для
<math>\varphi</math> інтервал
<math>({{f}_{1}},{{f}_{2}})</math> так, щоб влучення в нього було практично імовірно:
<math>P\{f_1\le \varphi (\xi , a)\le f_2\}\ge P</math>
для чого досить як
<math>f_1,f_2</math> взяти квантилі розподілу
<math>\varphi </math> рівня (1- РД)/2 і (1+ РД)/2 відповідно. Перейдемо в до іншого запису випадкової події. Розв'язуючи нерівності щодо параметра ''a'', одержимо (думаючи, що
<math>\varphi </math> монотонно зростає по a):
<math>{P}\{{ g}(\xi ,f_1)\le {a}\le {g}(\xi , f_2)\}\ge {P}</math>.
Це співвідношення вірне при будь-якім значенні параметра ''a'', і тому, відповідно до визначення, випадковий інтервал
<math>(g(\xi , {{f}_{1}}), g(\xi , {{f}_{2}}))</math> є довірчим для a з рівнем довіри РД. Якщо
<math>\varphi </math> спадає по a, інтервалом є
<math>(g(\xi , {{f}_{2}}),g(\xi, {{f}_{1}}))</math>.
Для побудови однобічної границі для a виберемо значення
<math>f_1,f_2</math> так, щоб
<math>~~~~~~{P}\{\varphi (\xi ,a)\ge {{f}_{1}}\}\ge {{P}_{}},~~~~~{{f}_{1}}=Q\left(1 - {{P}_{}} \right)</math>
чи
<math>{P}\{\varphi (\xi ,a)\le {{f}_{2}}\}\ge {{P}_{~}}{{,}_{~~~~}}~{{f}_{2}}=Q\left( {{P}_{}} \right)</math>
де
<math>Q(P)</math>&nbsp;— квантиль рівня
<math>P</math>. Після розв'язання нерівності одержимо однобічні довірчі границі для a.
{{center|[[Файл:Dovinterval.jpg]]<br/>
Рисунок&nbsp;— Довірчі межі та довірчі ймовірності.}}

Для звичайних технічних вимірювань, коли не вимагається високий ступінь надійності та точності, довірча ймовірність береться у межах 0,9—0,95.
Виходячи з нормального закону розподілу, можна розраховувати ймовірність виникнення випадкових похибок з різними значеннями.

== Див. також ==

* [[Випадкова величина#Ймовірність випадкової величини|Ймовірність випадкової величини]]
* [[Довірчий інтервал для коваріації випадкових величин]]
* [[Імовірний інтервал#Довірчий інтервал|Імовірний інтервал § Довірчий інтервал]]
* [[Довірча смуга]]

== Примітки ==
{{reflist|group="примітка"}}

== Література ==
* {{Сеньо|2}}

{{statistics-stub}}

{{Перекласти|en|Confidence interval}}

{{Статистика|виведення}}

[[Категорія:Кількісні ринкові дослідження]]
[[Категорія:Математична статистика]]
[[Категорія:Біологічна статистика]]
[[Категорія:Статистичні інтервали]]