Перегляд вихідного коду сторінки Довжина хвилі

{{unibox}}[[Файл:Wavelength.png|frame|right]]
'''Довжина́ хви́лі'''&nbsp;— характеристика періодичної [[хвиля|хвилі]], що позначає найменшу відстань між точками [[простір|простору]], в яких хвиля має однакову [[фаза (коливання)|фазу]]<ref>ДСТУ 2755-94 Фізична оптика. Терміни, визначення та літерні позначення основних величин.</ref>. Крива на представленому малюнку може розглядатися, наприклад, як миттєвий знімок [[Вібрація струни|збурень у струні]], коли відхилення точок струни від стану рівноваги задається виразом
: <math>W=A\sin (kx-\omega t)</math>.

Тут <math>k=\frac{\omega}{v}</math>, де <math>v</math>&nbsp;— [[фазова швидкість]] хвилі, а <math>\omega</math>&nbsp;— кругова частота.

Довжина хвилі зазвичай позначається грецькою літерою λ. Ця характеристика хвилі однозначно
зв'язана з величиною [[хвильове число|хвильового числа]] k
: <math> k =  \frac{2\pi}{\lambda} </math>.

Порівняння двох виразів для хвильового числа вказує на залежність довжини хвилі від [[частота|частоти]].
Для згаданого випадку хвиль в струні фазова швидкість <math>c</math> є постійною величиною. Тому в струні хвилі різних частот (довжин хвиль) поширюються з однаковою швидкістю. В багатьох випадках при вивченні хвиль їхня фазова швидкість виявляється залежною від частоти. Це явище називають [[дисперсія хвилі|дисперсією]]. Співвідношення, що задає зв'язок між фазовою швидкістю і частотою називається [[закон дисперсії|законом дисперсії]], або дисперсійним рівнянням.

Часто залежність між частотою і довжиною хвилі обернено-пропорційна. У таких випадках [[швидкість]]
розповсюдження хвилі фіксована й не залежить від частоти. Наприклад, для [[електромагнітна хвиля|електромагнітної хвилі]] у вакуумі
: <math> \omega = \frac{2\pi c}{\lambda}, </math>

де c&nbsp;— [[швидкість світла]].

Аналогічно, для [[звук|звукових хвиль]]
: <math> \omega = \frac{2\pi s}{\lambda},</math>

де s&nbsp;— [[швидкість звуку]].

При переході хвилі з одного середовища в інше довжина хвилі змінюється, на відміну від частоти, яка залишається сталою. Електромагнітні хвилі в середовищі зазвичай характеризуються '''приведеною довжиною хвилі''', тобто довжиною, яку хвиля мала б у вакуумі.

== Синусоїдні хвилі ==
В {{нп|Лінійність|лінійному|en|linear}} середовищі, будь-яку [[Форма хвилі|форму хвилі]] можна описати в термінах незалежного поширення синусоїдних компонентів. Довжина хвилі ''λ'' синусоїдної хвилі, що рухається із постійною швидкістю ''v'' задається як<ref name= Cassidy>{{cite book
 |title=Understanding physics
 |author1=David C. Cassidy
 |author2=Gerald James Holton
 |author3=Floyd James Rutherford
 |url=https://books.google.com/books?id=rpQo7f9F1xUC&pg=PA340
 |pages=339 ''ff''
 |isbn=0-387-98756-8
 |year=2002
 |publisher=Birkhäuser
 |accessdate=5 лютого 2019
 |archive-date=8 лютого 2017
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170208041543/https://books.google.com/books?id=rpQo7f9F1xUC&pg=PA340
 }}</ref>

: <math>\lambda = \frac{v}{f}\,\,,</math>

де ''v'' це величина [[Фазова швидкість|фазової швидкості]] хвилі, а ''f'' це її [[частота]]. В ''дисперсивному'' середовищі, фазова швидкість залежить від частоти хвилі, що робить [[Закон дисперсії|зв'язок між довжиною хвилі і частотою]] нелінійним.

У випадку з [[Електромагнітне випромінювання|Електромагнітним випромінюванням]] — таким як світло — у [[Вакуум|вільному просторі]], фазова швидкість дорівнює [[Швидкість світла|швидкості світла]], що є близькою 3×10<sup>8</sup>&nbsp;м/сек. Таким чином довжина хвилі 100&nbsp;МГц електромагнітної (радіо) хвилі становить близько: 3×10<sup>8</sup>&nbsp;м/сек розділене на 10<sup>8</sup>&nbsp;Гц = 3 метри. Довжина хвиль видимого світла варіюється від темно [[Червоний колір|червоного]], що має довжину хвилі приблизно в 700 [[Нанометр|нм]], до [[Фіолетовий колір|фіолетового]], приблизно 400&nbsp;нм (інші приклади див. [[електромагнітний спектр]]).

Для [[Звук#Довжина_хвилі|звукових хвиль]] в повітрі, [[Швидкість звуку]] становить 343&nbsp;м/сек (в [[Нормальні умови|при нормальних умовах температури і атмосферного тиску]]). Людський слух може сприймати довжини хвиль звукових частот (20&nbsp;[[Герц|Гц]]–20&nbsp;кГц) будуть знаходитися в межах приблизно від 17&nbsp;[[Метр|м]] до 17&nbsp;[[Міліметр|мм]], відповідно. Зверніть увагу, що довжини хвиль чутного звуку набагато довші за довжини хвиль видимого світла.

=== Стояча хвиля ===
[[Файл:Waves in Box.svg|thumb|Синусоїдні стоячі хвилі в коробці, що обмежує крайні точки хвилі, які в результаті стають вузлами, що є цілими частинами половини довжини хвиль, які збігаються з коробкою.]]
[[Файл:Standing wave 2.gif|thumb|right|Стояча хвиля (чорним кольором) показана як сума двох хвиль, що поширюються у протилежних напрямках (червоним і синім кольорами)]]

[[Стояча хвиля]] це хвилеподібний рух, який залишається на одному місці. Синусоїдальна стояча хвиля має стаціонарні точки, де рух не відбувається, які називаються {{нп|Вузол (фізика)|вузлами|en|node (physics)}}, а довжина хвилі вдвічі більша за відстань між вузлами.

На верхньому малюнку показано три стоячі хвилі у коробці. Стінки коробки зроблені так, що хвиля повинна мати вузли на стінках цієї коробки (приклад [[Крайова задача|крайових умов]]), це визначає які довжини хвиль потрібні. Наприклад, для електромагнітної хвилі, якщо коробка має ідеальні металеві стінки, умови для появи вузлів на стінках виникають тому що металеві стінки не можуть підтримувати тангенціальне електричне поле, що приводить до того, що хвиля має нульову амплітуду на стінках.

Стаціонарну хвилю можна розглядати як суму двох синусоїдних хвиль, що поширюються із протилежно направленими швидкостями.<ref>{{cite book
 | title = The World of Physics
 | author = John Avison
 | publisher = Nelson Thornes
 | year = 1999
 | isbn = 978-0-17-438733-6
 | page = 460
 | url = https://books.google.com/books?id=DojwZzKAvN8C&pg=PA460&dq=%22standing+wave%22+wavelength
 | accessdate = 6 лютого 2019
 | archive-date = 12 лютого 2020
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20200212212338/https://books.google.com/books?id=DojwZzKAvN8C&pg=PA460&dq=%22standing+wave%22+wavelength
 }}</ref> Таким чином, довжина хвилі, період і швидкість хвилі пов'язані так само як і для біжучої хвилі. Наприклад, [[Швидкість світла#Cavity resonance|швидкість світла]] можна визначити за допомогою спостереження за стоячими хвилями в металевій коробці в якій знаходиться ідеальний вакуум.

=== Математичне представлення ===
Рухомі синусоїдні хвилі часто задають математично через їх швидкість ''v'' (в напрямі осі x), частоту ''f'' і довжину хвилі ''λ'' наступним чином:

: <math>  y (x, \ t) = A \cos \left( 2 \pi \left( \frac{x}{\lambda } - ft \right ) \right )  = A \cos \left( \frac{2 \pi}{\lambda} (x - vt) \right )</math>

де ''y'' це значення хвилі в будь-якій точці позиції ''x'', при часі ''t'', і ''A'' задає [[амплітуда|амплітуду]] хвилі. Також, їх часто задають в термінах [[Хвильове число|хвильового числа]] ''k'' (кількість довжин хвилі, що поміщаються в 2π одиниць довжини) і [[Кутова частота|кутової частоти]] ''ω'' (2π помножене на частоту) як:

: <math>  y (x, \ t) = A \cos \left( kx - \omega t \right)  = A \cos \left(k(x - v t) \right) </math>

де довжина хвилі і хвильове число пов'язані до швидкості і частоти наступним чином:

: <math> k = \frac{2 \pi}{\lambda} = \frac{2 \pi f}{v} = \frac{\omega}{v},</math>

або

: <math> \lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi v}{\omega} = \frac{v}{f}.</math>

У другому виразі рівняння, що наведене вище, фаза {{nowrap|(''kx'' − ''ωt'')}} часто узагальнена до виразу {{nowrap|('''k'''•'''r''' − ''ωt'')}}, що замінює хвильове число ''k'' на [[хвильовий вектор]], який задає напрям та хвильове число для [[Плоска хвиля|плоскої хвилі]] у [[Тривимірний опис об'єкта|тривимірному просторі]], параметризоване за допомогою вектора позиції '''r'''. В такому випадку, хвильове число ''k'', магнітуда '''k''', досі залишаються у тому самому співвідношенні із довжиною хвилі як було показаному вище, де ''v'' інтерпретують як скалярну швидкість, напрям якої задає хвильовий вектор. Перша форма в якій використовують відповідну довжину хвилі в фазі, не так легко узагальнюється до задавання хвилі в довільному напрямку.

Також використовують узагальнення до синусоїд з іншими фазами, а також до комплексних експонент; див [[плоска хвиля]]. Загальноприйняте використання [[косинус]]ної фази замість [[Синус|синусної]] фази при описанні хвилі основане на тому, що косинус є дійсною частиною комплексної експоненти для хвилі
: <math>A e^{ i \left( kx - \omega t \right)}. </math>

=== Загальне середовище ===
[[Файл:Wavelength & refractive index.JPG|thumb|Довжина хвилі зменшується у середовищі із повільнішим поширенням хвиль.]]
[[Файл:Refraction - Huygens-Fresnel principle.svg|right|thumb|Заломлення: при входженні в середовище, де швидкість хвилі менша, хвиля змінює напрям руху.]]
[[Файл:Light dispersion conceptual waves.gif|thumb|Розділення кольорів світла призмою (натисніть для анімації)]]

Швидкість хвилі залежить від середовища в якому вона поширюється. Зокрема, швидкість світла в середовищі є меншою ніж у [[вакуум]]і, це означає, що та сама частота буде відповідати меншій довжині хвилі у середовищі, ніж у вакуумі, як показано на малюнку праворуч.

Ця зміна швидкості при входженні в середовище призводить до [[заломлення]], тобто до зміни напрямку руху хвиль, які зустрічають перехід між середовищами під кутом.<ref name=mud>{{cite book |title=Principles of Planetary Climate |url=https://books.google.com/books?id=bO_U8f5pVR8C&pg=PA327 |page=327 |year=2010 |author=Raymond T. Pierrehumbert |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-86556-5 |accessdate=9 лютого 2019 |archive-date=10 лютого 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200210151119/https://books.google.com/books?id=bO_U8f5pVR8C&pg=PA327 }}</ref> Для [[Електромагнітне випромінювання|електромагнітних хвиль]], ця зміна кута поширення описується [[Закон Снеліуса|законом Снеліуса]].

Не тільки швидкість хвилі в одному середовищі, може відрізнятися від швидкості в іншому середовищі, а швидкість як правило змінюється із довжиною хвилі. В результаті, зміна напряму при вході в інше середовище відбувається зі зміною довжини хвилі.

Для електромагнітних хвиль швидкість поширення у середовищі визначається його ''[[Показник заломлення|показником заломлення]]'' відповідно до
: <math>v = \frac{c}{n(\lambda_0)},</math>
де ''c'' це [[швидкість світла]] у вакуумі, а ''n''(λ<sub>0</sub>) це показник заломлення середовища для довжини хвилі λ<sub>0</sub>, де остання вимірюється у вакуумі, а не в середовищі. Відповідна довжина хвилі у середовищі становить
: <math>\lambda = \frac{\lambda_0}{n(\lambda_0)}.</math>

Якщо вказують довжини хвиль електромагнітного випромінення, як правило вказують значення довжини хвилі у вакуумі, якщо явно не визначено, що це довжина хвилі у певному середовищі. В акустиці, де середовище є необхідним для існування хвиль, довжина хвилі вказується для відповідного зазначеного середовища.
 
Зміна швидкості світла із довжиною хвилі називається [[Дисперсія світла|дисперсією]], це явище також можна спостерігати при проходженні світла через {{нп|Дисперсійна призма|призму|en|dispersive prism}}, коли світло розділяється на складові кольори. Розділення на кольори відбувається коли показник заломлення в середині призми змінюється для різної довжини хвилі, тож хвилі із різною довжиною в середині призми поширюються із різною швидкістю, що змушує їх [[Заломлення|заломлюватися]] під різними кутами. Математичний закон, який описує як швидкість світла в середовищі змінюється із його довжиною хвилі знаний як [[закон дисперсії]].

==== Неоднорідне середовище ====
[[Файл:Local wavelength.svg|thumb|Різна локальна довжина хвилі (від гребня до гребня) океанських хвиль, що наближуються до берега<ref name=Pinet2/>]]
Довжина хвилі може бути корисним поняттям, навіть якщо хвиля не [[Періодична функція|періодична]] у просторі. Наприклад, океанські хвилі, які наближуються до берега, показані на малюнку, мають різну ''локальну'' довжину хвилі, яка частково залежить від глибини морського дна у співвідношенні до висоти хвилі. Аналіз цих хвиль може засновуватися на порівнянні локальної довжини хвилі із локальною глибиною води.<ref name=Pinet2>{{cite book
 |title = op. cit
 |author = Paul R Pinet
 |url = https://books.google.com/books?id=6TCm8Xy-sLUC&pg=PA242
 |page = 242
 |isbn = 0-7637-5993-7
 |year = 2009
 |accessdate = 9 лютого 2019
 |archive-date = 9 лютого 2020
 |archive-url = https://web.archive.org/web/20200209163415/https://books.google.com/books?id=6TCm8Xy-sLUC&pg=PA242
 }}</ref>

[[Файл:Cochlea wave animated.gif|right|thumb|Синусоїдна хвиля яка рухається у неоднорідному просторі, з втратами]]
Хвилі, синусоїдні у часі, але поширювані через середовище, властивості якого змінюються із положенням у ньому (''неоднорідне'' середовище), можуть поширюватися зі швидкістю, яка також буде змінюватися із положенням, і таким чином не будуть синусоїдними у просторі. Приклад показано на малюнку праворуч. З тим як хвиля сповільнюється, довжина хвилі стає меншою, а амплітуда зростає; після проходження місця максимального відгуку, короткі хвилі викликають високі втрати і зрештою хвиля згасає.

Аналіз [[Диференціальні рівняння|диференційних рівнянь]], що описують такі системи часто проводять наближеними методами, такими як ''[[Квазікласичне наближення|метод наближення ВКБ]]'' (що також знаний як ''метод Ліувілля–Гріна''). Метод інтегрує фазу у просторі рішення, що є функцією часу і простору, використовуючи локальне [[Хвильове число|хвильове число]], яке можна розуміти як відповідник «локальної довжини хвилі».<ref>{{cite book
 | title = Principles of Plasma Mechanics
 | author = Bishwanath Chakraborty
 | publisher = New Age International
 | isbn = 978-81-224-1446-2
 | page = 454
 | url = https://books.google.com/books?id=_MIdEiKqdawC&pg=PA454&dq=wkb+local-wavelength
 | year = 2007
 | accessdate = 9 лютого 2019
 | archive-date = 11 лютого 2020
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20200211065759/https://books.google.com/books?id=_MIdEiKqdawC&pg=PA454&dq=wkb+local-wavelength
 }}</ref><ref>{{cite book
 | title = Time-frequency and time-scale methods: adaptive decompositions, uncertainty principles, and sampling
 | author1 = Jeffrey A. Hogan
 | author2 = Joseph D. Lakey
 | lastauthoramp = yes
 | publisher = Birkhäuser
 | year = 2005
 | isbn = 978-0-8176-4276-1
 | page = 348
 | url = https://books.google.com/books?id=YOf0SRzxz3gC&pg=PA348&dq=wkb+local-wavelength
 | accessdate = 9 лютого 2019
 | archive-date = 24 січня 2020
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20200124161105/https://books.google.com/books?id=YOf0SRzxz3gC&pg=PA348&dq=wkb+local-wavelength
 }}</ref>
Цей метод розглядає систему локально, так ніби вона є однорідною із деякими локальними властивостями; зокрема, локальна швидкість хвилі пов'язана із частотою є єдиною необхідною інформацією для оцінки відповідного хвильового числа або довжини хвилі. Крім того, метод обчислює повільну зміну амплітуди аби узгодити інші обмеження рівнянь фізичної системи, такі як для визначення [[Закон збереження енергії|збереження енергії]] у хвилі.

==== Кристали ====
[[Файл:Wavelength indeterminacy.JPG|thumb|Хвилю у рядку атомів, можна інтерпретувати як множину різних довжин хвиль.]]

Хвилі в кристалічних твердих тілах не є неперервними, оскільки вони утворені вібрацією дискретних частинок, що організовані у регулярні решітки. Це створює [[аліасинг]], оскільки одна і та однакову вібрацію, можна розглядати як таку, що має різні довжини хвиль, як показано на малюнку.<ref name=Putnis>See Figure 4.20 in {{cite book |author=A. Putnis |title=Introduction to mineral sciences |url=https://books.google.com/books?id=yMGzmOqYescC&pg=PA97 |page=97 |isbn=0-521-42947-1 |year=1992 |publisher=Cambridge University Press |accessdate=9 лютого 2019 |archive-date=11 лютого 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200211065801/https://books.google.com/books?id=yMGzmOqYescC&pg=PA97 }} and Figure 2.3 in {{cite book |title=Introduction to lattice dynamics |author=Martin T. Dove |url=https://books.google.com/books?id=vM50l2Vf7HgC&pg=PA22 |page=22 |isbn=0-521-39293-4 |edition=4th |year=1993 |publisher=Cambridge University Press |accessdate=9 лютого 2019 |archive-date=14 лютого 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200214075520/https://books.google.com/books?id=vM50l2Vf7HgC&pg=PA22 }}</ref> Описувати це використовуючи більше ніж одну із цих частот було б надмірним; як правило обирають найдовшу довжину хвилі що відповідає цьому явищу. Діапазон довжин хвиль, якого достатньо аби надати опис усіх можливих хвиль в кристалічному середовищі відповідає векторам хвилі, що прив'язані до [[Зона Бріллюена|зони Бріллюена]].<ref name=Razeghi>{{cite book |title=Fundamentals of solid state engineering |author=Manijeh Razeghi |pages=165 ''ff'' |url=https://books.google.com/books?id=6x07E9PSzr8C&pg=PA165 |isbn=0-387-28152-5 |year=2006 |publisher=Birkhäuser |edition=2nd |accessdate=9 лютого 2019 |archive-date=11 лютого 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200211065758/https://books.google.com/books?id=6x07E9PSzr8C&pg=PA165 }}</ref>

Ця невизначеність довжини хвилі у твердих тілах є важливою для аналізу хвильових явищ, таких як [[Зонна теорія|енергетичні смуги]] та [[Фонон|коливання решітки]]. Математично це еквівалентне [[аліасинг]]у сигналу, який [[Дискретизація|представлено]] у дискретних інтервалах.

== Загальні форми хвиль ==
{{Див. також|Форма хвилі}}
[[Файл:Periodic waves in shallow water.png|right|thumb|Майже періодичні хвилі на мілководді]]

Поняття довжини хвилі як правило застосовують до синусоїдних, або близьких до синусоїдних, хвиль, оскільки в лінійній системі синусоїда це унікальна форма, яка поширюється без зміни форми&nbsp;— змінюється лише фаза і потенційно змінюється амплітуда.<ref name=Rayleigh>
See {{cite book |title=Encyclopædia Britannica |author=[[Джон Вільям Стретт (лорд Релей)|Lord Rayleigh]] |chapter=Wave theory |url=https://books.google.com/?id=r54UAAAAYAAJ&pg=PA422&dq=%22only+kind+of+wave+which+can+be+propagated+without+a+change+of+form%22#v=onepage&q=%22only%20kind%20of%20wave%20which%20can%20be%20propagated%20without%20a%20change%20of%20form%22&f=false |year=1890 |publisher=The Henry G Allen Company |edition=9th |page=422}}
</ref> Довжина хвилі (альтернативно [[хвильове число]] або [[хвильовий вектор]]) є характеристикою хвилі в просторі, яка функціонально пов'язана із частотою хвилі. Синусоїди є найпростішим варіантом [[Хвиля|біжучих хвиль]], а складніші варіанти хвиль можна побудувати за допомогою [[Принцип суперпозиції|суперпозиції]].

Особливому випадку бездисперсійних і однорідних середовищ, хвилі відмінні від синусоїдних поширюються із незмінною формою та сталою швидкістю. В певних обставинах, хвилі із незмінною формою можуть зустрічатися у нелінійних середовищах; наприклад, на малюнку показані океанські хвилі на мілководді, які мають чіткіші гребні і пологіший прогин ніж у синусоїди, що є типовим для {{нп|Кноїдальна хвиля|кноїдальних хвиль|en|cnoidal wave}},<ref name=Pilipchuk>{{cite book
 |title=Nonlinear Dynamics: Between Linear and Impact Limits
 |author=Valery N. Pilipchuk
 |url=https://books.google.com/books?id=pqIlJNq-Ir8C&pg=PA127
 |page=127
 |chapter=Figure 4.4: Transition from quasi-harmonic to cnoidal wave
 |isbn=3642127983
 |year=2010
 |publisher=Springer
 |accessdate=10 лютого 2019
 |archive-date=13 лютого 2020
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200213220407/https://books.google.com/books?id=pqIlJNq-Ir8C&pg=PA127
 }}</ref> біжучі хвилі, які описуються за допомогою [[Еліптичні функції Якобі|еліптичних функцій Якобі]] ''m''-го прядку, що як правило позначаються як {{nowrap|''cn''(''x''; ''m'')}}.<ref name=Ludu>{{cite book
 |title=Nonlinear Waves and Solitons on Contours and Closed Surfaces
 |author=Andrei Ludu
 |url=https://books.google.com/books?id=HIu9_8QKo6UC&pg=PA469
 |pages=469 ''ff''
 |chapter=§18.3 Special functions
 |isbn=3642228941
 |year=2012
 |edition=2nd
 |publisher=Springer
 |accessdate=10 лютого 2019
 |archive-date=14 лютого 2020
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200214203131/https://books.google.com/books?id=HIu9_8QKo6UC&pg=PA469
 }}</ref> [[Хвилі на поверхні води|Океанічні хвилі]] з великою амплітудою певних форм можуть поширюватися без змін, завдяки властивостям нелінійності середовища поверхневих хвиль.<ref>{{cite book
 | title = Nonlinear Ocean Waves and the Inverse Scattering Transform
 | author = Alfred Osborne
 | publisher = Academic Press
 | year = 2010
 | chapter = Chapter 1: Brief history and overview of nonlinear water waves
 | isbn = 0-12-528629-5
 | pages = 3 ''ff''
 | url = https://books.google.com/books?id=wdmsn9icd7YC&pg=PA3
 | accessdate = 10 лютого 2019
 | archive-date = 13 лютого 2020
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20200213035701/https://books.google.com/books?id=wdmsn9icd7YC&pg=PA3
 }}</ref>

[[Файл:Nonsinusoidal wavelength.svg|thumb|Довжина хвилі з періодичною але не синусоїдною формою.]]

Якщо біжуча хвиля має фіксовану форму, яка повторюється в просторі або з часом, це ''періодична хвиля''.<ref name=McPherson>{{cite book
 |title=Introduction to Macromolecular Crystallography
 |author=Alexander McPherson
 |url=https://books.google.com/books?id=o7sXm2GSr9IC&pg=PA77
 |page=77
 |chapter=Waves and their properties
 |isbn=0-470-18590-2
 |year=2009
 |edition=2
 |publisher=Wiley
 |accessdate=10 лютого 2019
 |archive-date=3 лютого 2020
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200203160701/https://books.google.com/books?id=o7sXm2GSr9IC&pg=PA77
 }}</ref> Такі хвилі як правило вважають таким, що мають довжину хвилі, хоча вони не є синусоїдними.<ref name=may>{{cite book |title=Fourier Analysis |url=https://books.google.com/books?id=gMPVFRHfgGYC&pg=PA1 |page=1 |isbn=1-118-16551-9 |year=2011 |publisher=John Wiley & Sons |author=Eric Stade |accessdate=10 лютого 2019 |archive-date=12 лютого 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200212072835/https://books.google.com/books?id=gMPVFRHfgGYC&pg=PA1 }}</ref> Як показано на малюнку, довжина хвилі вимірюється між послідовними відповідними точками форми хвилі.

=== Хвильовий пакет ===
[[Файл:Wave packet (dispersion).gif|thumb|Хвильовий пакет, що поширюється у просторі]]
{{Main|Хвильовий пакет}}

Локалізовані хвильові пакети, «сплески» хвиль, коли кожний пакет хвиль рухається як одне ціле, знайшли застосування у багатьох областях фізики. Хвильовий пакет має ''огинаючу'', що описує загальну амплітуду хвилі; між огинаючою, відстань між сусідніми піками іноді називають ''локальною довжиною хвилі''.<ref>{{cite book
 | title = The Quantum Theory of Motion: An Account of the de Broglie–Bohm Causal Interpretation of Quantum Mechanics
 | author = Peter R. Holland
 | publisher = Cambridge University Press
 | year = 1995
 | isbn = 978-0-521-48543-2
 | page = 160
 | url = https://books.google.com/books?id=BsEfVBzToRMC&pg=PA160&dq=wave-packet+local-wavelength
 | accessdate = 15 лютого 2019
 | archive-date = 26 січня 2020
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20200126104250/https://books.google.com/books?id=BsEfVBzToRMC&pg=PA160&dq=wave-packet+local-wavelength
 }}</ref><ref name=Cooper>{{cite book
 |title=Introduction to partial differential equations with MATLAB
 |author=Jeffery Cooper
 |url=https://books.google.com/books?id=l0g2BcxOJVIC&pg=PA272
 |page=272
 |isbn=0-8176-3967-5
 |publisher=Springer
 |year=1998
 |quote=The local wavelength λ of a dispersing wave is twice the distance between two successive zeros. ... the local wavelength and the local wave number ''k'' are related by ''k'' = 2π / λ.
 |accessdate=15 лютого 2019
 |archive-date=15 лютого 2020
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200215200950/https://books.google.com/books?id=l0g2BcxOJVIC&pg=PA272
 }}</ref> Приклад показаний на малюнку. В загальному випадку, ''контур'' хвильового пакету рухається із відмінною швидкістю ніж складові хвилі.<ref name= Fromhold>{{cite book |title=Quantum Mechanics for Applied Physics and Engineering |author=A. T. Fromhold |chapter=Wave packet solutions |pages=59 ''ff'' |quote=(p. 61) ... the individual waves move more slowly than the packet and therefore pass back through the packet as it advances |url=https://books.google.com/books?id=3SOwc6npkIwC&pg=PA59 |isbn=0-486-66741-3 |publisher=Courier Dover Publications |year=1991 |edition=Reprint of Academic Press 1981 |accessdate=15 лютого 2019 |archive-date=31 січня 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200131160128/https://books.google.com/books?id=3SOwc6npkIwC&pg=PA59 }}</ref>

Якщо використати [[Аналіз Фур'є]], хвильові пакети можна аналізувати у вигляді нескінченної суми (або інтегралу) синусоїдних хвиль із різним [[хвильове число|хвильовим числом]] або довжиною хвилі.<ref name=Manners>See, for example, Figs. 2.8–2.10 in
{{cite book
 | title = Quantum Physics: An Introduction
 | author = Joy Manners
 | publisher = CRC Press
 | year = 2000
 | isbn = 978-0-7503-0720-8
 | chapter = Heisenberg's uncertainty principle
 | pages = 53–56
 | url = https://books.google.com/books?id=LkDQV7PNJOMC&pg=PA54&dq=wave-packet+wavelengths
 | accessdate = 15 лютого 2019
 | archive-date = 7 квітня 2021
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20210407114926/https://books.google.com/books?id=LkDQV7PNJOMC&pg=PA54&dq=wave-packet+wavelengths
 }}</ref>

[[Луї де Бройль]] стверджував, що всі частинки із певним значенням [[Імпульс (механіка)|імпульсу]] ''p'' мають довжину хвилі ''&lambda; = h/p'', де ''h'' це [[Стала Планка]]. Ця гіпотеза лягла в основу [[Квантова механіка|квантової механіки]]. У сучасний час, ці хвилі називаються [[Хвилі де Бройля|хвилями де Бройля]]. Наприклад, [[електрон]]и у дисплеях із [[Електронно-променева трубка|електронно-променевою трубкою]] мають довжину хвилі де Бройля, що приблизно дорівнює 10<sup>−13</sup> м. Аби уникнути того, що [[хвильова функція]], що описує таку частинку буде поширюватися по всьому простору, Бройль запропонував використовувати хвильові пакети, аби представити частинку, яка локалізована у просторі.<ref name=Marton>{{cite book
 |title=Advances in Electronics and Electron Physics
 |page=271
 |url=https://books.google.com/books?id=g5q6tZRwUu4C&pg=PA271
 |isbn=0-12-014653-3
 |year=1980
 |publisher=Academic Press
 |volume=53
 |editor1=L. Marton
 |editor2=Claire Marton
 |author=Ming Chiang Li
 |chapter=Electron Interference
 |accessdate=15 лютого 2019
 |archive-date=17 лютого 2020
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200217071123/https://books.google.com/books?id=g5q6tZRwUu4C&pg=PA271
 }}</ref> Поширення хвильового пакета у просторі, і розподіл хвильових чисел синусоїд, що утворюють пакет, відповідатиме невизначеності позиції частинки і імпульсу, добуток яких обмежено [[Принцип невизначеності|принципом невизначеності]].<ref name=Manners/>

== Інтерференція та дифракція ==

=== Інтерференція для двох щілин ===
{{main|Інтерференція хвиль}}

[[Файл:Interferometer path differences.JPG|thumb|Візерунок інтенсивності світла на екрані коли світло проходить через дві щілини. Написи праворуч вказують різницю довжини шляху, який здолало світло від двох щілин, які представлені тут як ідеальні точкові джерела.]]

Коли хвилі синусоїдної форми складаються між собою, вони можуть посилити одна одну (конструктивна інтерференція) або погасити одна одну (деструктивна інтерференція) в залежності від їх взаємного співвідношення фаз. Це явище можна дослідити за допомогою [[Інтерферометрія|інтерферометра]]. Це простий експеримент який здійснив [[Томас Юнг]], в якому світло проходить через [[Інтерференційний експеримент Юнга|дві щілини]].<ref name=Sluder>{{cite book
 |title=Digital microscopy
 |author1=Greenfield Sluder
 |author2=David E. Wolf
 |lastauthoramp=yes
 |url=https://books.google.com/books?id=H--zxc_N-jMC&pg=PA15
 |page=15
 |chapter=IV. Young's Experiment: Two-Slit Interference
 |isbn=0-12-374025-8
 |edition=3rd
 |year=2007
 |publisher=Academic Press
 |accessdate=16 лютого 2019
 |archive-date=24 січня 2020
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200124174407/https://books.google.com/books?id=H--zxc_N-jMC&pg=PA15
 }}</ref>
Як показано на малюнку, світло проходить крізь щілини і відбиває світло на екрані. Шлях, який проходить світло до певної точки на екрані буде різним для кожної із щілин, і залежить від значення кута θ, який траєкторії цих шляхів утворюють з екраном. Якщо ми розмістили екран досить далеко від щілин (так що, ''s'' є великою відстанню відносно відстані ''d'', на яку рознесені щілини), тоді ці шляхи будуть приблизно паралельними, і різниця шляхів буде просто дорівнювати ''d'' sin θ. Відповідно, умова для конструктивної інтерференції буде наступною:<ref name=Halliday>{{cite book
 |title=[[Основи фізики|Fundamentals of Physics]]
 |url=https://books.google.com/books?id=RVCE4EUjDCgC&pg=PT965
 |page=965
 |chapter=§35-4 Young's interference experiment
 |author=Halliday, Resnick, Walker
 |isbn=81-265-1442-6
 |year=2008
 |edition=Extended 8th
 |publisher=Wiley-India
 |accessdate=16 лютого 2019
 |archive-date=13 лютого 2020
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200213220405/https://books.google.com/books?id=RVCE4EUjDCgC&pg=PT965
 }}</ref>

: <math> d \sin \theta = m \lambda \ , </math>

де ''m'' це ціле число, а умова для деструктивної інтерференції буде наступна:

: <math> d \sin \theta = (m + 1/2 )\lambda \ . </math>

Таким чином, якщо відома довжина хвилі цього світла, рознесення щілин можна визначити із утвореного візерунка або ''смужок'', і навпаки.

Для декількох щілин, візерунок буде наступним<ref name=Harris>{{cite book |author=Kordt Griepenkerl |title=Handbook of physics |url=https://books.google.com/books?id=c60mCxGRMR8C&pg=PA307 |pages=307 ''ff'' |editor1=John W Harris |editor2=Walter Benenson |editor3=Horst Stöcker |editor4=Holger Lutz |chapter=§9.8.2 Diffraction by a grating |isbn=0-387-95269-1 |year=2002 |publisher=Springer |accessdate=16 лютого 2019 |archive-date=14 лютого 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200214075522/https://books.google.com/books?id=c60mCxGRMR8C&pg=PA307 }}</ref>
: <math>I_q = I_1 \sin^2 \left( \frac {q\pi g \sin \alpha} {\lambda} \right)  /  \sin^2  \left( \frac{ \pi g \sin \alpha}{\lambda}\right) \ , </math>
де ''q'' задає кількість щілин, а ''g''&nbsp;— стала дифракційної ґратки. Перший фактор, ''I''<sub>1</sub>, є результатом для однієї щілини.

=== Дифракція із однією щілиною ===
{{main|Дифракція}}
[[Файл:Double-slit diffraction pattern.png|thumb|200px|Візерунок дифракції для двох щілин, має [[Обвідна (хвилі)|обвідну]] як у випадку з однією щілиною.]]

Поняття різниці шляхів і конструктивної та деструктивної інтерференції описані вище для умови з двома щілинами застосовується також і для дослідження світла, що проходить крізь одну щілину і відбиває слід на екрані. Основним результатом цієї інтерференції є розподілення світла через вузьку щілину у ширше зображення на екрані. Це розсіяне розподілення енергії хвилі називають [[Дифракція|дифракцією]].

В залежності від відстані між джерелом та екраном, розрізняють два типи дифракції: [[Дифракція Фраунгофера|Дифракцію Фраунгофера]] або дифракція із далеким полем при великому віднесенні і [[Дифракція Френеля|Дифракцію Френеля]] або дифракцію близького поля і близькому віднесенні.

При аналізі дифракції із однією щілиною враховують не нульову ширину щілини, а кожну точку апертури приймають за джерело, що має єдиний вплив на пучок світла (''вейвлети Гюйгенса''). На екрані, світло, що проходить шлях від кожної точки в щілині має різну довжину шляху, хоча й дуже невелику різницю. Отже, як наслідок, виникає інтерференція.

У дифракційному візерунку Фраунгофера, досить далеко віднесеного від щілини, застосовуючи [[малокутове наближення]], розподілення інтенсивності ''S'' співвідноситься із позицією ''x'' через квадрат [[Функція sinc|функції sinc]]:<ref>{{cite book
 | title = Optical scattering: measurement and analysis
 | edition = 2nd
 | author = John C. Stover
 | publisher = SPIE Press
 | year = 1995
 | isbn = 978-0-8194-1934-7
 | page = 64
 | url = https://books.google.com/books?id=ot0tjJL72uUC&pg=PA65&dq=single-slit+diffraction+sinc-function
 | accessdate = 16 лютого 2019
 | archive-date = 3 лютого 2020
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20200203160659/https://books.google.com/books?id=ot0tjJL72uUC&pg=PA65&dq=single-slit+diffraction+sinc-function
 }}</ref>

: <math>S(u) = \mathrm{sinc}^2(u) = \left( \frac {\sin \pi u}{\pi u} \right) ^2 \ ; </math> &ensp;де&ensp; <math>u = \frac {x L}{\lambda R} \ , </math>

де ''L'' це ширина щілини, ''R'' це відстань від отриманого візерунка (на екрані) до щілини, а λ довжина хвилі застосованого світла. Функція ''S'' має нулі, там де ''u'' це не нульове ціле число, і при тих значеннях ''x'', із довжиною хвилі в пропорції із відстанню віднесення.

=== Обмеження роздільної здатності дифракції ===
{{main|Роздільна здатність (оптика)}}

Дифракція є основним обмеженням [[Роздільна здатність (оптика)|роздільної здатності]] оптичних інструментів, таких як [[телескоп]]и (в тому числі [[радіотелескоп]]ів) та [[мікроскоп]]и.<ref name=Saxby>{{cite book
 |author=Graham Saxby
 |url=https://books.google.com/books?id=e5mC5TXlBw8C&pg=PA57
 |page=57
 |title=The science of imaging
 |chapter=Diffraction limitation
 |isbn=0-7503-0734-X
 |year=2002
 |publisher=CRC Press
 |accessdate=16 лютого 2019
 |archive-date=11 лютого 2020
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200211065756/https://books.google.com/books?id=e5mC5TXlBw8C&pg=PA57
 }}</ref>
Для кругової апертури, точка зображення обмежена дифракцією знана як [[Ейрі кільця|диск Ейрі]]; відстань ''x'' в формулі дифракції з однією щілиною заміняються радіальною відстанню ''r'', а синус заміняється на 2''J''<sub>1</sub>, де ''J''<sub>1</sub>&nbsp;— [[Функції Бесселя|функція Бесселя]] першого порядку.<ref>{{cite book
 | title = Introduction to Modern Optics
 | author = Grant R. Fowles
 | publisher = Courier Dover Publications
 | year = 1989
 | isbn = 978-0-486-65957-2
 | pages = 117–120
 | url = https://books.google.com/books?id=SL1n9TuJ5YMC&pg=PA119&dq=Airy-disk+Bessel+slit+diffraction+sin
 | accessdate = 16 лютого 2019
 | archive-date = 12 лютого 2020
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20200212113832/https://books.google.com/books?id=SL1n9TuJ5YMC&pg=PA119&dq=Airy-disk+Bessel+slit+diffraction+sin
 }}</ref>

''Просторовий'' розмір об'єкті, які можливо розрізнити при спостереженні за допомогою мікроскопа обмежений [[Роздільна здатність (оптика)|критерієм Релея]], тобто співвідношенням радіуса першого затемнення диску Ейрі, до розміру пропорційному довжині хвилі світла, яке використовують і яке залежить від {{нп|числова апертура|числової апертури|en|numerical aperture}}:<ref>{{cite book
 | title = Handbook of biological confocal microscopy
 | edition = 2nd
 | author = James B. Pawley
 | publisher = Springer
 | year = 1995
 | isbn = 978-0-306-44826-3
 | page = 112
 | url = https://books.google.com/books?id=16Ft5k8RC-AC&pg=PA112
 | accessdate = 16 лютого 2019
 | archive-date = 13 лютого 2020
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20200213035703/https://books.google.com/books?id=16Ft5k8RC-AC&pg=PA112
 }}</ref>

: <math>r_{Airy} = 1.22 \frac {\lambda}{2\mathrm{NA}} \ , </math>

де числова апертура визначена як <math>\mathrm{NA} = n \sin \theta\;</math> для кута θ, який є половиною кута конуса променів, що приймаються об'єктивом мікроскопа.

''Кутовий'' розмір центральної яскравої ділянки (радіус до першого затемнення диску Ейрі) зображення, що зазнала дії дифракції кругової апертури, є мірою, яку як правило використовують для телескопів та камер, і дорівнює:<ref>{{cite book
 | title = Reflecting Telescope Optics I: Basic Design Theory and Its Historical Development
 | author = Ray N. Wilson
 | publisher = Springer
 | year = 2004
 | isbn = 978-3-540-40106-3
 | page = 302
 | url = https://books.google.com/books?id=PuN7l2A2uzQC&pg=PA302&dq=telescope+diffraction-limited+resolution+sinc
 | accessdate = 16 лютого 2019
 | archive-date = 14 лютого 2020
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20200214011828/https://books.google.com/books?id=PuN7l2A2uzQC&pg=PA302&dq=telescope+diffraction-limited+resolution+sinc
 }}</ref>

: <math>\delta = 1.22 \frac {\lambda}{D} \ , </math>

де λ це довжина хвилі для тих хвиль які необхідно зобразити, ''D'' це діаметр [[Вхідна зіниця|вхідної зіниці]] системи зображення, що вказується в тих самих одиницях, і кутова роздільна здатність δ в радіанах.

Як і інші дифракційні візерунки, цей візерунок масштабується в залежності від довжини хвилі, тож менша довжина хвилі дозволяє мати вищу роздільну здатність.

== Субхвильова довжина ==
Термін ''субхвильова довжина'' ({{lang-en|subwavelength}}) вживають для опису об'єкта, який взаємодіє із хвилею, і має розмір в один або декілька вимірів менший ніж довжина хвилі. Наприклад, термін {{нп|оптичне волокно із діаметром субхвильової довжини||en|subwavelength-diameter optical fibre}} означає [[оптоволокно]], діаметр якого менший ніж довжина хвилі світла, що проходить по ньому.

Субхвильовою частинкою є частинка, яка менша ніж довжина хвилі світла з яким вона взаємодіє (див. [[Релеївське розсіювання]] світла). Субхвильова [[апертура]], це отвір менший ніж довжина хвилі світла, який проходить через нього. Такі конструкції мають своє застосування у {{нп|надзвичайній оптичній передачі||en|extraordinary optical transmission}}, і {{нп|Світловод нульового режиму|світловодах нульового режиму|en|zero-mode waveguide}}, серед усіх інших областей [[Фотоніка|фототоніки]].

''Субхвильова довжина'' може також означати явище пов'язане із субхвильовими об'єктами; наприклад, {{нп|візуалізація субхвильової довжини|візуалізацією субхвильової довжини|en|subwavelength imaging}}.

== Кутова довжина хвилі ==
[[Файл:Commutative diagram of harmonic wave properties.svg|thumb|300px|Зв'язок між довжиною хвилі, кутовою довжиною хвилі, та іншими властивостями хвилі. ({{mvar|&tau;}} є [[Оберт|альтернативним виразом]] для означення {{math|2''π''}}.)]]
Величина, що пов'язана із довжиною хвилі&nbsp;— '''кутова довжина хвилі''' (що також знана як '''зменшена довжина хвилі'''), як правило позначається як ''ƛ'' (лямбда із рисочкою). Вона дорівнює «повній» довжині хвилі, що «зменшена» на коефіцієнт 2π (''ƛ'' = ''λ''/2π). Вона як правило зустрічається в квантовій механіці, де її використовують у поєднанні із [[Стала_Планка|скороченою сталою Планка]] (позначається ''ħ'') і [[Кутова частота|кутовою частотою]] (позначається символом ''ω'') або [[Хвильове число|кутовим хвильовим числом]] (символ ''k'').
{{-}}

== Див. також ==
* [[Емісійний спектр]]
* [[Фраунгоферові лінії]]
* [[Спектральна лінія]]
* [[Спектроскопія]]
* [[Спектр]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* ''Грінченко В. Т., Вовк І. В., Маципура В. Т.'' Основи акустики.&nbsp;— К.: Наукова думка, 2007.&nbsp;— 640 с.&nbsp;— ISBN 978-966-00-0622-5.
* {{книга
|автор        = Біленко І. І.
|заголовок    = Фізичний словник
|рік          = 1979
|видавництво  = Вища школа
|місто        = {{Comment|К.|Київ}}
|сторінок     = 336
}}
{{phys-stub}}

{{Електромагнітний спектр}}
[[Категорія:Оптика|Теорія хвиль]]
[[Категорія:Акустика]]
[[Категорія:Базові поняття фізики]]
[[Категорія:Довжина]]
[[Категорія:Радіохвилі]]
{{ВП-портали|Науки про Землю|Географія|Океанологія|Гідрологія|Фізика}}