Перегляд вихідного коду сторінки Доведення від супротивного

'''Доведення від супротивного''' (зведення до абсурду, {{lang-la|Reductio ad absurdum}})&nbsp;— один із поширених методів доведення тверджень в [[Математична логіка|математичній логіці]]. Доведення від супротивного&nbsp;— вид доведення, при якому доведення деякого твердження відбувається через спростування заперечення цього твердження&nbsp;— антитезису. Метод ґрунтується на правильності формули <math>((A\Rightarrow B) \land \neg B) \Rightarrow \neg A</math> в [[числення висловлень|численні висловлень]] та [[закон подвійного заперечення|законі подвійного заперечення]]. Це приклад слабшого логічного спростування&nbsp;— ''[[доведення до абсурду]]''.

Припускаємо, що ''A'' є істинним твердженням, і доводимо, що, по-перше, з ''A'' виводиться ''B'', а по-друге, що з ''A'' виводиться ¬''B'', що неможливо; отже, ''A'' хибне, тобто істинне ¬''A''.

[[Ґодфрі Гарольд Гарді]] назвав доведення від супротивного, найкращою зброєю для математиків.

== Схема доведення ==
Доведення твердження <math>A</math> проводиться наступним чином. Спочатку приймають припущення, що твердження<math>A</math> невірне, а потім доводять, що при такому припущенні було б вірним деяке твердження <math>B</math>, яке завчасно невірне. Отримане протиріччя показує, що початкове твердження було невірним, і тому вірним є твердження <math>\urcorner\urcorner A</math>, яке по закону подвійного заперечення дорівнює твердженню <math>A</math>.

В [[Інтуїціонізм|інтуїтивній логіці]] закон виключно третього не діє, тому такі доведення в ній не приймаються.

== Приклад ==

=== Доведення [[Ірраціональні числа|ірраціональності]] числа <math>\sqrt{2}</math>. ===
Припустимо супротивне: <math>\sqrt{2}</math> [[Раціональні числа|раціональне]], тобто представляється у вигляді нескоротного дробу <math>\frac{m}{n}</math>, де <math>m</math>&nbsp;— [[Цілі числа|ціле число]], а <math>n</math>&nbsp;— [[Натуральні числа|натуральне.]] Піднесемо отриману рівність в квадрат:

<math>\sqrt{2} = \frac{m}{n}</math> <math>\Rightarrow</math> <math> 2 = \frac{m^2}{n^2}</math>, звідки <math>m^2 = 2 n^2</math>.

Звідси витікає, що <math>m^2</math> [[Парність (математика)|парне]], значить, парне і <math>m</math>; звідси <math>m^2</math> ділиться на 4, а значить, <math>n^2</math> і <math>n</math> теж парні. Отримане твердження суперечить нескоротності дробу <math>\frac{m}{n}</math>. Значить початкове твердження було вірним (<math>\sqrt{2}</math>&nbsp;— ірраціональне число).

=== Довжина гіпотенузи ===
Метод від супротивного також використовується, щоб показати, що для будь-якого невиродженого прямокутного трикутника, довжина гіпотенузи менше, ніж сума довжин двох інших. Доказ спирається на [[Теорема Піфагора|теорему Піфагора]]. Припустимо ''c'' є довжиною гіпотенузи і ''a'' і ''b'' довжини ребер, твердження в тому, що ''a+b''>c.

Заперечимо це твердження припустивши, що ''a+b≤c.'' Піднесемо обидві частини нерівності в квадрат(''a''&nbsp;+&nbsp;''b'')<sup>2</sup>&nbsp;≤&nbsp;''c''<sup>2</sup>. Маємо ''a''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;2''ab''&nbsp;+&nbsp;''b''<sup>2</sup>&nbsp;≤&nbsp;''c''<sup>2</sup>. Трикутник є невиродженим, якщо кожне ребро має додатню довжину, тому можна вважати, що ''a'' і ''b'' більше 0. Таким чином ''a''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''b''<sup>2</sup>&nbsp;<&nbsp;''a''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;2''ab''&nbsp;+&nbsp;''b''<sup>2</sup>&nbsp;≤&nbsp;''c''<sup>2</sup>. [[Транзитивне відношення]] може бути зведене до ''a''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''b''<sup>2</sup>&nbsp;<&nbsp;''c''<sup>2</sup>. Як відомо з теореми Піфагора, що ''a''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''b''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;''c''<sup>2</sup>. Це призводить до протиріччя, так як нерівність строга і рівності є взаємовиключними.

=== Не існує найменшого раціонального числа ===
Розглянемо твердження, ''P'': «немає найменшого раціонального числа більше 0». Доводячи від супротивного припустимо зворотне, ¬''P'': що є найменше раціональне число, скажімо, ''r.''

Тепер r/2 є раціональним числом більше 0 і менше, ніж r. Але це суперечить нашому початковому припущенню: ¬''P'', що ''r'' було найменшим раціональним числом. Таким чином, ми можемо зробити висновок, що початкове положення, ''P'', має бути правдою&nbsp;— «немає найменшого раціонального числа більше 0».

=== Інші приклади ===
Лікар, переконуючи пацієнта в тому, що той не хворий на грип, може розмірковувати наступним чином: "Якби ви дійсно були хворі грипом, то у вас би була підвищена температура, була б нежить і&nbsp;т.&nbsp;д. Але нічого з цього немає. Відповідно, пацієнт не хворий на грип.

== В математичній логіці ==
В математичній логіці метод від супротивного представляється так: Якщо <math>S \cup \{ P \} \vdash \mathbb{F}</math> тоді <math>S  \vdash \neg P.</math> Або, якщо <math>S \cup \{ \neg P \} \vdash \mathbb{F}</math> тоді <math>S  \vdash P.</math>

У наведеному вище тексті ''P'' це припущення, яке ми хочемо довести, і ''S'' являє собою набір операторів, наприклад, аксіоми теорії в якій ми працюємо, або більш ранні теореми на яких ми можемо побудувати доведення. Ми розглядаємо ''P'', або заперечення ''Р'', на додаток до ''S''; якщо це призводить до логічного протиріччя ''F'', то можна зробити висновок, що припущення в ''S'' призводять до заперечення ''Р'' або самої ''Р'' відповідно.

Зверніть увагу, що теоретико-множинне об'єднання, в деяких контекстах тісно пов'язані з логічною диз'юнкцією (або).

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}

* [[Доведення теорем]],
* [[Дедукція]], [[індукція]].

{{Математична логіка|state=collapsed}}
{{Бібліоінформація}}

[[Категорія:Математична логіка]]