Перегляд вихідного коду сторінки Добуток Адамара

[[Файл:Hadamard product qtl1.svg|thumb|Добуток Адамара оперує з двома матрицями однакової розмірності і створює нову матрицю ідентичної розмірності.]]
У [[математика|математиці]] '''добуток Адамара'''<ref name=hadamardpdf1>{{cite web|last=Million|first=Elizabeth|title=The Hadamard Product|url=http://buzzard.ups.edu/courses/2007spring/projects/million-paper.pdf|accessdate=2 січня 2012|archive-date=12 червня 2013|archive-url=https://web.archive.org/web/20130612163514/http://buzzard.ups.edu/courses/2007spring/projects/million-paper.pdf}}</ref> (також відомий як '''добуток Шура'''<ref>Davis, Chandler. «The norm of the Schur product operation.» Numerische Mathematik 4.1 (1962): 343—344.</ref> або '''покомпонентний добуток''')&nbsp;— це [[бінарна операція]] над двома [[Матриця (математика)|матрицями]] однакової розмірності, у результаті котрої створюється нова матриця де кожен елемент ''ij'' це добуток елементів ''ij'' початкових матриць. Операція названа на честь, або французького математика [[Жак Соломон Адамар|Жака Адамара]], або німецького математика [[Ісай Шур|Ісая Шура]].

Добуток Адамара це [[Асоціативність|асоціативна]] та [[Дистрибутивність|дистрибутивна]] операція, і на відміну від добутку матриць також [[Комутативність|комутативна]] операція.

== Визначення ==
Для двох матриць <math>A, B</math> котрі мають однакову розмірність <math>m \times n</math> добуток адамара позначається як <math>A \circ B</math> і визначений як покомпонентний добуток двох матриць:
: <math>(A \circ B)_{i,j} = (A)_{i,j} \cdot (B)_{i,j}</math>
Для двох матриць, котрі мають різні розмірності, добуток Адамара не визначений.

== Приклад ==
Приклад використання добутку Адамара для двох матриць A та B розмірністю 2x3

: <math> 
\left(\begin{array}{ccc} \mathrm{a}_{11} & \mathrm{a}_{12} & \mathrm{a}_{13}\\ \mathrm{a}_{21} & \mathrm{a}_{22} & \mathrm{a}_{23}\\  \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{ccc} \mathrm{b}_{11} & \mathrm{b}_{12} & \mathrm{b}_{13}\\ \mathrm{b}_{21} & \mathrm{b}_{22} & \mathrm{b}_{23}\\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} \mathrm{a}_{11} \, * \mathrm{b}_{11}\ & \mathrm{a}_{12}\, * \mathrm{b}_{12} & \mathrm{a}_{13}\, * \mathrm{b}_{13}\\ \mathrm{a}_{21}\, * \mathrm{b}_{21} & \mathrm{a}_{22}\, * \mathrm{b}_{22} & \mathrm{a}_{23}\, * \mathrm{b}_{23}\\  \end{array}\right)
</math>

== Властивості ==
Добуток Адамара це [[Комутативність|комутативна]], [[Асоціативність|асоціативна]] та [[Дистрибутивність|дистрибутивна]] операція,

: <math>A \circ B = B \circ A,</math>
: <math>A \circ (B \circ C) = (A \circ B) \circ C,</math>
: <math>A \circ (B + C) = A \circ B + A \circ C.</math>

== Змішані добутки ==

: <math> (A \otimes B) \circ (C \otimes D) = (A \circ C) \otimes (B \circ D) </math>, де <math>\otimes</math>&nbsp;— [[добуток Кронекера]]

: <math> (A \bull B) \circ (C \bull D) = (A \circ C) \bull (B \circ D) </math>, де <math>\bull</math>&nbsp;— [[Добуток Хатрі-Рао#Торцевий добуток|торцевий добуток]]<ref name=slyusar>{{Cite journal|last=Slyusar|first=V. I.|date=27 грудня 1996|title=End products in matrices in radar applications.|url=http://slyusar.kiev.ua/en/IZV_1998_3.pdf|journal=Radioelectronics and Communications Systems.– 1998, Vol. 41; Number 3|pages=50–53|accessdate=2 серпня 2020|archive-date=27 липня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200727055858/http://slyusar.kiev.ua/en/IZV_1998_3.pdf}}</ref>.

: <math>(A \bull B)(C \ast D) = (A C) \circ (B D)</math>, де <math>\ast</math>&nbsp;— стовпцевий [[добуток Хатрі-Рао]].

== Використання ==
Добуток Адамара використовується у алгоритмах [[стиснення з втратами]], наприклад, [[JPEG]].

У програмних пакетах [[MATLAB]] та [[GNU Octave]], дана операція використовується як стандартна операція множення масивів та позначається символом * .<ref name="MathWorks_matlab_1">{{cite web|title=Arithmetic Operators + - * / \ ^ ' -|url=http://www.mathworks.se/help/techdoc/ref/arithmeticoperators.html|work=MATLAB documentation|publisher=MathWorks|accessdate=2 січня 2012|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120424151907/http://www.mathworks.se/help/techdoc/ref/arithmeticoperators.html|archivedate=24 квітня 2012|deadurl=yes}}</ref> <br/>
Операція добутку над [[Векторний тип даних|векторними типами даних]] у [[GPGPU]] технологіях програмування також реалізована за принципом добутку Адамара. Інші примітивні математичні операції над векторними типами даних реалізовані як покомпонентні операції над їх компонентами.

== Блокова версія ==
[[Файл:Penetrating face product.jpg|thumb|Проникаючий торцевий добуток]]

=== Проникаючий торцевий добуток ===
Цей тип матричної операції спирається на добуток Адамара і дозволяє поелементно перемножити <math> p \times g</math> матрицю <math> \mathbf {A} </math> на довільну кількість блоків тієї ж розмірності <math> p \times g</math>, що утворюють блокову матрицю <math> \mathbf {B} </math><ref name=slyusar2>{{Cite journal|last=Slyusar|first=V. I.|date=13 березня 1998|title=A Family of Face Products of Matrices and its properties|url=http://slyusar.kiev.ua/FACE.pdf|journal=Cybernetics and Systems Analysis C/C of Kibernetika I Sistemnyi Analiz. 1999.|volume=35|issue=3|pages=379–384|doi=10.1007/BF02733426|accessdate=30 серпня 2020|archive-date=25 січня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200125144927/http://slyusar.kiev.ua/FACE.pdf}}</ref>:

: <math>
\mathbf{A} [\circ] \mathbf{B}
= 
\left[
\begin{array} { c | c | c | c }
\mathbf{A} \circ \mathbf{B}_1 & \mathbf{A} \circ \mathbf{B}_2 & \ ... \ & \mathbf{A} \circ \mathbf{B}_n
\end{array}
\right]
</math>.

Наприклад, для

: <math>
\mathbf{A} = 
\left[
\begin{array} {c}
1 & 2 & 3\\ 
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{array}
\right]
,\quad
\mathbf{B} = 
\left[
\begin{array} { c | c | c }
\mathbf{B}_1 & \mathbf{B}_2 & \mathbf{B}_3
\end{array}
\right]
= 
\left[
\begin{array} { c c c | c c c | c c c }
1 & 4 & 7 & 2 & 8 & 14 & 3 & 12 & 21\\ 
8 & 20 & 5 & 10 & 25 & 40 & 12 & 30 & 6 \\
2 & 8 & 3 & 2 & 4 & 2 & 7 & 3 & 9
\end{array}
\right]
</math>

отримаємо:

: <math>
\mathbf{A} [\circ] \mathbf{B}
= 
\left[
\begin{array} { c c c | c c c | c c c }
1 & 8 & 21 & 2 & 16 & 42 & 3 & 24 & 63\\ 
32 & 100 & 30 & 40 & 125 & 240 & 48 & 150 & 36\\
14 & 64 & 27 & 14 & 32 & 18 & 49 & 24 & 81
\end{array}
\right]
</math>.

'''Основні властивості''':

: <math> \mathbf{A} [\circ]  \mathbf{B} = \mathbf {B} [\circ] \mathbf {A} </math>;

: <math> \mathbf{M} \bull \mathbf{M} = \mathbf {M} [\circ] (\mathbf {M} \otimes \mathbf {1}^\textsf{T})</math>,

де <math> \bull </math>&nbsp;— символ [[торцевий добуток|торцевого добутку]] матриць.

: <math> \mathbf{c} \bull \mathbf{M} = \mathbf {c} [\circ] \mathbf {M} </math>, де <math> \mathbf {c} </math>&nbsp;— вектор.

Даний вид матричного добутку був запропонований в 1998&nbsp;р. [[Слюсар Вадим Іванович|Слюсарем В. І.]] для опису відгуків [[цифрова антенна решітка|цифрової антенної решітки]] з неідентичними приймальними каналами<ref name=slyusar2 />. Крім того, цей добуток дозволяє формалізувати процес функціонування згорткової нейромережі. Наприклад, якщо розглянути вказану матрицю <math> \mathbf {A} </math> як масив пікселів зображення на вході нейромережного алгоритму, то блоки матриці <math> \mathbf {B} </math> будуть відповідати різним наборам коефіцієнтів для формування згорткового шару в кількох паралельных каналах [[обробка зображень|обробки зображення]] [[Нейронна мережа|нейромережею]]<ref name="NN">Слюсар В.И. Тензорно-матричная модель нейросетей. // Всеукраїнська науково-практична Інтернет-конференція “Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології у виробництві та освіті: стан, досягнення, перспективи розвитку”, 15 - 21 березня 2021 року, м. Черкаси, Черкаський національний університет імені Богдана Хмельницького [https://slyusar.kiev.ua/Cherkasy_2021_3.pdf]</ref>.

Операція проникаючого торцевого добутку вектора і матриці реалізована в бібліотеці машинного навчання [[TensorFlow]] за допомогою оператора «tf.multiply»<ref name="NN" /><ref>{{Cite web |url=https://stackoverflow.com/questions/47817135/tensorflow-how-to-multiply-a-2d-tensor-matrix-by-corresponding-elements-in-a |title=Tensorflow, how to multiply a 2D tensor (matrix) by corresponding elements in a 1D vector. — 2017. |accessdate=17 січня 2021 |archive-date=15 жовтня 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211015014101/https://stackoverflow.com/questions/47817135/tensorflow-how-to-multiply-a-2d-tensor-matrix-by-corresponding-elements-in-a }}</ref>.

== Див. також ==
* [[Добуток Кронекера]]
* [[Добуток Хатрі-Рао]]

== Джерела ==
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* {{Ланкастер.Теорія матриць}}
* {{Хорн.Джонсон.Матричний аналіз}}

== Посилання ==
{{reflist}}

[[Категорія:Теорія_матриць]]